Reti nel dominio delle frequenze. Lezione 10 2

Transcript

1 Lezione 10 1

2 Reti nel dominio delle frequenze Lezione 10 2

3 Introduzione Lezione 10 3

4 Cosa c è nell Unità 3 In questa sezione si affronteranno Introduzione all Unità Trasformate di Laplace Reti nel dominio di Laplace Applicazioni Trasformate di Fourier Lezione 10 4

5 Introduzione Lezione 10 5

6 Generalizzazione calcolo simbolico Limiti calcolo simbolico basato sui fasori Ingressi sinusoidali Generalizzazione per ingressi arbitrari: Metodo delle Trasformate di Laplace Metodo delle Trasformate di Fourier Lezione 10 6

7 Reti nel dominio delle frequenze Lezione 10 7

8 Trasformate di Laplace Lezione 10 8

9 Elemento analitico Integrale importante definito su un segnale arbitrario f(t) : st L[ f ( t)] = f ( t) e dt = F( s) 0 L intervallo comincia da zero meno per consentire la presenza di segnali impulsivi nell origine L integrale rimane lo stesso se il segnale viene reso causale (cioè nullo per t<0) s è una variabile complessa arbitraria che ha dimensioni di pulsazione s = σ + jω Lezione 10 9

10 Osservazioni 1/2 Non necessariamente l integrale esiste per tutti i valori della variabile complessa s La regione del piano s dove l integrale esiste si chiama regione di regolarità (o di convergenza) Nella regione del piano complesso s, dove esso esiste, l integrale rappresenta un elemento analitico di un funzione analitica F(s). Lezione 10 10

11 Osservazioni 2/2 La funzione analitica F(s) si può definire per tutti i valori di s usando un prolungamento analitico La funzione analitica F(s) viene chiamata trasformata di Laplace del segnale f(t) Le trasformate e le funzioni da cui derivano si indicano con la stessa lettera. In maiuscolo la Trasformata, in minuscolo la funzione da trasformare Lezione 10 11

12 Trasformate di Laplace Lezione 10 12

13 Trasformata dell impulso f () t = δ () t st L[ δ( t)] = δ( t) e dt = 1 = ( s) 0 L elemento analitico definisce la trasformata di Laplace in tutto il piano complesso La regione di regolarità è tutto il piano complesso Lezione 10 13

14 Trasformata del gradino 1/2 f () t = u() t st st e 1 L[ ut ( )] = e dt = = Re[ s] > 0 0 s s L elemento analitico definisce la trasformata di Laplace per Re[s]>0 Lezione

15 Trasformata del gradino 2/2 La regione di regolarità è il semipiano verticale limitato dall asse immaginario Il prolungamento analitico di 1/s rimane 1/s in tutto il piano complesso Si ha: U( s) = 1 s Lezione 10 15

16 Trasformata di una costante f () t = c Poiché la trasformata di Laplace di una funzione coincide con la trasformata di Laplace della sua parte causale risulta immediatamente: C( s) = cu( s) = c s Lezione 10 16

17 Trasformate di Laplace Lezione 10 17

18 Linearità La trasformata di Laplace di una combinazione lineare di segnali è data dalla combinazione lineare delle trasformate di Laplace con gli stessi coefficienti f () t = C f () t + C f () t +.. C f () t n n F( s) = C F ( s) + C F ( s) +.. C F ( s) Lezione n n

19 Derivazione La trasformata di Laplace della derivata di un segnale è (a meno di una costante legata alla condizione iniziale) proporzionale alla trasformata del segnale con fattore s d gt () = f() t dt Gs ( ) = sfs ( ) f(0 ) Lezione 10 19

20 Translazione funzione ritardata f r (t) f () t f () t = f ( t t ) u( t t ) r o o Trasformata di Laplace funzione ritardata f r (t) sto F ( s) = F( s) e r Lezione 10 20

21 Modulazione Funzione modulata f m (t) o f () t f () t = f () te m s t Trasformata di Laplace funzione modulata f m (t) F ( s) = F( s s ) m Lezione o

22 Moltiplicazione per potenze di t Funzione moltiplicata per t n n f () t f () t = t f () t n Trasformata di Laplace della funzione f n (t)= t n f(t) F n ( s) = ( 1) n n d F( s) n ds Lezione 10 22

23 Convoluzione di funzioni causali 1/2 Convoluzione di due funzioni f(t) e g(t) f g = f ( t t') g( t') dt' = g f Convoluzione w(t) di due funzioni f(t) e g(t) causali (prodotto integrale) t wt () = f g= f( t t') gt (') dt' = g f 0 Lezione 10 23

24 Convoluzione di funzioni causali 2/2 Trasformata di Laplace del prodotto integrale tra f(t) e g(t) : t wt () = f g= f( t t') gt (') dt' = g f 0 W( s) = F( s) G( s) Lezione 10 24

25 Integrazione nel tempo Funzione f i (t) integrale nel tempo: t f () t f () t f (') t dt' = i 0 Trasformata di Laplace dell integrale f i (t) F( s) = i F ( s) s Lezione 10 25

26 Divisione per t Funzione g(t): gt () = f () t t Trasformata di Laplace di g(t) Gs ( ) = Fs ( ') ds' s Lezione 10 26

27 Trasformate di Laplace Lezione 10 27

28 Funzione esponenziale Funzione esponenziale g() t = e at La funzione esponenziale può essere concepita come la funzione 1 modulata. Trasformata di Laplace di g(t)=1 e at Gs ( ) 1 = s a Lezione 10 28

29 Funzioni trigonometriche 1/2 Funzione coseno: 1 ω 1 cos( ω t) = e + e 2 2 Usando la linearità j t jω t Trasformata di Laplace del coseno: s + = s jω 2 s+ jω s + ω L[cos( ω t)] = s + ω 2 2 Lezione s

30 Funzioni trigonometriche 2/2 Funzione seno: 1 ω 1 sin( ω t) = e e 2j 2j j t jω t Trasformata di Laplace del seno: Usando la linearità = 2js j 2js+ j s + ω ω ω 2 2 ω L[sin( ω t)] = 2 2 Lezione s ω + ω

31 Funzioni cisoidali 1/2 Funzione cisoidale coseno: e σ t cos( ω t) Usando la modulazione Trasformata di Laplace della cisoide coseno: σ t s + σ ω t = 2 2 Le [ cos( )] ( s + σ ) + ω Lezione 10 31

32 Funzioni cisoidali 2/2 Funzione cisoidale seno: e σ t sin( ω t) Usando la modulazione Trasformata di Laplace della cisoide seno: σ t Le [ sin( ω t)] = ω 2 2 ( s + σ ) + ω Lezione 10 32

33 Trasformate di Laplace Lezione 10 33

34 Rappresentazione matematica 1/2 Le funzioni definite a tratti presentano espressioni matematiche differenti a seconda dell intervallo di tempo considerato: Lezione 10 34

35 Rappresentazione matematica 2/2 Espessione matematica valida per qualsiasi istante t: f () t = f () t + [ f () t f ()] t u( t t ) + o 1 o o [ f ( t) f ( t)] u( t t ) Lezione 10 35

36 Funzione segno Esprimere la funzione sign(t) f () t = 1, f () t = + 1 o f() t = 1 + [1 ( 1)] ut () = 1+ 2 ut () Lezione

37 Impulso triangolare Esprimere l impulso triangolare 1 fo () t = 0, f1() t = t, f2() t = 0 a t t f() t = ut () ut ( a) a a Lezione 10 37

38 Trasformata impulso rettangolare Calcolare la trasformata di Laplace dell impulso rettangolare f () t = 0, f () t = 1, f () t = 0 F( s) = e s s Lezione o f () t = u() t u( t a) as

39 Trasformate di Laplace Lezione 10 39

40 Regione di convergenza 1/2 Le singolarità di una trasformata di Laplace sono i valori di s in cui non esiste la trasformata. Se la singolarità deriva da uno zero del denominatore, essa si chiama polo. Lezione 10 40

41 Regione di convergenza 2/2 La regione di regolarità è il semipiano verticale posto a destra della singolarità più a destra. Un segnale definito in un intervallo limitato di tempo ha trasformata di Laplace regolare in tutti i punti del piano complesso s Lezione 10 41

42 Esempi 1/2 Determinare la regione di convergenza della trasformata di Laplace della cisoide coseno e σ t cos( ω t) s + σ 2 2 ( s + σ ) + ω Le singolarità sono i valori di s per cui si annulla il denominatore: 2 2 ( ) 0 s + σ + ω = s = σ ± jω Semipiano di regolarità : Re[s]> - σ Lezione ,2

43 Esempi 2/2 Determinare la regione di convergenza della trasformata di Laplace dell impulso triangolare t t f() t = ut () ut ( a) = a a t t a = ut ( ) ut ( a) ut ( a) a a Fs () = e e as 2 2 as as s as La singolarità s=0 è solo apparente. La funzione è definita su intervallo finito [0-a] La regione di convergenza è tutto il piano complesso s Lezione 10 43

44 Trasformate di Laplace Lezione 10 44

45 Generalità 1/2 Una funzione analitica F(s) è una trasformata di Laplace se: ha un semipiano destro di regolarità nel semipiano di regolarità ha crescita lenta (cresce cioè come un polinomio) Lezione 10 45

46 Generalità 2/2 La funzione causale f(t) che ha F(s) come Trasformata di Laplace è data: 1 st f() t = F() s e ds 2π j Br B r retta verticale arbitraria posta nel semipiano di regolarità Lezione 10 46

47 Esercizio La seguente funzione F(s) è una Trasformata di Laplace? 1 F( s) = s sin( π s) No. Le singolarità sono in : s = n ( nintero positivo o negativo arbitrario) Non esiste semipiano destro di regolarità Lezione 10 47

48 Casi pratici Nelle reti elettriche, le trasformate di Laplace sono in pratica funzioni razionali di s o funzioni razionali moltiplicate per esponenziali Le funzioni razionali moltiplicate per esponenziali si riducono alle razionali mediante la formula del ritardo: as F( s) e f ( t a) u( t a) È sempre utile utilizzare le tabelle di antitrasformazione Lezione 10 48

49 Tabella Lezione 10 49

50 Lezione Il rigo 15 e relativo a funzioni razionali proprie con poli semplici. Esso deriva dallo sviluppo in fratti semplici di tali funzioni: = = + + = = n k k k s R s R s R s Q s P s R ) ( ) ( ) ( α α α dove il residuo vale:: ) '( ) ( ) ( k k k k Q P R R α α α = = Antitrasformando si ottiene il rigo 15