La ripartizione trasversale dei carichi
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- Cecilia Carrara
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1 La rpartzone trasversale de carch La dsposzone de carch da consderare ne calcol della struttura deve essere quella pù gravosa, ossa quella che determna massm valor delle sollectazon. Tale aspetto nveste due problem: determnazone della massma sollectazone taglante n una sezone e ndvduazone della sezone ove s verfca l massmo de moment flettent, studo sommaramente effettuato nel testo lmtatamente a trav appoggate agl estrem; dsposzone trasversale pù gravosa de carch con determnazone delle quote d quest che competono alle vare trav prncpal, ossa la rpartzone trasversale de carch, tenendo conto che carch percorrent un ponte s trovano normalmente n poszone eccentrca rspetto all asse longtudnale della struttura. Quest ultmo problema può essere rsolto applcando l potes semplfcata d Albenga-Courbon, n base alla quale la sovrastruttura s consdera costtuta d trav longtudnal fra loro collegate da travers nfntamente rgd, per cu tutto l mpalcato s comporta come un elemento perfettamente rgdo e qund non può nfletters nel pano trasversale vertcale. Il metodo d Albenga-Courbon è approssmato, però presenta l vantaggo d un applcazone abbastanza semplce; può essere applcato solo per mpalcat a panta rettangolare allungata. Al fne d capre l crtero posto alla base dell potes d Courbon, prendamo per prmo n consderazone un ponte con travers d lmtata sezone, e pertanto partcolarmente flessbl, e supponamo che l carco sa dsposto vcno al bordo del marcapede laterale [fg. ]; a causa della notevole flessbltà de travers, quest e la soletta s deformano trasversalmente e l carco s dstrbusce n modo dfferente fra le vare trav, e precsamente le trav A e B sopportano la maggor parte del carco, mentre la trave D è quas scarca. Courbon consdera nvece travers con una rgdezza elevata, perfettamente soldal con le trav prncpal, e le due sere d trav presentano una rgdezza flessonale pressoché uguale. Con tale stuazone l complesso d mpalcato, costtuto d trav prncpal, travers e soletta, non può fletters trasversalmente come prma per effetto del carco, che provoca nvece una rotazone rgda dell mpalcato n senso trasversale [fg. 2], determnando una rpartzone lneare de carch. Poché l carco consderato percorre d norma l ponte n poszone eccentrca, la rsultante P d tale carco presenta un eccentrctà e rspetto all asse longtudnale, per cu la stuazone è analoga a quella che s ha nella presso-flessone, rferta però a un sstema dscontnuo formato dalle n trav prncpal. fg. fg.2
2 2 Applcando l teorema del trasporto, la stuazone anzdetta è uguale a quella che s ha applcando la forza P sull asse longtudnale e aggungendo l momento M = P e [fg. 3]. Poché l carco P può assumere nfnte poszon, occorre determnare, n funzone d ogn valore dell eccentrctà e, la quota parte d P che vene a gravare su una determnata trave. Prendamo qund n esame una soletta d mpalcato e mmagnamo d sostture le trav prncpal, che supponamo d uguale rgdezza, ossa con uguale momento d nerza, omogenee, con le stesse caratterstche geometrche d sezone e uguale nterasse, con altrettante molle anch esse tutte con le medesme caratterstche. La forza P [fg. 4a] applcata sull asse longtudnale del ponte determna uno spostamento δ uguale d tutte le molle, dpendente dall ntenstà della P, ognuna delle qual ha una reazone r con ntenstà: P r = [] n essendo n l numero delle molle, ossa delle trav prncpal. Il momento P e, applcato n corrspondenza dell asse della carreggata [fg. 4b], provoca una rotazone rgda α dell mpalcato ntorno al punto O con spostament δ tutt dfferent, ma proporzonal alla dstanza d delle molle, ossa delle trav, dall asse, che reagscono con reazon r dverse n quanto dverse sono le alquote del carco P che ogn molla deve sopportare e che determnano l loro spostamento. Generalzzando, la reazone r d una generca molla rsulta [fg. 4c]: r = δ = α d [2] fg.3 e qund: r α = [3] d essendo δ l suo spostamento e d la sua dstanza dal punto O. Per l equlbro alla rotazone dell mpalcato, al momento M = P e devono oppors moment delle reazon r d tutte le molle, sempre rspetto al punto O, e qund deve essere: a) P e = =n r d b) Sosttuendo la [2]: P e = =n α d 2 = α =n e per la [3]: P e = r =n d 2 d da cu: P e d r = =n d 2 d 2 c) fg.4
3 3 Per l prncpo d sovrapposzone degl effett l alquota P che compete alla trave è uguale alla somma delle reazon r ed r dovute rspettvamente al carco P e al momento M, ossa: P P e d P = r + r = ± n =n d 2 La quota P del carco P che agsce sulla trave generca è qund data da: e d P = P ± =P k =n n d 2 [4] Il fattore: e d k = ± n =n d 2 è detto coeffcente d rpartzone del carco P per la trave consderata. Nella [4] l segno postvo s assume per le trav che, rspetto all asse dell mpalcato, s trovano dalla stessa parte del carco P o della rsultante de carch. La trave pù sollectata è sempre quella pù lontana dall asse, detta trave d rva, per cu calcol d progetto e le verfche d scurezza vengono svluppat solo per questa trave, dato che d norma tutte le trav dell mpalcato sono ugual. [5]
4 4 ESERCIZIO SVOLTO Calcolare coeffcent d rpartzone del carco P = 70 kn gravante su un mpalcato da ponte costtuto d 6 trav poste a un nterasse costante = 2,00 m [fg. a] e relatv alla trave d rva. a b Supponamo dapprma che l carco P venga a concdere con la trave d rva e rcavamo l relatvo coeffcente k () e quello k (6) della trave smmetrca; s ha qund: e 5 = = 5,00 m 2 d = d 6 = 5,00 m d 2 = d 5 = 3,00 m d 3 = d 4 =,00 m Sosttuendo nella [5] s ha: e d k = ± 5,00 5,00 = ± = ±0,357 =n n 6 2 5, , , d 2 e qund coeffcent d rpartzone relatv alle trav e 6, quest ultma smmetrca alla, rsultano rspettvamente: k () = +0,357 0, k (6) = 0,357 0,904 6 Rportando su una fondamentale due valor calcolat s ottene l dagramma n fgura b. Per calcolare coeffcent d rpartzone delle altre trav s consdera l carco P gravante prma sulla trave 2 e s rcava l coeffcente k (2) e quello k (5) della trave smmetrca 5, e qund sulla trave 3 per coeffcent k (3) e k (4), applcando sempre la [5].
5 5 Pù semplcemente valor d quest coeffcent s possono ottenere consderando la proporzonaltà fra lat de trangol sml, ndvduando prma la dstanza d 0 dal punto O: 0,5238 : 7,33 = k (2) : 5,33 k (2) 0,3809 0,5238 : 7,33 = k (3) : 3,33 k (3) 0,2380 0,5238 : 7,33 = k (4) :,33 k (4) 0,0950 0,904 : 2,67 = k (5) : 0,67 k (5) 0,0478 Per una qualunque poszone del carco P, l ordnata, letta sul dagramma n fgura b n corrspondenza del suo punto d applcazone C, fornsce l valore del coeffcente k per l quale s deve moltplcare l ntenstà d P per ottenere la quota d carco che grava sulla trave. Sul Manuale sono rportat coeffcente d rpartzone per la sola trave d rva relatv a mpalcat da due a sette trav. Consderando la condzone pù gravosa per carch mobl, vengono trascurat coeffcent negatv, n quanto comportano una rduzone de carch che agscono sulla trave d rva. Pertanto, con valor calcolat, le quote del carco P gravant sulla trave, n funzone della poszone del carco stesso, hanno le seguent ntenstà: l carco P è applcato sulla trave : P () = k () P = 0, ,67 kn l carco P è applcato sulla trave 2 : P (2) = k (2) P = 0, ,66 kn l carco P è applcato sulla trave 3 : P (3) = k (3) P = 0, = 6,66 kn l carco P è applcato sulla trave 4 : P (4) = k (4) P = 0, = 6,65 kn l carco P è applcato sulla trave 5 : P (5) = k (5) P = 0, = 3,35 kn l carco P è applcato sulla trave 6 : P (6) = k (6) P = 0, = 3,33 kn Il segno negatvo ndca che le trav 5 e 6 sono soggette a un carco dretto verso l alto.
6 VERIFICA 6 Calcolare coeffcent d rpartzone del carco concentrato P = 0 kn per le trav dell mpalcato n fgura e per la poszone C del carco. 0,50 C 2 3,50,50,00 3,00,00,00 [ved fgura] - 0,67 0,833 0,4998 0,333 2,50 0,50
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