CORRENTE ELETTRICA Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università G. D Annunzio, Cosimo Del Gratta 2007

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1 CORRENTE ELETTRICA

2 INTRODUZIONE Dopo lo studio dell elettrostatica, nella quale abbiamo descritto distribuzioni e sistemi di cariche elettriche in quiete, passiamo allo studio di fenomeni nei quali le cariche sono in movimento Iniziamo con lo studio della corrente elettrica ovvero del moto ordinato di cariche elettriche per effetto di un campo elettrico applicato Abbiamo visto in precedenza un caso in cui le cariche sono in movimento: la distribuzione delle cariche in un conduttore nell induzione elettrostatica. Questo è un fenomeno transiente della durata di una piccola frazione di secondo. Ci interessiamo adesso a moti di cariche protratti nel tempo: in particolare ci interessiamo al caso stazionario, nel quale i parametri che descrivono il moto delle cariche non variano nel tempo

3 DEFINIZIONI ED ESEMPI (1) Si chiama corrente elettrica un moto ordinato di cariche elettriche Ad esempio il moto degli elettroni liberi in un metallo quando all interno del metallo vi è un campo elettrico applicato E + Elettroni liberi in un metallo

4 DEFINIZIONI ED ESEMPI (2) Altri esempi di corrente elettrica: in un elettrolita (cioè una soluzione contenente degli ioni di una sostanza dissociata, ad esempio sale in acqua) + E H 2 O Na + Cl Se poniamo nella soluzione due conduttori mantenuti a potenziali elettrici diversi, si stabilisce nella soluzione stessa un campo elettrico e le conseguenti forze sulle cariche determinano un moto ordinato. Abbiamo quindi una corrente elettrica

5 DEFINIZIONI ED ESEMPI (3) Si può avere una corrente in un gas ionizzato (come in una lampada a fluorescenza) + E Il campo elettrico che ionizza il gas genera un forza sugli ioni e sugli elettroni liberi che determina una corrente elettrica

6 DEFINIZIONI ED ESEMPI (4) Si chiamano portatori di carica le particelle o i corpi dotati di carica elettrica che movendosi costituiscono la corrente elettrica. Nel caso di un metallo i portatori di carica sono gli elettroni (negativi), nel caso di un elettrolita i portatori di carica sono gli ioni (positivi e negativi), nel caso di un gas ionizzato i portatori di carica sono ioni e elettroni liberi Il verso della corrente è quello in cui si muovono i portatori di carica positiva, oppure il verso opposto a quello in cui si muovono i portatori di carica negativa. Il verso della corrente è in ogni caso quello del campo elettrico che determina il moto delle cariche. Quindi la corrente elettrica fluisce nel verso del campo elettrico, ovvero dal potenziale più alto al potenziale più basso

7 DEFINIZIONI ED ESEMPI (5) E + Elettroni liberi in un metallo Verso della corrente elettrica in entrambi gli esempi: E + H 2 O Na + Cl

8 DEFINIZIONI ED ESEMPI (6)! Un moto disordinato, o casuale, di cariche elettriche non costituisce una corrente elettrica Ad esempio in una soluzione di sale in acqua, il moto casuale degli ioni dissociati dovuto all agitazione termica non è una corrente elettrica perché in media non vi è passaggio di carica da un punto ad un altro H 2 O Na + Cl

9 DEFINIZIONI ED ESEMPI (7) Si chiama intensità della corrente elettrica, e si indica con I, la quantità di carica elettrica che attraversa una data sezione di un conduttore nell unità di tempo (in generale, I è la quantità di carica elettrica che attraversa una data superficie nell unità di tempo ) I = ΔQ / Δt dove ΔQ è la quantità di carica che attraversa la sezione nel tempo Δt sezione Verso della corrente elettrica

10 DEFINIZIONI ED ESEMPI (8) Unità di misura: L unità di misura dell intensità di corrente elettrica nel sistema MKSA è l ampère (A) 1A = 1C / 1s L ampère è una delle unità fondamentali del sistema MKSA

11 DEFINIZIONI ED ESEMPI (9) Sia v la velocità dei portatori di carica, sia q la carica di ciascun portatore, e sia n il loro numero per unità di volume. La quantità di carica ΔQ che attraversa la sezione S nel tempo Δt è la quantità di carica contenuta nel cilindro di altezza vδt e di base la sezione del conduttore. Il volume di questo cilindro è AvΔt, il numero di portatori in esso contenuti è quindi navδt, e la carica totale di questi portatori è ΔQ = qnavδt da cui, I = ΔQ / Δt = nqva La velocità v dei portatori sezione S di carica è detta vδt velocità di deriva A

12 DEFINIZIONI ED ESEMPI (10) La densità di corrente J è l intensità di corrente per unità di superficie della sezione del conduttore: J = I / A L unità di misura nel sistema MKSA della densità di corrente èa/m 2 Dalla precedente formula ricaviamo: J = nqv

13 DEFINIZIONI ED ESEMPI (11) ESEMPIO: calcolo della velocità di deriva degli elettroni in un metallo In un filo di rame (Cu, peso atomico P = 63,5 g/mol, densità d = 9 g/cm 3 ) con sezione circolare di diametro D = 1 mm fluisce una corrente di 1 A. Se ogni atomo fornisce un elettrone libero, qual è la velocità di deriva degli elettroni? Dalla formula I = nqva, ricaviamo v = I / Anq Calcoliamo prima il numero di elettroni liberi: Se m è la massa del rame, V il suo volume, e N il numero di moli, allora d = m / V e P = m / N N / V = d / P è il numero di moli per unità di volume Il numero di atomi per unità di volume si ottiene moltiplicando per il numero di Avogadro: N A = 6, mol -1 n = N A N / V = N A d / P n = 6, / 63,5 = 0, cm -3 = 0, m -3

14 DEFINIZIONI ED ESEMPI (12) ESEMPIO: calcolo della velocità di deriva degli elettroni in un metallo (segue) L area della sezione circolare del filo è A = πd 2 / 4 A = π 10-6 / 4 = 0, m 2 Infine, q è il valore assoluto della carica dell elettrone q = 1, C Possiamo adesso calcolare v: v = I / Anq v = 1 / (0, , , ) v = 1 / (1, ) v = 0, m/s La velocità di deriva è di circa un decimo di millimetro al secondo

15 DEFINIZIONI ED ESEMPI (13) ESEMPIO: calcolo della velocità di deriva degli elettroni in un metallo (segue) Confrontiamo la velocità di deriva con la velocità termica degli elettroni. Per stimare quest ultima utilizziamo un modello molto semplificato degli elettroni liberi nel metallo: quello del gas ideale. In questo caso, dalla teoria cinetica, ricaviamo che la velocità quadratica media degli elettroni è v rms = (3kT/m), dove k = 1, J/K è la costante di Boltzmann, T è la temperatura assoluta espressa in kelvin: a temperatura ambiente (27 C) T = 300 K, e m = 9, kg è la massa dell elettrone v rms = ((3 1, ) / (9, )) v rms = (1, ) = 3, m/s

16 DEFINIZIONI ED ESEMPI (14) ESEMPIO: calcolo della velocità di deriva degli elettroni in un metallo (fine) Osserviamo che la velocità termica è molto maggiore della velocità di deriva. Tuttavia, il moto disordinato degli elettroni dovuto all agitazione termica non costituisce una corrente elettrica perché non vi è, in media, trasferimento di carica da un punto ad un altro del conduttore La corrente elettrica è quindi un moto ordinato relativamente lento sovrapposto ad un moto disordinato molto più veloce

17 FORZA ELETTROMOTRICE (1) Negli esempi precedenti, abbiamo visto che affinché si stabilisca un moto ordinato di cariche elettriche, ovvero una corrente elettrica, è necessario un campo elettrico D altra parte abbiamo anche visto che ponendo un conduttore in un campo elettrostatico le cariche libere si dispongono quasi istantaneamente in modo da realizzare un campo nullo all interno del conduttore stesso Il problema è quindi come avere allo stesso tempo una corrente elettrica stazionaria e un campo elettrico costante nel conduttore

18 FORZA ELETTROMOTRICE (2) Esistono dei dispositivi elettrici che hanno la proprietà di mantenere i loro terminali (detti poli) a potenziali diversi: pila, batteria, generatore La pila mantiene una differenza di potenziale (d.d.p.) ΔV tra i suoi poli grazie ad una reazione chimica e, in definitiva, trasforma energia chimica in energia elettrica Un dispositivo con le proprietà sopra descritte è detto sorgente di forza elettromotrice (vedremo più avanti la definizione di forza elettromotrice)

19 FORZA ELETTROMOTRICE (3) Se si collegano le due estremità di un conduttore di lunghezza d ai due poli della pila si genera all interno del conduttore un campo elettrico E = ΔV / d. Questo campo elettrico agisce sulle cariche libere del conduttore e stabilisce una corrente elettrica. Questa corrente elettrica non ha l effetto di distribuire la carica sulla superficie del conduttore e di annullare il campo elettrico all interno del conduttore stesso. La carica fluisce dal conduttore all interno della pila e nuovamente nel conduttore. In questo modo abbiamo realizzato un circuito elettrico. + Simbolo della pila

20 FORZA ELETTROMOTRICE (4) + Un circuito costituito da una pila e da un conduttore. L intensità di corrente è la stessa in ogni punto del circuito

21 FORZA ELETTROMOTRICE (5) Poiché la corrente nel conduttore è nel verso del campo elettrico, essa entra nella pila dal polo col potenziale più basso (polo negativo) ed esce dal polo col potenziale più alto (polo positivo). Quindi all interno della pila il verso della corrente è opposto a quello nei conduttori ed è opposto al campo elettrico. All interno della pila le cariche elettriche si muovono nel verso opposto a quello della forza elettrica che agisce su di esse. Ciò è dovuto all esistenza di altre forze che agiscono sulle cariche, e che sono associate alla reazione chimica che avviene nella pila

22 CONDUCIBILITA ELETTRICA (1) Abbiamo visto che affinché in un conduttore vi sia una corrente elettrica deve esservi anche un campo elettrico. Tuttavia, in conduttori diversi, a parità di intensità del campo elettrico si hanno in generale correnti elettriche di intensità diverse. Ciò dipende dalla diversa struttura microscopica dei conduttori. Dal punto di vista macroscopico, un conduttore omogeneo è caratterizzato dalla sua conducibilità elettrica σ σ = J / E ovvero J = σ E dove J è la densità di corrente in presenza del campo elettrico E. Maggiore è la conducibilità elettrica, maggiore è la densità di corrente a parità di campo elettrico. La conducibilità elettrica di una sostanza dipende da diverse grandezze fisiche, in particolare dalla temperatura

23 CONDUCIBILITA ELETTRICA (2) Anziché esprimere la densità di corrente in funzione del campo elettrico, si preferisce utilizzare l intensità di corrente e la d.d.p. Consideriamo un conduttore di lunghezza d, area della sezione A, e conducibilità σ: Se I è l intensità di corrente nel conduttore e ΔV la caduta di potenziale ai capi del conduttore stesso, dalle formule J = σe, I = JA, e ΔV = Ed, ricaviamo: I = (σ A / d) ΔV La grandezza G = σa/d è caratteristica del conduttore (non della sostanza di cui è costituito), si chiama conduttanza L inverso della conduttanza R = 1/G = d/(a σ) si chiama resistenza

24 CONDUCIBILITA ELETTRICA (3) La formula precedente si può scrivere: I = G ΔV oppure ΔV = RI e prende il nome di prima legge di Ohm. Questa è una legge empirica ed è verificata in realtà solo in un certo intervallo di valori dell intensità di corrente. Nel caso dei metalli, questo intervallo è molto ampio ed in esso la resistenza è costante, cioè la caduta di potenziale è proporzionale all intensità di corrente. Per valori molto piccoli o molto grandi dell intensità di corrente, la resistenza non è costante. Inoltre, vi sono dei materiali per i quali questa legge non è mai verificata. I materiali che ubbidiscono alla prima legge di Ohm sono detti ohmici o lineari. Infine, la resistenza dipende dalla temperatura Simbolo del conduttore ohmico o resistenza

25 CONDUCIBILITA ELETTRICA (4) L inverso della conducibilità si chiama resistività ρ ρ = 1/ σ. Possiamo esprimere la resistenza in funzione della resistività e dei parametri geometrici del conduttore: R = d/(a σ) = ρd/a Questa formula prende il nome di seconda legge di Ohm. L unità di misura della resistenza nel sistema MKSA è l ohm (Ω) L unità di misura della resistività nel sistema MKSA è l ohm per metro (Ω.m) L unità di misura della conduttanza nel sistema MKSA è il siemens (S), 1S = 1Ω -1 L unità di misura della conducibilità nel sistema MKSA è il siemens al metro (S/m)

26 CONDUCIBILITA ELETTRICA (5) OSSERVAZIONE: In un conduttore ohmico omogeneo con sezione uniforme, il campo elettrico è uniforme lungo il conduttore. Infatti consideriamo due punti B e B del conduttore separati da un piccola distanza Δr: Dalla relazione tra potenziale e Δr campo, e dalla I legge di Ohm: B B V B V B = EΔr = IΔr/(Aσ) Da cui: E = I/(Aσ) Se il conduttore è omogeneo e ha sezione uniforme, allora A e σ sono delle costanti e il campo elettrico ha lo stesso valore su tutta la lunghezza del conduttore. In particolare, se la lunghezza totale del conduttore è d, e la caduta di potenziale ai suoi capi è ΔV, allora E = ΔV/d

27 CORRENTE ED ENERGIA (1) Il campo elettrico compie lavoro sui portatori di carica. La forza su di un portatore di carica q è F = qe, dove E è il campo elettrico all interno del conduttore. Se la carica percorre la distanza Δr, il lavoro compiuto da tale forza è L = qeδr. Ma EΔr è la caduta di potenziale ΔV lungo la distanza Δr. Quindi L = q ΔV Il lavoro compiuto dal campo elettrico su di una carica è il prodotto della carica per la caduta di potenziale attraversata dalla carica stessa E q Δr F = qe

28 CORRENTE ED ENERGIA (2) Se la carica q percorre la distanza d tra i punti B e C del conduttore, il lavoro compiuto dal campo elettrico sulla carica q èl = qed= q(v B V C ) Osserviamo che il lavoro è uguale alla diminuzione di energia potenziale ΔU = qv B qv C della carica quando si muove da B a C. Poiché il campo elettrico è conservativo, il lavoro compiuto dalla forza elettrica è uguale alla diminuzione della energia potenziale della carica E B q F = qe d C

29 CORRENTE ED ENERGIA (3) Vogliamo adesso trovare un espressione per il lavoro compiuto dal campo elettrico su tutte le cariche. Consideriamo un segmento BC di filo conduttore, di lunghezza d e area di sezione A, e calcoliamo il lavoro compiuto dal campo elettrico, nell intervallo di tempo Δt, su tutte le cariche che inizialmente si trovano nel segmento BC E q F = qe A B d C

30 CORRENTE ED ENERGIA (4) Calcoliamo prima il numero N di portatori di carica nel segmento BC. N = nad, dove n è il numero di portatori di carica nell unità di volume, A è l area della sezione, e d è la lunghezza del segmento BC (quindi Ad è il volume del segmento BC). Se v è la velocità di deriva, ogni portatore di carica percorre, nell intervallo di tempo Δt, la distanza vδt. Il lavoro compiuto dal campo elettrico su ogni portatore di carica è qevδt, e il lavoro totale è la somma del lavoro su ogni portatore di carica: L = NqEvΔt E L = nadqevδt A ma nqva = I Δr = vδt e Ed = V B V C q quindi: F = qe L = I(V B V C )Δt B L = IΔVΔt d C

31 CORRENTE ED ENERGIA (5) Il lavoro compiuto su tutti i portatori di carica nel segmento BC è il prodotto dell intensità I della corrente elettrica, della caduta di potenziale lungo il segmento BC, e dell intervallo di tempo Δt: L = IΔVΔt Oppure, utilizzando la I legge Ohm: L = RI 2 Δt oppure ancora: L = (ΔV) 2 /RΔt La potenza ceduta dal campo elettrico alle cariche del segmento BC è il lavoro compiuto nell unità di tempo: P = L/Δt quindi: P = IΔV = RI 2 = (ΔV) 2 /R

32 CORRENTE ED ENERGIA (6) Dal teorema dell energia cinetica ci aspettiamo che il lavoro compiuto dal campo elettrico sui portatori di carica ne aumenti l energia cinetica, e che quindi aumenti la loro velocità. D altra parte, come abbiamo visto precedentemente, l intensità della corrente elettrica è proporzionale alla velocità dei portatori di carica. Quindi, se la corrente è stazionaria, la velocità dei portatori di carica è costante, così come la loro energia cinetica. Perché non aumenta l energia cinetica dei portatori di carica malgrado il lavoro compiuto su di essi dal campo elettrico?

33 CORRENTE ED ENERGIA (7) In un conduttore ohmico, l energia ceduta agli elettroni liberi dal campo elettrico viene a sua volta ceduta dagli elettroni agli atomi del metallo, quando urtano con questi ultimi. Un modello semplificato, che utilizza i concetti della fisica classica, del metallo è il seguente: Ad ogni atomo del metallo corrisponde una posizione di equilibrio nella quale è mantenuto dalle forze (elettrostatiche) di coesione del metallo stesso. L atomo può compiere delle piccole oscillazioni ma è legato alla sua posizione di equilibrio. Gli elettroni si muovono nello spazio tra gli atomi del metallo e compiono frequenti urti con gli atomi stessi.

34 CORRENTE ED ENERGIA (8) Gli atomi del metallo possono essere considerati degli oscillatori armonici, e l urto degli elettroni con gli atomi un urto anelastico nel quale l energia cinetica degli elettroni viene trasformata in energia elastica di questi oscillatori. In questo modello, gli elettroni vengono accelerati dal campo elettrico tra due urti successivi, ma vengono decelerati ad ogni urto. In questo modo la velocità dell elettrone non aumenta indefinitamente ma cresce e decresce attorno ad un valore medio che è uguale al valore medio della velocità tra due urti successivi. L energia ceduta agli atomi nelle collisioni ne aumenta l ampiezza delle oscillazioni e quindi l energia termica. Quindi in definitiva, il lavoro compiuto dal campo elettrico sulle cariche si trasforma in calore ceduto al conduttore. Questo fenomeno prende il nome di effetto Joule

35 CORRENTE ED ENERGIA (9) In un regime stazionario, come quello che stiamo considerando, tutta l energia ceduta dal campo elettrico agli elettroni deve essere ceduta dagli elettroni agli atomi del metallo (altrimenti l energia degli elettroni e la loro velocità media aumenterebbero). Quindi il calore C ceduto al conduttore nell intervallo di tempo Δt è uguale al lavoro compiuto dal campo elettrico sulle cariche: C = L = IΔVΔt = RI 2 Δt = (ΔV) 2 /RΔt La potenza assorbita dal conduttore è: P = C/Δt quindi: P = IΔV = RI 2 = (ΔV) 2 /R

36 CORRENTE ED ENERGIA (10) Al contrario di quanto avviene in un conduttore ohmico, in una pila la corrente elettrica fluisce dal potenziale più basso al potenziale più alto. Quindi le cariche si muovono da un punto in cui la loro energia potenziale è più bassa ad un punto in cui la loro energia potenziale è più alta. Il lavoro L necessario per aumentare di ΔU l energia potenziale di una quantità di carica ΔQ è fornito dalla reazione chimica della pila. Il lavoro fornito dalla pila per unità di carica è, per definizione, la forza elettromotrice (f.e.m.) della pila e si indica con ε: ε = L / ΔQ = ΔU / ΔQ L = ΔU = ΔQ ε! L uso del termine forza elettromotrice ha motivazioni storiche. Come si può vedere, la forza elettromotrice non è una forza bensì una differenza di potenziale

37 CORRENTE ED ENERGIA (11) Se la quantità di carica ΔQ attraversa la pila nell intervallo di tempo Δt, la potenza erogata dalla pila è il lavoro L compiuto sulla quantità di carica ΔQ, diviso per l intervallo di tempo Δt: P = L / Δt = ΔU / Δt = ΔQ ε / Δt = ε I OSSERVAZIONE: Nel calcolo precedente abbiamo utilizzato la definizione di intensità di corrente elettrica I = ΔQ / Δt. Ciò significa che nell intervallo di tempo Δt, una quantità di carica ΔQ entra nella pila dal polo negativo e, poiché la corrente è stazionaria, un uguale quantità di carica ΔQ esce dal polo positivo. Anche se non si tratta degli stessi portatori di carica, dal punto di vista del bilancio energetico, nell intervallo di tempo Δt, una quantità di carica ΔQ ha visto la sua energia potenziale aumentare di ΔU = L

38 CORRENTE ED ENERGIA (12) + ε,r b R a I Un circuito costituito da una pila e da un resistore (o resistenza). Nella simbologia dei circuiti i tratti che collegano il polo positivo della pila con il punto a, e il polo negativo con il punto b sono privi di resistenza per cui tutti i punti di quei tratti sono allo stesso potenziale. Si dice che gli elementi di questo circuito (la pila e la resistenza) sono collegati in serie perché la stessa intensità di corrente attraversa entrambi gli elementi

39 CORRENTE ED ENERGIA (13) Come abbiamo visto, tra i punti a e b vi è una caduta di potenziale RI e l energia acquistata dai portatori di carica viene dissipata sotto forma di calore. La potenza dissipata è RI 2. Questo accade anche all interno della pila. In altri termini anche una pila ha un resistenza, detta resistenza interna della pila. Se r è la resistenza interna della pila del circuito precedente, e se la pila si comporta come un conduttore ohmico, la potenza dissipata nella pila è ri 2. Dal principio di conservazione dell energia, e dal fatto che la corrente è stazionaria, segue che la potenza dissipata nel circuito (cioè nella resistenza e nella pila) deve essere uguale alla potenza erogata dalla pila: Da cui ricaviamo: εi = RI 2 + ri 2 I = ε / (R+r)

40 CORRENTE ED ENERGIA (14) La formula precedente: I = ε / (R+r) Mette in relazione la f.e.m. con l intensità di corrente quando la pila è collegata in serie con una resistenza Osserviamo che la differenza di potenziale tra i poli della pila è uguale alla caduta di potenziale ai capi della resistenza: ΔV = RI = ε R / (R+r) < ε Quindi la d.d.p tra i poli di una pila è sempre inferiore alla sua f.e.m. a causa della caduta di potenziale all interno della pila stessa dovuta alla resistenza interna Solo se il circuito è aperto, cioè se i poli della pila non sono collegati l uno con l altro (l intensità di corrente è nulla) la d.d.p. è uguale alla f.e.m.

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