Lezione n.13. Regime sinusoidale

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1 Lezone 3 Regme snusodale Lezone n.3 Regme snusodale. Rcham sulle funzon snusodal. etodo de fasor e fasor. mpedenza ed ammettenza. Dagramm fasoral 3. Potenza n regme snusodale 3. Potenza attva e reattva del resstore, condensatore, nduttore e generatore 3. eorema d ellegen n regme snusodale: conservazone della potenza attva e reattva 3.3 Calcolo della potenza n crcut con pù generator 4. Defnzone d Funzone d Rete n un crcuto a regme snusodale 5. Fltr passv 5. RLC sere n rsonanza 5. RLC parallelo n rsonanza 5.3 Fltro passa banda 5.4 Fltro passa basso 5.5 Fltro passa alto Fno ad ora abbamo studato crcut n cu generator present sono costant. Abbamo mparato a trovare la soluzone d regme quando l regme è stazonaro. n questa lezone comnceremo a studare l caso n cu ne crcut sono present generator snusodal. mpareremo a calcolare la soluzone d regme n questo caso. noltre studeremo alcun fenomen nteressant che s osservano per crcut n regme snusodale. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0

2 Lezone 3 Regme snusodale. Rcham sulle funzon snusodal Una funzone x(t) presenta un andamento perodco se per ogn t sussste la relazone: x(t)x(t+n), con n numero ntero qualsas. l tempo defnto nella formula precedente dces perodo. l numero d perod f / contenut nell untà d tempo dces frequenza e s msura n Hertz (Hz). l valore massmo della funzone perodca lo ndcheremo con X. noltre è possble defnre per x(t) l valore medo n un perodo e lo ndcheremo con X m: X m x( t) dt. () 0 La quanttà: X X x ( t) dt X, () 0 verrà detta valore effcace della grandezza perodca. Una grandezza perodca s dce alternata se l valore medo n un perodo è nullo. Un partcolare tpo d grandezza alternata è quella snusodale: π x ( t) X sn t + α x. (3) valor stantane della funzone (3) corrspondono alle proezon sull asse delle ordnate d un segmento d lunghezza X che ruota ntorno ad un suo estremo posto nell orgne del pano cartesano con veloctà angolare π/. l segmento compe un ntero gro nel tempo che rappresenta l perodo. l rapporto π/ può essere ndcato nel seguente modo: π/ ω π f (4) La grandezza ω, legata al tempo e alla frequenza f dalla (4) s chama pulsazone e va espressa n rad/sec. Per la (4) la formula (3) può essere rscrtta come: ( t) X sn( ωt + ) x (5) α x Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0

3 Lezone 3 Regme snusodale L argomento della snusode ωt+α x rappresenta un angolo che costtusce la fase stantanea per la grandezza n esame. L angolo α x s chama angolo d fase nzale, o semplcemente fase nzale della grandezza snusodale consderata. La fase nzale è legata al valore d x(t) all stante t 0. Un crcuto forzato da un solo generatore snusodale a regme avrà tutte le grandezze del crcuto snusodal con la stessa pulsazone del generatore. La stessa cosa accade anche quando nel crcuto v sono pù generator snusodal, purchè quest sano sofrequenzal, ossa abbano la stessa pulsazone. Che accade, vceversa, quando generator hanno pulsazon dverse? Supponamo v sano due generator d dversa pulsazone ω e ω con ω > ω. Applcando l prncpo d sovrapposzone degl effett ottenamo che le grandezze del crcuto sono la somma d due snusod (d dversa pulsazone), ognuna soluzone del crcuto quando s consdera acceso uno solo de due generator. La somma d due snusod d pulsazone dversa che s ottene dà luogo a una funzone comunque perodca se l rapporto tra le due pulsazone è un numero ntero. Coè se: ω ω n m, n dove n, n ed m sono due numer nter. n questo caso la funzone perodca che s ottene avrà perodo: π π n n. ω ω Vceversa se l rapporto tra le due pulsazon è par ad un numero non ntero la somma delle due snusod da luogo ad una funzone non perodca.. etodo de fasor e fasor l fatto che l regme d un crcuto avente generator snusodal sofrequenzal è costtuto da grandezze che hanno tutte una dpendenza temporale dello stesso tpo, suggersce l ntroduzone d una metodologa che consenta d trasformare tutte le grandezze del crcuto n nuove grandezze corrspondent semplfcate n cu non compaa esplctamente la dpendenza temporale. l metodo che consente d operare questa semplfcazone s chama metodo de fasor. l nostro obettvo è quello d semplfcare l calcolo della soluzone d regme snusodale d un crcuto. S ntusce che se ruscssmo ad esprmere le grandezze Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 3

4 Lezone 3 Regme snusodale del crcuto n un domno trasformato nel quale, potendo elmnare la dpendenza dal tempo, le dervate s algebrzzano potremmo operare n modo smle a come facevamo n regme stazonaro. n regme stazonaro, utlzzando la rduzone a resstenze equvalent e parttor, ruscvamo a calcolare le grandezze del crcuto operando drettamente sul crcuto. n regme snusodale non è possble pù la rduzone a resstenze equvalent n quanto bsogna tenere conto della presenza d element dnamc la cu relazone caratterstca non è pù d tpo statco come ne restor. Cò che c mpedsce d lavorare come ne crcut resstv (crcut n regme stazonaro) sono le dervate degl element dnamc present nel sstema d equazon da rsolvere. La trasformazone da ndvduare deve operare tra grandezze defnte nel domno del tempo e grandezze defnte n un nuovo domno. Dunque qual caratterstche deve avere tale trasformazone? Deve essere bunvoca, coè ad ogn funzone nel domno del tempo deve assocare uno ed un solo elemento nel nuovo domno e vceversa. Questo perché una volta che ho trasformato l mo problema nel nuovo domno e una volta che ho v trovato la soluzone devo poter tornare nel domno del tempo ndvduando un unca funzone. Deve trasformare, nel nuovo domno, funzone snusodal dpendent dal tempo n oggett non dpendent dal tempo. Deve trasformare l operatore d dervata, che compare nelle equazon (nel crcuto possono essere present element dnamc), n modo convenente. Nel nuovo domno, nfatt, non compare l tempo e questo c suggersce la possbltà d algebrzzare le equazon dfferenzal con la trasformazone nel nuovo domno. Deve trasformare le equazon del sstema globale n altrattante equazon nel domno de fasor tal da poter consentre d trovare v la soluzone. Le equazon del sstema globale sono combnazon lnear d funzon snusodal. A queste dovranno corrspondere combnazon lnear delle grandezze trasformate nel domno ndvduato. Questo perché devo poter trasformare le equazon d Krchhoff nel nuovo domno senza alterare l loro contenuto nformatvo. Costruamo la trasformazone. Abbamo detto che una grandezza snusodale è ndvduata da tre parametr: ) Ampezza X. ) Pulsazone ω. 3) Fase nzale α x. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 4

5 Lezone 3 Regme snusodale Per quanto rguarda la pulsazone ω abbamo detto che quando n un crcuto v è un generatore snusodale d pulsazone ω, oppure pù generator sofrequenzal d pulsazone ω, allora ogn grandezza del crcuto è una funzone snusodale d pulsazone ω. Questo vuol dre che ogn grandezza del crcuto sarà ndvduata n defntva da due parametr: X e α x, essendo la dpendenza dal tempo uguale per tutte le grandezze. Pertanto nel nuovo domno, dove l tempo non esste (!), le grandezze potranno essere rappresentate da una coppa d valor. l domno che stamo cercando lo chameremo Domno de Fasor. Vedamo come, attraverso vare trasformazon, possamo rappresentare n modo dverso la nostra grandezza snusodale senza pù la dpendenza dal tempo. Partamo da una generca funzone nel domno del tempo: x(t)x sn(ωt+α x ). (6) Allo scopo d costrure la trasformazone consderamo nel pano complesso l punto d coordnate: (X cos(ωt+α x ), X sn(ωt+α x )), (7) a cu è assocato l numero complesso: X cos(ωt+α x ) + j X sn(ωt+α x ), (8) La funzone (6) è la parte mmagnara del numero complesso appena ntrodotto: x(t)x sn(ωt+α x )m{x cos(ωt+α x ) + j X sn(ωt+α x )}. (9) Rcordando che (formula d Eulero) e jx cosx + j snx, possamo scrvere: x(t)x sn(ωt+α x )m{x e j(ωt+αx ) } m{x e jαx e jωt }. (0) Ogn funzone snusodale che compare nel nostro problema può essere espressa come parte mmagnara della funzone complessa X e jαx e jωt. ale funzone complessa può essere rappresentata nel pano complesso con un vettore rotante ntorno all orgne avente lunghezza par a X, fase nzale par ad α x e veloctà angolare ω. Sempre mrando ad ndvduare una trasformazone convenente, osservamo che, essendo la pulsazone ω uguale per ogn grandezza del crcuto, le funzon complesse, la cu parte mmagnara corrsponde alle nostre funzon nel Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 5

6 Lezone 3 Regme snusodale domno del tempo, avranno tutte lo stesso fattore moltplcatvo e jωt. utt vettor ruoteranno soldal tra loro con la stessa veloctà angolare. Le grandezze del nostro crcuto saranno la proezone, sull asse delle y, de vettor rotant consderat. A questo punto samo nelle condzone d ntrodurre la trasformazone cercata. Questa sarà così defnta: trasformazone nel domno de fasor x(t)x sn(ωt+α x ) m{x e jαx e jωt } <> z X e jαx, () dove z è una costante complessa arbtrara. olto semplcemente per ottenere l fasore che corrsponde ad una funzone snusodale nel tempo basta consderare l suo valore massmo e la sua fase e stablre l valore della costante complessa z. Faccamo un esempo. Consderamo la funzone: x(t) 30cos(00t+π/4). () Prma d scrvere l fasore corrspondente trasformamo la funzone () n una equvalente che utlzza però la funzone seno. S ha: x(t) 30sen(00t+ π/4+ π/)30sen(00t+ 3/4π). (3) Assumendo z, avremo che l fasore sarà: 30e j3/4π. ( 4a) Vceversa, assumendo z e-j3/4π, avremo che l fasore sarà: 30. (4b ) Assumendo z, avremo che l fasore sarà: 30 e j3/4π. ( 4c) Spendamo qualche parola per la costante arbtrara z. Come possamo evdenzare nella Fg. notamo che la scelta del valore della costante z non nfca la effcaca Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 6

7 Lezone 3 Regme snusodale del metodo della trasformazone nel domno de fasor. Come vedremo meglo nel seguto, quando, una volta trovata la soluzone nel domno de fasor, torno nel domno del tempo m basterà prma dvdere fasor che rappresentano la ma soluzone per la costante arbtrara z. Semplfcare la costante z nell operazone d anttrasformazone dal domno de fasor al domno del tempo è dovuta al fatto che, essendo l nostro modello lneare (nel domno del tempo e nel domno de fasor), fasor che rappresentano la soluzone (n realtà tutt fasor) sono moltplcat per la costante moltplcatva z. olto spesso s utlzza la seguente trasformazone che utlzza valor effcac: jα X x jα x x(t) X sen( ωt + α ) Xˆ X e e, (5) x ef La trasformazone (5) corrsponde alla () con z (utlzzata per la 4c). domno de fasor z fasor de generator mpedenze (ammettenze) domno del tempo operazon per la determnazone della soluzone z - soluzone del problema nel domno de fasor Fg. La trasformazone del problema dal domno del tempo al domno de fasor. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 7

8 Lezone 3 Regme snusodale Questa trasformazone che utlzza l valore effcace ntrodotto nella (), come vedremo nel paragrafo 3, semplfca l espressone della potenza attva. n conclusone: abbamo trovato una corrspondenza tra funzon snusodal ed element defnt da una coppa d parametr: numer compless. L nseme d tal element, che chameremo fasor, con le operazon n esso defnte (somma, sottrazone, moltplcazone per uno scalare) lo chameremo domno de fasor. l smbolo che utlzzeremo per l fasore sarà: Xˆ j x X e α (6) Prma d commentare la Fg. e d spegare come s opera nel domno de fasor, verfchamo che la trasformazone trovata soddsf le propretà che rchedevamo (corrspondenza bunvoca, algebrzzazone della dervata, trasformazone del sstema globale n un sstema d equazon algebrche complesse). Una volta fssata la costante z, la trasformazone ntrodotta ndvdua un solo fasore per ogn funzone del tempo. noltre l sstema globale trasformato nel domno de fasor darà luogo ad una ed una sola soluzone che anttrasformata unvocamente resttusce la soluzone cercata. Per quanto rguarda la dervata, vedamo nnanztutto che succede alla dervata d una funzone snusodale. S ha dx dt ( t) d dt X sen ( ωt + α ) ωx cos( ωt + α ) ωx sen ωt + α + x x x π (7) π dove abbamo utlzzato la relazone cos α x sen α x +. L ultmo membro della (7) s trasforma nel domno de fasor banalmente (z): d dt X sen j α x + jα x ( ωt + α ) ω X e jω X e jω Xˆ x π, (8) dove abbamo sfruttato la relazone e j π j e dove Xˆ rappresenta l fasore della funzone x(t). n conclusone alla dervata delle funzon snusodal del domno del tempo corrsponde nel domno de fasor la moltplcazone per un coeffcente complesso, coè: Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 8

9 Lezone 3 Regme snusodale d jω. (9) dt La trasformazone ndvduata algebrzza le equazon dfferenzal. Abbamo, coè, trasformato l nostro problema n un problema pù semplce. Verfchamo che la combnazone lneare d funzon snusodal nel tempo s trasforma n una combnazone lneare d fasor. Dobbamo dmostrare che: ( t) k x ( t) + + k x ( t) 0 k Xˆ + k Xˆ k Xˆ 0. k x +... n n n n (0) Partamo dal domno del tempo: ( ω) X sen( ωt + α ) k ( ω) X sen( ωt + α ) 0 k n per ogn t () n n dove eventualmente k dpende da ω n quanto l coeffcente derva da una normale dervazone. Ora se nella () traslamo l tempo d π/ω, e osservando che la () vale per ogn t, abbamo l espressone ne cosen: ( ω) X cos( ωt + α ) k ( ω) X cos( ωt + α ) 0 k n. () n n A questo punto sommamo la () alla () moltplcata per j. S ha: k + ( ω) X ( cos( ωt + α) + jsen( ωt + α )) +... k ( ω) X ( cos( ωt + α ) + jsen( ωt + α )) 0. n n n n (3) La (3) può anche essere rscrtta come: jα jα jα n jωt [ k ( ω) X e + k ( ω) X e k ( ω) X e ] e 0 n n, (4) che, dovendo essere nulla per ogn tempo t, può essere rscrtta nel modo seguente: ( ω) Xˆ k ( ω) Xˆ k ( ω) Xˆ 0 k, (5) + n n che è quanto volevamo dmostrare. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 9

10 Lezone 3 Regme snusodale Abbamo vsto come trovare gl element nel domno de fasor ( fasor) corrspondent alle funzon snusodal del domno del tempo. C samo occupat della fase ndcata n rosso della Fg.. Per descrvere l metodo che c conduce alla soluzone del problema nel domno de fasor (n gallo n Fg.) dobbamo ntrodurre le mpedenze e le ammettenze (n verde nella Fg. ). Queste rappresentano l corrspondente, nel domno de fasor, delle resstenze n un crcuto a regme stazonaro.. mpedenza ed ammettenza rasformamo nel domno de fasor le relazon caratterstche de bpol che conoscamo; rspettvamente del resstore, del condensatore e dell nduttore. S ha: ( t) R( t) Vˆ RÎ v (6a) ( t) d v ( t) L Vˆ jω LÎ (6b) dt ( t) ( t) dv Î C Vˆ (6c) dt jω C Abbamo trovato che l rapporto tensone-corrente de bpol passv che conoscamo è un numero complesso. utt bpol passv s comportano nel domno de fasor come se fossero de resstor avent per resstenza un numero complesso. Questo c suggersce d ntrodurre un elemento generco che descrva l generco bpolo. l rapporto tra fasor tensone e corrente prende l nome d mpedenza e s ndca con Z& : Vˆ Z & (7) Î Per bpol d nostra conoscenza: Resstenza nduttanza Z & R (7a) Z & j ω L (7b) Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 0

11 Lezone 3 Regme snusodale Capactà j Z& (7b) ωc l fatto che le mpedenze d ogn bpolo del crcuto s comportano come delle resstenze complesse c suggersce d trattare le mpedenze d ogn bpolo del crcuto come facevamo ne crcut resstv. Ha senso qund parlare d mpedenza equvalente d bpol. Pertanto possamo calcolare l mpedenza sere d due bpol e quella parallelo con formule analoghe a crcut resstv. Questa volta s tratterà d fare operazon con numer compless. Ad esempo un resstore R ed n nduttore L post n sere hanno per mpedenza equvalente la somma delle loro mpedenze Z & R+jωL. L mpedenza Z & è, n generale, un numero complesso, pertanto possamo scrvere: Z& R + jx, (8) dove l coeffcente della parte reale è detto resstenza e quello della parte mmagnara X prende l nome d reattanza. Per nostr bpol dnamc abbamo: resstore: X 0 (reattanza nulla) (9a) nduttore: condensatore: X ωl (reattanza nduttva) (9b) X ωc (reattanza capactva) (9c) Chamamo ammettenza Y & l nverso dell mpedenza. Ossa R X Y& j. (30) R + X R + X Osservamo che, facendo la convenzone dell utlzzatore, la parte reale dell mpedenza e la parte reale dell ammettenza sono postve. Al contraro la parte mmagnara può essere postva e negatva. Quando è postva dremo che l bpolo equvalente è d tpo nduttvo; quando è negatva dremo che l bpolo equvalente è d tpo capactvo. Osservamo che usando fasor, analogamente a quanto facevamo per crcut resstv, è possble usare lo strumento del parttore d tensone e corrente. Le formule sono analoghe a crcut resstv tranne che questa volta dobbamo usare numer compless. a c è d pù: anche crcut equvalent secondo hévenn e Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0

12 Lezone 3 Regme snusodale Norton possono essere usat. n questo caso l calcolo della resstenza equvalente vene sosttuto dal calcolo della mpedenza equvalente. La tensone a vuoto sarà un fasore così come la corrente d corto crcuto. Approfondamo la conoscenza dell mpedenza e dell ammettenza. Supponamo d avere per un bpolo con fasor tensone e corrente: j V Vˆ V e α j e e α Î, (3) e consderamo l loro rapporto Vˆ Z Î V & j( αv α ) jφ e e. (3) V Dunque l mpedenza è un numero complesso avente per modulo l rapporto de modul de fasor V / e per fase l angolo φ. Quest angolo rappresenta la dfferenza d fase tra tensone e corrente. Chamamolo angolo d potenza per ragon che vedremo tra breve. Questo angolo può essere negatvo o postvo. Le mpedenze e le ammettenze sono numer compless. Anche fasor sono numer compless, tuttava rappresentano una cosa dversa. fasor sono la rappresentazone d funzon snusodal nel domno trasformato. Ad ognuno d ess corrsponde una funzone nel domno del tempo. Una volta calcolato l fasore no lo anttrasformamo per ottenere la funzone cercata. L mpedenza nvece rappresenta un rapporto tra fasor nel domno de fasor. Non è una grandezza che po trasporto nel domno del tempo. E per questa dfferenza che usamo smbol dvers. Nonostante la dfferenza d sgnfcato s tratta sempre d numer compless. A tal proposto faccamo qualche consderazone sul calcolo della fase. fasor (come le mpedenze) possono esprmers n forma esponenzale e n forma trgonometrca. Per prepararc alla anttrasformazone sarà necessaro passare per la forma esponenzale che m lasca ndvduare l modulo e la fase. Qund anche se abbamo lavorato con forme trgonometrche dovremo fare un passaggo fnale alla forma esponenzale. L aspetto crtco è nel calcolo della fase. Dato un numero complesso n forma trgonometrca z a + j b, (33) la sua forma esponenzale z z e jα s trova ponendo z (a + b ) / (34) che rsulta d semplce calcolo; e per la fase Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0

13 Lezone 3 Regme snusodale arctan(b/a) se a 0 α arctan(b/a) + π se a 0 e b 0 (35) arctan(b/a) - π se a 0 e b 0 dove è necessaro dscutere l segno n quanto bsogna tener presente n quale quadrante s trova l fasore..3 Dagramm fasoral fasor hanno un modulo X e una fase α. Questo suggersce d rappresentare fasor n un pano, detto dagramma fasorale, nel quale fasor sano rappresentat da vettor avent la coda nell orgne del rfermento e avent l modulo proporzonale al modulo del fasore. La drezone e verso d quest vettor dpenderà dall altro parametro, la fase. Dobbamo sceglere un rfermento a cu rferre vettor-fasor con le loro fas. Sceglamo l asse delle ascsse come rfermento per vettor-fasor avent fase nulla. Gl altr s collocheranno nel dagramma facendo ruotare l vettore-fasore dal rfermento scelto n senso antoraro d un angolo par alla sua fase. Vedamo dagramm fasoral per sngol bpol passv. Supponamo che l fasore della corrente sa a fase nulla, qund collochamolo sull asse delle ascsse. Vedamo po dove s trova l vettore-fasore tensone ne var cas. Per l resstore la tensone ha la stessa fase della corrente e modulo par a quello della corrente moltplcato per l fattore R. l dagramma rsulterà pertanto quello d Fg.. Vˆ Î Fg. Dagramma fasorale per l resstore. Per l nduttore la tensone Vˆ π jωlî ha fase d rspetto alla fase supposta nulla π j della corrente n quanto j e. l modulo è par a quello della corrente moltplcato l fattore ωl. S ha qund la Fg. 3. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 3

14 Lezone 3 Regme snusodale Vˆ Fg.3 Dagramma fasorale per l nduttore. Î nfne per l condensatore la tensone modulo scalato d quello d Fg.4. ωc j π Vˆ Î ha fase d rspetto alla corrente e ωc rspetto a quello della corrente. l dagramma fasorale è Vˆ Fg.4 Dagramma fasorale per l condensatore. Î 3. Potenza n regme snusodale Supponamo d avere un bpolo con tensone v( t) V sen( ωt + αv ) ( t) sen( ωt + α ) e corrente. La potenza stantanea (assorbta o erogata) è data, così come defnto nella (6) della Lezone n., dalla relazone: p ( t) V sen( ωt + α ) sen( ωt α ). (36) v + La (36) rappresenta una potenza erogata se sul bpolo avremo fatto la convenzone del generatore, altrment la potenza sarà assorbta. Rcordando la formula: sen x sen y cos x y cos x + y e applcando la sosttuzone: cos ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( x + y) sen x + y π, ottenamo la formula: Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 4

15 Lezone 3 Regme snusodale π sen ( x) sen( y) cos( x y) + sen x + y, che applcata al nostro caso fornsce: π p( t) V cosφ + V sen ωt + ( αv + α ), (37) dove ( α ) φ v α è detto angolo d potenza e cos φ è l così detto fattore d potenza. Ch sono due termn al secondo membro della (37)? l prmo rappresenta un termne costante che rsulterà concdente con la potenza meda che ndcheremo con P m, l secondo un termne dpendente dal tempo che vene denomnato potenza fluttuante. Verfchamo quanto abbamo detto per l prmo termne. Consderamo l valore p t, che chamamo P m, della (37), ottenamo: medo della potenza stantanea ( ) P m Τ Τ n 0 p ( t) n p( t) dt V cosφ V cosφ, (38) ef ef π dove ω temporale della potenza fluttuante è nulla. Possamo qund rscrvere la (37) come: Τ è par al perodo temporale delle funzon v ( t) e ( t). La meda π p ( t) P + + ( + ) m V sen ωt α v α. (39) S osserv che la potenza meda dpende dalle ampezze V e e dal fattore d potenza cos φ. noltre, essendo l coseno una funzone par, la potenza meda dpende solo dal valore assoluto d φ. No usamo l metodo de fasor e qund voglamo trasportare n quel domno delle nformazon sugl aspett energetc del sstema da studare. Per far cò ntroducamo, nel domno de fasor, la seguente grandezza che chamamo potenza complessa: Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 5

16 Lezone 3 Regme snusodale P Vˆ Î Ve V jα α V ( cos( α α ) sen( α α )) v j e + j (40) cos ( φ) + V sen( φ) v v dove Î rappresenta l conugato del numero complesso Î e dove abbamo consderato z l parametro arbtraro ntrodotto nella () d cu dobbamo tener conto nella trasformazone nel domno de fasor. La grandezza ntrodotta nella (40) la chamamo potenza complessa. Questa potenza è una nvenzone umana! Poché, per quanto detto prma, samo nteressat a trattare gl aspett energetc nel domno de fasor cerchamo una relazone tra la potenza defnta nella (40) e la potenza reale defnta nel domno del tempo nella (39). Possamo scrvere la (40) nel seguente modo: P V cos( φ ) + V sen( φ) Pa + Q P + Q, (4) m La potenza reattva Q non ha alcun sgnfcato fsco. dove abbamo ntrodotto la potenza attva P V cos( φ) Quello che abbamo trovato è che: a e la Q V sen( φ). P a P m, (4) coè che la potenza attva ntrodotta nel domno de fasor concde con la potenza meda (potenza vera ) ntrodotta nel domno del tempo. Se utlzzamo la seguente trasformazone (molto dffusa n letteratura) che utlzza valor effcac: jα X x jα x x(t) X sen( ωt + α ) Xˆ X e e, (43) x ef (n cu z ) abbamo che: P Vˆ Î V V ( φ ) + sen( φ) P + Q P Q. (44) cos + a m Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 6

17 Lezone 3 Regme snusodale Qund quando usamo anzché l valor massm delle snusod valor effcac, trovamo che la potenza attva uguagla la potenza meda se utlzzamo la defnzone d potenza complessa omettendo l termne /. La potenza reattva Q non ha corrspondenza nel domno del tempo e non ha alcun sgnfcato fsco. Perché dunque la ntroducamo? l motvo rsede nel fatto che tale potenza tene conto della presenza d element dnamc come nduttor e condensator. resstor nfatt, come vedremo, non assorbono potenza reattva. Ancora meglo: Q tene conto del fatto che esstono nel crcuto bpol che anche se non assorbono potenza meda (lo vedremo tra breve), possono mmagazznare energa. S può far vedere, nfatt, che la potenza reattva è legata all energa magnetca mmagazznata n un nduttore e a quella elettrca n un condensatore. Essendo l sen(.) una funzone dspar, l segno della potenza reattva dpende dal segno dell angolo d fase φ. n partcolare per condensator, essendo φ negatvo, s ha potenza reattva negatva; vceversa per gl nduttor, essendo φ postvo, s ha potenza reattva postva. Come s vede dunque l segno d Q c basta ad ndvduare la natura del carco consderato. nfne, s defnsce potenza apparente l modulo della potenza complessa: A P P m + Q. (45) Per quanto rguarda le untà d msura, per la potenza attva ( P m ) s usa l Watt, essendo essa effettvamente una potenza, mentre per la potenza reattva (Q) s utlzza l Var (Volt - ampere - reattvo). Vedamo quanto valgono la potenza attva e quella reattva ne var bpol. 3. Potenza attva e reattva nel resstore, condensatore, nduttore e generatore L equazone caratterstca del resstore, consderando la convenzone dell utlzzatore, jαv jα rsulta essere Vˆ RÎ, coè V e R e, da cu s rcava che V R e α α φ 0 v. Qund la potenza attva assorbta rsulta: P a V cosφ R, mentre la potenza reattva assorbta: Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 7

18 Lezone 3 Regme snusodale Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 8 0 sen V Q φ. L equazone caratterstca del condensatore, secondo la convenzone dell utlzzatore, rsulta essere Vˆ ω Î C j, rappresentando j n forma esponenzale ed esplctando Î e Vˆ abbamo: + V ω π α α v j j e C e da cu s rcava che V ω C e φ + π α α π α α v v. Qund la potenza attva assorbta rsulta: 0 π cos V P a, mentre la potenza reattva assorbta: V ω π sen V Q C L equazone caratterstca dell nduttore, secondo la convenzone dell utlzzatore, rsulta essere Î ω Vˆ L j, rappresentando j n forma esponenzale ed esplctando Î e Vˆ abbamo: + ω V π α α v j j e L e da cu s rcava che ω V L e φ + π α α π α α v v. Qund la potenza attva assorbta rsulta: 0 π cos V P a, mentre la potenza reattva assorbta: ω π V Q L sen.

19 Lezone 3 Regme snusodale n generale avremo che generator present n un crcuto erogano sa potenza attva che potenza reattva. n questo modo fornranno a bpol passv present nel crcuto la potenza attva e reattva rchesta. valor d potenza attva e reattva P e Q a dpenderanno, appunto, dal carco almentato dal generatore. 3. eorema d ellegen n regme snusodale Una volta ntrodotta la potenza n regme snusodale, occupamoc d un teorema mportantssmo quando applcato al regme snusodale. l teorema d ellegen. Questo teorema contnua a valere n regme snusodale. Rcordamo, nfatt, che ogn crcuto che verfca prncp d Krchhoff, qund anche un crcuto n regme snusodale, verfca l teorema d ellegen. l teorema c dce che n regme snusodale s conservano le potenze stantanee vrtual. a come vedremo tra breve c dce molto d pù. rasformamo la formula d conservazone del teorema scrtta nel domno del tempo l ' ( t) ( t) 0 v, (46) n una formula n cu s utlzzano fasor. Rcordamo che l apce rappresenta l fatto che l nseme delle tenson è preso da un crcuto e l nseme delle corrent da un altro. L obettvo che c ponamo nel domno de fasor è quello d trovare una formula d conservazone per le potenze complesse. Nella (46) abbamo che ogn sngolo termne rappresenta un prodotto tra funzon del tempo. Quest prodott non s possono trasformare nel domno de fasor consderando l prodotto tra fasor corrspondent alla tensone e alla corrente. Rcordamo che no abbamo ntrodotto, nel domno de fasor, la potenza complessa per convenenza n modo arbtraro. Allo stesso modo ntroducamo un teorema d conservazone che somma le potenze complesse: consderamo l prodotto del fasore tensone per l conugato del fasore ' * corrente dvso : Vˆ Î. Consderamo anche n questo caso due crcut avent stessa topologa ma eventualmente bpol dvers. n questo modo ntroducamo un teorema d conservazone che c dce che la somma delle potenze vrtual complesse assorbte (o erogate) n un crcuto è zero. Coè: l l ' * * Vˆ Î Vˆ Î ' 0. (47) Dove rcordamo che nella (47) termn della sommatora hanno tutt lo stesso segno avendo fatto la stessa convenzone su tutt bpol. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 9

20 Lezone 3 Regme snusodale C tocca ora dmostrare la (47). Per dmostrare la (47) basta osservare che Vˆ fasore può essere espresso come dfferenza d potenzale e che la prma legge d Krchhoff vale anche per fasor della corrente. Coè per ogn nodo s posso scrvere: n ˆ 0. (48) sr r Essendo Î un numero complesso, la (48) vale anche per conugat de fasor, coè: n r ˆ 0. (49) * sr Fatte queste osservazon, la dmostrazone del teorema s rconduce n modo analogo a quella fatta nel domno del tempo (ved Lezone n. 3). La (47) vale n partcolare per uno stesso crcuto, coè: l V ˆ 0. (50) ˆ* noltre, essendo: l Vˆ ˆ * l V e jα v e jα. S ha, posto φ α α, v l Vˆ Î * l V l l cosφ + j V sen + j Q φ P a (5) Per l teorema d conservazone abbamo che: l P l a + j Q e qund l 0 Pa 0, (5) Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 0

21 Lezone 3 Regme snusodale l Q 0. (53) Le relazon (5) e (53) c dcono una cosa molto mportante: sa le potenze attve assorbte (generate) che le potenze reattve assorbte (generate) s conservano. n un crcuto s verfca sempre un blanco d potenze attve e reattve. La potenza attva erogata dal generatore (potenza assorbta negatva) uguaglerà la somma d tutte le potenze attve assorbte da bpol passv. Lo stesso dcas per la potenza reattva. 3.3 Calcolo della potenza n crcut con pù generator S può utlzzare la sovrapposzone degl effett nel calcolo della potenza quando v sono present n un crcuto a regme pù generator d tpo snusodale? Per poter rspondere a questa domanda osservamo che la potenza è defnta come prodotto della tensone per la corrente e qund sebbene sa la tensone che la corrente, graze alla lneartà del sstema, sono la somma delle rsposte a var generator, la potenza non rsulterà anch essa par ad una somma d contrbut. Consderamo l caso semplce d due generator come n Fg. 5. Supponamo che ogn generatore abba una sua pulsazone ω,. g (ω,t) g (ω,t) Crcuto C u(ω,ω,t)u (ω,t)+u (ω,t) Fg. 5 Crcuto n regme snusodale almentato da due generator. Consderamo un generco bpolo del crcuto C. La tensone e la corrente saranno dat dalla sovrapposzone degl effett come somma d due contrbut. Scrvamo v(ω,ω,t)v (ω,t)+v (ω,t)v sen(ω t+α v )+ V sen(ω t+α v ), (54) (ω,ω,t) (ω,t)+ (ω,t) sen(ω t+α )+ sen(ω t+α ). (55) Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0

22 Lezone 3 Regme snusodale nnanztutto osservamo che la tensone (54) e la corrente (55) non sono necessaramente una funzone snusodale. Questo accadrà solo se le due pulsazone ω e ω sono ugual. Nel caso contraro dstnguamo due cas: le pulsazon sono tra loro commensurabl: ω / ω m/n; (57) oppure sono ncommensurabl. E facle verfcare che nel prmo caso la tensone e la corrente sono due funzon perodche d perodo temporale : m(π/ ω )n(π/ ω ). (58) Nel secondo caso le due funzon non sono perodche. Ora valutamo la potenza stantanea assorbta dal bpolo (supponamo dn aver fatto la convenzone dell utlzzatore sul bpolo consderato!): p(t) v(t)(t) (v (ω,t)+v (ω,t)) )( (ω,t)+ (ω,t)) (v (ω,t) (ω,t)+v (ω,t) (ω,t) + v (ω,t) (ω,t)+ v (ω,t) (ω,t)). (59) S vede che la potenza stantanea non è la semplce sovrapposzone d due potenze stantanee relatve a due ngress. Vedamo cosa dre della potenza attva. Per valutarla sarà necessaro fare una operazone d meda n un dato perodo temporale. Dobbamo necessaramente dstnguere tre cas ) ω ω ω n questo caso basta consderare la meda della potenza stantanea: P m 0 v 0 V ( v + v + v + v ) dt dt + v dt + v dt + v cosφ + V cosφ + v 0 dt dt + 0 v dt (60) Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0

23 Lezone 3 Regme snusodale dove π/ω, φ α ϖ α ι ε φ α ϖ α ι. S può dmostrare faclmente che gl ultm due ntegral non sono null. S ha nfatt: v 0 π dt V sen t + α 0 v π sen t + α dt 0. (6) Vedamo che n questo caso la potenza non è addtva! ) ω / ω m/n Anche n questo caso consderamo la meda nel perodo defnta dalla (58) P m 0 V ( v + v + v + v ) cosφ + V dt cosφ (6) dove è dato dalla (44). Nella (48) abbamo consderato solo prm due termn al secondo membro n quanto termn dovut a prodotto mst tra tensone e corrente è facle verfcare che sono null. S ha nfatt: v 0 π π ( t) ( t) dt V sen m t + α sen n t + α dt 0 0 v (63) n questo qund la potenza rsulterà addtva! 3) ω / ω numero rrazonale n questo caso non ha senso calcolare la potenza meda non essendo la funzone perodca! 4. Defnzone d Funzone d Rete n un crcuto a regme snusodale Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 3

24 Lezone 3 Regme snusodale Samo n regme snusodale. l crcuto può essere studato nel domno de fasor. n questo paragrafo ntroducamo una funzone, detta funzone d rete, molto utle per una anals sntetca del crcuto che s ntende studare. Per ntrodurre la funzone d rete rsulta necessaro descrvere l crcuto con un approcco d tpo sstemstco: pensamo l crcuto come un sstema (fsco) ngresso uscta. Cò è stato fatto nella Fg. della Lezone n.7. Qund non è una novtà. n questo caso sottolneamo che l sstema è n regme snusodale e l sstema ngresso uscta lo s studa nel domno de fasor. Consderamo la Fg.6. L uscta x(t) può essere qualsas grandezza del crcuto (tensone o corrente). g(t)g sen(ωt+α g ) Crcuto n regme snusodale x(t)x sen(ωt+α x ) Fg. 6 l crcuto come sstema ngresso-uscta. Se trasformamo l crcuto consderato n Fg. 6 nel domno de fasor faccamo rfermento alla Fg. 7. Ĝ Crcuto trasformato nel domno de fasor Xˆ Fg. 7 l crcuto come sstema ngresso-uscta nel domno de fasor. C domandamo se esste una relazone tpca che lega l fasore d ngresso Ĝ al fasore d uscta Xˆ. Abbamo detto che nel domno de fasor lavoramo n modo uguale a quanto faccamo per crcut resstv, tranne consderare mpedenze al posto de resstor e qund trattare con numer compless. Lavorando con mpedenze equvalent sere e parallelo e con parttor d tensone e corrente, è sempre possble ruscre ad ndvduare una relazone tra l fasore della grandezza che abbamo scelto d uscta e l fasore del generatore. La relazone sarà del tpo: Xˆ ( ω) H( jω)ĝ j, (64) Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 4

25 Lezone 3 Regme snusodale dove la funzone H(.) è una quanttà che trovamo graze ad operazon d equvalenza tra mpedenze e d parttor. Nella (64) abbamo esplctamente espresso la dpendenza dalla jω n quanto voglamo evdenzare che, graze alla presenza d eventual nduttor e condensator, le mpedenze equvalent possono contenere la dpendenza dalla pulsazone. Dunque, mentre l fasore l fasore Ĝ non dpenderà dalla ω, dobbamo evdenzare che, graze alla presenza della funzone H( j ω), l uscta dpenderà dalla pulsazone ω: Xˆ Xˆ ( jω). No samo abtuat al fatto che n un regme snusodale la pulsazone è fssata e qund non va consderata varable ndpendente. n questo contesto evdenzamo la dpendenza della funzone d rete e qund dell uscta dalla pulsazone n quanto voglamo studare l comportamento dell uscta come dpende dalla pulsazone scelta per l generatore. Dobbamo qund mmagnare che la pulsazone del generatore sa un parametro da poter varare. La fnzone H( j ω) è detta Funzone d Rete del crcuto. E facle convncers che tale funzone sarà una funzone complessa del tpo rapporto d polnom n jω. La funzone d rete NON è un fasore così come non lo sono l mpedenza e l ammettenza. Consderamo l tpo d uscta: tensone Vˆ Vˆ ( jω) o corrente Î Î ( jω) out out out ; consderamo l tpo d generatore d corrente Ĵ o d tensone Ê. Abbamo quattro cas: Vˆ out Î out Vˆ out Î out ( ω) Ĥ( jω)ê ( ω) Ĥ( jω)ĵ ( ω) Ĥ( jω)ĵ ( ω) Ĥ( jω)ê j, (65a) j, (65b) j, (65c) j. (65d) Negl ultm due cas la funzone d rete s chama rspettvamente funzone mpedenza e funzone ammettenza. Una volta trovata la funzone d rete bsogna tenere conto che, essendo le funzon d rete quanttà complesse, vanno esplctate n modulo e fase. Grafcando l modulo e la fase d una funzone d rete s possono faclmente vsualzzare le rsposte n ampezza e fase del crcuto n funzone della pulsazone del generatore ω e determnare le caratterstche fltrant del crcuto. Nel caso d crcut lnear dnamc del secondo ordne s può anche faclmente determnare la frequenza d rsonanza utlzzando le funzon d rete mpedenze e ammettenze, e determnare l fattore d qualtà del crcuto rsonante. out 5. Fltr passv Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 5

26 Lezone 3 Regme snusodale n elettronca un fltro è un dspostvo che realzza delle funzon d trasformazone de segnal. n partcolare la sua funzone può essere quella d fltrare determnate bande d frequenza lascando passare le frequenze pù alte o pù basse d un valore determnato d ω, o quelle comprese n un ntervallo prestablto. fltr elettronc possono essere: Passv o attv Analogc o dgtal A tempo dscreto (camponato) o a tempo contnuo Lnear o non lnear tp pù comun d fltr elettronc sono lnear, ndpendentemente da altr aspett del loro progetto. olt fltr sono anche de sstem rsonant. Ogn dspostvo reale funge per sua natura da fltro. La realzzazone pù semplce d un fltro lneare è basata sulla combnazone d resstor, condensator e nduttor. Quest fltr sono cosddett crcut RC, RL, LC e RLC. Nel loro complesso sono chamat "fltr passv", perché l loro funzonamento non dpende da una fonte d almentazone esterna. Gl nduttor bloccano segnal ad alta frequenza e conducono quell a bassa frequenza, mentre condensatore s comportano al contraro. Un fltro n cu l segnale passa attraverso un nduttore, o nel quale un condensatore fornsce un percorso verso terra, presenta qund mnore attenuazone a segnal a bassa frequenza che a quell ad alta frequenza ed è un fltro passa basso. Se l segnale passa attraverso un condensatore, o ha un percorso a terra attraverso un nduttore, allora l fltro presenta un'attenuazone mnore per segnal ad alta frequenza che per quell a bassa frequenza, ed è un fltro passa alto. resstor da parte loro non hanno la propretà d selezonare le frequenze, ma sono aggunt a condensator e nduttor per determnare le costant d tempo del crcuto, e qund le frequenze a cu ess rspondono. Nel seguto analzzeremo l fenomeno della rsonanza n crcut semplc (RLC sere e parallelo), le sue propretà e l comportamento fltrante che hanno quest crcut opportunamente utlzzat. 5.. RLC n sere n rsonanza Un crcuto n regme snusodale, comunque complesso, nel quale sano present resstenze, nduttanze e capactà e un solo elemento attvo s dce n rsonanza quando, rspetto al generatore che lo almenta, s comporta come un crcuto puramente ohmco. No osserveremo l fenomeno della rsonanza nel crcuto RCL sere llustrato n Fg.8. v R (t) v L (t) Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 6

27 Lezone 3 Regme snusodale e(t) (t) R L C v C (t) Fg. 8 Crcuto RLC sere. Consderamo l funzonamento n regme snusodale d tale crcuto. α l fasore ˆ j e rappresentatvo della corrente ( t ) sen( ωt + α ) è dato da: Z eq Eˆ ˆ, (66) & dove e( t ) E ˆ E rappresenta l fasore relatvo alla tensone del generatore E sen( ωt ) e Z eq R + j ωl (67) ωc è l mpedenza equvalente della sere del resstore, dell nduttore e del condensatore. l modulo del fasore corrente è: E. (68) R + ωl ωc ( ω) Consderamo, ora, l andamento del modulo della corrente al varare della pulsazone ω. È mmedato verfcare che l valore del modulo tende a zero per ω > 0 e per ω > +, mentre assume l suo valore massmo n corrspondenza della pulsazone caratterstca del crcuto: Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 7

28 Lezone 3 Regme snusodale ω 0. (69) LC La pulsazone (69) prende l nome d pulsazone d rsonanza. Quando almentamo l crcuto con un generatore d pulsazone uguale a quella d rsonanza abbamo che l modulo del fasore corrente presenta l suo valore massmo ammssble. n questo caso dcamo che l crcuto s trova n rsonanza. Vedamo qual sono le propretà che s manfestano quando l crcuto s trova n rsonanza. E facle verfcare che per tale valore della pulsazone la parte mmagnara dell mpedenza Z& è uguale a zero, essendo nfatt la reattanza del condensatore eq opposta d quella dell nduttore, e qund l mpedenza rsulta puramente resstva. n questo caso l modulo d Z& assume l valore mnmo. eq qund abbamo grafcato V R /E. l valore del modulo della corrente alla pulsazone d rsonanza è qund uguale a: ( ω) E, (70) ω ω0 R uguale, coè, alla corrente che s avrebbe se nel crcuto v fosse solo l resstore. n Fg. 9 abbamo rappresentato l grafco della funzone (68) normalzzato ad E /R; Dunque alla rsonanza s verfca che la tensone del condensatore Vˆ C è l opposto d quella dell nduttore Vˆ L, e qund la tensone sul resstore è uguale a quella del generatore. Questo sgnfca che alla rsonanza la dfferenza d fase tra le due tenson è d 80 o, mentre valor d pcco sono ugual. Da un punto d vsta energetco possamo osservare che la potenza fornta dal generatore vene assorbta senza che venga mmagaznata alcuna parte. L nduttore e l condensatore, nfatt, alla rsonanza s scambano contnuamente energa senza che venga convolta la sorgente. V R / E ω 0 ω Fg. 9 Andamento del modulo della tensone del resstore Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 8

29 Lezone 3 Regme snusodale n un crcuto RLC sere. n defntva, alla pulsazone d rsonanza l crcuto, rspetto alla tensone che lo almenta, s comporta come se fosse puramente ohmco. Esamnamo l rapporto tra le modul massm delle tenson degl element conservator d energa e l valore massmo della tensone del generatore: E ( ω ) ( ) 0 VC ω ω L ( ω ) ω E R ( ω ) R V L 0 L. (7) 0 Concludamo che se ω 0 L>>R, allora la tensone sull nduttore e l condensatore possono assumere valor molto elevat nonostante la sorgente abbamo un valore masmo esguo. Cò dpende dal valore della pulsazone d rsonanza rspetto al rapporto L/R. l crcuto n rsonanza può dventare percoloso nonostante l utlzzo d pccol valor per l modulo della tensone del generatore. Consderamo la fase della corrente: ωl ω0 φ ( ω) tan. (7) R ω Per ω < ω0 la fase (7) è negatva e la reattanza equvalente è d tpo capactvo. Per ω > ω0 la fase (7) è postva e la reattanza equvalente è d tpo nduttvo. e(t) Crcut RLC sere (t) Fg. 0 l crcuto RLC sere come fltro passa - banda. 5.. RLC n parallelo n rsonanza l crcuto RLC parallelo manfesta anch esso l fenomeno della rsonanza. uttava n questo caso avremo un generatore d corrente al posto d quello d tensone e dovremo consderare n uscta la tensone sul parallelo come abbamo evdenzato n Fg.. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 9

30 Lezone 3 Regme snusodale j(t) Crcut RLC parallelo v(t) Fg. l crcuto RLC parallelo come fltro passa - banda Fltro passa banda Vedamo come utlzzare l crcuto RLC sere e parallelo come fltro passa banda. Se consderamo come uscta del crcuto RLC sere la corrente della magla abbamo che l sstema s comporta come un fltro passa banda. nfatt se guardamo la Fg. 9 è evdente che l crcuto fltra solo segnal n ngresso che sono sntonzzat ntorno alla frequenza d rsonanza. Quando almento l crcuto con un generatore d pulsazone prossma a quella d rsonanza l valore del segnale n uscta è apprezzable, quando la pulsazone del generatore è lontana da quella d rsonanza l segnale n uscta rsulta debole. crcut rsonant, almeno da un punto d vsta d prncpo, sono quell che s utlzzano nelle comuncazon quando s vogla selezonare un segnale d un data frequenza presente n tutto lo spettro che l sstema rcevente raccogle. La selezone avvene facendo varare la frequenza d rsonanza del sstema rcevente (qund parametr R, L e C) che s accorda con la frequenza cercata graze al fatto che a quella frequenza s ha un pcco d corrente. S osserv che, graze alla relazone caratterstca del resstore, possamo consderare come segnale d uscta anche la tensone del resstore. l valore massmo che assume la tensone (segnale d uscta) è par propro alla tensone del generatore Fltro passa - basso Come esempo d crcuto passa basso utlzzamo ancora l crcuto RLC sere d Fg. 8 ma questa volta consderamo come grandezza d uscta la tensone del condensatore come llustrato n Fg.. Possamo scrvere: E V ( ω).. (73) C ωc R + ωl ωc Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 30

31 Lezone 3 Regme snusodale e(t) Crcut RLC sere v C (t) Fg. l crcuto RLC sere come fltro passa - basso. Studando la funzone (73) possamo dsegnare un grafco come quello d Fg. 3. L aspetto nteressante da ndagare è: per quale valore d ω (rspetto ad ω 0 ) la funzone (73) raggunge l suo massmo? A vo la soluzone del questo. V C /E ω 0 ω Fg. 3 Andamento del modulo della tensone del condensatore n un crcuto RLC sere. 5.. Fltro passa - alto Come esempo d crcuto passa alto consderamo sempre l crcuto RLC sere. Questa volta consderamo la tensone sull nduttore come llustrato n Fg. 4. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 3

32 Lezone 3 Regme snusodale e(t) Crcut RLC sere v L (t) Fg. 4 l crcuto RLC sere come fltro passa - alto. Possamo scrvere: ωle V ( ω). (74) L R + ωl ωc Anche n questo caso l aspetto nteressante da ndagare è: per quale valore d ω (rspetto ad ω 0 ) la funzone (74) raggunge l suo massmo? A vo la soluzone del questo. V L /E ω 0 ω Fg. 5 Andamento del modulo della tensone dell nduttore n un crcuto RLC sere. Corso d ntroduzone a Crcut Prof.ssa Lorenza Cort A.A. 009/0 3