Università degli studi di Brescia Facoltà di Ingegneria Corso di Topografia A Nuovo Ordinamento. La livellazione trigonometrica

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1 Università egli stui i rescia Facoltà i Ingegneria Corso i Topografia Nuovo Orinamento La livellazione trigonometrica 1

2 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Dislivello tra i punti e : Differenza elle quote corrisponenti (quota el punto avanti meno quota el punto inietro) Il islivello è un segmento orientato Livellazione: Operazione i misura el islivello (la misura iretta elle quote non è praticata i norma in topografia) Metoi i misura el islivello: Livellazioni che non richieono la conoscenza ella istanza tra i punti Livellazioni che richieono la conoscenza ella istanza tra punti

3 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Livellazione ipenente alla istanza tra e Necessaria (speitiva) per quotare i punti trigonometrici e più in generali punti i reti appoggio, quini per operare su istanze chilometriche La istanza viene misurata in genere sulla cartografia o con GPS, la misura con istanziometri risulta poco precisa o impossibile su istanze elevate. Livellazione con teoolite: Si effettua misurano gli angoli nel piano verticali, etti istanze zenitali 3

4 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Ipotesi: Operazioni e calcoli sulla sfera locale (il campo topografico altimetrico è troppo limitato per gli scopi ella livellazione trigonometrica) La traiettoria luminosa sui punti si mantiene rettilinea E nota la istanza topografica riotta alla superficie i riferimento (SFER LOCLE) E nota la istanza topografica riotta alla superficie i riferimento (SFER LOCLE) 4

5 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Ipotesi: Il raggio ella sfera locale aottato nei calcoli è ottenuto ai valori mei ella grannormale e el raggio ella sezione meriiana: R ρ N Si misurino le ue istanze zenitali reciproche Z e Z E possibile esprimere una relazione tra e applicano il teorema i Nepero al triangolo O ( ( R) ( R) ( R) R) Z Z tg( ) g 400 ( Z Z tg ) Z Z 5

6 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Teorema i Nepero La somma i ue lati sta alla loro ifferenza come la tangente ella semisomma egli angoli opposti sta alla tangente ella loro semiifferenza Dimostrazione: Dal teorema ei seni a senα b > senβ a b senα senβ Componeno e somponeno si ottiene la forma a a b b senα senβ senα senβ 6

7 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Teorema i Nepero pplicano le formule i prostaferesi α β α β sen cos a b... a b α β α β sen cos α β tg α β α β... tg ctg α β tg a a b b tg tg α β α β 7

8 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Nel caso in esame, fatte le posizioni Z ar; br; Z g α 00 Z ; β 00 g Z ; α β 400 g ( Z Z α β Z Z ; E teneno conto che α β δ π ; e quini 00 g δ Z Z ) ; 8

9 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Si può scrivere: ( R) Z... tg Z Z Z tg... g δ tg100 tg δ Z Z Consierano che δ è in genere molto piccolo R si accetta l approssimazione δ δ tg 9

10 10 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Z Z M Inoltre, ata la quota meia ei ue punti: si giunge alla: ) ( δ M Z Z tg R e ancora (ricora: δ/r): 1 M Z Z tg R R R

11 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica e in fine alla: Z Osservazioni: R tg 1 ( Z Z M 1 Le istanze zenitali evono essere reciproche, cioè misurate a ue soli punti, che fungono a punto i stazione e punto i collimazione allo stesso tempo Il metoo è oneroso al punto i vista logistico: ue strumenti, ue operatori esperti per l esecuzione contemporanea i misure Il caso più frequente vee l esecuzione i una sola misura angolare (Z e Z sono evientemente correlate tra loro) ) Z 11

12 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Lettura all estremo Poiché ora Z si esprime come: Z g 00 δ Z 00 la formula per il calcolo el islivello assume la forma g R Z Z M 1 g 1 tg (00 Z ) R R e con qualche semplice trasformazione M 1 ctg ( Z R ) R 1

13 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Lettura all estremo Si noti che il valore M/R è molto piccolo e può in genere essere trascurato Z Osservazione In realtà l ipotesi iniziale circa la rettilineità el raggio ottico congiungente i ue punti non è verificata a causa el fenomeno ella RIFRZIONE TMOSFERIC 13

14 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica La rifrazione atmosferica La ensità ell aria iminuisce con la quota e con la ensità iminuisce il coefficiente i rifrazione (K) Il raggio ottico si propaga in un mezzo con inice i rifrazione variabile e subisce continue rifrazioni, tanto che la sua traiettoria iviene una linea curva L angolo zenitale misurato, o angolo apparente, non corrispone a quello reale Z ε ϕ K ε δ K R 14

15 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica La rifrazione atmosferica L espressione generale iventa M 1 K 1 ctg ( ϕ ) R R espressione valia per > km In alternativa, ricorreno agli sviluppi in serie i Taylor per la cotangente e consierano che la istanza zenitale è sempre prossima 100 g si giunge alla forma: M 1 K 1 ctg ϕ R R 15

16 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica La rifrazione atmosferica M 1 K 1 ctg ϕ R R espressione valia per < km L ultimo termine ella formula è trascurabile fino a 0,5 km: e vale 17mm a 500m 16

17 Misura ei islivelli: livellazione trigonometrica Osservazioni conclusive Le relazioni ricavate forniscono il islivello tra il centro el teoolite e il segnale colimato Per riportarsi ai punti a terra basta aggiungere il termine (h str -h pr ) L errore i misura ei islivelli trigonometrici cresce proporzionalmente alla istanza per istanze moeste. L errore i misura ei islivelli trigonometrici cresce proporzionalmente al quarato ella istanza per i percorsi più lunghi Possibili fonti i errore: K, f,, anche se oggi non esiste praticamente più l errore i misura ella istanza 17

18 Misura ei islivelli: livellazione tacheometrica Livellazione ipenente alla istanza tra e Impiegata nella misura i islivelli per scopo cartografico: Rilievi i ettaglio Vertici i poligonali topografiche Distanze massime i qualche centinaio i metri Distanze massime i qualche centinaio i metri Livellazione con tacheometro : Il tacheometro non è altro che un teoolite i scarsa precisione (1 C ) 18

19 Misura ei islivelli: livellazione tacheometrica IN DISUSO, METODO STORICO D CELERIMENSUR Livellazione ipenente alla istanza tra e Impiegata nella misura i islivelli per scopo cartografico: Rilievi i ettaglio Vertici i poligonali topografiche Distanze massime i qualche centinaio i metri Distanze massime i qualche centinaio i metri Livellazione con tacheometro : Il tacheometro non è altro che un teoolite i scarsa precisione (1 C ) 19

20 Misura ei islivelli: livellazione tacheometrica Livellazione ipenente alla istanza tra e Staia verticale in Si eseguono 3 letture sulla staia (in corrisponenza ai tratti el reticolo istanziometrico) L,L1 e L Si misura la istanza zenitale f sul cerchio verticale Si rileva l altezza strumentale h 0

21 Misura ei islivelli: livellazione tacheometrica Con semplici consierazioni geometriche, alla figura: Δ Come si calcola la istanza? 0 O L0 δq l0 h ctgϕ l0 1

22 Misura ei islivelli: livellazione tacheometrica La istanza è calcolata con istanziometri EODM isponeno i prisma riflettente posto a altezza a terra In realtà viene misurata la istanza inclinata e a questa si risale alla istanza riotta all orizzontale ' senϕ

23 Misura ei islivelli: livellazione tacheometrica La forma finale è la seguente: Δ h ' cos ϕ l Si ottengono SM i qualche cm su istanze i 100 metri. L errore è minimo con visuale orizzontale e supera il ecimetro con visuali inclinate. 0 3

24 Precisione ella livellazione trigonometrica Granezze in gioco: NOTE: σ, σ, K σ ϕ Errori (scarti) quaratici mei sulla misura ella istanza, sulla stima el coefficiente i rifrazione K e sulla misura ell angolo zenitale f INCOGINT: σ Δ Errore (scarto) quaratico meio sul calcolo el islivello D Si ottiene parteno all espressione semplificata (valia per istanze inferiori a km) M 1 K 1 ctg ϕ R R 4

25 5 Precisione ella livellazione trigonometrica 1 1 R K ctg R M Δ ϕ Operano le erivate rispetto alle quantità che rappresentano i fattori i incertezza: 1 Δ R K ctg ϕ Δ R K 1 sen Δ ϕ ϕ

26 6 Precisione ella livellazione trigonometrica Consierano che 0 1 R K E che le visuali sono prossime a 100 g (quini senf 1), si ottiene... Δ ϕ σ σ σ ϕ σ R ctg k ϕ σ σ σ ϕ k R ctg

27 La livellazione trigonometrica: il problema ei fari Si consieri la situazione seguente Stazione sul colle Maalena a rescia uota el punto i stazione 700 metri sulla pianura paana (supposta a quota nulla per semplicità) uanto vale l angolo zenitale in e quanto la istanza massima perché sia possibile la collimazione i a? 7

28 La livellazione trigonometrica: il problema ei fari Il problema presenta ue incognite, servono pertanto ue equazioni Dati: R6378 Km K0, m 0 m Δ M 1 K 1 ctg ϕ R R Δ M 1 K 1 ctg ϕ R R 8

29 La livellazione trigonometrica: il problema ei fari Si accetta l approssimazione f100 g e metteno a sistema le ue relazioni preceenti si ha ctgϕ ctgϕ Dalla secona km

30 La livellazione trigonometrica: il problema ei fari Dalla secona equazione el sistema: ctgϕ e quini ctgϕ arcctg ( ) g 00 g g ϕ Rifrazione atmosferica δ ε K K R ra gon