Forme differenziali lineari e loro integrazione

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1 Forme differenziali lineari e loro integrazione Integrazione di una forma differenziale in due variabili Siano L(, ) e ( ) consideriamo l espressione M, due funzioni definite e continue in un insieme connesso A del piano e () L(, ) d ( ) + M, d, tale espressione si chiama forma differenziale lineare in due variabili Il problema che affronteremo è quello di vedere sotto quali condizioni è possibile definire in A una F,, continua insieme con le sue derivate parziali prime, che in ogni punto di A abbia funzione ( ) la () come differenziale totale, cioè tale per cui si abbia: () df L(, ) d + M (, ) d, ossia, che è la stessa cosa: (3) L(, ), M (, ) in ogni punto di A Se una tale funzione F (, ) esiste diremo che la forma () è integrabile in A, oppure che essa è un differenziale esatto, la funzione F (, ) sarà detta una primitiva o un integrale della forma differenziale lineare () TEOREMA Se la forma differenziale lineare () è integrabile nell insieme connesso A, essa F, uno qualsiasi di questi, tutti gli altri differiscono da que- ammette infiniti integrali e, detto ( ) sto a meno di una costante arbitraria additiva, cioè, un qualunque altro integrale G (, ) della forma () è dato da: G (, ) F (, ) + c Il simbolo L (, ) d + M (, ) d, che viene chiamato integrale indefinito della forma differenziale lineare (), indica la totalità degli integrali della () Enunciamo ora il teorema fondamentale di integrazione delle forme differenziali lineari che chiameremo criterio generale di integrabilità TEOREMA Date le due funzioni L(, ) e ( ) M, continue in un insieme connesso A del piano, condizione necessaria e sufficiente affinché la forma differenziale () sia integrabile in A, è che comunque si prendano due punti P e P di A, l integrale curvilineo

2 (4) L (, ) d + ( ) M, d esteso ad una qualsiasi curva generalmente regolare e orientata di estremi i punti P e P e tutta contenuta in A, dipenda soltanto da P, da P e dal verso di integrazione prescelto, ma non dalla curva Il teorema ora enunciato è equivalente al teorema: TEOREMA 3 L integrale curvilineo della forma differenziale lineare () esteso ad una curva generalmente regolare, chiusa e orientata, è uguale a zero Infatti se vale il teorema, allora, presa una qualunque curva generalmente regolare, chiusa e su di essa due punti distinti P e Q e indichiamo con e i due archi di curva determinati su da questi punti, orientati da P a Q (vedi figura ), si ha: ossia: da cui segue ( ) + ( ) ( ) + ( ) L, d M, d L, d M, d ( ) ( ) ( ) ( ) L, d + M, d + L, d + M, d I teoremi e hanno il seguente significato fisico L(, ) d + M (, ) d Sia f una forza che ha componenti L(, ) e M (, ) ; se esiste una funzione ( ) verifica che L(, ), M (, ) F, tale che si, allora si dice che la forza è conservativa ed ammette il potenziale F (, ) Poiché la forma differenziale () altro non è che il lavoro elementare compiuto dalla forza per spostare il punto di applicazione dal punto (,) al punto (+d,+d), il teorema significa che il lavoro compiuto da una forza conservativa per spostare il punto di applicazione da P a P dipende solo da P, da P e dal verso di spostamento, il teorema 3 significa che il lavoro di una forza conservativa su di un percorso chiuso è nullo Daremo un altro importante criterio di integrabilità per le forme differenziali, ma prima di fare ciò diamo la seguente definizione: Figura Relativa al teorema DEFINIZIONE In insieme connesso A si dice semplicemente connesso se, comunque si prendano due punti P e Figura Insieme semplicemente connesso Figura 3 Insieme non semplicemente connesso

3 P, ogni curva regolare che li congiunge appartiene ad A Ne segue che in un dominio semplicemente connesso A una qualunque curva chiusa è sempre la frontiere di un sottoinsieme di punti di A TEOREMA 4 Se le funzioni L(, ) e M (, ) sono continue in un insieme semplicemente connesso A, e se in tutto A esistono continue le derivate parziali e (5) [i ] allora la forma differenziale lineare () è integrabile in A Con un esempio faremo vedere che se A non è semplicemente connesso la condizione (5) non è sufficiente perché la forma () sia integrabile, essendo anche ESEMPIO Date le funzioni L(, ) e + M (, ) nella corona circolare di centro l origine e + raggi a e b (a < b) dimostrare che valgono le (5), ma che la forma differenziale d d non è integrabile + + Figura 4 Relativa all esempio Per prima cosa osserviamo che, poiché la corona circolare non contiene l origine, in essa le funzioni L(, ) e M (, ) sono continue insieme alle loro derivate parziali e Inoltre si ha: ( ) ( + ) Per verificare che la forma differenziale lineare non è integrabile, consideriamo una curva chiusa e dimostriamo che d d Sia infatti una qualunque circonferenza di cen- + + tro l origine e raggio r, con a < r < b, orientata, per esempio, in senso antiorario Essendo le coordinate parametriche di date da r cos t e rsent, con t π, si ha: π π d d rsent r cos t dt dt π + + r r rsent r cos t ( ) [ i ] Per ricordare questa relazione, si tenga presente che nella dimostrazione del teorema si fa uso del teorema di Schwartz per cui le derivare seconde miste della funzione primitiva F (, ) devono essere uguali: F F 3

4 Calcolo di una funzione primitiva di una forma differenziale lineare in due variabili Diamo alcuni metodi per il calcolo dell integrale indefinito di una forma differenziale lineare tipo () Per quanto si è detto nel teorema, se la forma differenziale è integrabile, allora esiste F (, ) tale che e si ha: (, ) (, ) df L(, ) d + M (, ) d ( ) ( ) ( ) ( ) L, d + M, d F, F, dove (, ) è il punto iniziale ed (, ) il punto finale della curva d'integrazione Come primo criterio, consideriamo il caso in cui A è un rettangolo P, un punto qualsiasi di A, l integrale indefinito è Detto ( ) dato da: (6) ( ) ( ) ( ) F, L, d + M, d L(, ) d M (, ) d c + + Figura 4 Integrazione di una forma differenziale lineare su di un rettangolo Il risultato è identico se il percorso da P a P viene fatto lungo altri percorsi che siano però costituiti da tratti paralleli agli assi coordinati Se A è un insieme convesso rispetto a P (, ) [ ii ] si può prendere come curva orientata il seg- P a P In questo caso le equazioni parametriche sono: ξ + ( ) t mento P P orientato da η + t con t, si può scrivere: e ( ) (7) ( ) ( ) ( ) F, L, d + M, d { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} L + t, + t + M + t, + t dt + c ESEMPIO Riconoscere che la forma differenziale lineare ( 3 3 ) + ( + ) d d è integrabile e calcolarne il suo integrale indefinito [ ii ] Cioè, comunque si prenda un punto P in A, il segmento che congiunge P con P è tutto contenuto in A 4

5 3 In questo caso è: L(, ) 3 e M (, ) + e si vede che L(, ) e M (, ) sono continue insieme alle loro derivate parziali e 3, in tutto il piano Inoltre si ha: quindi la forma differenziale lineare è integrabile Per calcolarne la primitiva possiamo applicare la, come punto di partenza; si ha: (6) considerando il punto ( ) 3 ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) F, d + + d L, d + M, d + c ( ) d c c Con un esempio diamo un altro metodo ESEMPIO 3 Riprendiamo l esempio, essendo 3, la forma differenziale line- L, 3 Integrando rispetto are è integrabile e, indicata con F una primitiva, si ha: ( ) a, si ha: F, d d M,, quindi: ψ ( ) + ψ ' ( ) +, 3 ( ) + ψ ( ) ( 3 ) + ψ ( ) + ψ ( ) D altra parte è anche ( ) ne segue che ' ( ) ψ, da cui, ( ) ψ + c Si ha quindi: 3 F (, ) + + c 3 Integrazione di una forma differenziale in tre variabili Le considerazioni svolte nei paragrafi precedenti per le forme differenziali in due variabili si estendono facilmente alle forme differenziali lineari in tre variabili N,,z tre funzioni definite e continue in un insieme connesso A Siano L(,,z ), M (,,z ) e ( ) dello spazio ordinario z e consideriamo l espressione (8) L(,,z) d + M (,,z) d + N (,,z) dz, tale espressione si chiama forma differenziale lineare in tre variabili 5

6 funzione ( ) Diremo che la forma differenziale lineare (8) è integrabile in A quando è possibile definire in A una F,,z, continua insieme con le sue derivate parziali prime, che in ogni punto di A abbia la (8) come differenziale totale, cioè tale per cui si abbia: (9) df L(,,z) d + M (,,z) d + N (,,z) dz, ossia, che è la stessa cosa: () L(,,z), M (,,z), N (,,z) in ogni punto di A Evidentemente, se la forma differenziale lineare (8) è integrabile nell insieme connesso A, essa ammette infiniti integrali che differiscono tra loro per una costante arbitraria additiva; l integrale indefinito della forma (8) verrà scritto: L (,,z) d + M (,,z) d + N (,,z) dz TEOREMA 5 Date le funzioni L(,,z ), M (,,z ) e ( ) N,,z continue in un insieme connesso A dello spazio z, condizione necessaria e sufficiente affinché la forma differenziale () sia integrabile in A, è che comunque si prendano due punti P e P di A, l integrale curvilineo () L (, ) d + ( ) M, d esteso ad una qualsiasi curva generalmente regolare e orientata di estremi i punti P e P e tutta contenuta in A, dipenda soltanto da P, da P e dal verso di integrazione prescelto, ma non dalla curva Il teorema ora enunciato è equivalente al teorema: TEOREMA 6 L integrale curvilineo della forma differenziale lineare (8) esteso ad una curva generalmente regolare, chiusa e orientata, è uguale a zero Il significato fisico dei teoremi 5 e 6 è evidente, si tratta di considerare la forza f nello spazio e quindi di componenti L(,,z ), M (,,z ) e ( ) N,,z ; le considerazioni fatte nel caso delle forme differenziali in due variabili rimangono valide Daremo un altro importante criterio di integrabilità per le forme differenziali, ma prima di fare ciò diamo la seguente definizione: DEFINIZIONE In insieme connesso A dello spazio si dice a connessione lineare semplice se, comunque si prendano due punti P e P, ogni curva regolare che li congiunge appartiene ad A Ne segue che in un dominio semplicemente connesso A una qualunque curva chiusa è sempre il bordo di una superficie fatta di tutti punti di A 6

7 TEOREMA 7 Se le funzioni L(,,z ), M (,,z ) e N (,,z ) sono continue in un insieme a connessione lineare semplice A, e se in tutto A esistono continue le derivate parziali M z, N () e N, essendo anche, allora la forma differenziale lineare (8) è integrabile in A N, N [iii ], z,, 3 Calcolo di una funzione primitiva di una forma differenziale lineare in tre variabili Per quanto si è detto nel teorema 5, se la forma differenziale è integrabile, allora esiste F (,,z ) tale che df L(,,z) d + M (,,z) d + N (,,z) dz e se A è insieme rettangolare dello spazio ordinario, detto P (,,z ) un punto qualsiasi di A, l integrale indefinito è dato da: (3) ( ) ( ) ( ) ( ) F,,z L,,z d + M,,z d + N,,z dz L(,,z ) d M (,,z ) d N (,,z) dz c z Naturalmente il risultato è identico se il percorso da P a P viene fatto lungo altri percorsi che siano però costituiti da tratti paralleli agli assi coordinati Se A è un insieme convesso rispetto a P (,,z ) si può prendere come curva orientata il segmento P P orientato da P a P In questo caso si può scrivere: (4) ( ) ( ) ( ) ( ) F,,z L,,z d + M,,z d + N,,z dz z ( ) ( ) ( ) ( ) L + t, + t,z + z z t dt + ( ) ( ) ( ) ( ) + M + t, + t,z + z z t dt + ( ) ( ) ( ) ( ) + N + t, + t,z + z z t z z dt + c [ iii ] In modo analogo a quanto detto per le forme differenziali lineari in due variabili, anche nella dimostrazione di questo teorema è necessario applicare il teorema di Schwartz, è da questo che discende questa condizione sulle derivare 7

8 Una tecnica analoga a quanto visto nell esempio 3 può essere utilizzata per il calcolo della primitiva di una forma differenziale lineare in tre variabili, si di- ESEMPIO 4 Sia z F un campo di forze di componenti + mostri che il campo è conservativo e se ne calcoli il potenziale U +, + z, + arctg Dimostrare che il campo è conservativo significa dimostrare che, per ogni curva chiusa dello spazio, si ha: + z d + ( + z) d + ( + arctg) dz, cioè la forma differenziale line- + are + + ( + ) + ( + ) z d z d arctg dz è integrabile e quindi che in + ( ) +, M (,,z) + z, ( ) + L,,z si ha: z N,,z arctg 3 R, posto: + (funzioni definite in 3 R ), N +, N e Per trovare il potenziale, è necessario determinare la primitiva della forma differenziale Dovendo U z U U essere L(,,z) +, M (,,z ) + z e N (,,z ) + arctg, + integrando la prima rispetto a, si ha: U z U,,z d L,,z d d z arctg,z + ( ) ( ) ϕ( ) dove ϕ (,z) è una funzione arbitraria di e z Quindi ϕ U ϕ U ϕ + e arctg + Ne se- z ϕ ϕ z e arctg + + arctg da cui ϕ ϕ,z d zd z + ψ z con gue che: ( ) ϕ + M,,z + z e quindi Dalla prima integrando rispetto a si ha: ( ) ( ) ϕ,z z c ψ ( z) funzione arbitraria di z Ne segue: + ψ ' ( z) ψ ( z) c Riassumendo si ha: ϕ ( ) + e quindi ( ) Utilizzando la (3) e prendendo,, z, si ha: e quindi ψ ' ( z) da cui segue U,,z z arctg z c ( ) z + U,,z + d + zd + dz + c + z arctg + z + c z 8

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