1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2

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1 1 Coniche Studieremo le curve nel piano euclideo, cioè nel piano con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo piano, ottenuto con l introduzione delle coordinate omogenee. Una curva è determinata, a meno di un fattore moltiplicativo non nullo, da un equazione f(x, y) = 0 (risp. F (x, y, t ) = 0) nel piano euclideo (risp. nel piano proiettivo). La curva è algebrica se f(x, y) è un polinomio (risp. F (x, y, t ) è un polinomio omogeneo di grado n). Studieremo curve algebriche in cui f(x, y) R[x, y], ovvero F (x, y, t ) R[x, y, t ]. Ogni polinomio di R[x, y, t ] si può scrivere in modo sostanzialmente unico come prodotto di fattori irriducibili: F (x, y, t ) = F r 1 1 (x, y, t )F r 2 2 (x, y, t )... F rs s (x, y, t ) (1) Definizione 1. Chiamiamo curva algebrica irriducibile il luogo dei punti del piano proiettivo le cui coordinate omogenee, considerate come elementi di C 3, annullano un polinomio omogeneo irriducibile F (x, y, t ) R[x, y, t ] di grado n > 0. Se F ha la forma (1), definiamo curva algebrica l insieme delle curve algebriche irriducibili definite dai polinomi irriducibili F i ciascuna contata con molteplicità r i (i = 1, 2,..., r). Si dirà che la curva è spezzata in r componenti, ciascuna con la sua molteplicità. Il numero intero n si chiama ordine della curva; se n = 1 la curva è una retta, se n = 2 si chiama conica, se n = 3 cubica,... Quindi l equazione di una conica Γ ha la forma seguente: F (x, y, t ) = a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + 2a 13 x t + 2a 23 y t + a 33 t 2 = 0 (2) dove a ij R. Notiamo che i sei numeri a ij definiscono una matrice simmetrica reale di ordine 3. La chiameremo matrice della conica e la indicheremo con B. Il polinomio F è l unico elemento della matrice di ordine 1 ottenuta dal prodotto (x, y, t )B t (x, y, t ). Quindi l equazione della conica si può anche indicare con la sua forma matriciale: t x B x = 0, dove x = t (x, y, t ). In coordinate non omogenee risulta f(x, y) = (x, y, 1)B t (x, y, 1). Ricordiamo che una retta del piano proiettivo è determinata da un equazione omogenea ax + by + ct = 0 con a, b, c R non tutti nulli. Le coordinate dei punti di tale retta si possono quindi esprimere come combinazione lineare di due soluzioni distinte di tale equazione. Se indichiamo x 0 = t (x 0, y 0, t 0 ), x 1 = t (x 1, y 1, t 1 ) due tali soluzioni, si possono scrivere le equazioni parametriche omogenee della retta nella forma x = λx 0 + µx 1 (3) 1

2 dove λ, µ R 2 \(0, 0)}. Calcoliamo l intersezione tra una retta ed una conica; dobbiamo risolvere il sistema x = λx 0 + µx 1 t x B x = 0 Sostituendo si trova l equazione risolvente: t (λx 0 + µx 1)B(λx 0 + µx 1) = 0 Ricordando che vale la proprietà associativa del prodotto di matrici, la proprietà distributiva del prodotto di matrici rispetto alla somma, che la trasposta della somma di matrici è uguale alla somma delle trasposte, l equazione risolvente si può scrivere nella forma: λ 2 ( t x 0B x 0) + λµ( t x 0B x 1) + λµ( t x 1B x 0) + µ 2 ( t x 1B x 1) = 0 Osserviamo che la matrice ( t x 0 B x 1 ) ha ordine 1 e quindi coincide con la sua trasposta: ( t x 0 B x 1 ) = t ( t x 0 B x 1 ) = (t x 1 B x 0 ); la risolvente si scrive allora λ 2 ( t x 0B x 0) + 2λµ( t x 0B x 1) + µ 2 ( t x 1B x 1) = 0 (4) Questa equazione è omogenea di grado 2 in λ, µ: se tutti i coefficienti sono nulli, t x 0 B x 0 = t x 0 B x 1 = t x 1 B x 1 = 0 allora la retta fa parte della conica; altrimenti retta e conica hanno due punti a comune. Sarà utile in seguito l espressione esplicita di ( t x 0 B x 1 ): t x 0B x 1 =(a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 t 0)x 1+ (a 21 x 0 + a 22 y 0 + a 23 t 0)y 1+ (a 31 x 0 + a 32 y 0 + a 33 t 0)t 1 Definizione 2. Un punto P 0 di coordinate x 0 = (x 0, y 0, t 0 ) di una curva algebrica di ordine n si dice semplice se esiste una retta per P 0 che incontra la curva, oltre che in P 0, in n 1 punti P i, con P i P 0. Altrimenti il punto P 0 si dice multiplo. In particolare, un punto P 0 di coordinate x 0 = (x 0, y 0, t 0 ) di una conica Γ si dice semplice se esiste una retta per P 0 che incontra la conica, oltre che in P 0, in un altro solo punto P 1 P 0. Se invece ogni retta per P 0 incontra Γ solo in P 0 oppure appartiene alla conica il punto si dice doppio. Se dunque P 0 è un punto doppio di una conica e P 1 un punto della conica diverso da P 0 allora la retta P 0 P 1 fa parte della conica: infatti la risolvente 2

3 può avere due soluzioni oppure essere l identità. Segue che una conica con un punto doppio è spezzata; per questo motivo chiameremo degenere una conica con un punto doppio. Teorema 1. Un punto P 0 del piano è un punto doppio per la conica Γ di equazione (2) se e solo se det B = 0. Dim. Supponiamo che P 0 sia doppio e consideriamo una retta per P 0, sia (3) la sua equazione; poiché P 0 Γ risulta t x 0 B x 0 = 0 e la risolvente (4) deve avere la sola radice µ = 0 oppure essere l identità, altrimenti la retta incontrerebbe Γ in un punto diverso da P 0. Questo accade se t x 0 B x 1 = 0 qualunque sia la terna x 1 ; sostituendo al posto di x 1 le terne (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) si trova che la terna t x 0B deve essere nulla, cioè B x 0 = 0. In altre parole il sistema lineare omogeneo B x = 0 deve avere la soluzione x 0, che è una terna non nulla (sono coordinate omogenee di un punto): dalla teoria dei sistemi lineari segue che il determinante della matrice B deve essere nullo. Viceversa, sia det B = 0; il sistema lineare omogeneo B x = 0 ha una soluzione non nulla x 0 che interpretiamo come coordinate proiettive di un punto P 0 del piano. Consideriamo una retta P 0 P 1, qualunque sia P 1, e cerchiamo le sue intersezioni con la conica. Nella risolvente (4) abbiamo t x 0 B x 0 = t x 0 0 = 0 ed anche t x 0 B x 1 = 0 x 1 = 0; la prima relazione implica che P 0 sta sulla conica, e la risolvente diventa µ 2 ( t x 1 B x 1 ) = 0. L unica possibile soluzione è µ = 0 con molteplicità 2 e quindi P 0 è un punto doppio. Osservazione. Notiamo che se rg B=2 allora il sistema B x = 0 ha infinite soluzioni, tutte fra loro proporzionali; quindi esse definiscono un unico punto doppio della conica. Se invece rg B=1 allora le soluzioni del sistema B x = 0 costituiscono i punti di una retta. Nel primo caso la conica è spezzata in due rette distinte che passano per il punto doppio, nel secondo caso la conica è costituita da una retta contata due volte e i suoi punti sono tutti doppi. Un ulteriore conseguenza del teorema è che una conica non degenere ha tutti i suoi punti semplici. 1.1 Tangenti Definizione 3. Sia Γ una conica e P 0 un suo punto semplice; diciamo tangente a Γ in P 0 la retta che passa per P 0 e incontra la conica solo in P 0 oppure appartiene alla conica. 3

4 Sia Γ una conica non degenere di equazione (2) e P 0 un suo punto (necessariamente semplice); esiste una particolare retta per P 0 che incontra la conica in due punti coincidenti. Tale retta è costituita dai punti P 1 x 1 tali che t x 0 B x 1 = 0: infatti l equazione risolvente (4) in questo caso si riduce a µ 2 ( t x 1 B x 1 ) = 0 e la retta incontra la conica solo in P 0. Osserviamo che questa particolare retta esiste solo nel caso che il punto P 0 sia semplice e la chiameremo tangente a Γ in P 0. In forma esplicita l equazione della tangente alla conica Γ in P 0 si scrive: t x 0B x =(a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 t 0)x + (a 21 x 0 + a 22 y 0 + a 23 t 0)y + (a 31 x 0 + a 32 y 0 + a 33 t 0)t = 0 Se P 0 è un punto proprio, la forma non omogenea della tangente è: (x 0, y 0, 1)B t (x, y, 1) =(a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 )x+ (a 21 x 0 + a 22 y 0 + a 23 )y+ (a 31 x 0 + a 32 y 0 + a 33 ) = 0 Se P 0 è un punto qualunque del piano proiettivo, il luogo dei punti P 1 tali che la retta P 0 P 1 sia tangente alla conica Γ è dato dall annullarsi del discriminante della risolvente (4): ( t x 0 B x 1 )2 ( t x 0 B x 0 )(t x 1 B x 1 ) = 0. Poiché tale equazione è di secondo grado in x 1 risulta che tale equazione rappresenta una conica spezzata in due rette; se tali rette sono reali e distinte il punto P 0 è esterno a Γ, se sono complesse coniugate P 0 è interno a Γ, se sono coincidenti P 0 sta sulla conica ed è la tangente in P 0 contata due volte. 1.2 Classificazione affine I punti impropri di una conica Γ si ottengono facendo l intersezione con la retta impropria: F (x, y, t ) = 0 a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 = 0 t = 0 t = 0 Se l equazione risolvente è identicamente nulla allora Γ contiene la retta impropria; altrimenti otteniamo due punti reali e distinti, reali e coincidenti o complessi coniugati a seconda che il discriminante della risolvente, a 2 12 a 11a 22, è positivo, nullo o negativo. Osserviamo che questo discriminante è l opposto del complemento algebrico B 33 nella matrice della conica; chiameremo A la sottomatrice di B costituita dalle prime due righe e colonne. 4

5 Definizione 4. Una conica non degenere Γ la chiamiamo ellisse se ha due punti impropri immaginari coniugati, la chiamiamo parabola se ha due punti impropri reali e coincidenti, la chiamiamo iperbole se ha due punti impropri reali e distinti. Da quanto abbiamo già visto segue: 1. Γ è un ellisse det B 0, B 33 > 0 2. Γ è una parabola det B 0, B 33 = 0 3. Γ è un iperbole det B 0, B 33 < 0 Osserviamo che la parabola incontra la retta impropria in due punti coincidenti e quindi la retta impropria è tangente alla parabola nel suo punto improprio. Si può cambiare il sistema di riferimento mediante un opportuna rototraslazione in modo che ogni conica si scriva in una delle due forme ridotte ([P] 4.2). La matrice di una rotazione che mantenga l orientamento è ( ) cos θ sin θ P = sin θ cos θ Si ottiene una tale matrice scegliendo come colonne due autovettori della matrice A che siano indipendenti e di lunghezza 1. La matrice P è ortogonale e quindi la sua inversa coincide con la trasposta. La matrice trasformata di A mediante la matrice della rotazione è diagonale e sulla diagonale appaiono i due autovalori della matrice A: 1.3 Polarità t P AP = ( α 0 0 β Sia data una conica non degenere Γ di equazione (2). Chiamiamo polarità definita da Γ l applicazione: π : punti del piano proiettivo} rette del piano proiettivo} definita da t x 0 t x 0 B x = 0, dove t x 0 sono coordinate omogenee di un punto P 0. L applicazione è ben definita perché la terna t x 0B 0 in quanto det B 0 e x 0 0. Notiamo che per ogni retta r di equazione ax + by + ct = 0 esiste un unico punto P 0 tale che π(p 0 ) = r: infatti il sistema t x 0B = (a, b, c) ammette un unica soluzione perché det B 0. Quindi π è ) 5

6 una biiezione. Naturalmente se P 0 Γ riconosciamo che π(p 0 ) è la tangente a Γ in P 0. Gli elementi della coppia punto retta si chiamano polo e polare rispetto a Γ. Teorema 2. [di reciprocità]un punto P 0 sta sulla polare di P 1 se e solo se P 1 sta sulla polare di P 0. Dim. La polare di P 1 ha equazione t x 1 B x = 0 e P 0 sta su questa retta se t x 1 B x 0 = 0; ma sappiamo che t x 1 B x 0 = t x 0 B x 1 = 0 e quest ultima relazione vuol dire che P 1 sta sulla polare di P 0. Il viceversa si dimostra allo stesso modo. Due punti che stanno l uno sulla polare dell altro si diranno coniugati. Due rette che contengono l una il polo dell altra si diranno coniugate. Un punto che appartiene alla propria polare si chiama autoconiugato; sappiamo che è un punto della conica. Una retta che contiene il suo polo si chiama autoconiugata; sappiamo che è tangente alla conica nel suo polo. Abbiamo già osservato che la polare di un punto P 0 della conica Γ è la tangente in quel punto; quindi i punti della conica stanno sulla propria polare e sono caratterizzati da questo fatto. Se prendiamo un punto P 1 fuori della conica e una retta r per P 1 tangente alla conica la retta r sarà polare del punto R di Γ di contatto con r. Quindi la polare di P 1 passa per R; poiché ci sono due rette tangenti a Γ, r ed s, la polare di P 1 passerà anche per il punto S di contatto tra s e Γ. In definitiva la polare di un punto che non appartiene alla conica è la retta che congiunge i due punti di contatto con Γ delle due tangenti condotte da P 1 alla conica. Questa osservazione permette di affermare che la polare di un punto non dipende dal sistema di riferimento scelto per scrivere l equazione di Γ. Definizione 4. Si chiama centro di una conica non degenere il polo della retta impropria. Si chiamano diametri le rette proprie passanti per il centro. Due diametri si dicono coniugati se uno contiene il polo dell altro. Un diametro è autoconiugato se contiene il proprio polo, ed è quindi una retta tangente alla conica nel suo polo. Per il teorema di reciprocità i diametri sono rette polari dei punti impropri. Per trovare dunque il centro di una conica basta fare l intersezione di due distinti diametri. Prendendo le rette polari dei punti impropri degli assi cartesiani, che hanno coordinate omogenee (1, 0, 0), (0, 1, 0), si ha: π(1, 0, 0) = a 11 x + a 12 y + a 13 t = 0 π(0, 1, 0) = a 21 x + a 22 y + a 23 t = 0 6

7 Le coordinate del centro sono date da una soluzione non nulla di questo sistema; sappiamo che una tale soluzione è: (B 31, B 32, B 33 ). Notiamo che questi tre numeri non sono tutti nulli, altrimenti sarebbe det B = 0. Osserviamo ancora che le parabole hanno il centro improprio poiché B 33 = det A = 0; ne consegue che i diametri di una parabola sono rette parallele aventi la direzione del punto improprio della parabola. Tra le rette passanti per il punto improprio di una parabola c è la retta impropria, che non è un diametro e che sappiamo essere tangente alla parabola Coniche a centro proprio Le coniche non degeneri a centro proprio (ellisse e iperbole) hanno due diametri autoconiugati: sono le rette tangenti alla conica in un suo punto improprio. Nel caso dell iperbole queste due rette sono reali e si chiamano asintoti. Le equazioni ridotte di una conica non degenere a centro proprio (ellisse e iperbole) si possono determinare scegliendo un particolare sistema di riferimento cartesiano obliquo; precisamente si possono prendere come assi due diametri coniugati, tali cioè che uno contenga il polo dell altro. Ci sono infiniti modi per scegliere un tale sistema: basta infatti prendere un qualunque punto improprio e scegliere la polare di questo punto e la retta passante per questo punto e per il centro. Si dice triangolo autopolare quello formato dalla retta impropria, e da due distinti diametri coniugati: infatti ogni vertice è polo della retta che non lo contiene (ancora il teorema di reciprocità). Se scegliamo i due diametri coniugati come assi x, y, i loro punti impropri avranno coordinate (1, 0, 0), (0, 1, 0) rispettivamente e le loro polari avranno equazioni a 11 x + a 12 y + a 13 t = 0, a 21 x + a 22 y + a 23 t = 0; la prima equazione deve essere quella dell asse y e la seconda dell asse x. Sarà quindi a 12 = a 13 = 0 e a 21 = a 23 = 0 e l equazione della conica rispetto a questo riferimento obliquo è a 11 x 2 +a 22 y 2 +a 33 t 2 = 0. In coordinate non omogenee l equazione diventa a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 = 0; osserviamo che se un punto P 0 (x 0, y 0 ) sta sulla conica, anche P 0 (x 0, y 0 ), P 0 ( x 0, y 0 ) stanno sulla conica, poiché sia x che y compaiono nell equazione solo al secondo grado. Geometricamente questo significa che la conica è simmetrica rispetto a ciascuno dei due assi coordinati nella direzione dell altro asse. Quindi la conica presenta infinite simmetrie, a seconda dei diametri coniugati scelti. Questa proprietà si può esprimere dicendo che un diametro d di una conica è il luogo dei punti medi delle corde che hanno la direzione del polo D del diametro d. 7

8 Ci chiediamo se ci sono diametri coniugati ortogonali: in tal caso avremmo un sistema cartesiano ortogonale rispetto al quale la conica si scrive nella forma ridotta I) (vedi [P], 4.2). Cerchiamo quindi diametri coniugati ortogonali: detto (λ, µ, 0) un punto improprio, la polare di tale punto deve essere ortogonale alla direzione di (λ, µ, 0). Questo accade se: (a 11 λ + a 12 µ)x + (a 21 λ + a 22 µ)y + (a 31 λ + a 32 µ)t = 0 ha la coppia di coefficienti di x, y proporzionali a λ, µ: a 11 λ + a 12 µ = ρλ (a 11 ρ)λ + a 12 µ = 0 a 21 λ + a 22 µ = ρµ a 21 λ + (a 22 ρ)µ = 0 ( ) a11 ρ a e il sistema ha soluzioni non nulle se la matrice 12 ha determinante nullo. Questa matrice è la matrice caratteristica di A, che è a 21 a 22 ρ simmetrica reale e sappiamo che ha soluzioni reali: troviamo quindi un punto improprio con la caratteristica richiesta. Osserviamo esplicitamente che un autovettore di tale autovalore fornisce il punto improprio di uno degli assi di simmetria ortogonale della conica; l altro asse è evidentemente la retta passante per il centro e perpendicolare alla precedente. Osserviamo ancora che gli autovalori della matrice A sono i coefficienti α, β dei monomi x 2 e y 2 nell equazione trasformata: per avere l equazione ridotta della conica basterà individuare il termine noto γ. Il numero γ si trova facilmente, una volta noti α e β, dall uguglianza αβγ = det B, derivante dal fatto che il determinante della matrice della conica è un invariante ortogonale Coniche a centro improprio: parabole Anche per le parabole si può trovare l equazione ridotta con la scelta di opportuni sistemi di riferimento obliqui. Per questo scopo non si possono utilizzare due diametri perché sono rette parallele (passano tutti per il punto improprio della parabola). Scegliamo dunque come origine un punto proprio della conica, come asse y la tangente a tale punto proprio e come asse x il diametro passante per il punto di tangenza. Con questa scelta la polare dell origine ha equazione x = 0 e la polare del punto improprio dell asse y ha equazione y = 0. Le equazioni degli assi scelti sono π(0, 0, 1) = a 13 x + a 23 y + a 33 t = 0, π(0, 1, 0) = a 12 x + a 22 y + a 23 t = 0 e quindi dovrà essere a 23 = a 33 = 0, a 12 = a 23 = 0; l equazione della parabola si scrive dunque a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2a 13 x t = 0. Questo tipo di scelta di un sistema di riferimento obliquo si può fare per una qualunque conica non degenere: tenendo ora presente che stiamo considerando il caso di una parabola, si 8

9 vede che deve essere a 11 = 0 (a 22 0 altrimenti la conica è spezzata) e dunque l equazione che abbiamo trovato è a 22 y 2 + 2a 13 x t = 0. Poiché in questa equazione compare y solo al secondo grado la parabola presenta simmetria obliqua rispetto ad un suo diametro qualsiasi nella direzione del polo di questo. In altre parole ogni diametro della parabola è luogo dei punti medi delle corde che hanno la direzione del suo polo. Anche in questo caso si riesce a trovare un punto proprio della conica tale che la sua tangente sia perpendicolare al diametro passante per quel punto: si ottiene così l equazione ridotta rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Osserviamo che l autovalore non nullo della matrice A è il coefficiente del termine di secondo grado nell equazione ridotta della parabola ([P], 4.2) e l altro coefficiente si trova dall equazione βγ 2 = det A. [P] G. Paxia, Lezioni di Geometria, CULC, CT,