Circuiti in regime sinusoidale

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1 ircuii in regime sinusoidale versione del 6-4- Funzioni sinusoidali a cos ampiezza fase iniziale radiani, rad pulsazione rad/s f frequenza herz, Hz T periodo secondi, s f T T π f T

2 egimi sinusoidali i considera un circuio lineare in cui ui i generaori indipendeni sono sinusoidali e hanno la sessa pulsazione e equazioni del circuio cosiuiscono un sisema di equazioni differenziali lineari nel quale i ermini noi sono funzioni sinusoidali con pulsazione e equazioni generalmene ammeono una soluzione sinusoidale con pulsazione e il circuio è asinoicamene sabile, quesa soluzione paricolare rappresena la componene di regime della risposa regime sinusoidale 3 egimi sinusoidali egime sinusoidale: condizione di funzionameno di un circuio nella quale ue le ensioni e le correni sono funzioni sinusoidali del empo aveni la sessa pulsazione Fissaa la pulsazione, una funzione sinusoidale è definia da due parameri mpiezza Fase l problema della deerminazione della soluzione paricolare sinusoidale delle equazioni del circuio cioè della deerminazione delle ampiezze e delle fasi di ue le ensioni e correni può essere ricondoo ad un problema di ipo algebrico mediane la rasformaa di einmez l meodo di analisi basao sulla rasformaa di einmez è deo anche meodo simbolico 4

3 Trasformaa di einmez Trasformaa di einmez: d ogni funzione sinusoidale di pulsazione a cos+ si associa un numero complesso avene modulo ampiezza della funzione sinusoidale argomeno fase della funzione sinusoidale a e cos sen fasore o numero complesso rappresenaivo di a nirasformaa di einmez: a ee e e cos 5 nerpreazione geomerica s e e e cos a e 6

4 roprieà della rasformaa di einmez Unicià a rasformaa di einmez sabilisce una corrispondenza biunivoca ra le funzioni sinusoidali di pulsazione e i numeri complessi a b cos a B cos B b B e e a b B 7 roprieà della rasformaa di einmez inearià a rasformaa di einmez è un operazione lineare a b cos a B cos B b B e e, a b a b B : 8

5 9 roprieà della rasformaa di einmez egola di derivazione a rasformaa della derivaa di una funzione sinusoidale si oiene moliplicando per la rasformaa della funzione Dimosrazione: d d a a cos a e a cos sen a d d a e e e e a d d roprieà della rasformaa di einmez egola di derivazione pplicando ricorsivamene la regola di derivazione si possono oenere le rasformae delle derivae di ordine superiore n n n n n d d d d d d d d d d d d a a a a a a

6 nirasformaa Noo il numero complesso rappresenaivo di una funzione sinusoidale e a x y e noa la pulsazione, è possibile deerminare in modo univoco la funzione sinusoidale a mediane la relazione cos cos arg a Noa: ale la relazione g yx ma queso non consene di affermare che arcgyx Dao che la funzione angene ha periodo esisono due valori di nell inervallo in cui la angene ha lo sesso valore er deerminare occorre enere cono dei segni di x e y nirasformaa deerminazione della fase

7 nirasformaa deerminazione della fase x y e x y arcg sgn y x sgn y y arcg x per y sgn y per y per y y per per per x x x 3 Bipoli in regime sinusoidale ondizioni di regime sinusoidale Tensione e correne orienae secondo la convenzione dell uilizzaore: v cos v i cos fasameno fra ensione e correne: i e e 4

8 esisore in regime sinusoidale v i i v cos cos la ensione e la correne sono in fase 5 nduore in regime sinusoidale v d i d sen cos la correne è in quadraura in riardo rispeo alla ensione 6

9 nduore relazioni ra i fasori v d i d X B eaanza: X usceanza: B X 7 ondensaore in regime sinusoidale d v i d sen cos la correne è in quadraura in anicipo rispeo alla ensione 8

10 ondensaore relazioni ra i fasori i d v d B X usceanza: B eaanza: X B 9 mpedenza e ammeenza e relazioni ra i fasori della ensione e della correne per il resisore, l induore e il condensaore sono casi paricolari delle equazioni Y omponene Y esisore nduore ondensaore

11 mpedenza e ammeenza iù in generale, per un bipolo lineare non conenene generaori indipendeni, la ensione e la correne sono legae ra loro da relazioni differenziali lineari omogenee er la proprieà di linearià e la regola di derivazione della rasformaa di einmez, le corrispondeni relazioni ra i fasori della ensione e della correne sono lineari algebriche omogenee, e quindi ancora del ipo Y Nel caso generale e Y sono funzioni complesse della pulsazione X Y B mpedenza er un bipolo lineare non conenene generaori si definisce impedenza il rapporo Ζ X e resisenza X reaanza unià di misura ohm l modulo dell impedenza è uguale al rapporo ra le ampiezze della ensione e della correne argomeno dell impedenza è uguale allo sfasameno ra la ensione e la correne correne in riardo sulla ensione arg correne in anicipo sulla ensione

12 3 mmeenza l reciproco dell impedenza è deo ammeenza algono le relazioni e Y B Y X X X X X X Y X X X B X Y Y B B B X B B B B conduanza B susceanza unià di misura siemens 4 Esempio - Bipolo serie d d i i v v v X B Y

13 5 Esempio - Bipolo serie arcg arg, a correne è in riardo rispeo alla ensione 6 Esempio - Bipolo parallelo d d d d dx x v v i v v i i i

14 7 Esempio - Bipolo parallelo X Y B Y 8 Esempio - Bipolo parallelo arcg arg, a correne è in riardo rispeo alla ensione

15 9 Esempio - Bipolo serie d d d d dx x i i v i i v v v 3 Esempio - Bipolo serie X B Y

16 3 Esempio - Bipolo serie arcg arg, a correne è in anicipo rispeo alla ensione 3 Esempio - Bipolo parallelo d d v v i i i B Y X Y

17 Esempio - Bipolo parallelo arg arcg, a correne è in anicipo rispeo alla ensione 33 nalisi di circuii in regime sinusoidale Equazioni dei componeni eneraori indipendeni: sono noe le ensioni o le correni sono noi anche i loro fasori Bipoli lineari: Y eneraori dipendeni: per la proprieà di linearià, le relazioni ra i fasori sono r g 34

18 nalisi di circuii in regime sinusoidale Equazioni dei collegameni e relazioni ra le grandezze funzioni del empo sono espresse da equazioni algebriche lineari omogenee del ipo i v er le proprieà di unicià e di linearià della rasformaa di einmez i v e leggi di Kirchhoff valgono anche per i fasori delle ensioni e delle correni 35 nalisi di circuii in regime sinusoidale e equazioni di un circuio lineare in regime sinusoidale, scrie in ermini di fasori, hanno la sessa forma delle equazioni di un circuio lineare resisivo in regime sazionario e proprieà e meodi di analisi dedoi a parire delle equazioni generali dei circuii resisivi possono essere esesi ai circuii in regime sinusoidale con le sosiuzioni: esisenza mpedenza onduanza mmeenza Tensione Fasore della ensione orrene Fasore della correne n paricolare si possono esendere ai circuii in regime sinusoidale le relazioni di equivalenza riguardani collegameni ra resisori o generaori serie, parallelo, sella-riangolo, formule di illman ecc. i meodi di analisi generali meodo delle maglie,meodo dei nodi e meodo degli anelli il eorema di sovrapposizione i eoremi di Thévenin e Noron 36

19 37 mpedenze in serie e in parallelo mpedenze in serie mpedenze in parallelo N N K N Y N N K Y Y Y Y 38 ariore di ensione e di correne ariore di ensione ariore di correne N N Y Y

20 39 Trasformazioni dei generaori Y 4 Equivalenza sella-riangolo

21 Teorema di sovrapposizione poesi: circuio lineare conenene N generaori indipendeni di ensione v,..., v N N generaori indipendeni di correne i,..., i N ui i generaori sono sinusoidali con la sessa pulsazione condizioni di regime sinusoidale fasori della ensione e della correne del generico lao i sono combinazioni lineari dei fasori delle ensioni e delle correni impresse dai generaori indipendeni i i N N α y i i N N z β i i 4 Funzioni di ree coefficieni delle combinazioni sono funzioni complesse della pulsazione e sono dei funzioni di di ree α i adimensionale y i i i h h h h h h h h ha le dimensioni di un ammeenza ha le dimensioni di un impedenza h h e funzioni di ree che meono in relazione i fasori della ensione e della correne dello sesso lao sono dee funzioni di immeenza e funzioni di ree che meono in relazione fasori di ensioni e correni di lai diversi sono dee funzioni di rasferimeno z β i i i i h h h h h h adimensionale 4

22 mpedenza di ingresso Funzioni di immeenza N h h h h mmeenza di ingresso Y h h h h 43 Funzioni di rasferimeno apporo di rasferimeno di ensione α i i h h h h apporo di rasferimeno di correne β i i h h h h 44

23 Funzioni di rasferimeno mpedenza di rasferimeno z i i h h h h mmeenza di rasferimeno y i i h h h h 45 Teorema di Thévenin poesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo -B è formao da componeni lineari e generaori indipendeni il bipolo -B è comandao in correne l bipolo -B equivale a un bipolo formao da un generaore indipendene di ensione in serie con un impedenza eq è la ensione a vuoo del bipolo -B eq è l impedenza equivalene del bipolo -B con i generaori indipendeni azzerai B eq B 46

24 Teorema di Noron poesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo -B è formao da componeni lineari e generaori indipendeni il bipolo -B è comandao in ensione l bipolo -B equivale a un bipolo formao da un generaore indipendene di correne cc in parallelo con un ammeenza Y eq cc è la correne di corocircuio del bipolo -B Y eq è l ammeenza equivalene del bipolo -B con i generaori indipendeni azzerai B cc Yeq B 47 N-pore lineari in regime sinusoidale er un N-pore lineare in condizioni di regime sinusoidale le relazioni cosiuive, in ermini di fasori, sono del ipo v Bi con a an b bn v i Β N N a N a NN b N b NN Nel caso di componeni resisivi i coefficieni delle marici e B sono reali, menre nel caso di componeni dinamici, in generale, sono complessi e il componene è comandao in correne oppure in ensione è possibile rappresenarlo mediane parameri di impedenza o di ammeenza che cosiuiscono una generalizzazione dei parameri di resisenza e di conduanza 48

25 49 arice di impedenza arice di impedenza v i NN N N N N z z z z i v h h z 5 arice di ammeenza arice di ammeenza i Yv NN N N N N y y y y Y i v h h y

26 5 Doppi bipoli lineari in regime sinusoidale er i doppi bipoli lineari in regime sinusoidale è possibile generalizzare anche le marici ibride e di rasmissione Nel caso di componeni dinamici i coefficieni delle marici, in generale, sono complessi H h h h h arice ibrida H h h h h arice ibrida inversa T D B arice di rasmissione marice caena T D B arice di rasmissione inversa marice caena inversa 5 ignificao dei parameri di impedenza z impedenza di ingresso a vuoo alla pora z impedenza di rasferimeno a vuoo dalla pora alla pora z impedenza di ingresso a vuoo alla pora z impedenza di rasferimeno a vuoo dalla pora alla pora z z z z

27 ignificao dei parameri di ammeenza y y y ammeenza di ingresso in corocircuio alla pora y ammeenza di rasferimeno in corocircuio dalla pora alla pora y y y ammeenza di ingresso in corocircuio alla pora y ammeenza di rasferimeno in corocircuio dalla pora alla pora 53 ignificao dei parameri ibridi h h h impedenza di ingresso in corocircuio alla pora h rapporo di rasferimeno di correne in corocircuio dalla pora alla pora h h h ammeenza di ingresso a vuoo alla pora h rapporo di rasferimeno di ensione a vuoo dalla pora alla pora 54

28 55 ignificao dei parameri di rasmissione B D 56 Trasformaore ideale in regime sinusoidale e ensioni alla pora e alla pora sono in fase ra loro e correni alla pora e alla pora sono in opposizione di fase i K i Kv v K K

29 57 nduori accoppiai in regime sinusoidale e equazioni sono un caso paricolare di rappresenazione mediane di coefficieni di impedenza d d d d d d d d i i v i i v 58 oenza assorbia da un bipolo in regime sinusoidale oenza assorbia dal bipolo cos cos cos cos cos cos i v p cos i cos v

30 oenza assorbia da un bipolo in regime sinusoidale 59 oenza assorbia da un bipolo in regime sinusoidale a poenza è daa dalla somma di un ermine sinusoidale con pulsazione poenza fluuane e di un ermine cosane ampiezza del ermine oscillane è l ermine cosane rappresena il valore medio sul periodo della poenza isananea p m T T p d cos cos è deo faore di poenza l faore di poenza è il rapporo ra il ermine cosane e l ampiezza del ermine oscillane parià di ampiezza di v e i, il valore medio sul periodo della poenza isananea aumena al crescere del faore di poenza 6

31 oenza assorbia da un bipolo in regime sinusoidale l faore di poenza cos vale se la ensione e la correne sono in fase umenando il faore di poenza si riduce fino ad annullarsi quando ensione e correne sono in quadraura er > il faore di poenza divena negaivo e vale se la ensione e la correne sono in opposizione di fase cos in ogni semiperiodo l energia assorbia dal bipolo è cos in ogni semiperiodo l energia assorbia dal bipolo è quesa condizione si può verificare solo se il bipolo è aivo per un bipolo passivo si ha necessariamene cos 6 oenza assorbia da un resisore p cos p m 6

32 63 oenza assorbia da un induore cos cos p cos m p 64 oenza assorbia da un condensaore cos cos p cos m p

33 omponeni aiva e reaiva della correne Nel caso generale, si può scomporre la correne isananea nella somma di due ermini: uno in fase con la ensione come nei resisori componene aiva: i uno in quadraura con la ensione come negli induori e nei condensaori componene reaiva: i i cos cos[ coscos ] sen sen coscos sen cos / i i 65 omponeni aiva e reaiva della correne appresenazione nel piano complesso cose sen e sen e 66

34 67 oenza isananea aiva e reaiva composizione della poenza isananea oenza isananea aiva oenza isananea reaiva p p i v i v i i v p cos cos cos cos cos cos cos p sen sen sen sen cos p 68 oenza isananea aiva e reaiva

35 oenza isananea aiva e reaiva a poenza isananea aiva non cambia mai segno se cos > è sempre flusso unidirezionale di energia dall eserno verso il bipolo se cos > a poenza isananea reaiva è una funzione sinusoidale del empo con pulsazione l energia ad essa associaa fluisce alernaivamene dall eserno verso il bipolo e viceversa in un inervallo di duraa pari a un semiperiodo di v e i, l energia complessivamene scambiaa ra il circuio e il bipolo è nulla 69 oenza aiva oenza aiva: valore medio sul periodo della poenza isananea aiva = valore medio sul periodo della poenza isananea unià di misura wa, W T T p d T T p d cos Un inervallo T può essere approssimao con un numero inero di periodi energia assorbia da un bipolo in un inervallo di duraa molo grande rispeo al periodo può essere oenua dalla relazione w a, 7

36 oenza reaiva oenza reaiva: valore massimo della poenza isananea reaiva col segno di Q maxp sgn sen unià di misura della poenza reaiva è il vol-ampere reaivo Q è un indice dell enià degli scambi energeici associai alla poenza isananea reaiva onvenzionalmene si aribuisce segno alla poenza reaiva assorbia dagli induori segno alla poenza reaiva assorbia dai condensaori 7 oenza apparene oenza apparene: è definia dalla relazione unià di misura della poenza apparene è il vol-ampere a poenza apparene coincide con l ampiezza del ermine oscillane della poenza isananea dipende solo dalle ampiezze della ensione e della correne 7

37 Triangolo delle poenze appresenazione grafica delle relazioni ra poenza aiva reaiva e apparene Q cos Q sen Q g 73 oenza complessa i definisce poenza complessa la quanià N * * indica il coniugao di nserendo le espressioni di e si oiene N e e e cos sen Q Quindi si ha en mn cos sen Q N arg N 74

38 onservazione delle poenze complesse Teorema di Bouchero poesi: ircuio con l lai ersi di riferimeno sceli per ui i lai secondo la convenzione dell uilizzaore ondizioni di regime sinusoidale,,..., l fasori delle ensioni e delle correni a somma delle poenze complesse assorbie dai componeni del circuio è nulla e somme delle poenze aive e delle poenze reaive assorbie dai componeni sono nulle l l l l * N Q Dimosrazione: fasori e soddisfano le leggi di Kirchhoff. e i fasori delle correni soddisfano la K, anche i loro coniugai la soddisfano a proprieà deriva direamene dal eorema di Tellegen 75 ddiivià delle poenze complesse i assume che il lao l del circuio sia cosiuio da un bipolo i divide il circuio in due pari una formaa dal solo lao l una formaa dagli alri lai che complessivamene cosiuiscono un bipolo er il eorema di Bouchero vale la relazione N l l N l l, Q N l è la poenza erogaa dal bipolo l, cioè la poenza assorbia dal bipolo formao dagli alri componeni a poenza complessa assorbia da un bipolo formao da più componeni collegai ra loro è pari alla somma delle poenze assorbie dai singoli componeni a sessa proprieà vale per le poenze aive e per le poenze reaive l l Q 76

39 oenza complessa in funzione di e Y Y X B * N e Q m * * * Y Y * e Y * X m Y B Q, X, B 77 egni delle pari reali e immaginarie di e Y i considera un bipolo formao da componeni,, passivi Dalle espressioni delle poenze complesse in funzione di e Y e dalla proprieà di addiivià delle poenze, a seconda del ipo di componeni conenui nel bipolo, si ricavano le segueni condizioni: omponeni Q e[] m[] e[y] m[y] 78

40 alori efficaci i definisce valore efficace di una funzione a periodica di periodo T la quanià eff T T a d n paricolare, se a è sinusoidale, risula eff cos d [ cos ] d 79 alori efficaci Espressioni della poenza aiva e reaiva in funzione dei valori efficaci Q cos sen cos sen oenza assorbia da un resisore eff eff eff eff eff eff cos l valore efficace di una ensione correne sinusoidale corrisponde al valore di una ensione correne cosane che applicaa a un resisore dà luogo ad una dissipazione di poenza pari al valore medio sul periodo della poenza assorbia dal resisore in regime sinusoidale 8

41 alori efficaci E possibile definire la rasformaa di einmez anche facendo riferimeno ai valori efficaci invece che ai valori massimi e e a e cos sen a e[ e ] e[ e ] cos e e a rasformaa così definia conserva le sesse proprieà della rasformaa basaa sui valori massimi e impedenze e le ammeenze essendo definie come rappori ra fasori non cambiano se si fa riferimeno ai valori efficaci espressione della poenza complessa diviene * N e e e 8 Teorema del massimo rasferimeno di poenza aiva i considera un bipolo formao da un generaore di ensione sinusoidale in serie con un impedenza caricao da un impedenza X X l variare di, la poenza aiva cedua al carico è massima quando vale la condizione * adaameno coniugao n quese condizioni la poenza aiva poenza disponibile vale d 8 eff 4 8

42 83 Teorema del massimo rasferimeno di poenza aiva dimosrazione orrene e ensione nel carico oenza aiva cedua al carico l variare di X il denominaore è minimo e quindi è massimo se n quese condizioni ] [ e e * * X X X X 84 Teorema del massimo rasferimeno di poenza aiva dimosrazione l variare di il massimo si oiene per cioè infai: è posiivo per > e si annulla per e la derivaa di si annulla solo per queso puno deve corrispondere a un massimo Quindi deve essere, X X * n quese condizioni si ha 4 d 8 max

43 endimeno n condizioni di adaameno coniugao la poenza aiva erogaa dal generaore vale * e 4 l rendimeno definio come rapporo ra la poenza aiva erogaa dal generaore e la poenza aiva cedua al carico è a condizione di adaameno coniugao non rappresena una soluzione oimale nel caso in cui è imporane oenere rendimeni elevai 85 ifasameno Disribuzione dell energia elerica schema semplificao inea di disribuzione eneraore Uilizzaore mpedenza equivalene della linea: X ondizioni di funzionameno oimali: mpiezza della ensione sul carico praicamene indipendene dalla correne normalmene gli uilizzaori sono progeai facendo riferimeno a un valore nominale della ensione sono ollerai scosameni di pochi perceno dal valore nominale prefissao inima dissipazione di poenza nella linea 86

44 ifasameno inea di disribuzione eneraore Uilizzaore l crescere dell ampiezza della correne nella linea si riduce l ampiezza della ensione sul carico aumenano le perdie per effeo Joule lungo la linea 87 ifasameno Fissaa l ampiezza ensione, a parià di poenza aiva assorbia dal carico l ampiezza della correne è inversamene proporzionale al faore di poenza cos ampiezza della componene aiva della correne è fissaa dal valore della poenza aiva l diminuire del faore di poenza cioè all aumenare dell angolo aumena l ampiezza della componene reaiva della correne e quindi l ampiezza della correne oale er ridurre le perdie occorre aumenare il faore di poenza del carico 88

45 ifasameno Un basso faore di poenza risula svanaggioso per il forniore di energia elerica e il valore medio mensile del faore di poenza risula inferiore a ceri limii vengono applicae delle maggiorazioni sul coso dell energia e norme auali, per impiani a bassa ensione con poenza impegnaa 5 W, prevedono: per cos.9 nessuna penale per.7 cos.9 pagameno di una penale commisuraa al rapporo ra l inegrale della poenza reaiva energia reaiva e quello della poenza aiva energia aiva nel periodo di faurazione i limii sono prossimi ai valori di cos per cui l energia aiva e quella reaiva sono uguali cos.77 e l energia reaiva è pari al 5% dell energia aiva cos.894 per cos <.7 obbligo da pare dell uene di prendere provvedimeni per aumenare il faore di poenza 89 ifasameno er aumenare il faore di poenza si ricorre al rifasameno del carico i collega in parallelo all uilizzaore un bipolo puramene reaivo con reaanza di segno opposo a quella del uilizzaore sesso e il carico è ohmico-induivo X U, caso più comune la reaanza X deve essere negaiva condensaore 9

46 ifasameno Dimensionando opporunamene la reaanza X si può fare in modo che gli scambi di poenza reaiva avvengano prevalenemene ra il carico e il bipolo di rifasameno, riducendo gli scambi di poenza reaiva con il generaore la componene reaiva della correne nel carico circoli prevalenemene nel bipolo di rifasameno, riducendo l ampiezza della correne reaiva nella linea 9 ifasameno a poenza reaiva assorbia complessivamene dal carico e dal bipolo di rifasameno è Q Q er porare il faore di poenza da cos ad un valore acceabile cos la poenza reaiva assorbia dal bipolo di rifasameno deve essere Q Q Q g g e il bipolo di rifasameno è un condensaore capacià = si ha Q Quindi la capacià di rifasameno vale Q g g g g eff 9

47 isonanza serie Bipolo serie in regime sinusoidale i sudia il comporameno del bipolo al variare della pulsazione arg arcg ulsazione di risonanza: er m[] è minimo arg 93 isonanza serie prevale la reaanza capaciiva prevale la reaanza induiva la reaanza si annulla 94

48 isonanza serie arg arcg la correne è in anicipo sulla ensione la ensione è in anicipo sulla correne la ensione e la correne sono in fase 95 isonanza serie 96

49 97 isonanza serie oenza complessa assorbia: oenza aiva: oenza reaiva: Q Q Q N Q 98 isonanza serie orrene nell induore: Energia nell induore: Tensione del condensaore: Energia nel condensaore: n condizioni di risonanza: n condizioni di risonanza l energia oale accumulaa nel bipolo si maniene cosane cos i i cos i w sen v sen v w sen sen w w w

50 99 Faore di merio n condizioni di risonanza, si definisce faore di merio la quanià er un bipolo serie, se l ampiezza della correne in condizioni di risonanza è si oiene espressione dell impedenza del bipolo può essere posa nella forma T Q Q T Q Energia accumulaa Energia dissipaa in un periodo urve di risonanza er caraerizzare la risposa in frequenza di un bipolo serie, di solio si considera la funzione di rasferimeno e èfissao, H rappresena anche il rapporo ra la correne nel bipolo al variare di e la correne in condizioni di risonanza Q H H

51 urve di risonanza urve di risonanza

52 arghezza di banda e è fissao, l ampiezza della correne nel bipolo, e quindi la poenza aiva assorbia, sono massime per n quese condizioni si ha a poenza aiva assorbia può essere espressa in funzione di come H H arghezza di banda a meà poenza, B: ampiezza dell inervallo compreso ra le pulsazioni e per cui risula = / B ll aumenare di Q il modulo di H presena un picco sempre più sreo nell inorno di a larghezza di banda diminuisce con l aumenare del faore di merio 3 arghezza di banda a poenza aiva assorbia dal bipolo vale = / se è verificaa la relazione Q Q e soluzioni posiive di quesa equazione sono, Q 4Q o Quindi si ha B Q B er valori sufficienemene elevai di Q in praica per Q, si può rienere B, Q 4

53 isonanza parallelo Bipolo parallelo in regime sinusoidale i sudia il comporameno del bipolo al variare della pulsazione Y Y argy arcg ulsazione di risonanza: er m[y] Y è minimo argy 5 isonanza parallelo Y Y prevale la susceanza induiva prevale la susceanza capaciiva la susceanza si annulla 6

54 isonanza parallelo argy arcg la ensione è in anicipo sulla correne la correne è in anicipo sulla ensione la ensione e la correne sono in fase 7 isonanza parallelo 8

55 9 isonanza parallelo oenza complessa assorbia: oenza aiva: oenza reaiva: Q Q Q * Y N Q isonanza parallelo Tensione del condensaore: Energia nel condensaore: orrene nell induore: Energia nell induore: n condizioni di risonanza: n condizioni di risonanza l energia oale accumulaa nel bipolo si maniene cosane cos v v cos v w sen i sen i w sen sen w w w

56 Faore di merio er un bipolo parallelo il faore di merio è n queso caso l ammeenza può essere espressa come T Q Q Y arghezza di banda er caraerizzare la risposa in frequenza di un bipolo serie, di solio si considera la funzione di rasferimeno e è fissao, H rappresena anche il rapporo ra la ensione nel bipolo al variare di e la ensione in condizioni di risonanza andameno di H in funzione di coincide con quello viso per il bipolo serie a larghezza di banda in queso caso vale Q Y H H Q B