Numeri Reali. Itinerario storico concettuale verso la definizione di nuovi numeri. per la 2 K del Liceo Classico Alexis Carrel

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1 Numeri Reali Itinerario storico concettuale verso la definizione di nuovi numeri per la 2 K del Liceo Classico Alexis Carrel

2 Premessa Due problemi spinosi 1 Problema A Delo (Δῆλος), isola Greca nel Mar Egeo, verso il 500 a.c. scoppiò una grave epidemia di peste. Gli abitanti, non sapendo cosa fare per contrastarla, decisero di interrogare l oracolo di Apollo. L oracolo rispose che la peste sarebbe cessata se loro avessero raddoppiato l altare cubico del dio. la peste non cessò.

3 Crotone 2 Problema I Pitagorici, verso il 300 a.c. dimostrarono il famosissimo teorema ( detto di Pitagora ). Poi, lo applicarono al quadrato di lato 1 e cercarono di trovare la misura esatta della diagonale. 1? Non ci riuscirono. Fine della premessa

4 1. Cosa significa misurare A B AB=4u u Cioè 4 è la misura di AB rispetto all unità scelta u AB/u = 4

5 Il problema della misura dei segmenti Non sempre AB contiene un n esatto di u A B u AB=4u e un po Scegliamo allora una unità di misura più piccola; ad esempio u =1/2u u AB=9u Ovvero AB = 9/2 u Cioè la misura di AB rispetto a u è 9/2 AB/u = 9/2 Misurare significa trovare il rapporto tra una grandezza e un altra grandezza, omogenea, scelta come unità di misura. È sempre possibile?

6 2. Cerchiamo la misura della diagonale del quadrato 1? u Scegliamo una unità di misura 10 volte più piccola: u = 1/10 u 1 < < 2 1 < 14/10 < < 15/10 < 2 Scegliamo una unità di misura 10 volte più piccola: u = 1/100 u 1 < 14/10< 141/100 < < 142/100 < 15/10 < 2

7 1 < < 2 1,4 < < 1,5 1,41 < < 1,42 1,414 < < 1,415 1,4142 < < 1,4143 1,41421 < < 1, , < < 1, , < < 1, , < < 1, ecc. senza mai arrivare al valore esatto

8 Non esiste alcuna unità di misura, per quanto piccola, che sia contenuta un n intero di volte in un segmento lungo E dunque non esiste alcun n razionale che possa esprimere la misura della diagonale di un quadrato di lato 1. Segmenti come il lato e la diagonale del quadrato si dicono INCOMMENSURABILI A differenza di tutti gli altri (dei quali si può esprimere una misura con un n razionale) che sono COMMENSURABILI Poiché il segmento diagonale del quadrato esiste, tanto che lo sappiamo disegnare, occorre trovare nuovi numeri (non razionali) che ne possano esprimere la lunghezza.

9 3. Un problema di non semplice soluzione =? Per 22 secoli nessuno trovò una soluzione soddisfacente a questo problema

10 4. Julius Wilhelm Richard Dedekind Poi venne Dedekind, matematico tedesco ( ), con la seguente idea. Raggruppare tutti i numeri razionali minori di la classe dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2. in una classe : In un altra classe tutti gli altri numeri : quelli il cui quadrato è maggiore di 2. L unico elemento separatore di queste due classi è inequivocabilmente individuato ed è il numero IRRAZIONALE

11 Ecco dunque la nuova concezione di numero concepita da Dedekind: Un numero è una coppia di classi contigue di numeri razionali tali che (A,B) - Ogni elemento della prima classe precede ogni elemento della seconda a A < b B e per questo si dicono SEPARATE - La distanza tra un elemento della prima classe e uno della seconda può essere piccola quanto si vuole b-a < con n piccolo a piacere e per questo si dicono INDEFINITAMENTE RAVVICINATE

12 In questa definizione rientrano anche i numeri già noti, Naturali e Razionali Ad esempio 5=(A,B) dove A è l insieme di tutti i numeri razionali x 5 e B è la classe di tutti i numeri razionali >5; 5 è elemento separatore delle due classi A= 4; 4,9; 4,99; 4,999; 4,9999. B= 6; 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001. Analogamente 2/3=(A,B) dove A è l insieme di tutti i numeri razionali x 2/3 e B è la classe di tutti i numeri razionali > 2/3; 2/3 è elemento separatore delle due classi A= 0; 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666. B= 1; 0,7; 0,67; 0,667; 5,6667. Se l elemento separatore appartiene a una delle due classi (come Max della prima o come min della seconda) esso è un numero RAZIONALE; altrimenti è IRRAZIONALE Ecco dunque un nuovo insieme numerico, più ampio dei precedenti l insieme dei NUMERI REALI

13 Numeri Reali Numeri Irrazionali Numeri Irrazionali Numeri Razionali

14 Lettura da Storia della matematica Di Carl Boyer

15 5. Un altro punto di vista Numero intero : 7 nessuna cifra decimale Numero razionale : a) 21/7= 3 nessuna cifra decimale b) 14/25=0,56 n finito di cifre decimali c) 17/3=0,66666 n infinito di cifre decimali periodiche Numero irrazionale : n infinito di cifre decimali, non periodiche Le prime cifre decimali di 2

16 6. Il campo Reale è continuo N è insieme discreto Q è insieme denso Infiniti numerabili (ecco come si dimostra che anche Q è numerabile) R è insieme continuo Infinito non numerabile (dunque non c è un unico infinito) Si può perciò (finalmente) stabilire una corrispondenza biunivoca tra numeri Reali e i punti della retta.

17 Scelta una qualsiasi unità di misura u, siamo ora in grado di associare al segmento che rappresenta la diagonale del quadrato di lato u la misura di 1..e sappiamo anche soddisfare le richieste del dio Apollo con un bel cubo avente lo spigolo pari a volte quello del suo vecchio altare.

18 Nell insieme dei numeri Reali, dunque, non c è più alcun problema numerico irrisolto? Cioè ogni operazione ha il proprio risultato? Ogni equazione ha tutte le proprie soluzioni? Che numero è -1? Quali sono le soluzioni di x = 0? x = 0 ha una sola soluzione? occorrono nuovi numeri.