ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

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1 Ssso ordara sprmtal 8 9 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PIANO NAZIONALE INFORMATICA Tma d: MATEMATICA Il caddato rsolva uo d du problm rspoda a 5 qust dl qustoaro. PROBLEMA Sa la uzo dta da ( ) dov è u tro postvo R. S vrc c la drvata d ( ) è: '( ). S dca s la uzo ammtt massm mm (assolut rlatv) s prov c quado è dspar () pr og ral..s stud la uzo g ottuta da quado s dsg l graco. 4. S calcol g( )d s da l trprtazo gomtrca. PROBLEMA I u sstma d rrmto cartsao ortogoal Oy s cosdr la uzo : R R dta da ( ) k co k paramtro ral.. S dca com vara l graco d al varar d k ( k postvo gatvo o ullo). g γ l suo graco. S dmostr c γ la rtta d quazo y ao u. Sa ( ) solo puto P comu. S dtrm l ascssa d P approssmadola a mo d co u mtodo tratvo d calcolo.. Sa D la rgo ta dl prmo quadrat dlmtata da γ dal graco dlla uzo vrsa d g. S calcol l ara d D. 4. La rgo D è la bas d u soldo W l cu szo co pa prpdcolar alla bsttrc dl prmo quadrat soo tutt rttagol d altzza. S dtrm la szo d ara massma. S calcol l volum d W.

2 Ssso ordara sprmtal 8 9 QUESTIONARIO. Sa < a < b [ b b]. S prov c b b ad a. Soo dat gl sm A { 4 } B { a b c} Tra l possbl applcazo (o uzo) d A B c soo d surttv? D ttv? D bttv?. Ua mota da uro (l suo damtro è 575 mm) v lacata su u pavmto rcoprto co mattoll quadrat d lato cm. Qual è la probabltà c la mota vada a r tramt ad ua mattolla? (coè o tagl lat d quadrat). 4. Esst solo u poldro rgolar l cu acc soo sago. S dca s qusta armazo è vra o alsa s orsca ua saurt spgazo dlla rsposta. 5. S cosdro l sgut sprsso: ; ; ; A qual d ss è possbl attrbur u valor umrco? S motv la rsposta. 6. Co l auto d ua calcolatrc s applc l procdmto tratvo d Nwto all quazo s co puto zal. Cosa s ott dopo du trazo? k 7. S dmostr l dttà co k atural > k. k k k 8. Alla sta d complao d Aa l tà mda d partcpat è d a. S l tà mda uom è 6 a qulla dll do è 9 qual è l rapporto tra l umro dgl uom qullo dll do? 9. N Dscors dmostrazo matmatc toro a du uov scz Gallo Gall dscrv la costruzo d u soldo c cama scodlla cosdrado ua smsra d raggo r l cldro ad ssa crcoscrtto. La scodlla s ott togldo la smsra dal cldro. S dmostr utlzzado l prcpo d Cavalr c la scodlla a volum par al coo d vrtc V gura. b. S du put P Q dl pao gaccoo dalla stssa part rsptto ad ua rtta AB gl agol PA ˆ B OBA ˆ ao somma mor d 8 allora l smrtt AP BQ prolugat adguatamt al d là d put P Q s dvoo trscar. Qusta proposzo è stata pr scol oggtto d studo da part d scr d matmatc. S dca prcé co qual rsultat. Durata massma dlla prova: 6 or. È costto l uso dlla calcolatrc o programmabl. No è costto lascar l Isttuto prma c sao trascors or dalla dttatura dl tma.

3 Ssso ordara sprmtal PROBLEMA Sa la uzo dta da ( ) dov è u tro postvo R Puto S vrc c la drvata d ( ) è ( ) ' La uzo ( ) può ssr scrtta l modo sgut: ( ) la cu drvata utlzzado la rgola d drvazo dl prodotto sruttado la lartà dll oprator drvata è ( ) ( ) ( ) k k k k k k k ' ' Puto S dca s la uzo ammtt massm mm (assolut rlatv) s prov c quado è dspar () pr og ral. S la uzo dvta ( ) c è smpr postva strttamt dcrsct o prsta strm rlatv d assolut. La drvata prma dlla uzo scodo quato rcavato al puto è ( ) ' ( ) ' quato R >. Ora dstguamo cas cu è par o dspar:. par: la dsquazo < o è ma vrcata qud la uzo ( ) è strttamt dcrsct tutto l suo domo o prsta strm rlatv prsta u lsso a tagt orzzotal.

4 Ssso ordara sprmtal 8 9. dspar: la dsquazo è vrcata pr qud la uzo ( ) è strttamt crsct ( ) dcrsct ( ) ( ) c ( ) strttamt pr cu ssa prsta u massmo rlatvo d assoluto pr val. Pocé l massmo rlatvo cocd co qullo assoluto d è utaro dducamo pr og ral. Puto S stud la uzo g ottuta da quado s dsg l graco. g ( ) Domo: R Itrszo ass ascss: o v soo quato sa ( ) postv; Itrszo ass ordat: y c soo attor smpr Postvtà: la uzo è smpr postva tutto l domo R Astot vrtcal: o v soo quato l domo è tutto R Astot orzzotal: applcado D L Hosptal volt s a lm lm mtr lm ( ) Astot oblqu: s sstoo ao quazo y m q co Nl ostro caso ( ) g lm lm applcado D L Hosptal volt ( ) g lm lm lm oblquo dstro é l sstro; pr cu y è astoto orzzotal dstro; lm lm ( ) ( ) g m lm q [ g( ) m] lm. ± ± ( ) mtr lm pr cu o sst é l astoto g' Crscza dcrscza: ( ) aulla. pr cu la uzo è strttamt dcrsct R s 4

5 Ssso ordara sprmtal 8 9 Flss: g'' ( ) pr cu ( ) ( ) la uzo volg la cocavtà vrso l alto ( ) vrso l basso. La drvata trza d g( ) è 4 g''' ( ) ( ) pr cu g '''( ) qud la uzo prsta u lsso a tagt orzzotal ( ). Ioltr ssa prsta u lsso a tagt oblqua ( 5 ) co tagt oblqua d quazo y ( ) 5 ( 9 ) Il graco è sotto prstato:. Puto 4 S calcol g( )d s da l trprtazo gomtrca. Poamo S d. Itgrado pr part d s a: d ( ) d ( ) d ( ) 4 6 ( ) k 5

6 Ssso ordara sprmtal S 9 rapprsta l ara sottsa da g( ) ascss d du lss dlla curva. ll trvallo [] cu strm soo l PROBLEMA I u sstma d rrmto cartsao ortogoal Oy s cosdr la uzo : R R dta da ( ) k co k paramtro ral. Puto S dca com vara l graco d al varar d k ( k postvo gatvo o ullo). La uzo ( ) k La cubca ( ) al varar d k a com domo R. S. k ssa dvta ( ) è dta R trsca l ass dll ascss dll ordat ll uco puto ( ) è postva ( ) orzzotal ( ) è strttamt crsct tutto R prsta u lsso a tagt d quazo y. Il graco sgu: Studamo ora cas cu k è postvo o gatvo:. k > ;. k < S > k la uzo dvta y k ( k) c com y è dta R trsca l ass dll ascss dll ordat ll uco puto ( ) è postva ( ) crsct tutto R prsta u lsso a tagt oblqua ( ) l agguta d u trm k pr > tramuta lsso a tagt oblqua d quazo è strttamt d quazo y k. Qud k comporta c l lsso a tagt orzzotal ( ) y k. D sguto l graco pr k : s 6

7 Ssso ordara sprmtal 8 9 S < k la uzo dvta ( ) k ( k) l ass dll ascss put ( ) ( k ) ( k ) postva ( k ) ( k ) gatva ( k ) ( k ). Tal uzo prsta tr trszo co d ua sola co l ordat ( ) è è strttamt crsct k k strttamt dcrsct k k prsta u massmo rlatvo k k lsso a tagt oblqua ( ) k u mmo rlatvo k k k prsta u d quazo y k. Qud l agguta d u trm k pr k < comporta c l lsso a tagt orzzotal ( ) s tramuta lsso a tagt oblqua d quazo y k così com pr k > d oltr comporta c la uzo prsta du strm rlatv u massmo rlatvo k k k u mmo rlatvo k k k coè la cubca o è pù strttamt crsct tutto R carattrstca qusta sa d ( ) c d ( ) k k Puto Sa ( ) co k > ma prsta ac ua strtta dcrscza k. D sguto l graco pr k : g γ l suo graco. S dmostr c γ la rtta d quazo y ao u solo puto P comu. S dtrm l ascssa d P approssmadola a mo d co u mtodo tratvo d calcolo. 7

8 Ssso ordara sprmtal 8 9 L trszo tra la cubca ( ) g la rtta y corrspodoo al sstma y y da cu s rcava l quazo rsolvt c quval a trovar gl zr d ( ). La uzo ( ) è strttamt crsct tutto R quato la sua pr cu la 8 drvata prma '( ) è smpr postva. Ioltr < () > uzo pr l torma dgl zr ammtt scuramt uo zro la strtta crscza comporta c lo zro è uco. Pr trovar lo zro c avvalamo dl mtodo dll tagt d puto zal mdat ormula rcorsva ( ) '( ) 4 4 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ). Svluppado l mtodo s a: Pocé 64 possamo dr c la soluzo crcata co u rror ror a < è α 69. I raltà ttuado ac l passo succssvo dll algortmo d Nwto- Rapso s ota c 4 pr cu co ua prcso supror a qulla < rcsta partcolar co du cr sgcatv satt lo zro crcato è α 68. Puto Sa D la rgo ta dl prmo quadrat dlmtata da γ dal graco dlla uzo vrsa d g. S calcol l ara d D. L vrsa d g ( ) è g ( ). L trszo tra la cubca g ( ) g ( ) corrspodoo al sstma y y da cu s rcava l quazo rsolvt ( ) ( )( )( )( ). Nl prmo quadrat l soluzo c trssao soo c aturalmt soo comu co la rtta y. 8

9 Ssso ordara sprmtal 8 9 L ara da calcolar è prstata lla gura sgut grgo: 4 4 S d S voglamo utlzzar la proprtà dll uzo vrs (c ao grac smmtrc rsptto alla rtta y) l ara prcdt s può trovar com doppo dll ara comprsa tra l graco d y l Tal ara val ( ) graco d y : S ( ) d Puto 4 La rgo D è la bas d u soldo W l cu szo co pa prpdcolar alla bsttrc dl prmo quadrat soo tutt rttagol d altzza. S dtrm la szo d ara massma. S calcol l volum d W. Il soldo W è u prsma rtto d bas D d è d sguto prstato: 4 Tra l szo cosdrat qulla d ara massma è qulla d bas massma vsto c l altzza è costat par a. Tal bas è l sgmto AB c a com strm put dll curv c ao ascssa comprsa tra dstaza massma dalla bsttrc dl prmo trzo quadrat. La dstaza massma è par alla dstaza tra put d tagza c l rtt paralll alla bsttrc dl 9

10 Ssso ordara sprmtal 8 9 prmo trzo quadrat ao co la cubca d la sua vrsa. La rtta tagt alla cubca g ( ) ( ) P y a coct agolar m da cu rcavamo y 9 pr cu la rtta tagt avrà quazo Aalogamt la rtta tagt alla cubca ( ) y puto d tagza 9 g A. 9 P ( y ) a coct agolar m da cu rcavamo y pr cu la rtta tagt avrà quazo 9 y puto d tagza 9 B 9. Il graco sgut mostra l du curv co l rspttv tagt: La dstaza massma val allora 6 AB Il 9 volum dl soldo o è altro c u prsma pr cu l volum è V ( W ) ABas 6. Nl tsto s parla d szo co pa prpdcolar alla bsttrc dl prmo quadrat pr cu l bas d tal szo soo sgmt appartt a rtt d coct agolar -. S prdamo l grco puto P dlla cubca P ( ) Q la prozo ortogoal d P sulla bsttrc la bas dlla szo sarà l doppo dlla lugzza dl sgmto PQ. Ma ssdo PQ paralllo alla bsttrc d II IV quadrat s madamo da P da Q l paralll agl ass coordat v a ormars u quadrato d cu PQ è la dagoal: qusto sgca c la drza tra l ascss d P d Q è valor assoluto ugual alla drza dll rspttv ordat. S camamo apputo qusta drza valor assoluto allora PQ la lugzza massma pr la bas d rttagol è. Data la covsstà dlla uzo cubca ll trvallo qusto [ ] Q. Ma Q appart alla bsttrc dl prmo rsptto all coordat d P s a ( ) quadrat pr cu l ascssa d Q l ordata d Q soo ugual. S rcava duqu

11 Ssso ordara sprmtal 8 9 da cu. La lugzza da mmzzar è ( ) c a massmo quado a massmo coè pr (basta studar l sgo dlla drvata prma dlla uzo (D []- ). La lugzza crcata è 6 6 l coordat d put partcolar P Q pr soo P Q QUESTIONARIO Qusto Sa < a < b [ b b]. S prov c b b ad a b Sruttado la lartà dll tgral rcordado c a b b ad a s a sg s a: a s < a ( a) ( a) ( a ) d ( a) a ( a ) ( a) ( a b) ( b a) a b ab a b ab a b b a d b a b b a Qusto Soo dat gl sm A { 4 } B { a b c} Tra l possbl applcazo (o uzo) d A B c soo d surttv? D ttv? D bttv? Prcé ua rlazo bara da A a B sa ua uzo è cssaro suct c ad og lmto d A corrspoda uo d u solo lmto d B. Ua uzo : A B s dc surttva quado og lmto dl codomo B è mmag d almo u lmto d A. Ua uzo : A B s dc ttva quado og lmto d B è mmag al pù d u lmto d A. Ua uzo : A B s dc bttva quado è sa ttva c surttva coè quado cascu lmto d B è mmag d sattamt u lmto d A.

12 Ssso ordara sprmtal 8 9 Pocé A a 4 lmt B a lmt coè Card(A)>Card(B) o possoo sstr uzo ttv da A a B qud ppur bttv. Ivc sstoo uzo surttv da A a B: basta partzoar l sm A part ( qusto lo s può ar solo s uo d tr sottosm c costtuscoo la partzo a lmt cascuo dgl altr du a lmto) assocar gl lmt mara tal c qull appartt allo stsso sottosm dlla partzo abbao la stssa mmag. Ad smpo s scglamo la sgut partzo d A: A {} A {} A {4} possamo dr ua uzo : A B l modo sgut: ()()a ()b (4)c ma potvamo arlo ac altro modo prcsamt 6 mod prmutado gl lmt dll sm B lascado prò la codzo c ()(). Qusto sgca c c soo 6 uzo surttv pr og partzo dll sm A part. Pr c coosc umr d Strlg d scoda spc l umro dll partzo d u sm d 4 lmt tr part è S(4)6 da cu s dduc c tutt l possbl uzo surttv da A a B dstt soo total 6. Prò ac pr c o cooscss umr d Strlg d scoda spc è acl covcrs c l partzo d A tr part soo propro 6 basta lcarl o ac pù smplcmt ossrvado c ogua d ss s può trovar dvduado du lmt da abbar modo c ss appartgao allo stsso sottosm dlla partzo gl altr du sao lascat da sol qud l umro rcsto o è altro c l umro d combazo C (4) coè l umro d sottosm d du lmt 4 appartt ad u sm d quattro lmt coè l coct bomal 6. Ecco pr stso l s partzo dll sm A: { 4} { 4} { 4 } { 4} { 4 } { 4 }. Pocé o sstoo uzo ttv allora o sstoo mmo uzo bttv. Qusto Ua mota da uro (l suo damtro è 575 mm) v lacata su u pavmto rcoprto co mattoll quadrat d lato cm. Qual è la probabltà c la mota vada a r tramt ad ua mattolla? (coè o tagl lat d quadrat) Prcé la mota vada a r all tro dlla mattolla è cssaro suct c l suo ctro cada all tro d u quadrato d lato par alla lugzza dl lato quadrato dlla mattolla mo du volt l raggo dlla mota qud la probabltà è data dal rapporto tra l ara d qusto quadrato l ara dlla suprc dlla mattolla duqu trasormado mllmtr ctmtr: (.575) 7.45 p (.745. ) 55%.

13 Ssso ordara sprmtal 8 9 Qusto 4 Esst solo u poldro rgolar l cu acc soo sago. S dca s qusta armazo è vra o alsa s orsca ua saurt spgazo dlla rsposta. L armazo è alsa l sso c o sst alcu poldro rgolar co acc sagoal. La motvazo sulla mpossbltà è la sgut: prcé u poldro sa rgolar l acc dvoo ssr tutt cogrut ra loro dvoo ssr polgo rgolar. Naturalmt ac ddr gl agolod dvoo ssr tutt cogrut tra loro. I partcolar c sormamo agl agolod: dvoo sstr almo tr acc c coluscoo a cascu vrtc ( c costtuscoo u trdro) ma prcé l agolod sa b dto la somma dgl agol dll acc c coluscoo allo stsso vrtc dv ssr mor d u agolo gro (a mo c l poldro o sa cocavo ma tal caso o potrà ssr rgolar). U agolo d u sagoo rgolar msura l trplo d tal msura è propro 6 coè l agolo gro. Pr qusto motvo o possoo sstr poldr rgolar a acc sagoal ovvro a acc polgoal co pù d s lat. Qusto 5 S cosdro l sgut sprsso: ; ; ; A qual d ss è possbl attrbur u valor umrco? S motv la rsposta. L uca sprsso a cu è attrbubl u valor umrco è L altr sprsso ao sgcato solo lla tora d lmt. Soo orm dtrmat possoo assumr valor dvrs a scoda dl tpo d uzo. La scoda può assumr qualsas valor o può ac o sstr la trza può assumr valor (smpr com lmt) d o to ma può ac o sstr la quarta è spsso oggtto d dscusso tra matmatc ma ac ssa può assumr qualsas valor ac s lmtatamt al campo d dzo duqu dovrbb ssr assuta com postva. Rcorrdo alla dzo d dvso com oprazo vrsa dlla moltplcazo s a: prcé ; o a u valor dto att pr u qualsas umro k s a k ; o a u valor umrco prcé ssu umro moltplcato pr può dar. Dal momto c abbamo parlato d lmt damo alcu smp d uzo co rlatv lmt c s prstao ll orm dat:

14 Ssso ordara sprmtal 8 9 ( ) r( ) s( ) S a () ma ac g( ) z( ) log [ ] ( ) [ log( ) ] t log u( ). lm ( ) ( ) lm ( ) lm ( ) ( )( ) lm g( ) ma pù prcsamt l lmt o sst prcé lm ( ) g ( )( ) mtr lm g( ) lm g( ) lm ma pù ( ) prcsamt l lmt o sst prcé lm g( ) mtr lm g( ) ( ) ( )( ) lm( ) lm lm ( ) lm ( ) z r lm s( ) lm t( ) lmu( ) o sst mtr sstoo du dstro sstro lm u( ) lm u( ). lmt Qusto 6 Co l auto d ua calcolatrc s applc l procdmto tratvo d Nwto all quazo s co puto zal. Cosa s ott dopo du trazo? La ormula rcorsva su cu s basa l mtodo dll tagt o d Nwto è Svluppado l mtodo s a: ( ) '( ) s ta ta cos ( ) '( ) ta ( ) '( ) ta coè ottamo co la prcso d 9 cr u approssmazo d π. ( ) '( ). 4

15 Ssso ordara sprmtal 8 9 Qusto 7 k S dmostr l dttà co k atural > k. k k k Il prmo mmbro dll uguaglaza val k k k ( ) ( ) dov k - k - soo umr atural: att pr l pots k. Vrcamo c ac l sprsso a scodo k k k mmbro s può scrvr llo stsso modo. Iatt k k k k k k k k k k k Ora k ( k ) ( k ) mtr ( ) ( ) pr cu l uguaglaza è dmostrata. ( ) ( ) ( ) k pr cu k k k k ( ) ( ). Qusto 8 Alla sta d complao d Aa l tà mda d partcpat è d a. S l tà mda uom è 6 a qulla dll do è 9 qual è l rapporto tra l umro dgl uom qullo dll do? Idcamo co N l umro dgl uom; N l umro dll do; S la somma dll tà dgl uom; S la somma dll tà dll do; M l tà mda dgl uom (6 a); M l tà mda dll do (9 a); M l tà mda d partcpat ( a). S a M M S S N ( N N ) S S M M. Dalla trza uguaglaza sruttado l prm du s rcava N N N S S N N N ( N N ) 6N 9N 4N N N Qusto 9 N Dscors dmostrazo matmatc toro a du uov scz Gallo Gall dscrv M M

16 Ssso ordara sprmtal 8 9 la costruzo d u soldo c cama scodlla cosdrado ua smsra d raggo r l cldro ad ssa crcoscrtto. La scodlla s ott togldo la smsra dal cldro. S dmostr utlzzado l prcpo d Cavalr c la scodlla a volum par al coo d vrtc V gura. Utlzzamo la gura dl tsto cosdramo l szo d var sold co pa paralll all bas dl cldro: alla bas d damtro AB la crcorza d damtro AB appart tramt sa al coo sa alla scodlla mtr la szo paa c cot la bas dl cldro d damtro CD a comu l puto V co l coo la crcorza co la scodlla d tramb l gur pa ao ara ulla. Qusto c garatsc c l coo la scodlla soo b poszoat com gura. Dmostramo scodo Cavalr c ad ua grca altzza l szo co lo stsso pao (dlla scodlla dl coo) soo quvalt: camamo R la msura dl raggo dl cldro dlla sra. Camamo O l ctro dl crco d damtro AB. Ad ua crta altzza prdamo l puto P trszo dl pao szo co l sgmto VO co PO d lugzza cosdrado ua szo vrtcal dlla gura camamo Q l trszo co ua gratrc dl coo T l trszo co u puto dlla sra. I sguto utlzzrmo o ma rr-. La szo dl coo rsulta ssr u crco d raggo r PQ VP R mtr la szo dlla scodlla rsulta ssr ua coroa crcolar d raggo maggor R d raggo mor r' R r. L ara dlla szo dl coo è duqu π r mtr l ara dlla szo dlla scodlla è ( R r' ) πr π R πr' π. 6

17 Ssso ordara sprmtal 8 9 Qusto S du put P Q dl pao gaccoo dalla stssa part rsptto ad ua rtta AB gl agol OBA ˆ ao somma mor d 8 allora l PA ˆ B smrtt AP BQ prolugat adguatamt al d là d put P Q s dvoo trscar. Qusta proposzo è stata pr scol oggtto d studo da part d scr d matmatc. S dca prcé co qual rsultat. L armazo è ua drtta cosguza dl quto postulato d Eucld. Ttatv d dmostrazo d tal postulato attravrso prcdt pr gar c ac tal proposzo oss u assoma soo adat a vuoto (rcordamo partcolar qull d Saccr Lambrt). Dalla gazo d tal postulato soo at l cosddtt Gomtr o ucld. Rcordamo partcolar odator d du d qust gomtr: Lobacvskj (gomtra prbolca) Rma (gomtra llttca). Hao collaborato Ncola D Rosa Agla D Amato 7