CAP.2. cavo. corpo. = 0 il corpo si comporta come se su di esso non agisse alcuna forza, cioè è in equilibrio. Si noti che è implicitamente anche M r

Transcript

1 CP.2 Statica del punto mateiale Si definisce punto mateiale un copo pe il quale le dimensioni possono itenesi tascuabili ispetto alle alte dimensioni del poblema in esame e tutte le foze agenti possono assumesi aventi lo stesso punto di applicazione. E un concetto fisico astatto peché si associa ad un punto (pivo di estensione) una massa finita che invece pesuppone un copo esteso. E impotante soffemasi sul fatto che le dimensioni assolute non sono impotanti pe cui uno stesso oggetto può essee consideato un punto mateiale in ceti contesti e un sistema più complesso in alti. d esempio la ea può essee consideata sia come un punto nella sua obita attono al sole che come sistema di punti se consideata nella sua otazione o se ci si ifeisce a fenomeni geologici. Vediamo quali effetti poducono più foze agenti su un punto mateiale. Un esempio di come si potebbe ealizzae un espeienza di questo tipo è appesentato schematicamente in figua, con un copo (puntifome) collegato a vai cavi sostenuti da caucole e mantenuti in tazione con dei pesi. Il cavo funge da elemento che pemette la tasmissione della foza di tazione mantenendola inalteata mente la puleggia ideale (senza attito) è un elemento che consente di modificae esclusivamente la diezione del cavo e quindi del caico. Vaiando pesi e posizioni delle caucole è possibile ipodue l effetto di svaiati sistemi di foze sul copo. puleggia peso cavo copo L evidenza speimentale suggeisce che se un sistema di foze ha R 0 il copo si compota come se su di esso non agisse alcuna foza, cioè è in equilibio. Si noti che è implicitamente anche M 0 pe qualunque polo si scelga, essendo tutte le foze applicate allo stesso punto mateiale. Il calcolo dei momenti è petanto iilevante nella valutazione dell equilibio dei punti mateiali. Es.1 Un copo avente massa di 0.5 kg è sostenuto tamite un sistema di due funi (appesentato nello schema a fianco), collegate ad un anello, a cui è applicata una foza oizzontale di 150N. Le distanze ipotate sono espesse in m. 1)Valutae la tazione delle funi. 2) Cosa si potebbe die se la massa da sostenee fosse di 0 kg? 5 B F 150 N 0.5 kg X In questo caso è assegnata la configuazione, e bisogna deteminae la foza pe mantenee l equilibio. Patendo dal pesupposto che l anello sia un punto mateiale, si agiona così: 1) Si isola una pate significativa di stuttua (nell esempio l anello, punto di applicazione del caico esteno) 2) Si definisce un sistema di ifeimento 15

2 ) Si scompongono le foze (deteminazione delle componenti) 4) Il copo è in equilibio R 0 5) Si isolvono le equazioni di equilibio Si considea l equilibio dell anello sotto l azione della foza oizzontale, del peso e delle eazioni incognite delle funi F fˆ + qˆ Si individuano i vesoi delle foze di tazione delle funi x xb ˆ f B y qˆ y B B Si iscive l equazione di equilibio in temini di componenti delle foze 0.514F F Si isolve il sistema: F Cambiando il valoe del caico esteno veticale, si ottiene F fˆ + qˆ Ripetendo il calcolo si ottiene F Si nota che il valoe di ottenuto è inaccettabile peché negativo e la fune non può esecitae una foza di compessione. uindi nelle condizioni indicate la stuttua di sostegno non è in gado di mantenee l equilibio. Es.2 Con lo schema di caucole ipotato in figua si vuole soeggee un copo avente massa di 10 kg tamite un contappeso avente massa di 25 kg. Data la posizione elativa di e C (noti h e L), deteminae la posizione della puleggia all equilibio (α e β, x e e la eazione del suppoto sulla puleggia fissa. In questo caso sono assegnate le foze e bisogna deteminae la configuazione di equilibio. Patendo dal pesupposto che si tatta di un punto mateiale, si agiona come sopa. h y x α β B L-x C 25 kg 10 kg Si considea l equilibio della puleggia mobile, isolandola dal esto, e si esaminano le foze che agiscono su di essa: la foza peso e la tazione nei due ami di fune. Scelto un sistema di ifeimento comodo, si scivono le equazioni di equilibio alla taslazione: 16

3 cosα senα cosβ senβ 10g X sinα + sinβ 0 cosα + cos β 10g 0 da cui si icava: α β 2 cosα 10g 10g cos α αβ g uindi x y tanα L x ( h + tanα da cui L h tanα x 2 L h tanα y 2 tanα Si considea oa l equilibio della puleggia fissa, isolandola dal esto e si esaminano le foze che agiscono su di essa: la tazione nei due ami di fune e la eazione del suppoto (R x, R y ). Scelto un sistema di ifeimento comodo, si scivono le equazioni di equilibio alla taslazione: senβ cosβ R y R x X Rx sinα 240N R y cosα + 294N 25g Es. Si vuole sospendee al soffitto un lampadaio utilizzando te ganci esistenti disposti su una ciconfeenza di diameto 0.4 m con l angolazione indicata. Le funi di sospensione sono lunghe 90 cm. Dopo ave deteminato la posizione dell attacco del lampadaio, valutae la tensione nelle te funi sapendo che la massa del lampadaio è di 8 kg. Si tatta di un poblema di statica nello spazio pe il quale è utile l algeba vettoiale. Il pocedimento è analogo a quello dei poblemi pecedenti, salvo alcuni accogimenti. 1) Si calcolano i coseni diettoi delle diezioni dei fili secondo un sistema di ifeimento comodo; 2) si scompongono le foze di tensione e si isolve il sistema di equazioni di equilibio avendo come incognite i moduli delle tensioni 1, 2 e. Facendo ifeimento alla figua ipotata, pe il calcolo dei coseni diettoi, si deteminano innanzi tutto le lunghezze dei cavi con il teoema di Pitagoa. 2 2 h l 87.75cm I coseni diettoi isultano quindi: 17

4 h Z X t 1 0 / l h / l sen(80 ) / l t ˆ2 cos(80 ) / l 0.09 h / l sen(15 ) / l t ˆ cos(15 ) / l h / l L equazione di equilibio del lampadaio in foma vettoiale è: tˆ + tˆ + tˆ 8 9.8kˆ g Risolvendo il sistema, si ottiene il vettoe delle incognite 1, 2 e Es.4 Il sistema di caucole mostato in figua seve a sostenee un oggetto di massa pai a 100 kg. Se si vuole che l inclinazione dei cavi a sinista ispetto alla veticale sia di 25, valutae l angolo α e l intensità della foza che deve essee esecitata sul amo di desta. Si tatta di un poblema misto. Pe l assenza d attito nelle caucole 1 2 Pe l equilibio alla taslazione della caucola mobile: 25 α 2 cos(25 ) + cosα 100g sen(25 ) + senα 0 1 sen α 2sen(25 ) uindi α N 100g Da notae che si ha: W 1 W 2 cos β + cosα 2 Come si potebbe idue tale tensione? umentando gli avvolgimenti e iducendo α. 18

5 Statica del copo igido Il modello di punto mateiale si dimosta talvolta inadeguato a descivee il compotamento dei copi ed è necessaio intodue modelli più complessi, come ad esempio il modello di copo igido (paticolae insieme di punti mateiali). Nell analisi statica dei sistemi di punti mateiali si è soliti distinguee le foze in intene ed estene. Le pime che tengono in conto dell azione di punti su alti punti del sistema non esistono nel caso di punto mateiale; nell ambito del copo igido esse tengono uniti i punti mateiali che compongono il copo. Le seconde sono la causa del compotamento esteno del copo e sono esecitate dal contatto di alti copi o da azioni a distanza (foze gavitazionali o elettomagnetiche). Diffeenza degli effetti statici ta foze intene ed estene Si considei un semplice sistema di due punti mateiali: pe il pincipio di azione-eazione F B F B B F B F B ale sistema di foze ha isultante nulla e poiché le foze agiscono sulla medesima etta d azione è anche nullo il momento isultante pe qualunque polo. Le foze intene non alteano le caatteistiche statiche globali ( R e M ) delle foze agenti su un sistema di punti mateiali, ma questo non vuol die che non compiano lavoo. Si considei l esempio di due punti mateiali collegati da una molla (sistema non igido). In questo caso, defomandosi la molla, la distanza elativa dei due punti può vaiae e quindi le foze intene possono compiee lavoo. In un sistema igido, pe definizione, le mutue distanze ta coppie di punti sono costanti. nche questo è un modello della ealtà; in effetti non esistono copi igidi ma soltanto copi pe cui le vaiazioni di foma e defomazioni dovute dall applicazione delle foze possono essee tascuate. Un sistema di punti con il vincolo di igidezza è detto copo igido. Nell ambito dei copi igidi le foze intene non compiono lavoo (spostamenti nulli). Equilibio del copo igido L evidenza speimentale con i copi igidi dimosta che pe avee equilibio devono essee soddisfatte le seguenti equazioni cadinali (condizione necessaia e sufficiente pe l equilibio): R 0 M 0 cioè che sia nulla la isultante ed il momento isultante delle foze. Si potebbe obiettae che il momento isultante è una gandezza che dipende dal polo la cui scelta è abitaia. Si può peò dimostae che se: R 0 M M + S R 0 S cioè se la isultante è nulla e il momento isultante è nullo ispetto ad un polo abitaio, esso è nullo ispetto a qualunque polo. Più in geneale si può affemae che pe un sistema a isultante nulla il momento isultante è indipendente dalla scelta del polo. Se si consideano due foze paallele che abbiano isultante nulla (coppia di foze), si veifica facilmente che il momento isultante ha diezione pependicolae al piano individuato dalle ette di applicazione delle foze e intensità pai al podotto del modulo di una di esse pe la distanza ta le ette d azione (baccio). F b R 0 M 0 b P bp F 19

6 Infatti pesi due poli abitai P e M FbP F( bp + b) F b P M Fb F( b + b) F b M M P e quindi il momento isultante della coppia ispetto a qualsiasi polo coincide con quello calcolato ispetto ad un punto abitaio su una delle ette di applicazione: M M F b Se anche M 0, le ette d azione coincidono, il sistema è equilibato e viene detto coppia di baccio nullo. Le foze intene sono, se consideate a due a due, coppie a baccio nullo. Le popietà di equilibio pe un copo igido sono quindi iconducibili alle due caatteistiche globali del sistema di foze agenti: isultante e momento isultante. Si veifica infatti che due sistemi le cui foze isultanti e momenti isultanti soddisfino la seguente condizione: R Σ R Σ' M Σ M Σ' poducono sul copo igido i medesimi effetti. Pe questo tali sistemi si dicono staticamente equivalenti. La possibilità di sostituie ad un sistema di foze un alto equivalente, senza alteae le condizioni di equilibio del copo stesso, è ampiamente impiegato pe la soluzione dei poblemi di statica. Sulla base di queste consideazioni è possibile isolvee poblemi del tipo: assegnato un copo igido sollecitato mediante un geneico insieme di foze Σ deteminae le caatteistiche di un sistema di foze da applicae su un suo punto qualunque P pe avee l equilibio. ale sistema di foze dovà evidentemente avee come isultante l opposto della isultante di Σ e come momento isultante l opposto del momento isultante di Σ valutato ispetto al punto P. Es.5 Una lamiea ettangolae di acciaio di spessoe 80 mm, avente lati di 500 e 400 mm viene sostenuta da te funi nel modo appesentato in figua. Consideando una foza oizzontale pai a 0. kn agente sul lato infeioe, valutae la foza che le te funi devono tasmettee pe mantenee la lamiea in equilibio kn W 1 Si calcola il peso della lamiea: 2 W ρ V g 7.8kg/ dm ( ) dm 9.8m/ s 1224N Si impone l equilibio alla taslazione ed alla otazione (ispetto al polo ): N 424N 552N 2 1/ 2 1/ Nota: Che succede se si cambia veso alla foza estena? Es.6 L elemento (invio) appesentato in figua pemette, tamite alcune pulegge che possono essee consideate senza attito, di modificae la etta d azione delle foze tasmesse dalle funi. 1) Valutae la foza che deve essee esecitata dalla fune pe mantenee l elemento (consideato libeo) in equilibio nella configuazione adottata. 20

7 2) Valutae la foza esecitata dalle funi sul peno 1 ) Supponendo di ave fissato tale elemento ad una stuttua di suppoto (ad esempio tamite una saldatua) ed esecitando sulla fune una foza doppia di quella che è stata pecedentemente valutata, deteminae l azione globale che la saldatua dovà esecitae sull elemento N 2 m 1 m 1 m m 1) Si vede innanzi tutto che l equilibio alla taslazione è assicuato. Pe quanto iguada invece l equilibio alla otazione dovà essee: 1 Mz 2700 N 2 m m 0 e quindi 1800 N 2700 N 2) Sul peno 1 insistono i due ami di entambe le funi. Si tascuano le dimensioni della puleggia. α 2700 N 2700 N R x 2700N cosα 2700N 1800N 1200N R y 2700N (1 senα) 2700N 1800N1 1900N R 2250N 4) Nel caso di addoppio della tensione sulla fune, il momento isultante dall azione delle due funi non è più nullo Mz 2700N 2m 2 m 5400 Nm e deve essee equilibato dalla eazione della saldatua (ciconfeenza tatteggiata). Da notae che la eazione della saldatua, essendo una coppia pua, non dipende dalla sua collocazione. Caichi distibuiti Finoa sono state consideate foze concentate agenti su un copo igido, cioè foze agenti su aee di dimensioni tascuabili ispetto a quelle del copo. alvolta peò il copo può essee soggetto a caichi distibuiti (es. effetto del vento, di fluidi, del peso), definiti come una pessione e misuati in pascal (Pa1N/m 2 ). ali caichi possono essee idotti ad un sistema di foze staticamente equivalente, costituito da una singola foza con etta d azione oppotuna. y R p( ( x Si considei ad esempio una piasta appoggiata, caicata da una pessione p(. Si può idue tale caico alla foza isultante data dall'integale R p( d 21

8 cioè al volume sottostante la supeficie p(. Peché il sistema di foze sia equivalente a quello dato, la etta d'azione della isultante (pependicolae alla supeficie e passante pe il punto y ), deve essee tale da podue lo stesso momento isultante del caico distibuito ispetto al polo scelto. Pe esempio, ispetto ad, si ha x R xp( d y R yp( d e quindi x xp( d p( d y yp( d p( d che coispondono alle coodinate ( del baicento del volume sottostante la supeficie p(. Si consideano i due casi più semplici e più comuni di caico distibuito agente su una supeficie ettangolae: a) distibuzione unifome, b) andamento tiangolae secondo un asse. In entambi i casi, dato che il caico è unifome secondo un asse, ci si può dappima idue ad un caico equivalente distibuito su una lunghezza e agente sull'asse di simmetia, w(x)p 0 a, misuato in N/m. Dopodiché la foza equivalente è data, nel pimo caso, dall'aea del ettangolo definito da w(x) e cioè R p 0 al e la sua etta d azione passa dalla mezzeia, nel secondo caso è data dall'aea del tiangolo definito da w(x) e cioè R p 0 al/2 e la sua etta d azione passa pe il baicento del tiangolo, cioè a (1/)L dalla base del tiangolo. lte distibuzioni, come quella tapezoidale, possono essee consideate come combinazione delle pecedenti. p ( p a 0 L a/2 w( x) p0a a/2 R p0al L/2 L/2 p( p 0 x L p 0 w( x) p0a x L p 0 a R p 0 al / 2 a L a/2 a/2 2L/ L/ 22