Diffusione e membrane

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1 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 1 Diffuione e membrane 1) Calcolare il fluo avvettivo di oluto in un tubicino di ezione 0.1 mm 2 in cui corrono 0.2 ml al minuto di oluzione 0.02 molare. Ri.: J = moli/cm 2 Quanto vale il fluo avvettivo di oluto? Fluo di oluto Il fluo di oluto è definito come J = δn A t Fluo avvettivo: Il fluo è detto avvettivo quando è dovuto ad un moto di inieme della oluzione. Per calcolare il fluo avvettivo attravero il tubicino, devo calcolare il numero di moli di oluto per unità di tempo che paano attravero una ezione del tubicino traportate dal moto di inieme della oluzione. Il numero di moli di oluto traportate dalla oluzione è direttamente proporzionale al volume della oluzione che paa nel tubo: δn = C V e uando la definizione di fluo otterrei: J = C V A t Quanto vale il volume di oluzione che paa nel tubicino? Il volume della oluzione che paa nel tubicino è dato da: i ottiene quindi: V = Q t J = C Q A o anche (ricordando che velocità media del liquido è data da v = Q A ) Numericamente J = C v J = C Q A ml/min = 0.02 moli/l mm 2 = 0.02 moli cm = moli/cm cm 3 0.1(0.1 cm) 2

2 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 2 2) Due recipienti molto grandi ono eparati fra di loro da un tubicino lungo 5 cm di ezione pari a 1 mm 2. Nel recipiente di detra i trova una concentrazione 10 2 molare, mentre a initra i trova una concentrazione 10 3 molare, ed il liquido nei due recipienti è fermo. a) Quanto vale la differenza di concentrazione? b) Il fluo è di tipo avvettivo o diffuivo? In quale direzione andrà il fluo di oluto? c) Quanto vale il fluo di oluto e il coefficiente di diffuione vale D = 10 6 cm 2 / a) Quanto vale la differenza di concentrazione? La differenza di concentrazione è definita come Quindi nel notro cao C = C 2 C 1 C = C detra C initra = ( )moli/l = moli/l b) Il fluo è avvettivo o diffuivo? Il fluo di oluto è definito come: J = δn A t (δn ta ad indicare le moli di oluto che paano) Fluo avvettivo? Il fluo avvettivo i ha quando la oluzione è in movimento e il moto della oluzione traporta con e le molecole di oluto: J avv = C v Fluo diffuivo? Il fluo diffuivo è quello che i ha in preenza di una differenza di concentrazione, dalle zone a concentrazione maggiore vero quelle di concentrazione minore, dovuto all agitazione termica delle molecole. J diff = D dc dx Il fluo diffuivo è empre preente e ci ono differenze di concentrazione ma è in generale tracurabile ripetto a quello avvettivo. Diventa importante olo e il liquido è fermo (e quindi il fluo avvettivo è nullo) Nel notro cao il teto pecifica che il liquido è fermo, quindi il moto è di tipo diffuivo. Quale è la direzione del fluo? Avendo tabilito che il fluo è di tipo diffuivo (che come abbiamo detto va da concentrazione maggiore a minore) biogna tabilire e la concentrazione maggiore è a detra o a initra. C d = 10 2 moli/l = 0.01 moli/l; C = 10 3 moli/l = moli/l La concentrazione maggiore è a detra, quindi il fluo va da detra a initra. c) Quanto vale il fluo di oluto? Il fluo di oluto è definito come J = δn A t ma in queto cao non conoco neuno dei dati neeari

3 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 3 il fluo di oluto nel cao della diffuione libera è dato dalla legge di Fick J diff = D dc dx ed abbiamo già tabilito che è applicabile in queto cao D (coefficiente di diffuione) è dato. Quanto vale dc/dx? Nel cao di un tubicino ottile fra due grandi recipienti la concentrazione di oluto diminuice linearmente Quindi Numericamente dc dx = C x in altre parole il gradiente (o derivata) della concentrazione è cotante. C e X ono entrambe note J diff J diff = D C x = D C x = 10 6 cm 2 / moli/l 5 cm moli = 10 6 cm cm / 3 5 cm (Il egno meno indica la direzione da detra a initra) = moli/cm 2

4 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 4 3) Due grandi recipienti ono collegati alla bae da un tubicino di ezione pari a 2 mm 2 (vedi figura) Il grafico ottotante rappreenta la concentrazione di oluto (PM=3600) miurata alla bae dei due recipienti in funzione della poizione. a) Quanto vale la differenza di concentrazione fra i due recipienti? b) Quanto vale la lunghezza del tubicino? Dopo 5 ore i oerva che ono fluiti attravero il tubicino 0.54 µg di oluto. c) Quanto vale il fluo di oluto (uppoto cotante)? d) Quale è la ua direzione? e) Quanto vale il coefficiente di diffuione del oluto? C(x) (moli/l) X(cm) Ri.: C = 0.04 moli/l; x = 40 cm; J = moli/cm 2 ; fluo diretto come ae X; D = cm 2 / a) Quanto vale la differenza di concentrazione? La differenza di concentrazione è definita come C = C 2 C 1 Quanto vale la concentrazione nei due recipienti? Il teto non fornice il valore della concentrazione nei due recipienti. Il grafico però fornice il valore della concentrazione miurata alla bae dei due recipienti. Leggendo il valore della concentrazione miurata in corripondenza di ciacun recipiente ottengo C 1 = 0.07 moli/l; C 2 = 0.03 moli/l quindi C = C 2 C 1 = 0.03 moli/l 0.07 moli/l = 0.04 moli/l (il egno meno indica il fatto che nel recipiente 2 ho concentrazione minore) b) Quanto è lungo il tubicino? Vito che i due recipienti ono molto grandi, la concentrazione alla bae di ciacun recipiente può eere coniderata cotante. Lungo il tubicino invece la concentrazione varia in maniera linerare. Oervando il grafico i oerva che il tubo va da x = 40 cm a x = 80 cm Di coneguenza L = 40 cm c) Quanto vale il fluo di oluto? Il fluo di oluto è definito come J = δn A t dove δn è il numero di moli che attraverano il tubicino (di area A) nell intervallo di tempo t L area A e l intervallo di tempo ono fornito dal teto del problema Quante moli hanno attraverato il tubicino nell intervallo di tempo? Il numero di moli è definito come n = N part N A ed è legato al peo molecolare dalla relazione n = m P M

5 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 5 Il fluo di oluto arà quindi dato da J = δn A t = δm P M A t dove δm è la maa di oluto che attravera il tubicino nell intervallo di tempo. J = δm P M A t = = 0.54 µg 3600 g/mole 2 mm 2 5 h g 3600 g/mole cm = moli/cm 2 d) Quale è la direzione del fluo di oluto? In queto cao i ha diffuione libera. Nella diffuione libera il fluo di oluto va da concentrazione maggiore a concentrazione minore. In queto cao il fluo ha la direzione dell ae x del grafico. e) Quanto vale il coefficiente di diffuione? Il coefficiente di diffuione di un oluto in un particolare olvente è definito come il coefficiente di proporzionalità fra il fluo di oluto e il gradiente di concentrazione: J = D dc dx In queto cao lungo il tubicino il gradiente di concentrazione è cotante e vale quindi dc dx = C x D = J x C x D = J C = moli/cm 2 40 cm 0.04 moli/l = moli/cm 2 40 cm 0.04 moli = cm 2 / 10 3 cm 3

6 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 6 4) Una membrana permeabile di ezione 1 cm 2 epara due recipienti la cui differenza di concentrazione vale C = 0.01 moli/l. Si oerva che in 20 minuti attravero la membrana paano 10 µg di oluto (P M = 180). a) Quante moli attraverano la membrana in 1? (Si conideri il fluo cotante) b) Quanto vale il fluo di oluto? c) Quanto vale la permeabilità della membrana? Ri.: a) n 1 = moli; b) J = moli/cm 2 / c) P = cm/ a) Quante moli attraverano la membrana in 1? La mole è definita come un numero di particelle di una certa otanza pari al numero di Avogadro. Il numero di moli è definito come n = N part N Avog Il numero di moli è legato alla maa della otanza dal peo molecolare: quindi: Il peo molecolare è dato n = m P.M. n 1 = M 1 P.M. Quanti grammi di oluto attraverano la membrana in 1? Il teto fornice il numero di grammi che attraverano la membrana in 20 minuti. Vito che il fluo è cotante, la quantità di oluto che paa per unità di tempo è cotante. Poo quindi impotare la proporzione: Da cui M 1 t 1 = M 20min t 20min = cot M 1 = M 20min t 1 t 20min t 1 1 M 1 = M 20min = 20 µg t 20min 20 min = g = g Quindi calcolata la maa di oluto che attravera la membrana in un econdo poo rialire al corripondente numero di moli: n 1 = M 1 P.M. n 1 = M 1 P.M. = g 180 g/mole = moli b) Quanto vale il fluo di oluto? Il fluo di oluto è definito come J = n A t quindi poo immediatamente calcolarlo

7 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 7 J = n A t = moli = moli/cm 2 1 cm 2 1 c) Quanto vale la permeabilità della membrana? La permeabilità della membrana è definita come ho tutti i dati, quindi P = J C P = J C = moli/cm moli/l = moli/cm moli 1000cm 3 = moli/cm moli/cm 3 = cm/

8 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 8 5) Due recipienti identici eparati da una membrana emipermeabile, ono riempiti fino allo teo livello ripettivamente di acqua pura e oluzione molare di proteine. Il itema i trova ad una temperatura di 27 o C e il coeffiecinte di filtrazione idraulico della membrana vale L p = 10 3 moli/n. a) La ituazione decritta è una ituazione di equilibrio? b) Quanto vale la preione omotica nei due recipienti? c) Quale è la direzione iniziale del fluo di acqua? d) Quanto vale inizialmente il fluo di acqua? e) Abbaando la temperatura, il fluo di acqua attravero la membrana aumenta o diminuice? (Si conideri la denità della oluzione uguale a quella dell acqua) Ri.: No; Π = atm; dall acqua pura vero la oluzione; J a = 1.23 moli/m 2 diminuice a) Il itema è in equilibrio? Quali ono le condizioni di equilibrio? Perché il itema ia in equilibrio il fluo (di olvente e/o di oluto) deve eere nullo. Per quel che riguarda il fluo di oluto, vito che in queto cao abbiamo una membrana perfettamente emipermeabile, il fluo di oluto é empre zero. (Una membrana è definita perfettamente emipermeabile ad un oluto e non permette il paaggio di quel particolare oluto). Nel cao di una membrana emipermeabile quindi il itema è in equilibrio e il fluo di olvente è nullo. In quali condizioni il fluo è nullo? Il fluo di olvente attravero una membrana emipermeabile è regolato dalla legge J a = L p ( P Π ) La condizione di equilibrio J a = 0 implica che 0 = L p ( P Π ) cioè P = Π Per determinare e il itema è in equilibrio devo confrontare il valore della differenza di preione idraulica con quello della differenza di preione omotica. Quanto vale la differenza di preione idraulica? La differenza di preione idraulica in queto cao è zero (entrambi i recipienti ono riempiti di liquido fino allo teo livello e la denità è la tea) Quanto vale la differenza di preione omotica? La preione omotica è definita come Π = RT C quindi la differenza di preione omotica non è zero, vito che la concentrazione non è uguale. Vito che la differenza di preione idraulica è zero mentre la differenza di preione omotica non è zero, la condizione P = Π non è verificata,quindi i avrà un fluo attravero la membrana e pertanto la ituazione non può diri in equilibrio.

9 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 9 b) Quanto vale la preione omotica nei due recipienti? La preione omotica è definita come Π = RT C Nel primo recipiente (acqua pura) C 1 = 0 quindi Π 1 = 0 Nel econdo recipiente (oluzione) C 2 = molare Π = RT C 2 = l atm/moli K 300 K moli/l = atm c) Quale è la direzione iniziale del fluo di acqua? J a = L p ( P Π ) Vito che P = 0 il fluo è dovuto olo alla differenza di preione omotica J a = L p Π e andrà da concentrazione minore a concentrazione maggiore (cioè dal recipiente con acqua pura vero quello con la oluzione) d) Quale è la direzione iniziale del fluo di acqua? Dato che i ottiene J a = L p Π J a = 10 3 moli/n atm = 10 3 moli/n atm = 10 3 moli/n P e) Diminuendo la temperatura il fluo aumenta o diminuice? Vito che J a = L p Π queto è equivalente a domandare e la differenza di preione omotica aumenta o diminuice quando la temperatura diminuice. Diminuendo la temperatura la preione omotica aumenta o diminuice? La preione omotica Π = RT C è direttamente proporzionale alla temperatura, quindi al diminuire della temperatura diminuice anche la differenza di preione omotica. e diminuice la differenza di preione omotica diminuice (in modulo) anche il fluo

10 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 10 6) Un tubo ad U è divio in due parti da una membrana emipermeabille per la CO 2 di area 0.5 cm 2. Il ramo di detra è in contatto con l atmofera e mentre il ramo initro del tubo è collegato ad un recipiente che contiene CO 2 alla preione di P CO2 = 1.5 atm. Inizialmente i due rami contengono acqua fino allo teo livello. a) Quanto valgono inizialmente la differenza di preione idraulica h ed omotica? La CO 2 è un ga molto olubile in acqua e dopo un certo tempo nel ramo di initra i forma (alla temperatura di 47 o C) una oluzione atura di acqua e CO 2 20 millimolare. b) Quanto varrà all equilibrio la differenza di preione omotica? c) Se i apetta quanto bata perchè il itema raggiunga l equilibrio, quale dilivello i tabilice fra i due tubi? Ri.: P in = 0.5 atm; Π in = 0; Π eq = atm; h = 0.25 m a) Quanto valgono inizialmente la differenza di preione idraulica ed omotica? Quanto vale la differenza di preione idraulica? La differenza di preione idraulica ai capi della membrana è definita come P = P 2 P 1 dove P 1 e P 2 ono i valori della preione aoluta nelle immediate vicinanze ai due lati della membrana. In queto cao quindi P = P detra P initra Quanto vale la preione idraulica a detra? La preione idraulica alla bae del ramo di detra può eere calcolata in bae alla legge di Stevino: P bao = P alto + dgh detra la preione che agice alla uperficie del liquido è pari a P atm quindi P detra = P atm + dgh detra Quanto vale la preione idraulica a initra? La preione idraulica alla bae del ramo di initra può eere calcolata in bae alla legge di Stevino: P bao = P alto + dgh initra la preione che agice alla uperficie del liquido è pari a P CO2 P initra = P CO2 + dgh initra la differenza di preione idraulica ai capi della membrana è data da quindi P = P detra P initra = P CO2 P atm + dg(h initra h detra ) Vito che inizialmente il livello iniziale nei due rami è lo teo: P = P CO2 P atm = 1.5 atm 1 atm = 0.5 atm

11 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 11 Quanto vale la differenza di preione omotica? La differenza di preione omotica è definita come Π = Π initra Π detra dove Π è la preione omotica nelle immediate vicinanze ai due lati della membrana emipermeabile. La preione omotica è legata alla concentrazione di oluto dalla relazione ovvero Π = RT C Π = RT (C initra C detra ) In queto cao inizialmente i ha acqua pura in entrambi i rami del tubo ad U. La concentrazione di CO 2 è inizialmente 0 in entrambi i rami, quindi: Π = 0 b) Quanto varrà all equilibrio la differenza di preione omotica? Π = RT (C initra C detra ) All equilibrio nel ramo di detra i avrà ancora acqua pura, mentre nel ramo di initra i ha una concentrazione 20 millimolare di CO 2 quindi Π eq = RT (C initra C detra ) = RT C initra Π eq = RT C initra = l atm/moli K 320 K moli/l = atm c) Quale arà il dilivello fra i due tubi all equilibrio? All equilibrio il fluo di acqua attravero la membrana deve eere nullo: Vito che Queto implica che J a = L p ( P P ) = 0 P eq = Π eq La differenza di preione idraulica ai capi della membrana è data da P = P CO2 P atm + dg(h initra h detra ) quindi all equilibrio quindi il dilivello varrà P CO2 P atm + dg(h initra h detra ) = Π eq h = Πeq + P atm P CO2 dg h = h initra h detra = Πeq = = + P atm P CO2 dg ( ) atm 10 3 kg/m m/ atm 10 3 kg/m m/ = P a kg/m m/ = 0.25 m 2 Il livello della oluzione riulta più alto di 25 cm nel ramo di initra.

12 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 12 7) Un tubo verticale è divio in due da una membrana emipermeabile allo zucchero. La parte inferiore del tubo (completamente piena d acqua) peca in un grande recipiente pieno d acqua. La membrana i trova ad un altezza 50 cm dal pelo dell acqua, e la parte uperiore del tubo è riempita fino ad un livello di 30 cm da una oluzione atura 5 millimolare di acqua e zucchero alla temperatura di 7 o C a) Quanto valgono la differenza di preione idraulica e la differenza di preione omotica ai capi della membrana? b) Quale è la direzione iniziale del fluo d acqua? c) Quanto vale il fluo iniziale e il coefficiente di filtrazione idraulico della membrana è L p = moli/n? Ri.: P = 0.08 atm; Π = 0.11 atm; 30 cm 50 cm dal bao vero l alto; J a = moli/m 2 a) Quanto valgono la differenza di preione idraulica e la differenza di preione omotica ai capi della membrana? Quanto vale la differenza di preione idraulica? La differenza di preione idraulica ai capi della membrana è definita come P = P 2 P 1 dove P 1 e P 2 ono i valori della preione aoluta nelle immediate vicinanze ai due lati della membrana. In queto cao quindi la preione deve eere calcolata ulla faccia uperiore ed inferiore della membrana P = P up P inf Quanto vale la preione idraulica ulla faccia uperiore della membrana? La preione idraulica ulla faccia uperiore della membrana può eere calcolata in bae alla legge di Stevino P bao = P alto + dgh up dove h up è il livello della oluzione nel compartimento uperiore del tubo la preione che agice alla uperficie del liquido è pari a P atm quindi P up = P atm + dgh up Quanto vale la preione idraulica ulla faccia inferiore della membrana? La preione idraulica ulla faccia inferiore della membrana può eere calcolata in bae alla legge di Stevino P bao = P alto + dgh inf dove h up è il livello dell acqua nel compartimento inferiore del tubo la preione che agice alla uperficie del liquido è pari a P atm quindi P atm = P inf + dgh inf cioè P inf = P atm dgh inf La differenza di preione fra le due facce della membrana vale quindi P = P up P inf = dg(h up + h inf ) Numericamente P = dg(h up + h inf ) = 10 3 kg/m m/ 2 ( ) cm = P a = 0.08 atm

13 Eercizi di fiica per Medicina C.Patrignani, Univ. Genova (rev: 9 Ottobre 2003) 13 Quanto vale la differenza di preione omotica? La differenza di preione omotica è definita come Π = Π up Π inf dove Π è la preione omotica nelle immediate vicinanze ai due lati della membrana emipermeabile. La preione omotica è legata alla concentrazione di oluto dalla relazione Π = RT C ovvero Π = RT (C up C inf ) In queto cao nel compartimento inferiore i ha acqua pura (C inf = 0) Π = RT C up Π = RT C up = l atm/mole K 280 K moli/l = 0.11 atm b) Quale è la direzione iniziale del fluo di acqua? La direzione inziale del fluo di acqua è dal bao vero l alto perchè la differenza di preione idraulica (che tende a far cendere l acqua vero il bao) è inufficiente ad equilibrare la differenza di preione omotica (che tende a far diluire la oluzione). c) Quanto vale il fluo iniziale di acqua? Il fluo di acqua è dato dalla legge Numericamente J a = L p ( P P ) J a = L p ( P P ) = moli/n ( ) atm = moli/n P a = moli/m 2