La corrente elettrica

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1 La corrente elettrica nei conduttori. La corrente elettrica Connettendo due conduttori a diverso potenziale si ha un oto di cariche fino a quando si raggiunge una condizione di uilibrio. Questo oto terina in un tepo dell ordine di 0-5, 0-6 secondi. ffinchè vi sia una corrente, cioè un oto persistente di cariche, è necessario che ci sia un dispositivo in grado di antenere una differenza di potenziale costante. iprendiao il odello classico di conduttore: la nuvola di elettroni presente in un conduttore non è fera, a è ediaente fera in quanto il oviento del singolo elettrone è un oto di origine terica estreaente disordinato e caotico. Questo oto avviene, a teperature abiente, con velocità dell ordine di 0 5, 0 6 /s. Tale velocità si può ricavare dalla forula 3 v = kt Dove k =, J/K è la costante di oltzann e T la teperatura assoluta. osservatore Se l osservatore conta gli elettroni che passano attraverso la sezione nota che (se il oto è realente caotico) gli elettroni che passano da una parte sono tanti coe quelli che passano dall altra (uilibrio dinaico). Questo oto caotico non produce corrente. Si definisce intensità di corrente, in analogia con il flusso idrodinaico, la quantità di carica che attraversa una sezione del conduttore nell unità di tepo: Q = intensità di corrente elettrica t C L unità di isura della corrente è l pere: = s Quando la corrente è costante si parla di corrente continua. Gli elettroni nei conduttori sono aniati da due tipi di oto: il prio è un oto di origine terica (sepre presente): tale oto avviene con velocità dell ordine di 0 5, 0 6 /s ed è un oto caotico, nel senso che la velocità cabia di continuo direzione, a seguito dell interazione degli elettroni con il reticolo cristallino. Tale oto non è in grado di produrre corrente elettrica poiché, proprio per la sua casualità, esso produce, nell unità di tepo e per una sezione fissata, tanti attraversaenti in un senso quanti nell altro. l secondo è un oto di deriva, causato dalla presenza di un capo elettrico esterno. l capo elettrico fa sì che in edia la nuvola elettronica trasli con una velocità che indichereo con v d, detta velocità di deriva, dell ordine di /s. l valore relativaente basso di questa velocità non contrasta con il fatto che, quando un conduttore viene connesso ad un generatore, la corrente elettrica si stabilisce pressoché istantaneaente in tutti i punti del conduttore. l capo elettrico infatti si propaga con una velocità prossia a quella della luce e sarà in grado di ettere in oto quasi conteporaneaente tutti gli elettroni di conduzione. Per ottenere un capo elettrico all interno del conduttore basta collegare i due estrei del conduttore stesso con una pila, che coe sappiao è un dispositivo in grado di antenere costante la d.d.p. tra i suoi

2 terinali. ll interno della pila gli elettroni viaggiano dai punti a potenziale positivo ai punti a potenziale negativo per otivi chiici e non elettrici. l oto risultante degli elettroni di conduzione è il risultato del oto caotico e del oto di deriva osservatore Osservazione: poiché la corrente iniziò ad essere studiata pria della scoperta degli elettroni la si trattò coe se fosse legata al oto di particelle positive, che si uovono perciò dal polo positivo al polo negativo. n realtà il oto degli elettroni è opposto, tuttavia si continua convenzionalente a definire positiva la corrente che va dal polo positivo al polo negativo della pila. erso convenzionale della corrente Moto reale dell elettrone esistenza di un conduttore. Consideriao un conduttore connesso ai capi di una pila: per effetto della d.d.p. presente ai capi della pila il conduttore sarà attraversato da corrente. Si definisce resistenza il rapporto tra la d.d.p. applicata ai capi del conduttore e la corrente che percorre il conduttore stesso. = resistenza di un conduttore L unità di isura della resistenza nel S.. è detta Oh (sibolo Ω): Per ogni conduttore è possibile definire la caratteristica tensione-corrente (caratteristica -), cioè la curva che rappresenta la funzione = f ( ). n generale la resistenza cabia a seconda della tensione applicata, e di conseguenza la curva non è una retta. Nella caratteristica rappresentata a fianco la resistenza nei tre punti segnati vale: C = 3/ = 3Ω = 6 / 3 = Ω = /0 =,Ω Ω = () () C

3 Pria legge di Oh Esiste una classe di conduttori (detti ohici) per i quali il rapporto /, cioè la resistenza, è costante (a teperatura costante). Per tali ateriali la caratteristica - è ovviaente una retta passante per l origine, il cui coefficiente angolare è l inverso della resistenza del conduttore. legge di Oh = La pria legge di Oh è applicabile a tutti i etalli = y = x () () 0 0,5,5,5 3 3,5 4 Un tratto di ateriale ohico, caratterizzato (a teperatura costante) da un deterinato valore della resistenza, viene detto resistore o resistenza e rappresentato sibolicaente con una linea a zig-zag: sibolo resistenza tratti rettilinei rappresentano conduttori ideali in cui la resistenza vale zero. Seconda legge di Oh La seconda legge di Oh perette di trovare la resistenza di un conduttore etallico a sezione costante senza isure di tipo elettrico, riferendosi soltanto alle caratteristiche geoetriche del conduttore e al ateriale di cui è costituito. Si verifica sperientalente che la resistenza di un conduttore è direttaente proporzionale alla lunghezza del conduttore stesso e inversaente proporzionale alla sua sezione. Si verifica inoltre che, presi due conduttori di ateriale diverso a con le stesse caratteristiche geoetriche, hanno in generale resistenza diversa. l S = dipende dal ateriale ρ l S seconda legge di Oh l coefficiente ρ si definisce resistività ed è tabulata a 0 C per le varie sostanze. L unità di isura della resistività si trova dalla seconda legge di Oh: S Ω ρ = [ ρ] = = Ω l 3

4 Poiché generalente le sezioni dei conduttori sono dell ordine dei e le lunghezze dell ordine dei etri spesso la resistività viene isurata in. Ω Ω Ω (0 ) Ω = = = Ω Esepio: Una bobina di rae ha una lunghezza di 0 k e una sezione di 4. deterinare la sua resistenza. 8 4 ρ l,7 0 Ω 0 = = = 43Ω 6 S 4 0 La resistività ρ è tabulata a 0 C perché essa dipende dalla teperatura (aleno in pria approssiazione) secondo la legge [ ] ρ( t) = ρ(0 C) + α( t 0 C) l coefficiente α si isura in C -, è variabile da sostanza a sostanza, e per i etalli ha un valore positivo e prossio allo zero. Questo vuol dire che la resistività è funzione crescente della teperatura. Quando la teperatura cresce anche la resistività cresce e di conseguenza la resistenza auenta. Per tale otivo la corrente cresce eno veloceente di pria. (N.. n un analisi più accurata occorrerebbe tener conto del fatto che anche la sezione e la lunghezza del filo dipendono dalla teperatura (dilatazione terica) e quindi la dipendenza coplessiva della resistenza dalla teperatura è più coplessa rispetto a quella deterinata dalla sola resistività.) Nella figura a lato la curva blu rappresenta la caratteristica reale, in cui la resistenza è costante per ogni valore della tensione applicata. Nella realtà al crescere della tensione applicata cresce la teperatura e di conseguenza auenta la resistenza: diinuisce quindi il valore del rapporto /. (curva rossa). Non tutte le sostanze hanno α positivo: i seiconduttori per e- sepio hanno α negativo (al crescere della teperatura la resistività diinuisce). Modello icroscopico della conducibilità nei etalli curva ideale curva reale ssuiao che gli elettroni vengano trascinati dal capo esterno con una forza pari a F = ee. l loro oto è uniforeente accelerato fino a quando essi urtano il reticolo cristallino. ssuiao che l elettrone si arresti dal punti di vista della velocità di deriva. L elettrone copie dunque un oto a singhiozzo : accelera, urta, si fera, accelera di nuovo, ecc. La velocità di deriva ha perciò un andaento di questo tipo: v( t) = at è la legge oraria dell elettrone ( v 0 = 0 perché parte da fero) τ è il tepo edio che intercorre tra un urto e il successivo v v ax =aτ 4 τ τ 3τ 4τ

5 λ τ = dove λ (libero caino edio) è lo spazio che in edia percorre un elettrone pria di interagire v t con il reticolo. La velocità edia è la velocità di deriva. La velocità edia è la velocità con la quale si percorre lo stesso spazio nello stesso tepo (spazio=area del sottografico). F e E Si vede dal grafico che vd = vax = aτ dove a = = e e Coe legare la velocità di deriva alla corrente che attraversa il conduttore? La corrente è la carica che attraversa una sezione nell unità di tepo. Consideriao perciò una sezione qualunque del conduttore e contiao tutti gli elettroni che in tepo t attraversano la sezione. Tali elettroni sono quelli che, grazie alla velocità di deriva, riescono a percorrere nel tepo t la distanza che li separa dalla sezione considerata. Essi sono contenuti in un cilindro di altezza vd t e di base uguale alla sezione considerata. Per contare effettivaente gli elettroni contenuti nel cilindro introduciao una grandezza detta densità S nuero: N n = = nuero di elettroni volue l nuero degli elettroni si ottiene perciò oltiplicando la densità nuero per il volue del cilindro: N = n = nsvd t = ns t aτ Calcoliao ora la corrente a partire dalla sua definizione: vd t Q Ne nsτ e = = = ns aτ e = E t t e l capo elettrico è provocato da una pila, ed è legato alla differenza di potenziale dalla relazione = E l Dove l è la lunghezza del tratto di conduttore a cui è applicata la d.d.p. La corrente si può espriere pertanto coe nsτ e = e l e il rapporto tra il potenziale e la corrente, cioè la resistenza, coe e l = nsτ e Osserviao che nel secondo ebro (che rappresenta la resistenza) l unico fattore non costante è v t λ τ che è dato da τ =. l tepo τ è infatti funzione decrescente della teperatura T (aggiore è T, inore è τ: gli elettroni urtano più spesso e la velocità terica cresce); se la teperatura è costante anche τ è costante. La resistenza si può scrivere coe un fattore (la resistività) oltiplicato per il rapporto tra la lunghezza del conduttore e la sua sezione: 5

6 e l l = = ρ n τ e S S Si noti che la resistività ρ dipende da τ: se in particolare T auenta allora τ diinuisce e ρ auenta. La resistività ρ è perciò funzione crescente della teperatura. Osserviao inoltre che la resistività è: direttaente proporzionale a e : se l elettrone avesse assa aggiore farebbe più fatica a uoversi e passerebbe eno carica nell unità di tepo. nversaente proporzionale a n: aggiore è il nuero di portatori di carica aggiore è la carica che passa nell unità di tepo. nversaente proporzionale a e : se la carica dell elettrone fosse più grande sarebbe aggiore la carica nell unità di tepo. alutiao ora la velocità di deriva degli elettroni. Supponiao che ogni atoo di ferro ceda un solo elettrone libero. Stiiao la velocità di deriva degli elettroni in un filo di ferro percorso da una corrente di la cui sezione sia di. dati che ci occorrono sono il peso atoico del ferro: 55,847 g 56 g e la sua densità: 7300 kg/ 3. La corrente che attraversa il conduttore può essere scritta coe Q Ne ne n vd ts e = = = = = n vd S e t t t t icaviao la velocità di deriva: vd = (*) nse Per poter calcolare la velocità di deriva occorre stiare il valore della densità nuero n. La densità nuero è il nuero di elettroni per unità di volue e in questo caso, per l ipotesi che abbiao fatto, è uguale al nuero di atoi per unità di volue. Calcoliao innanzitutto quante oli sono contenute in un etro cubo di ferro: n oli 7300kg 6 = =,3 0 kg kg l nuero di atoi sarà uguale al nuero di oli per il nuero di vogadro: n = = atoi 6 3 9,3 0 6, 0 0 7,86 0 atoi La densità nuero si ottiene dividendo il nuero totale di atoi per il volue: n atoi 9 7,86 0 atoi 9 3 n = = 8 0 atoi / 3 Possiao ora sostituire nella (*) e calcolare la velocità di deriva: v = d nse = 8 0 0,6 0 0 Si tratta di un valore olto basso / s Cos è un circuito elettrico? (Un analogo gravitazionale) Un circuito è sepre costituito da fili di collegaento chiusi su di un generatore: quando scorre corrente la carica (o eglio la nuvola elettronica aniata dal oto di deriva) percorre tutto il circuito fino a torna- 6

7 re al punto di partenza n tale percorso, coe abbiao visto nel odello di Drude-Lorentz, la nuvola e- lettrica incontra resistenza nel suo oto di deriva. L effetto coplessivo di tale resistenza non si traduce però, coe avviene nei fenoeni usuali di attrito, in una perdita di energia cinetica della nuvola che, nel coplesso, continua a uoversi con velocità di deriva in edia costante; esso si traduce in una perdita di energia potenziale. Un analogo gravitazionale può aiutare a capire la situazione: un corpo può scendere da un piano inclinato scabro con velocità costante (ciò avviene se la coponente parallela della forza peso e uguale ed opposta alla forza di attrito dinaico): in tale oto il corpo perde energia potenziale (gravitazionale) non cinetica. rrivato in fondo al piano il corpo si arresterebbe: per creare un oto ciclico (coe quello che avviene nei circuiti elettrici) occorre riportare il corpo sulla soità del piano inclinato copiendo lavoro contro la forza peso. llo stesso odo copito della pila è di riportare ad energia potenziale più elevata (cioè a potenziali più bassi), gli elettroni che la attraversano. Ciò viene fatto, traite reazioni chiiche in grado di copiere lavoro contro le forze elettriche. Ovviaente quando diciao che la pila si scarica intendiao afferare che essa diventa incapace di innescare quelle reazioni chiiche che copiono lavoro contro le forze elettriche. P F a.d. P P Le leggi di Kirchhoff Coe abbiao già detto, un circuito è il percorso copiuto da una carica elettrica per tornare al punto di partenza. Esso è costituito da più dispositivi connessi insiee da tratti di conduttore. ffinché le cariche possano tornare al punto di partenza il circuito deve coprendere una sorgente di energia elettrica. Una batteria (o pila o generatore di d.d.p.) è un dispositivo che svolge appunto questo copito. Per deterinare le correnti e le differenze di potenziale in un circuito qualunque si utilizzano due leggi introdotte dal fisico G. Kirchhoff. Le leggi di Kirchhoff rappresentano la conservazione della carica e dell energia in cui circuito chiuso. legge di Kirchhoff (legge dei nodi) Definiao nodo un punto del circuito in cui arrivano più di due rai (fili). Per la conservazione della carica elettrica la soa delle correnti entranti nel nodo è uguale alla soa delle correnti uscenti dal nodo. Tale legge può essere forulata coe segue attribuendo convenzionalente alle correnti entranti segno positivo e alle correnti uscenti segno negativo: 3 n i= i = 0 4 legge di Kirchhoff (legge delle aglie) 7

8 Con il terine aglia si rappresenta un qualunque percorso chiuso di un circuito. Quando la corrente attraversa una resistenza si ha una diinuzione (caduta) di potenziale. Per la conservazione dell energia si avrà che la soa delle cadute di potenziale in una aglia è uguale al potenziale generato dai generatori eventualente presenti in quella aglia. La figura a fianco scheatizza un circuito a resistenze concentrate: si fa l approssiazione che le resistenze del circuito siano concentrate C nei tratti scheatizzati appunto da una resistenza. fili di collegaento sono talente corti che la loro resistenza è trascurabile. Quando il tratto di filo D viene attraversato dalla corrente non si ha nessuna caduta di potenziale. D Quando le resistenze sono attraversate nel verso della corrente (quella ipotetica, perché sappiao che gli elettroni in realtà si uovono in verso opposto) si incontra una caduta di potenziale pari (per la legge di Oh) a. Se la corrente infatti si uove da una estreità all altra vuol dire che il potenziale è aggiore nel prio punto che nel secondo, e la differenza di potenziale tra il prio e il secondo punto è negativa. ttraversando invece la batteria nel verso della corrente si ha un auento di potenziale, passando dal polo a potenziale negativo al polo a potenziale positivo. La soa delle cadute di potenziale deve essere uguale al potenziale fornito dalla batteria. La legge delle aglie si può quindi espriere anche così: la soa algebrica di tutte le differenze di potenziale lungo una aglia chiusa in un circuito è zero. esistenze in serie e in parallelo esistenze in serie. Due resistenze si dicono in serie se sono attraversate dalla stessa corrente. Si dice resistenza uivalente quella resistenza che, connessa al edesio generatore, viene attraversata dalla stessa corrente che attraversa la serie. n generale si dice resistenza uivalente di un tratto di circuito quella resistenza che, sostituita al tratto di circuito, lascia invariata la corrente erogata dal generatore. La resistenza uivalente si calcola osservando applicando la seconda legge di Kirchhoff al circuito e- quivalente e al circuito iniziale: nel circuito uivalente: = nel circuito iniziale: = + = + dove e sono le cadute di potenziale ai capi delle due resistenze. La d.d.p. è uguale in entrabi i casi. Uguagliando i secondi ebri otteniao = + = + Nel caso di n condensatori in serie la resistenza uivalente è data dalla relazione n = i resistenza uivalente di n resistenze in serie i= Problea: Un circuito è forato da tre resistenze collegate in serie ad una batteria da 4. Sapendo che =50Ω e =50Ω e che la corrente fornita dalla batteria è di 0,03 deterinare: 8 3

9 a) il valore di 3 b) la d.d.p. ai capi di ciascuna resistenza. 4 a) Troviao il valore della resistenza uivalente: = = = 750Ω 0,03 La resistenza 3 si trova per differenza: 3 = ( + ) = 350Ω b) La d.d.p. ai capi di ogni resistenza di trova con la legge di Oh: d.d.p. ai capi di : = = 50 0,03 = 8 d.d.p. ai capi di : = = 50 0,03 = 4,8 d.d.p. ai capi di 3 : 3 = 3 = 350 0,03 =, (oppure 3 = ( + ) =, ) esistenze in parallelo. Due resistenze si dicono in parallelo se sono soggette alla edesia d.d.p. Si dice resistenza uivalente quella resistenza che, connessa al edesio generatore, viene attraversata dalla stessa corrente che attraversa la serie. n generale si dice resistenza uivalente di un tratto di circuito quella resistenza che, sostituita al parallelo, lascia invariata la corrente i che scorre nel circuito originale. pplichiao la pria legge di Kirchhoff al circuito uivalente: circuito iniziale: = circuito uivalente: = + = + La corrente erogata dal generatore è uguale in entrabi i casi. Uguagliando i secondi ebri otteniao: = + = + Nel caso di n resistenze in parallelo la resistenza uivalente è data dalla relazione n = resistenza uivalente di n resistenze in parallelo i= i Si noti che la resistenza uivalente è più piccola della inore delle resistenze che costituiscono il parallelo. Nel caso in cui vi siano n resistenze uguali in parallelo la resistenza uivalente è data da è il valore di ogni singola resistenza. 9 = dove n

10 C Osserviao che la d.d.p. ai capi delle due resistenze è uguale: = CD e per la legge di Oh = n un parallelo la corrente si ripartisce nei vari rai in odo inversaente proporzionale alla resistenza. D Problea: Dato il circuito in figura deterinare a) la corrente totale erogata dal generatore b) la corrente che attraversa ciascuna resistenza. a) Per trovare la corrente erogata dal generatore occorre la resistenza uivalente: = 50Ω 3 = 50Ω = 350Ω = 4 3 = + + = + + = 73,94Ω = = = 0,3 73,94 b) La corrente che attraversa ogni resistenza si ottiene applicando la legge di Oh ad ogni resistenza: 3 4 = = = 0, = = = 0, = = = 0, (oppure 3 = ( + ) ) nalisi dei circuiti a) Metodo della resistenza uivalente (un solo generatore) 3 = 0Ω 3 = 40Ω = 0Ω = = 60Ω 4 5 = 0 Nel circuito a fianco deterinare: ) a interruttore aperto La corrente erogata dal generatore Le d.d.p. e C Caso ) nterruttore aperto (si suppone infinita la resistenza di un interruttore aperto) 0 0 ) a interruttore chiuso La corrente erogata dal generatore Le d.d.p. C e D La corrente che attraversa ogni resistenza C D 4 5 E

11 n questo caso le uniche resistenze in cui passa corrente sono le resistenze e, che si trovano in serie. La resistenza uivalente è = + = 60Ω e la corrente erogata dal generatore 0 = = = 60 Le d.d.p. cercate si ottengono facilente con la legge di Oh: = = 0 = 40 C = = 40 = 80 (oppure, per la legge di Kirchhoff, = Caso ) nterruttore chiuso (si suppone nulla la resistenza di un interruttore chiuso) Troviao passo per passo la resistenza uivalente dell intero circuito: 3 D 4 45 = = 30Ω = + = Ω C E C E 345 = + = 0Ω 345 = = 40Ω La corrente erogata dal generatore vale perciò 0 = = = 3 40 La d.d.p. si ottiene dalla legge di Oh: = = 3 0 = 60 l punto si trova ad un potenziale di 0, entre il potenziale del punto è 60 (poiché 60 è la caduta di potenziale su ). Poiché il punto C è a potenziale nullo la differenza di potenziale tra i punti e C è 60 : C = 60 Per trovare la d.d.p. tra i punti e D occorre deterinare la corrente che attraversa la resistenza 3 ; deteriniao pria, in quanto conosciao la d.d.p. ai capi di : 60 = C = =, = = 3, 5 =,5 D = 3 3 = 0,5 = 5 l punto D è quindi al potenziale di 45 : la d.d.p. tra e E è infatti pari a 60 (coe C ). Le correnti che attraversano le resistenze 4 e 5 si trovano con la 3 3 legge di Oh: D DE = = = 0,75 = Oppure osservando che la corrente 3 si ripartisce proporzionalente tra due resistenze uguali, pertanto 3,5 4 = 5 = = = 0,75 C E 5 5 b) Metodo delle aglie (uno o più generatori)

12 ) Si sceglie un nuero N di aglie indipendenti (si può diostrare che il nuero inio di aglie indipendenti è N = Nr Nn + dove N r è il nuero dei rai e N n il nuero dei nodi, e per rao si intende un tratto che unisce due nodi). ) Si fissa un verso arbitrario della corrente a ciascuna aglia 3) Si scrivono le uazioni di Kirchoff applicate alle aglie e ai nodi interessati 4) Si ricavano le espressioni delle correnti di aglia. Se i segni delle correnti risultano negativi vuol dire che il verso effettivo della corrente è opposto a quello scelto all inizio Esepio: Nel circuito a fianco deteriniao le correnti e. 3 = = 3 = 4 = 0Ω = 00 = 60 3 = 0 ndividuiao due aglie: il rettangolo di destra e il rettangolo di sinistra e fissiao le due correnti di aglia, con verso arbitrario. p- plichiao poi ad ogni aglia la legge di Kirchhoff: = + ( ) + 3 = ( ) + ( ) Osserviao che è su un rao che appartiene a entrabe le aglie. isolviao il sistea = 0 + 0( ) = 0( ) + (0 + 0) Da cui i valori = 4 e = 4. 4 = 8 = * 4 = 0 = Osservazioni: i valori ottenuti per le correnti sono positivi. Questo significa che i versi ipotizzati all inizio sono corretti. Quando un valore risulta negativo vuol dire che il verso reale (con le solite ipotesi sul verso della corrente) è opposto. Sulla resistenza 3 non passa corrente. vendo i valori di tutte le correnti possiao deterinare anche le cadute di potenziale ai capi di ogni resistenza. Generatori ideali e reali Un generatore ideale dovrebbe antenere tra i orsetti la stessa d.d.p. qualunque sia il carico (resistenze, coponenti, utilizzatori, ecc.) che pilota, e di conseguenza qualunque sia la corrente erogata. L Per un generatore reale si verifica invece che la tensione ai capi del carico dipende dal carico stesso, e quindi dalla corrente erogata: l valore della tensione che corrisponde alla assia tensione tra i terinali (quella per un valore nullo della corrente) è detto forza elettrootrice (f.e..) del generatore. La forza elettrootrice è il valore noinale del gen. ideale

13 generatore e rappresenta la tensione tra i orsetti quando il circuito è aperto. La differenza tra la retta che rappresenta e la f.e.. auenta proporzionalente con la corrente. Un odello di generatore che spiega questo coportaento è il seguente: r i L r i = resistenza interna del generatore = tensione erogata Un generatore reale ha una propria resistenza interna; la tensione effettivaente erogata dal generatore non è più, a è pari alla f.e.. diinuita della caduta di potenziale che si ha sulla resistenza interna r i. Osserviao inoltre che a orsetti aperti non circola corrente perciò non vi è caduta di tensione sulla resistenza interna. L espressione analitica della retta rappresentata nel grafico - (caratteristica) del generatore reale è = r (*) i Che si può scrivere coe L = ri osservando che la tensione rappresenta la d.d.p. ai capi della resistenza di carico. Da questa relazione ricaviao la corrente erogata dal generatore: = r + L osserviao che al denoinatore c è la resistenza uivalente della serie tra la resistenza di carico e la resistenza interna del generatore. Sostituendo nella (*) questa espressione della corrente otteniao ri r = i = r i + L r i + L Osserviao che la frazione nella parentesi tende a zero quando L >>r i : quando la resistenza interna è trascurabile rispetto al carico il generatore ha un coportaento olto vicino a quello di un generatore i- deale. Esepio: Una pila con una f.e.. di e una resistenza interna pari a 5 Ω viene utilizzata su un carico pari a a) 000 Ω b) 5 Ω Calcolare in entrabi i casi la tensione effettivaente erogata dalla pila. r i 5 a) = = =,94 ri + L r i 5 b) = = = 6 ri + L la stessa pila fornisce prestazioni ottie o pessie a seconda del tipo di carico che deve pilotare. Trasforazioni di energia nei circuiti elettrici. Sappiao che all interno di un generatore gli elettroni vengono portati da punti a potenziale aggiore a punti a potenziale inore; il generatore copie perciò un lavoro contro il capo elettrico. Tale lavoro rappresenta l energia fornita dal generatore al circuito: L = L = q( ). i gen el + 3

14 icordiao che la carica trasportata è un elettrone, quindi è negativa. l lavoro copiuto dal generatore è perciò positivo ed è pari a L = Q icordiao che la potenza di un generatore è il lavoro copiuto nell unità di tepo: L Q P = t = t = La potenza rappresenta l energia che nell unità di tepo un generatore cede al circuito, cioè agli elettroni che circolano nel circuito. L energia fornita agli elettroni viene ceduta da questi, traite, gli urti, al reticolo cristallino, i cui ioni auentano l apiezza di vibrazione attorno alla posizione di uilibrio. n pratica, l energia cinetica ordinata (del oto di traslazione) degli elettroni diventa energia cinetica disordinata, contenuta nelle vibrazioni reticolari: l energia fornita dal generatore viene perciò trasforata in calore. Per la legge di conservazione dell energia deve avvenire che l energia prodotta è uguale all energia dissipata. l fenoeno per cui un ateriale si scalda quando viene attraversato dalla corrente prende il noe di effetto Joule. Nel caso di una resistenza possiao cobinare l espressione trovata per il lavoro copiuto da un generatore con la legge di Oh ottenendo: P = oppure P = Legge di Joule icordiao che la relazione P = è valida in tutti i casi di energia elettrica entre la legge di Joule si applica solo alle trasforazioni di energia elettrica in energia terica in una resistenza. Problea Troviao la corrente assorbita da una lapadina da 75W che funzione con una tensione di 0 e la sua resistenza. Supponendo che l energia elettrica costi 0,048 /kwh calcolare quanto costa lasciare la lapadina accesa 0 ore. P 75W Dalla relazione P = ricaviao la corrente: 0,34 0 Nota la corrente possiao ricavare la resistenza dalla legge di Joule: P 75 = = 0,34 = 649Ω Per trovare il costo totale dobbiao deterinare l energia consuata: 3 L = P t = 75W 0h = 75 0 kw 0h = 0, 75kWh Costo = 0,75kWh 0,048 = 0,036 kwh Problea Deteriniao la potenza erogata dal circuito e la potenza dissipata da ogni resistenza nel circuito a fianco. = 0Ω = 30Ω = ( ) Calcoliao innanzitutto la corrente erogata dal generatore: = = = 0,3 40 Questa è la corrente che attraversa tutte le resistenze; di conseguenza possiao calcolare la potenza erogata dal generatore e la potenza dissipata da ogni resistenza: 4

15 P = = 0,3 = 3,6W gen Pdiss, = = 0 0,3 = 0,9W Pdiss, = = 30 0,3 =,7W Osserviao che risulta verificata la relazione P, + P, = P diss diss gen Ogni resistenza ha una assia potenza dissipabile, al di sopra della quale essa brucia: in pratica la resistenza è in grado di cedere calore all abiente ad un certo rito : se il rito con cui viene prodotto calore all interno della resistenza supera quello con cui la resistenza cede calore la resistenza brucia. Per auentare la assia potenza dissipabile a volte le resistenze sono dotate di alette di raffreddaento. Un iportante applicazione dell effetto Joule si ha nei fusibili. Un fusibile è una resistenza costituita da un ateriale a basso punto di fusione. Nel caso in cui si verifichi un cortocircuito la resistenza del circuito diventa praticaente nulla e di conseguenza auenta olto la corrente e- rogata dal generatore. n seguito al forte auento di corrente il fusibile fonde poiché la potenza che deve dissipare è aggiore della assia potenza dissipabile. fusibile corto circuito peroetri e voltetri. peroetri e voltetri sono struenti che, opportunaente inseriti in un circuito, isurano la corrente e la differenza di potenziale. Un aperoetro isura la corrente che circola in un circuito. Deve essere attraversato dalla corrente che si vuole isurare perciò deve essere inserito in serie. È ipossibile inserire un aperoetro senza aprire il circuito nseriento corretto: l aperoetro è attraversato dalla stessa corrente che attraversa la resistenza e che viene e- rogata dal generatore. nseriento errato: l aperoetro è attraversato dalla corrente che è inore di quella erogata dal generatore. 5

16 n realtà l inseriento di un aperoetro, anche quando avviene correttaente, odifica la corrente erogata dal generatore, perché lo struento possiede counque una resistenza interna e quindi, odificano la resistenza uivalente del circuito, altera anche la corrente oggetto di isura. L aperoetro è inserito in serie con la resistenza presente nel circuito: calcoliao la corrente pria e dopo l inseriento dell aperoetro: pria = + dopo = + + r dove r è la resistenza interna dell aperoetro ffinchè sia dopo pria occorre che la resistenza interna dell aperoetro sia olto inore della soa delle altre resistenze: r << +. L aperoetro deve perciò avere una resistenza interna trascurabile. Un voltetro isura la d.d.p. tra due punti del circuito. i suoi capi deve trovarsi la stessa d.d.p. che si vuole isurare, perciò deve essere inserito in parallelo. Se ad esepio vogliao isurare la d.d.p. tra i punti e del circuito in figura dobbiao inserire lo struento tra i punti e stessi: nseriento corretto: i voltetro isura la d.d.p. tra i punti e nseriento errato: il voltetro non isura tutta la d.d.p. tra i punti e a solo quella tra i suoi orsetti nche il voltetro ha una sua resistenza interna r, e anche in questo caso l inserzione dello struento di isura perturba il sistea da isurare Calcoliao infatti la tensione tra i punti e pria e dopo l inseriento del voltetro: pria = pria = r = dopo dopo Per far sì che la tensione pria sia uguale a quella dopo dovrà essere r >>. l voltetro deve perciò avere una resistenza interna olto alta. edreo in seguito che un voltetro, dal punto di vista costruttivo, non è altro che un aperoetro ad elevata resistenza interna. 6

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