Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

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1 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre /12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0, 1) e D(1, 1, 0, k), dove k è un parametro reale. Determinare la varietà lineare congiungente le rette AB e CD al variare del parametro k. Trovare i valori di k per cui esiste un unica affinità che lascia fissi i punti O, A, B e scambia C con D. Scrivere le equazioni di tali affinità. n A 3 (C) sono date le quadriche F di equazione y 2 + z 2 e G di equazione z = 4y 2. Determinare la proiezione C della curva F G sul piano z. Trovare i punti multipli di C e le relative tangenti. Verificare che C è una curva razionale. 13/2/2001 n P 4 (R) sono assegnati la retta R di equazioni,, e il piano S di equazioni + (k 1)x 4, k, dove k è un parametro reale. Determinare la varietà lineare congiungente la retta R e il piano S al variare del parametro k. Posto k = 2 trovare equazioni del piano che contiene la retta R e il punto P (0, 1, 0, 0, 0); trovare equazioni della retta che passa per P ed incontra sia R che S. n A 3 (R) è data la superficie F di equazione 3xy 2 + z 3 2xz. Trovare il luogo L dei punti di F in cui il piano tangente è parallelo alla retta di equazioni y, x z. Trovare l equazione della proiezione C di L sul piano y dal punto improprio dell asse y. Trovare i punti impropri di C e le loro tangenti; verificare che C è una curva razionale. 1/3/2001 n P 4 (R) sono assegnati i piani S x1 2 T x3 + kx 5 x 4 dove k è un parametro reale. Determinare lo spazio congiungente S T al variare di k. 1

2 Per k = 3 scrivere le equazioni del luogo delle rette che passano per P (1, 0, 1, 1, 0) ed incontrano S e T. Determinare, al variare di k, le proiettività di P 4 (R) tali che i piani S e T sono luogo di punti uniti. Posto k trovare quelle per cui è unito l iperpiano +. Nello spazio affine A 3 (R) sia F il luogo descritto dal punto P (u 2, uv, v + u 2 ) al variare di u, v in R. Scrivere l equazione cartesiana di F. Determinare i punti multipli di F. Scrivere le equazioni delle rette passanti per l origine e contenute in F. Studiare le sezioni di F con i piani passanti per l asse z. 11/6/2001 n P 4 (R) sono assegnate le rette R x1 2 x 4 S x1 3 x 4 T k (1 + k) + (1 k) x 4 2x 2 Determinare lo spazio congiungente R + S + T k al variare del parametro reale k. Dimostrare che se P / R + S allora (P + R) (P + S) = P. Determinare le proiettività di P 4 (R) tali che le rette R e S sono luogo di punti uniti. Nello spazio euclideo R 3 sia Γ la conica x, y 2 = z +1; trovare l equazione del luogo F delle rette complanari con l asse z, parallele al piano x z e incidenti la conica Γ. Trovare il luogo dei punti di F in cui il piano tangente è parallelo all asse x. Studiare la sezione di F con il piano z. 28/6/2001 Nello spazio euclideo R 4 sono assegnati la retta R ed il piano S di equazioni R x y z 2y 1 z t S x + y + (2 k)z + 2t x + y + 3z + t + 5 dove k è un parametro reale. Determinare lo spazio congiungente R + S al variare di k. Trovare il valore di k per cui R è perpendicolare ad S. n P 3 (C) è data la superficie F di equazione xy 2 y 3 + z 3 zt 2. Trovare i punti multipli di F ed il loro cono tangente. 2

3 Detto π(a) il piano tangente ad un punto A(a 1, a 2, a 3, a 4 ) F trovare il luogo G dei punti A F tali che π(a) passi per il punto (1, 0, 0, 1). Scrivere l equazione del cono che proietta G dal punto (0, 0, 0, 1). Trovare la sezione di G col piano x y t. Verificare che la proiezione C di tale curva dal punto (1, 0, 0, 0) sul piano x è una curva razionale e scriverne le equazioni parametriche. Trovare i punti reali di C sul piano t e le relative tangenti. 16/7/2001 Nello spazio proiettivo P 4 (R) sono assegnate le varietà R, S di equazioni R kx1 + + x 5 2k x 5 S kx2 + kx 4 (k 2) + x 5 dove k è un parametro reale. Determinare lo spazio congiungente R + S al variare di k. Posto k trovare le rette di R che incontrano S. Sempre con k si scelga a piacere una retta L di R che non incontri S; verificato che Q(0, 0, 1, 0, 2) / R S determinare l unica retta passante per Q che incontra sia L che S. n A 4 (R) è assegnata l ipersuperficie F di equazione x(z 2 t 2 + z t) + 2yz. Trovare i punti multipli di F e i loro coni tangenti. Detta G la superficie quadrica intersezione di F con l iperpiano x trovare le rette contenute in G. 10/9/2001 Nello spazio proiettivo P 4 (R) sono assegnate le varietà R di equazioni =, x 4 = x 5 ed S = P 1 + P 2 + P 3 + P 4 con P 1 (0, 0, 1, 1, 1), P 2 (h, 1, 0, h, h), P 3 (1, 1, 1, 0, 0), P 4 (h + 1, 0, h, 0, 0) dove h è un parametro reale. Trovare la dimensione di S al variare di h. Nei casi in cui i punti P i sono linearmente dipendenti trovare equazioni cartesiane per S. Determinare lo spazio congiungente R + S al variare di h. n P 3 (R) sono assegnate le quadriche di equazioni yt, xy, y 2 zt, +y 2 t 2. Verificare che tali quadriche sono linearmente indipendenti nello spazio proiettivo delle quadriche di P 3 ; chiamiamo F il sistema lineare da esse generato. Determinare il luogo dei punti (x, y, z, t) che sono multipli per F. n A 2 (R) studiare la cubica di equazione y 3 y y e tracciarne il grafico. 3

4 2/10/2001 Nello spazio proiettivo P 3 (C) sono assegnate le coniche di equazioni kx = y z 2 + k(y 2 xz) dove k è un parametro reale. Trovare il luogo F descritto dalle coniche al variare di k. Determinare i punti multipli di F; scrivere le equazioni del piano tangente ad F nel punto (0, 0, 1, 1) e del cono tangente in (1, 0, 0, 1). Nello spazio proiettivo P 2 (C) è assegnata la cubica di equazione y 3 xyt + xt 2. Studiare tale cubica e tracciare il grafico della sua parte reale. Verificare che i flessi sono contenuti in una retta e trovarne l equazione. Consideriamo l endomorfismo f R 3 R 3 determinato, rispetto alla base canonica, dalla matrice M E (f) = h 2 h h h + 1 dove h è un parametro reale. Determinare i valori di h per cui f definisce una proiettività di P 2 (R). Per tali valori di h studiare i punti uniti della proiettività. Dire in particolare per quali valori di h la proiettività ammette una retta di punti uniti e trovarne l equazione. 11/12/2001 Nello spazio P 3 (C) trovare il luogo F descritto, al variare del parametro reale k, dalle curve di equazioni x + z = ky (x + y + t) 3 = kxyt Determinare i punti multipli di F ed i relativi coni tangenti. n P 4 (R) sono dati il piano α e le rette r, s di equazioni α x2 r x1 = x 5 x1 = 2x 4 3x 5 s = x 4 = + = ax 4 ax 5 Determinare i sottospazi α + r, α + s, r + s al variare del parametro reale a. 4

5 11/2/2002 Nello spazio euclideo E 4 (con il prodotto scalare standard) sono dati l iperpiano R di equazione = e la retta S di equazioni = = x 4. Sia f E 4 E 4 la funzione che fa corrispondere al punto P E 4 il suo simmetrico rispetto ad R e sia g E 4 E 4 la funzione che fa corrispondere al punto P E 4 il suo simmetrico rispetto ad S. Verificare che f, g sono funzioni lineari di R 4 in R 4. Scrivere la composizione g f e studiarne autovalori ed autospazi. n P 3 (R) è assegnata la varietà lineare definita, rispetto ad un riferimento fissato, dalle equazioni x y = λz y = z + µt λx + y µz Determinarne la dimensione al variare dei parametri reali λ, µ. Diciamo S il luogo dei punti di P 3 le cui coordinate sono soluzioni del sistema al variare di λ, µ. Verificare che si tratta di una superficie, trovarne i punti multipli e i coni in essi tangenti. 1/3/2002 Nello spazio proiettivo P 4 (C) sono dati il piano R e la varietà S di equazioni R x1 = x 5 = x 5 S + h x 4 (h 1)x hx 4 2(h 1) + (3 h) + (h + 1) (h + 1)x 4 dove h è un parametro reale. Determinare la dimensione di S al variare di h. Trovare equazioni per R S ed R + S. Sia P (h, k) un punto dello spazio affine A 2 (R) ed R la retta di P 3 (C) di equazioni x + kz hy + z = 2 Trovare il luogo L descritto dalla retta R di P 3 al variare di P sulla conica di A 2 di equazione h 2 = k. Studiare la curva sezione di L con il piano x. 5

6 13/6/2002 Nello spazio affine A 3 (R) trovare il luogo F delle curve di equazioni x z = k(( + y 2 ) xy = kz al variare del parametro reale k. Verificare che i punti O(0, 0, 0, 1) e z (0, 0, 1, 0) (coordinate omogenee nell usuale immersione di A 3 in P 3 ) sono punti multipli per la superficie F e trovarne i coni tangenti. Trovare la proiezione da z sul piano x, y della sezione di F col piano y = z. Verificare che si trova una curva composta da una retta e da una cubica non singolare. Trovare il punto opposto del punto A(1, 1) nel gruppo definito sulla cubica prendendo l origine come elemento neutro. n P 4 (R) sono assegnate le rette definite, rispetto ad un riferimento fissato, dalle equazioni x1 x2 = 2 r = x 4 + x 5 s h h = x 4 = x 5 + (2 h) dove h è un parametro reale. Determinare r s h ed r + s h al variare del parametro h. Trovare la proiezione di s h da r sul piano α di equazioni =, x 4 =. 27/6/2002 Nello spazio affine A 2 (R) è data la cubica C di equazione + y 2 3xy 2 + Determinare i punti multipli, i punti impropri e le relative tangenti. Verificare che è una curva irriducibile, delimitare la parte reale e tracciarne il grafico. Verificare che i punti impropri sono flessi. Scrivere l equazione della superficie ottenuta dalla rotazione di C intorno all asse x Nello spazio affine A 4 (R) sono date le rette r x1 = x 4 s k = k x 2 = k = 2x 4 dove k R è un parametro. Per ogni valore di k trovare il piano che contiene r ed è parallelo ad s k. Per ogni valore di k trovare lo spazio congiungente r ed s k. 6

7 16/7/2002 Trovare la dimensione del sistema lineare Λ di quadriche di P 3 (R) che contengono la conica di equazioni z y 2 = t 2 e sono tangenti al piano y = z nel punto A(0, 1, 1, 1) oppure contengono A come punto doppio. ndicare un sistema di generatori di Λ. Verificare che uno solo dei paraboloidi P y 2 + 2zt t 2, P yt = z 2 appartiene a Λ. Trovare la proiezione C sul piano y della intersezione P P dal punto (0, 1, 0, 0). Verificare che C ha due punti doppi sulla retta y = t e trovarne le tangenti. n P 3 (R) è assegnata la proiettività ϕ P 3 P 3 definita dall isomorfismo f R 4 R 4 ottenuto, rispetto alla base canonica, dalla matrice M E (f) = Trovare i sottospazi di P 3 sottospazi. che sono luogo di punti uniti. Trovare il congiungente di tali 12/9/2002 n A 4 (R) sono dati i piani α x1 + β h x1 + h dove h è un parametro reale. Determinare intersezione e congiungente di α e β h. Per h trovare l iperpiano passante per P 0 (0, 1, 1, 1) e parallelo sia ad α che a β 1. Per h dimostrare che c è un unico piano che passa per P 0 e che incontra sia α che β 0 in una retta; determinare le equazioni di tale piano. n P 3 (R) è assegnata la curva C z + xy 2 = t y 2 t 7

8 Studiare tale curva e disegnarne il grafico. Trovare l equazione del cono F che ha vertice A(0, 1, 1, 0) e direttrice la curva C. Trovare i punti multipli di F e verificare che hanno tutti lo stesso cono tangente 2/10/2002 n P 4 (R) sono date le varietà lineari A h x1 + x h x 4 hx 5 B x2 + dove h è un parametro reale. Determinare intersezione e congiungente di A h e B al variare di h. Posto h descrivere le proiettività di P 4 (R) per cui i sottospazi A 0 e B sono luogo di punti uniti. n A 3 (R) sono assegnate la conica e le rette Γ z y = r x y s x y = z Trovare l equazione del luogo F delle rette che incontrano Γ, r ed s. Determinare i punti multipli di F. Studiare la curva sezione di F con il piano z. 14/12/2002 n P 4 (R) è data la famiglia di piani π h x1 + h h + 3hx 4 + 2x 5 dove h è un parametro reale. Determinare h R π, cioè la varietà dei punti che stanno in tutti i piani π h h al variare di h. Per ogni valore di h trovare lo spazio congiungente π h con la retta passante per i punti A( 2, 3, 1, 1, 0), B(0, 1, 0, 1, 1). Scrivere l equazione del luogo F descritto dai piani π h al variare di h. Trovare i punti multipli di F. Trovare il luogo dei punti P di F tali che l iperpiano tangente ad F in P passi per la retta di equazioni =, = x 5, x 4. 8

9 Nello spazio vettoriale R 3 sono assegnati il prodotto scalare la cui matrice rispetto alla base canonica è a a R 1 1 a 1 ed il sottospazio V = (,, ) R 3 + }. Determinare i valori di a per cui R 3 = V V ; è positivo su V ; è positivo su R 3. 19/12/2002 Sia data la matrice dove h è un parametro reale. A = h 1 h h h 1 Detto f R 3 R 3 l endomorfismo determinato da A rispetto alla base canonica, studiare la diagonalizzabilità di f al variare di h. Trovare il valore di h per cui l endomorfismo è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard e trovare una base ortogonale che diagonalizza f. Posto h interpretiamo A come la matrice di un prodotto scalare, sempre rispetto alla base canonica. Trovare un sottospazio V di R 3 di dimensione 2 tale che la restrizione di a V sia non singolare. Determinare l indice di positività e di nullità di. Trovare una base che diagonalizza il prodotto scalare. 1/2/2003 n P 4 (R) sono dati il piano H x1 + x 5 il punto A(1, 0, 0, 0, 1) ed il punto B k ( k, 1, k + 1, 2, k 2 1), k un parametro reale. Determinare le varietà intersezione e congiungente del piano H con la retta AB k al variare del parametro k. Posto k, trovare le equazioni delle proiettività che lasciano fissi i punti del piano H, mandano il punto A nel punto B 0, il punto B 0 in A e il punto di coordinate (1, 0, 1, 0, 0) nel punto (2, 0, 1, 0, 1). 9

10 11/2/2003 (V.O. e N.O.) n A 4 (R) sono assegnati il piano α, ed i punti A, B α x1 3x 4 ; A(0, 1, 1, 0); B(1 + k, 0, k 1, 1) dove k è un parametro reale. Determinare l intersezione ed il congiungente del piano α e della retta AB al variare di k. Trovare il valore k 0 di k per cui la retta AB è parallela al piano α. Posto k = k 0 trovare la retta di α passante per (1, 1, 1, 0) e parallela ad AB. (N.O.) Nello spazio vettoriale R 3 sono assegnati il sottospazio V = (x, y, z) x+z = 0} ed i vettori u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 1). Determinare il prodotto scalare su R 3, mediante la sua matrice rispetto alla base canonica E = e 1, e 2, e 3 }, in modo che V sia ortogonale ad L (u, v) ed inoltre u v, e 1 e 1 = 2. Determinare (R 3 ) rispetto a tale prodotto. (V.O.) n P 4 (C) consideriamo la famiglia di ipersuperfici F 1 + x2 2 + x2 4 + a + b + c x 4 + dx 4 x 5 Verificare che nella famiglia F c è un unica ipersuperficie F 0 tale che risulti doppio il punto P 0 (3, 5, 1, 4, 0). Scrivere l equazione del cono tangente a F 0 in P 0. L ipersuperficie F 0 è riducibile? 3/3/2003 (V.O. e N.O.) n P 4 (R) sono assegnate le rette r, s ed i punti A, B r 2x2 + 3x 4 + 2x 5 + 2x 4 + x 5 = 4a 7b = a 3b ; s = 4a + 6b ; x 4 = b x 5 = a A(0, 1, 0, 2, 0), B(h, 2, 0, 2h + 3, 1) dove a, b, h sono parametri reali. Verificare che le rette r, s sono sghembe e determinare l iperpiano π = r + s. Trovare l intersezione e il congiungente di π con la retta AB al variare del parametro h. Trovare la retta passante per A che incontra r ed s. (N.O.) Trovare l affinità dello spazio A 3 (R) in sé che lascia fissi tutti i punti del piano di equazione x + z 1 e fa corrispondere ad O(0, 0, 0) il punto O (1, 0, 1). 10

11 (V.O.) n P 4 (C) consideriamo la famiglia di rette (h 1) x 3 + (k + 1)x 4 + (h k) dove h, k variano in C. Trovare il luogo F delle rette della famiglia. Trovare i punti multipli di F, determinarne la molteplicità ed il cono tangente. 16/6/2003 (V.O. e N.O.) n A 4 (R) sono assegnati il piano α, la retta r ed il punto A α x1 x 4 + r + k x 4 x 3 + 2x 4 k + = 2 A(1, 0, 0, 1) dove k è un parametro reale. Trovare il piano β passante per A e parallelo ad α e il congiungente α β. Determinare l intersezione ed il congiungente di β con la retta r al variare del parametro k. (N.O.) Consideriamo l applicazione f R 4 R 4 definita da f(x, y, z, t) = ( x 3z, 2y, 2z, 3y 3z t) Verificare che f determina una proiettività ϕ di P 3 (R) in sé. Nella proiettività ϕ trovare i sottospazi di P 3 (R) che sono luogo di punti uniti e scriverne le equazioni cartesiane. Verificare che il piano x + z è unito nella proiettività ϕ. (V.O.) n P 3 (R) consideriamo la famiglia di coniche x2 = k 2 + x2 3 + k + (2 k) x 4 dove k varia in R. Trovare il luogo F delle coniche della famiglia. Trovare i punti multipli di F, determinarne la molteplicità ed il cono tangente. Dire se ci sono rette reali su F. 11

12 10/7/2003 (V.O. e N.O.) n A 4 (R) sono assegnate le rette r ed s k r x1 + 2 s k = k 2 x 1 + = k dove k è un parametro reale. Determinare l intersezione e il congiungente di r ed s k al variare di k R. Dimostrare che la varietà lineare che passa per A(0, 0, 2, 1) ed incontra sia r che s 0 è una retta. Verificare che invece risulta (r O) (s 0 O) = O}, dove O(0, 0, 0, 0). (N.O.) Consideriamo il prodotto scalare definito su R 3, rispetto alla base canonica E, dalla matrice A = k k R 1 k 0 Trovare k in modo che sia (1, 2, 1) (1, 1, 2). Determinare il complemento ortogonale del sottospazio V = (x, y, z) x = 2y}. Trovare il valore di k per cui R 3 V V. Per k trovare un vettore v R 3 tale che v v. (V.O.) n A 3 (R) consideriamo la famiglia di rette x = hz y = k(x z) dove h, k R. Trovare il luogo F delle rette della famiglia tali che h 2 hk. Verificare che si tratta di un cono con vertice l origine e che i punti multipli diversi dal vertice hanno tutti lo stesso cono tangente. Studiare la curva sezione di F con il piano y ; verificare che si tratta di una curva razionale e trovarne equazioni parametriche. 10/9/2003 (V.O. e N.O.) n P 4 (R) sono assegnati i punti A(0, 1, 1, 0, 0) e B(1, 0, 1, 0, 1) e la retta r dipendente dai parametri reali h, k r x1 h k + h 12

13 Determinare lo spazio congiungente i punti A, B e la retta r al variare dei parametri h, k R. Posto h = k determinare il luogo dei punti di intersezione della retta r con l iperpiano = al variare del parametro. (N.O.) Consideriamo il prodotto scalare definito su R 3, rispetto alla base canonica E, dalla matrice A = 1 k 0 k 2k 1 2 k R Trovare per quali valori di k il prodotto non è singolare; determinare gli indici di nullità e di positività di al variare del parametro. Trovare il valore di k per cui la restrizione di al sottospazio V = (x, y, t) x y +t } è singolare. (V.O.) n A 3 (R) consideriamo la famiglia di coniche hx + z = h hz 2 + y dove h R è un parametro reale. Verificare che le coniche non spezzate della famiglia sono parabole. Trovare il luogo F descritto dalle coniche della famiglia al variare di h. Trovare i punti multipli propri ed impropri di F ed il loro cono tangente. Diciamo C la curva sezione di F con il piano y ; verificare che si tratta di una curva razionale e trovarne equazioni parametriche. Trovare i flessi di C. 2/10/2003 (V.O. e N.O.) n A 4 (R) sono assegnati il piano π e la famiglia di rette r h }, h R x1 + x π 2 + = h r h x 2 x 4 = 2 2 h Determinare lo spazio intersezione e lo spazio congiungente il piano π e la retta r h al variare del parametro h R. (N.O.) Consideriamo il prodotto scalare definito su R 3, rispetto alla base canonica E, dalla matrice A = h 1 h R

14 Trovare i valori di h per cui il prodotto è singolare e quelli per cui è positivo; determinare gli indici di nullità e di positività di al variare del parametro. Nel caso h trovare una base ortogonale. ndicare un sottospazio di dimensione 2 in cui è positivo per ogni h. (V.O.) n P 3 (R) consideriamo la superficie F (x + y) 2 t xz 2 + xt 2 Determinare i punti multipli di F ed i loro coni tangenti. Trovare l equazione del cono di vertice A(0, 1, 1, 1) e direttrice la curva sezione di F con il piano y + z. 12/12/2003 (V.O. e N.O.) n P 4 (R) sono date le varietà S h + hx 4 x2 x x 2 + 2x 4 + x 5 T 5 x + 2x 4 3 ; T x1 x 4 = x 5 dove h è un parametro reale. Trovare S + T e S T al variare del parametro h. Per h verificare che S 0, T ed S 0, T sono varietà complementari e determinare l immagine di un punto P T mediante la proiezione π T T di centro S 0. Trovare π(l ), dove L è la retta determinata dall intersezione di T con x 4. (N.O.) n R 4 consideriamo il prodotto scalare definito, rispetto alla base canonica, dalla matrice A = 0 1 h dove h R. Determinare la segnatura della forma quadratica definita da A al variare di h. Quando il prodotto è singolare calcolare (R 4 ). Trovare il sottospazio di R 4 ortogonale di V = (x, y, z, t) x = y, y + z = t} quando h e h. n entrambi i casi trovare V V. Quando h trovare una base ortonormale di R 4. (V.O.) n P 4 (R) sono dati il piano π e la retta r π x1 = = x 4 r 14 x1 +

15 Sia C la curva segata su π dall ipersuperficie = 5. Trovare il luogo F delle rette P Q definite dal variare del punto P C e di Q r. Determinare i punti multipli di C ed in essi il cono tangente. Verificare che la sezione di F con il piano x 4 = x 5 è una conica irriducibile. 15

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