Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Circuiti elettrici Equazioni per la soluzione dei circuiti Anno Accademico 2015/2016

2 Forza elettromotrice Abbiamo descritto un generatore di forza elettromotrice Nella batteria descritta ci sono portatori di carica che si muovono contro il campo elettrico La reazione chimica rende questo passaggio conveniente energeticamente Possiamo schematizzare l'aumento di energia come il lavoro fatto da un campo che chiamiamo campo elettromotore C E Ritorniamo alla nostra schematizzazione di generatore Indichiamo i poli positivo e negativo Il campo elettrico è diretto come in figura Calcoliamo il lavoro fatto sulla carica in un ciclo La forza che agisce sulla carica è Nel circuito esterno al generatore F = qe Dentro il generatore F = qe+ qc E La grandezza E prende il nome di forza elettromotrice della batteria Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 348

3 Circuiti elettrici Nell'elettronica si utilizzano conduttori che hanno una resistenza ben determinata Le resistenze o resistori Chiamiamo circuito elettrico un sistema in cui più resistori e generatori di forza elettromotrice sono collegati insieme In futuro utilizzeremo anche altri elementi di circuito come condensatori e induttori Le resistenze e i generatori di forza elettromotrice sono rappresentati mediante i seguenti simboli Sottolineiamo che si tratta di elementi con due terminali La corrente che entra da un terminale esce dall'altro La figura mostra un esempio di circuito In un circuito si definiscono due strutture importanti Il nodo: un punto nel quale sono collegati più elementi del circuito La maglia: una successione di elementi del circuito connessi fra di loro e che realizzano un cammino chiuso Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 349

4 Circuiti elettrici Introduciamo le relazioni Volt-Ampere Un elemento di circuito impone una relazione fra la differenza di potenziale fra i suoi terminali e la corrente che passa attraverso l'elemento stesso Per il resistore è la legge di Ohm Occorre fissare delle convenzioni Si indica, arbitrariamente, con + il terminale che ha un potenziale più elevato La tensione V del resistore è V= V 2 V 1 Si considera positiva la corrente che entra nel terminale definito + Con queste convenzioni si ha Nel caso del generatore la relazione è estremamente semplice Si indica con + il terminale positivo del generatore La tensione V del generatore è V= V 2 V 1 Un generatore di tensione ideale mantiene la tensione data fra i suoi terminali quale che sia la corrente che lo attraversa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 350

5 Circuiti elettrici Veniamo adesso a due importanti leggi che governano il comportamento dei circuiti Le leggi di Kirchhoff per le maglie e per i nodi La legge per le maglie Fissiamo un senso di percorrenza della maglia Misuriamo le tensioni V k sugli elementi di circuito della maglia considerando positive le tensioni sui terminali in cui "si entra" La legge di Kirchhoff per le maglie afferma: la somma delle tensioni di una maglia è nulla È conseguenza della natura conservativa del campo elettrico La somma delle differenze di potenziale è uguale all'integrale su una linea chiusa del campo E ( vedi diapositiva ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 351

6 Circuiti elettrici La legge di Kirchhoff per i nodi Definiti i sensi positivi delle correnti del nodo La legge di Kirchhoff per i nodi afferma: La somma algebrica delle correnti ENTRANTI (o USCENTI) nel nodo è nulla Alternativamente: la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti È una conseguenza dell'equazione di continuità In condizione stazionaria dq/dt = 0 Consideriamo in dettaglio il nodo La densità di corrente J è nulla escluso nelle basi dei cilindri (evidenziate in azzurro chiaro) Il flusso attraverso la sfera è uguale alla somma dei flussi di J attraverso le superfici evidenziate è la somma delle correnti che escono dal nodo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 352

7 Circuiti elettrici Il problema dei circuiti di resistenze e generatori è Noti i valori delle resistenze e delle tensioni dei generatori calcolare Le correnti che attraversano tutti gli elementi del circuito Le tensioni ai capi dei terminali degli elementi del circuito Risolviamo il circuito precedente Utilizzeremo la legge di Kirchhoff per le maglie Le incognite sono le correnti La prima cosa da fare è determinare il numero di maglie indipendenti Una maglia è indipendente dalle altre se contiene un ramo che non è parte di un'altra maglia Ad esempio sono indipendenti le due maglie R 1 R 3 E 1 R 3 R 2 E 2 È invece dipendente dalle due maglie indicate la maglia E 1 R 1 R 2 E 2 Non contiene rami che non siano già compresi nelle altre due maglie Il numero delle correnti incognite è uguale al numero delle maglie indipendenti Si definiscono le correnti specificando il senso positivo (arbitrario) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 353

8 Circuiti elettrici Le correnti i 1 e i 2 permettono di definire la corrente che attraversa ogni elemento Nella maglia 1 La corrente i 1 attraversa R 1 e il generatore E 1 La correntei 1 i 2 attraversa R 3 (secondo il verso positivo della maglia) Nella maglia 2 La corrente i 2 attraversa R 2 e il generatore E 2 La corrente i 2 i 1 attraversa R 3 (secondo il verso positivo della maglia) Il senso delle correnti è importante perché serve a definire il segno della differenza di potenziale ai capi dell'elemento del circuito Le tre differenze di potenziale sono Per la legge di Kirchhoff per le maglie la loro somma è nulla Analogamente per la seconda maglia Le tre differenze di potenziale sono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 354

9 Circuiti elettrici Riepilogando, abbiamo trovato le due equazioni Vale la pena sottolineare la struttura delle equazioni trovati Per ogni maglia La corrente della maglia è moltiplicata per la somma di tutte le resistenze della maglia Compaiono le correnti delle maglie accoppiate (una sola in questo caso) La corrente della maglia accoppiata è moltiplicata per la somma delle resistenze in comune (solo R 3, in questo caso) con il segno negativo Il termine noto è uguale alla somma delle forze elettromotrici nella maglia (una sola in questo caso), con il segno opposto a quello della convenzione del senso della corrente Queste osservazioni sono utili per Verificare formalmente la correttezza delle equazioni scritte Scrivere programmi automatici per la soluzione dei circuiti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 355

10 Circuiti elettrici Riscriviamo le due equazioni in forma matriciale La soluzione con la regola di Cramer è immediata Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 356

11 Partitore di tensione Un circuito molto semplice ma molto importante è il partitore di tensione Vogliamo calcolare la tensione ai capi della resistenza R 2 (fra i punti a e b) Chiamiamo i la corrente che circola nella maglia Ovviamente Il partitore fornisce fra i punti a e b una tensione inferiore a quella della forza elettromotrice Il fattore di riduzione f (o di partizione) è Lo stesso circuito Ad esempio se R 1 = R 2 Notiamo che La tensione appare ai capi delle resistenze più grandi Tuttavia occorre tenere presente la differenza fra partitore e generatore di forza elettromotrice ideale di valore E/2 Diversa resistenza interna. Approfondiamo questo punto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 357

12 Generatore di tensione ideale Ricordiamo la definizione di generatore di tensione ideale Un dispositivo capace di mantenere fra i sui due terminali una differenza di potenziale costante, indipendentemente dalla corrente erogata Supponiamo di effettuare una verifica sperimentale Colleghiamo una resistenza di carico R L ai terminali Misuriamo la differenza di potenziale V fra a e b Misuriamo la corrente che attraversa R L :i =E/R L Ripetiamo per tanti valori differenti di R L Avremo tante correnti differenti Riportiamo i risultati in un grafico La differenza di potenziale è costante Non dipende dalla corrente erogata Pensiamo ad esempio al generatore di Van de Graff La tensione fornita è Q/C La corrente erogata fa diminuire Q:dQ=i dt Nel tempo dt la cinghia ricarica il condensatore: dq' Se dq>dq' la tensione si abbassa In queste condizioni non è un generatore ideale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 358

13 Generatore di tensione reale In un generatore reale la tensione diminuisce se la corrente erogata aumenta Un comportamento analogo al partitore di tensione Avevamo trovato la tensione fra a e b e la corrente in R L Elaboriamo la relazione per V resistenza interna r i La relazione trovata è una retta nel piano V i La pendenza dipende da r i L'intercetta all'origine è la forza elettromotrice ideale E Un generatore reale è schematizzabile come un generatore ideale con in serie una resistenza r i : la resistenza interna Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 359

14 Generatori di corrente Un altro elemento di circuito importante è il generatore di corrente Meno utilizzato nei circuiti elementari I Meno diffuso come strumento di laboratorio Molto importante per modellare componenti elettronici Ad esempio transitors, rivelatori di particelle Un generatore di corrente ideale mantiene la corrente data fra i suoi terminali quale che sia la tensione che si stabilisce fra i suoi terminali Sul piano V i la sua relazione Volt-Ampere è una retta parallela all'asse delle ordinate Analogamente al generatore di tensione In un generatore di corrente reale si sviluppa una tensione ai suoi terminali che è funzione della corrente che circola Ricordiamo che anche per un generatore di tensione reale si aveva una retta Vediamo pertanto che la distinzione fra un generatore reale di corrente o di tensione è in qualche modo arbitraria Dipende dal valore della resistenza interna paragonata alle resistenze del circuito Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 360

15 Partitore di corrente Un circuito molto semplice, analogo al partitore di tensione è il partitore di corrente La legge di Kirchhoff per i nodi dice che Inoltre le tensioni ai capi di R1 e R2 devono essere uguali da cui ovviamente Introducendo nella prima equazione E per finire Osserviamo che La corrente preferenzialmente sceglie i rami con resistenza più bassa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 361

16 Generatore di corrente reale Analizziamo ancora il risultato appena trovato Chiamiamo R L la resistenza R 2 e r i la resistenza R 1 La corrente che circola in R L La corrente erogata è inferiore Parte della corrente finisce nella resistenza interna Pertanto Un generatore di corrente reale fornisce una corrente inferiore Il valore esatto dipende dai valori relativi di R L e r i Per quanto riguarda la relazione Volt-Ampere Ai terminali di un generatore reale si sviluppa una tensione V che determina quanta corrente fluisce nel circuito esterno Il valore di V non dipende solo dalla resistenza di carico R L ma anche da r i Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 362

17 Generatori reali: riepilogo Un generatore di tensione reale è caratterizzato da una forza elettromotrice E e da una resistenza interna r i Il generatore ideale ha r i = 0 Generatori da laboratorio hanno r i 0.01 Ω E si può determinare misurando la tensione fra i morsetti a e b senza carico (i= 0): V= E La resistenza interna r i si può determinate stimando la corrente di corto circuito (R L = 0 ): i CC = r i Un generatore di corrente reale è caratterizzato da una sorgente di corrente ideale I e da una resistenza interna r i Il generatore ideale ha r i = Generatori da laboratorio hanno r i Ω I si può determinare stimando la corrente di corto circuito i CC fra i morsetti a e b(r L = 0): i CC = I La resistenza interna r i si può determinate misurando la tensione in assenza di carico (i L = 0): V= r i I Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 363