NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti. d) (1 i) 3. b) (1 + i)(1 i)(1 + 3 i) c) 1 i 1

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1 Calcolare le seguenti potenze di i: NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti a) i b) i 7 c) i d) i e) i f) i 9 Semplificare le seguenti espressioni: a) i) i i) b) + i) i) + ) 0 i c) i) i) i) d) i) Verificare che z = ± i soddisfa l equazione z + z + z = 0 Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi : a) + i i i b) + i) i) + i) c) ) + i i Mettere in forma esponenziale e in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: a) z = i b) z = i c) z = + i d) z = i + i e) z = + i) i) 6 Calcolare le potenze: z, z 6, z dei seguenti numeri complessi: a) z = i + i b) z = + i i 7 Calcolare le seguenti radici e rappresentarle nel piano complesso: a) i / ) b) c) i d) + i e) i ) / f) ) + i / i 8 Dato il numero complesso z = e πi/6 + e πi/ a) esprimere z in forma algebrica e in forma esponenziale b) calcolare le radici cubiche di z 9 Risolvere le seguenti equazioni e rappresentare le soluzioni nel piano complesso: a) z + iz + = 0 b) z + z + = 0 c) z 6 + 7z 8 = 0 d) zz z + i = 0 e) z + iz = 0 f) z 6 iz + z i = 0

2 0 Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso: a) z + z + = 0 b) z + + i)z = 0 c) z i) = + i d) z 6 z + = 0 e) z + z + + i = 0 f) z + i) = + i) g) z = i Verificare che z = i è una radice del polinomio P z) = z + z + z + z + Calcolare poi tutte le radici di P z) Sapendo che + i è radice del polinomio P z) = z z + 0z 0z +, trovare le altre radici Decomporre P z) in fattori irriducibili su R e su C Verificare che il polinomio : P z) = z + + i)z + [ + )i ]z i si annulla per z = e trovare le altre radici Trovare un polinomio P z) a coefficienti reali di grado, avente z = come radice semplice, z = i come radice di molteplicità, e tale che P 0) = Sia z = r e iθ un numero complesso non nullo, e siano α 0, α,, α n le n radici n-esime di z n ) date da α k = n r e i θ+kπ n k = 0,,,, n ) Dimostrare che α 0 + α + + α n = 0

3 SOLUZIONI degli esercizi sui NUMERI COMPLESSI a) i = i ) = b) i 7 = i i = i = i c) i = i 0 i = i d) i = i i = i = i = i e) i = i i = i = f) i 9 = i 9 ) = i 8 i) = i) = i = i a) i) i i) = i i + i = i = i b) + i) i) + ) 0 i = 9 i ) + i + i = 9 + ) 0 0 = + i c) i) i) i) = i i + i ) i) = i) i) = = i 9i + i = 0i = i d) i) = i)) = + i) = + i + i + i ) = i + i = + i Possiamo anche usare la forma esponenziale per calcolare + i) : + i = e πi/ + i) = ) e πi/ = cos π + i sin π) = ) + i = + i Calcolando P z) = z + z + z per z = + i si ha: + i) + + i) + + i) = 8i + 6i + + i + 6i = 0 Dunque z = + i soddisfa l equazione P z) = 0, cioè è una radice del polinomio P z) Per z = i si procede in modo analogo, oppure, più semplicemente, si osserva che P z) ha coefficienti reali, e quindi essendo + i una radice di P z), anche il coniugato + i = i deve essere una radice di P z) a) + i i i = i + i) + i i) = + i i = + i i + = = 7 + i = = 6 b) + i) i) + i) = i ) + i = + = c) ) + i i = + i i i = i = i i = ) =

4 a) Si ha i = e πi/ = cos π) + i sin π) Infatti il modulo di z = i è z =, e l argomento θ = argz) soddisfa: cos θ = 0 = θ = sin θ = π b) Posto z = i = r e iθ, si ha r = z = + =, cos θ = sin θ = = θ = π Dunque i = e πi/ = cos π + i sin π) c) Si ha z = + i = + i = i i = i) = r eiθ 6 d) z = = r = z = 6 = z = i + i =, cos θ = sin θ = θ = 7 π, 6 e7πi/ = 6 cos 7 π + i sin 7 π) i i) + i) i) = i + = + i = r e iθ = r = z = + =, cos θ = sin θ = = z = e iπ/ = cos π + i sin π ) θ = π, e) z = + i) i) = + i) i) = i ) = = e i 0 = cos 0 + i sin 0) 6 a) z = + i i = + i) + i i i = i = i Per calcolare le potenze di z mettiamo z in forma esponenziale: z = r e iθ Si ha r = z = cos θ = + =, sin θ = θ = 6 π, da cui z = e πi/6 Calcoliamo adesso i numeri z, z 6, z z = e πi/ = e πi/ = cos π + i sin π = i z 6 = e πi = cosπ) + i sinπ) = z = e πi/ = e πi/ = cos π + i sin π = + i b) z = + i i = + i i = Da questo otteniamo + i) i = + i = i

5 z =, z 6 = 6 i6 = 6 i = 6, z = i = i = 7 a) Ricordiamo la formula per le radici n-esime di un numero complesso non nullo) z, cioè per gli n numeri complessi w tali che w n = z Scrivendo z in forma esponenziale come z = r e iθ, e indicando collettivamente le n radici con w = n z = z /n, si ha n z = z /n = r e iθ) /n = n r e i θ+kπ n k = 0,,,, n ) In particolare le due radici quadrate di un qualunque numero complesso non nullo) z sono l una l opposto dell altra: z = z / = r e i θ+kπ k = 0, ) = r e i θ, r e i θ +π) Nel nostro caso abbiamo = r e i θ, r e i θ = ± r e i θ z = i = r e iθ = r = z =, cos θ = sin θ = = θ = π Dunque in forma esponenziale i = e πi/ i ) / = e i π+kπ k = 0, ) = e πi/6, e πi/6 = ± e πi/6 = ± ) + i Nel piano complesso le radici ottenute sono i due punti sulla circonferenza di centro l origine e raggio ) 6 ) di coordinate 6,,,, simmetrici rispetto all origine b) In forma esponenziale = e πi = ) / = e i π+kπ k = 0,,, ) = e πi/, e πi/, e πi/, e 7πi/ = ± e πi/, ± e πi/ = ± ), ± + i ) + i Nel piano complesso queste radici sono i vertici del quadrato inscritto nella circonferenza di centro l origine e raggio con i lati paralleli agli assi coordinati c) Si ha i = e πi/ i = i) / = e i π+kπ k = 0,,,, ) = e πi/0, e 7πi/0, e πi/0, e πi/0 = e πi/ = i), e 9πi/0 Queste radici sono i vertici del pentagono regolare inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell origine con un vertice nel punto i = 0, )

6 d) Si ha + i = e πi/ + i = + i) / = 6 e i π +kπ k = 0,, ) = 6 e πi/, 6 e πi/, 6 e 7πi/ Queste radici sono i vertici del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza centrata nell origine di raggio 6 con un vertice nel punto 6 e πi/ = 6 ) + i =, ) e) Si ha i = +i ) + = i = e πi/ ) / i = e i π+kπ k = 0,,, ) = e πi/, e πi/6, e πi/, e πi/6 = ± e πi/, ± e πi/6 ) ) = ± + i, ± + i Questi sono i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell origine f) Si ha +i i = +i) + = i = i = eπi/ +i i ) / = i / = e i π +kπ k = 0,,, ) = e πi/8, e πi/8, e 9πi/8, e πi/8 = ± e πi/8, ± e πi/8 Questi sono i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell origine 8 a) z = e i π 6 + e i π = cos π 6 + i sin π 6 + cos π + i sin π = + i + i = In forma esponenziale z = r e iθ si ha r = z = + 9 =, + i cos θ = sin θ = θ = π = z = e πi/ b) z = z / = 6 e i π 9 + kπ ) k = 0,, ) = 6 e πi/9, 6 e 7πi/9, 6 e πi/9 9 a) Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado otteniamo: z = i ± 9i 6 = i ± = i ± = i ± i da cui z = i, z = i Nel piano complesso questi sono i due punti situati sull asse delle y di coordinate 0, ) e 0, )

7 b) Posto z = t, risolviamo l equazione di secondo grado t + t + = 0 : t = ± = ± = ± i Essendo z = t z = t /, dobbiamo calcolare le seguenti radici quadrate: i ) /, + i ) / Poiché i ha modulo e argomento π, si ha i = e πi/ = i ) / = e i π+kπ k = 0, ) = ± e i π ) = ± + i = ± + i ) Poiché + i ha modulo e argomento π, si ha + i = e πi/ = + i ) / = ± e i π = ± + i ) Dunque le soluzioni dell equazione di partenza sono i quattro numeri complessi z = + i ), z = i ), z = + i ), z = i ), che nel piano complesso sono i vertici, di coordinate ) ) ), 6,, 6,, 6,, 6 di un rettangolo inscritto nella circonferenza di raggio centrata nell origine c) Posto t = z si ottiene l equazione t + 7t 8 = 0, che ha soluzioni t = 8 e t = Pertanto z = 8 oppure z = Se z = 8 allora z = 8 = 8 e πi ) / = e i π+kπ k = 0,, ) = e πi/, e πi, e πi/ =, ± i Se z = si ha z = = e i kπ k = 0,, ) =, ± i In definitiva otteniamo le 6 soluzioni: z =, ± i,, ± i Le prime sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell origine con un vertice nel punto, 0)), le altre sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza centrata nell origine di raggio con un vertice nel punto, 0)) d) Posto z = x + iy e ricordando che zz = z, si ottiene l equazione: x + y x iy + i = 0 Annullando la parte reale e la parte immaginaria otteniamo il sistema x + y x = 0 x x + y = 0 = 6 = 0 y = La prima equazione ha soluzioni: x = ± ),

8 Pertanto le soluzioni dell equazione iniziale sono: ) z = + + i ), z = + i Nel piano complesso questi sono i punti di coordinate ) +, e ), e) Raccogliendo z a fattor comune otteniamo l equazione zz + i) = 0, da cui z = 0 oppure z + i = 0, cioè z = i, z = i = e i π+kπ k = 0,, ) = e πi/, e 7πi/6, e πi/6 = i, i, i Otteniamo così l origine più i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell origine con un vertice nel punto 0, )) f) Con un raccoglimento parziale otteniamo z 6 iz + z i = z z i ) + z i = z i ) z + ) = 0 z = i, z = z = i, Scrivendo i = e πi/, = e πi, otteniamo z = e i π +kπ k = 0, ) = ± e πi/ ) = ± + i, z = e i π+kπ k = 0,,, ) = ± e πi/, ± e πi/ + i ), ± + i ) = ± Abbiamo così soluzioni: ) z = ± + i ) z = ± + i con molteplicità ) con molteplicità ) e Queste sono i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell origine 0 a) Posto z = t si ottiene l equazione t +t+ = 0, le cui soluzioni sono t = ±i Dobbiamo quindi calcolare le radici quadrate di ± i + i = e πi/ z = + i = + i) / = ± e πi/8 i = e πi/ z = i = i) / = ± e πi/8 b) Raccogliendo z si ottiene z z + + i ) = 0 z = 0, i Scrivendo i = e πi/ otteniamo, oltre a z = 0, le soluzioni z = i) / = 8 e i π+kπ k = 0,,, )

9 c) Dalla definizione di radice n-esima di un numero complesso si ha ) / z i = = e πi/6 ) / = e i π 6 +kπ k = 0,,, ) + i z = i + e πi/, i + e πi/, i + e πi/, i + e 7πi/ d) Posto z = t otteniamo l equazione t t + = 0, le cui soluzioni sono t = ± i Dobbiamo quindi calcolare le radici cubiche dei due numeri complessi ± i + i = e πi/ z = + i = + i) / = 6 e i π +kπ k = 0,, ) i = e 7πi/ z = i = i) / = 6 e i 7 π+kπ k = 0,, ) e) Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado otteniamo: z = ± i = ± i Dobbiamo calcolare i, cioè le due radici quadrate di i Poichè queste sono l una l opposto dell altra, il ± nella formula precedente è superfluo e si può sostituire con + ) Scrivendo i = e πi/, otteniamo i = e i π+kπ k = 0, ) = ± e πi/ = ± da cui f) Si ha z = ± ) + i = + i) = i + 9i = 8i + i ), + i, + i L equazione proposta diventa z + i) = 8i z + i = 8i z = i + 8i) / = i + 8 e i π +kπ k = 0, ) = i ± e πi/ = i ± ) + i = + i, i g) Le soluzioni sono le due radici quadrate di i: z = i In forma esponenziale i = r e iθ, con r = =, cos θ = / sin θ = / Questo sistema determina univocamente θ ma non ne fornisce il valore esplicito θ non è un angolo notevole) La formula per le radici quadrate fornisce comunque la soluzione esplicita z = i = ± r e i θ = ± e i θ = ± cos θ + i sin θ ), dove cos θ, sin θ sono determinati dalle formule di bisezione

10 cos θ = ± +cos θ sin θ = ± cos θ cos θ = ± + = ± sin θ = ± = ± I segni ± si determinano osservando che θ sta nel quarto quadrante essendo cos θ > 0, sin θ < 0) e quindi θ/ sta nel secondo quadrante Ne segue che cos θ = sin θ = z = ± ) + i = ± + i) = + i, i Un altro metodo per risolvere l equazione z = i è quello di utilizzare la forma cartesiana: z = x + iy Sostituendo nell equazione otteniamo x y + ixy = i Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie otteniamo il sistema x y = x = x xy = y = x Dalla prima equazione, posto x = t, otteniamo t t = 0, da cui t =, La soluzione t = < 0 non è ammissibile in quanto t = x 0 Otteniamo così x = ± y =, e infine z = i, + i Si ha: P i) = 6 8i 0 + 8i + = 0, quindi z = i è una radice di P z) Poichè P z) ha coefficienti reali, anche i = i è una radice di P z) Ricordiamo che un polinomio ha la radice z = z 0 se e solo se esso è divisibile per z z 0 ) Pertanto P z) è divisibile per il polinomio z i)z + i) = z + Eseguendo la divisione di P z) per questo polinomio otteniamo P z) = z + ) z + z + ) Le altre radici di P z) sono dunque le soluzioni dell equazione z + z + = 0, cioè z = ±i In definitiva le radici di P z) sono ±i, ± i Poiché P z) è un polinomio a coefficienti reali, se ha la radice + i ha anche la radice i; dunque P z) è divisibile per il polinomio: Az) = [z + i)] [z i)] = z ) i = z z + Per trovare le altre radici di P z) eseguiamo la divisione di P z) per Az), ottenendo P z) = z z + ) z z + ) Le radici di z z + sono e Pertanto le radici di P z) sono: + i, i,, La decomposizione di P z) in fattori irriducibili su IR è:

11 P z) = z )z )z z + ) Su C, P z) si decompone in fattori di primo grado: P z) = z )z )z i)z + i) Si ha P ) = ) + + i) ) + [ + )i ] ) i = + + i + i i + i = 0 Pertanto z = è radice di P z) Per trovare le altre radici, dividiamo P z) per z + ) ad esempio utilizzando il metodo di Ruffini: + i + )i i i i + i i // Dunque P z) = z + )z + iz i ) Le radici del polinomio di secondo grado z + iz i sono: z = i ± + + i = i ± + i Poiché + i = e πi/, le radici quadrate di + i sono + i = ± e i π 6 = ± ) + i = ± + i) Sommando a queste i otteniamo infine le seguenti tre radici di P z): ) ) z =, + i, + i Poiché P z) deve avere coefficienti reali, se ammette la radice z = i con molteplicità ) ammette anche la radice z = + i ancora con molteplicità ) Dunque P z) è divisibile per ) [ [z i)] [z + i)] = z ) i) ] = z z + ) Inoltre P z) deve essere divisibile per z avendo z = come radice semplice) Poiché P z) deve essere di grado, sarà P z) = kz )z z + ), k C Poiché P 0) =, si deve avere: = k ) 69, da cui k = polinomio cercato è: 07 Pertanto il P z) = 07 z )z z + )

12 Si ha: α 0 + α + α + α + + α n = n r e i θ n = n r e i θ n + e i πn + e i π n ) = n e i π n r e i θ n n e i π n = n r e i θ e πi n = 0 e i π n } + e i π n + e i π n + e i 6π n + + e i n )π n ) ) + e i π ) } n + + e i π n n Abbiamo usato l identità somma di una progressione geometrica) + x + x + x + + x n = xn x

13 ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = ) + i i) 7 Per risolvere l esercizio proposto applichiamo le formule per il calcolo della potenza e del rapporto tra numeri complessi A tale scopo, dobbiamo esprimere i numeri complessi che compaiono nella formulazione dell esercizio in forma trigonometrica Per cui poniamo : w = + i = ρcos ϕ + isin ϕ) Quindi sostituendo nell espressione data: v = i = rcos θ + isin θ) per la formula di de Moivre) z = w [ρcos ϕ + isin ϕ)] = v7 [rcos θ + isin θ)] 7 = = ρ cos ϕ + isin ϕ) r 7 cos 7θ + isin 7θ) = = ρ [cos ϕ 7θ) + isin ϕ 7θ)] ) r7 A questo punto per completare l esercizio si devono calcolare i moduli e gli argomenti di w e v ) ) w = + = v = + ) = Per calcolare gli argomenti di w e v si devono risolvere i sistemi: cos ϕ = sinϕ = ) cos θ = sinθ = ) il rapporto tra due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il rapporto dei moduli e per argomento la differenza tra gli argomenti

14 Risolviamo il primo sistema: Gli angoli ϕ [0,π] che risolvono la prima equazione sono: ϕ = 6 φ oppure ϕ = 7 6 π, mentre la seconda equazione è risolta dai valori ϕ = π 6 e ϕ = 6π Il sistema ) ha quindi per soluzione :ϕ = 6 π Risolviamo il secondo sistema: Gli angoli θ [0,π] che risolvono la prima equazione sono: θ = π oppure θ = 7 π, mentre la seconda equazione è risolta dai valori θ = π e θ = 7 π Il sistema ) ha quindi per soluzione :θ = 7 π Continuiamo lo svolgimento dell esercizio sostituendo nell espressione ) i valori di w, v, θ, ϕ, sopra calcolati: z = ) 7 [cos 6 ) π 77 π + sin 6 )] π 77 π = = [ 8 cos 6 π 9 ) π + isin 6 π 9 )] π = = [ 8 cos 97 ) π + isin 97 )] π Si tratta di determinare l argomento principale di z cioè l angolo ξ [0,π) tale che :z = σcos ξ + isin ξ) dove σ = z = 8 Per questo osserviamo che 97π = 8 π π = 8 π π + π = 8 π π + π per cui 97 π = π + π L argomento principale di z è ξ = π mentre il modulo di z è σ = z = 8 Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = Procediamo come nell esercizio precedente ponendo: Quindi sostituendo nell espressione data: + i ) 6 i ) w = + i = ρcos ϕ + isin ϕ) v = i = rcos θ + isin θ) per la formula di de Moivre) z = w6 [ρcos ϕ + isin ϕ)]6 = v [rcos θ + isin θ)] = = ρ6 cos 6ϕ + isin 6ϕ) r cos θ + isin θ) = = ρ6 [cos 6ϕ θ) + isin 6ϕ θ)] ) r Procedendo come nell esercizio svolto sopra, calcoliamo il moduli e gli argomenti di w e v, in modo da poterli sostituire nella ), ed otteniamo: w = cos π + isin ) π ) v = cos π + isin ) π 6) il rapporto tra due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il rapporto dei moduli e per argomento la differenza tra gli argomenti

15 Sostituiamo in ) : z = [ cos ) 8 6 π + isin 6 )] π Osserviamo che 6 π = π 6 π == π π + π 6π = π + 6 π, quindi L argomento principale di z è : ξ = 6 π, mentre il suo modulo è 8 Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = i) i ) 6 Il procedimento è identico a quello degli esercizi già visti sopra w = i = ρcos ϕ + isin ϕ) v = i = rcos θ + isin θ) w = cos π + isin ) π v = 6 cos 76 π + isin 76 ) π 7) 8) Applicando le formule viste sopra, in definitiva: Per cui z = 6 e l argomento principale è ξ = 0 z = 6 [cos π) + isin π)] = [cos 0 + isin 0] 6 Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = ) + i ) i Anche questo esercizio viene risolto in maniera del tutto identica a quella degli esercizi precedenti w = i = ρcos ϕ + isin ϕ) v = i = rcos θ + isin θ) w = cos π + isin π ) v = cos 7 π + isin 7 π ) 9) 0) Applicando le formule viste sopra otteniamo: z = 8 [cos 6 ] π) + isin 6 π) Per cui z = 8 e l argomento principale è ξ = π Esercizio = 8 [cos π + isin ] π

16 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso: z z = 0 Svolgimento Per risolvere l equazione poniamo:z = x + iy Sostituendo si ha x + iy) x iy = 0 x y + xyi x ) + y = 0 ) Tenendo presente che un numero complesso è zero se e solo se sono zero la sua parte reale e la sua parte immaginaria, da ) otteniamo il sistema x y x ) + y = 0 xy = 0 Da questo otteniamo x = 0 y 9 + y = 0 y = 0 x x ) = 0 Ovvero x = 0 y + = 9 + y y = 0 x x = 0 Il primo sistema non ha soluzioni, mentre il secondo sistema equivale ai seguenti y = 0 y = 0 x 0 x < 0 x x = 0 x + x 6 = 0 Il primo sistema non ha soluzioni mentre il secondo ha x =, x = La soluzione dell equazione data è: z =, z = Esercizio 6 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso: Svolgimento z z = z Osserviamo che una soluzione è z = 0 Cerchiamo le soluzioni z 0 Possiamo dividere per z ed otteniamo z z = Eguagliamo il modulo del primo membro a quello del secondo: z = onde z = Tenuto conto di questo e scomponendo l espressione dell equazione data: z z = = z z = z = ) =

17 Le soluzioni dell equazione data sono dunque z = 0 e z = Esercizio 7 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso: z + = z Svolgimento Per risolvere l equazione poniamo:z = x + iy Sostituendo si ha x + iy + = x iy) x + ) + y = x y xyi x + ) + y + x + y + xyi = 0 ) Tenendo presente che un numero complesso è zero se e solo se sono zero la sua parte reale e la sua parte immaginaria, da ) otteniamo il sistema x + ) + y = x y xy = 0 Da questo otteniamo x = 0 + y = y y = 0 x + = x Il primo sistema non ha soluzioni, mentre il secondo sistema equivale ai seguenti y = 0 y = 0 x + 0 x + < 0 x + = x x = x Il secondo sistema non ha soluzioni mentre il primo ha x, = ± La soluzione dell equazione data è: z, = ± Esercizio 8 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso: Svolgimento z z = 6z Osserviamo che z = 0 è una soluzione Cerchiamo le soluzioni z 0 Dividendo per z entrambi i membri dell equazione z = 6 z 6 Scriviamo in forma trigonometrica 6 ed applichiamo la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso ottenendo le altre soluzioni dell equazione data 6 = 6cos π + isin π}

18 [ π ) π )] z cos + kπ + isin + kπ } k = 0,,, Onde Esercizio 9 z = + i, z = + i, z = i, z = i Determinare le coppie z,w) C che risolvono il seguente sistema: w z + i = 0 z z z w = 0 Svolgimento Il sistema dato equivale ai seguenti: w z = + i z z z w = 0 w z = + i = i z z z z z w = 0 w z = i z z z i ) = 0 Poiché z = 0 non può essere soluzione della prima equazione, possiamo dividere la seconda per z ottenendo z = i Questa viene risolta calcolando le radici quarte nel campo complesso del secondo membro A tale scopo scriviamo questo numero in forma trigonometrica nel modo seguente: i = cos π + i sin ) π Le radici quarte sono quindi i = π ) π ) } cos + kπ + i sin + kπ, k = 0,,, Le soluzioni z sono: z 0 = + i ), z = + i), z = i ), z = i) Da cui 6

19 z 0 = i ), z = i), z = + i ), z = + i) Dalla prima equazione del terzo sistema otteniamo w : w 0 = i [ i = cos π + i sin π ] cos ) ) π + i sin π = = cos π + i sin π ) w = i i = = [ cos π 6 + i sin π ] = 6 w = i + i = = cos 8 π + i sin 8 π ) = i ) ; [ cos π + i sin π ] cos 7 6 π + i sin 7 6 π = ) + i cos π + i sin π ) cos ) ) π + i sin π = = ) + i ; w = i = cos + i π + i sin π ) cos π 6 + i sin π = 6 = cos 76 π + i sin 76 ) π = ) i ; In definitiva le soluzioni sono date dalle coppie: )) + i ), i ; i ), )) + i ; + i), i), ; ) ) + i ; i )) Esercizio 0 Determinare le coppie z,w) C che risolvono il sistema: z w = w z = 0 Svolgimento Il sistema dato equivale al seguente z w = z = w ovvero w w + = 0 z = w 7

20 La prima equazione del sistema è un equazione biquadratica che si risolve ponendo u = w, e quindi u u+ = 0, che ha soluzioni u, = ± i Determiniamo le soluzioni dell equazione u = w calcolando le radici quadrate di u, A tale scopo passiamo alla forma trigonometrica: u = + i = cos π + i sin π u = i = cos π + i sin π Applicando a questi numeri la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso, otteniamo rispettivamente w = cos π 6 + i sin π 6 w = cos 7 6 π + i sin 7 6 π Da cui, mediante la formula di De Moivre: z = w = cos π i sin π z = w = cos 7 π i sin 7 π In definitiva le soluzioni del sistema sono: e e w = cos 6 π + i sin 6 π w = cos 6 π + i sin 6 π z = w = cos π i sin π z = w = cos π i sin π z ;w ) = z ;w ) = z ;w ) = z ;w ) = + + i; ) + i, ) i; i, ) i; + i, i; ) i 8

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