approfondimento Struttura atomica e conservazione della carica nei fenomeni elettrici

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1 approfondimento Struttura atomica e conservazione della carica nei fenomeni elettrici Flusso del campo elettrico e legge di Gauss: Il campo elettrico generato da distribuzioni di carica a simmetria sferica e piana L esperimento di Millikan e la quantizzazione della carica elettrica Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

6 Flusso del campo elettrico e legge di Gauss Flusso del campo elettrico Φ= E. A = E A cosθ Il vettore area A ha per modulo la superficie A e per direzione la normale al piano della superficie con verso arbitrario Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

7 Φ i = E i. S i = E i S i cosθ i Φ totale = Σ i Φ i Se la superficie è chiusa, I vettori area S i hanno verso uscente e il flusso è positivo per le linee del campo elettrico che lasciano il volume delimitato dalla superficie il flusso è negativo per le linee del campo elettrico che entrano nel volume delimitato dalla superficie Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

8 Flusso del campo elettrico attraverso una superficie gaussiana Esempio Flusso del campo elettrico Φ laterale = Σ i Φ i = Σ i E da i cos90 = 0 Φ BASE1 = Σ i EdA i cos180 = E cos180 Σ i da i = - E A Φ BASE2 = Σ i EdA i cos0 = E cos0 Σ i da i = + E A Φ totale = Σ i Φ i = 0 Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

9 Calcolo del flusso del campo elettrico E(r) generato da una carica puntiforme q attraverso una superficie sferica di raggio r S Φ i = E i. S i = E S i cos0 Φ totale = E Σ i S i = E (4πr 2 ) Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

10 Legge di Gauss Φ = E (4πr 2 ) = (k q/r 2 ) (4πr 2 ) = 4πkq k = 1/ (4πε 0 ) con ε 0 = C/N m 2 Costante dielettrica del vuoto Φ= q / ε 0 In generale Il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa (superficie gaussiana) è uguale alla somma algebrica delle cariche (contenute nel volume delimitato dalla superficie) divisa per la costante dielettrica del vuoto Φ= Σq / ε 0 Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

11 Legge di Gauss e legge di Coulomb È immediato verificare che il campo generato da una carica puntiforme calcolato con la legge di Gauss si scrive: E = 1/(4πε 0 ) q/r 2 (in accordo con la legge di Coulomb) la stessa espressione vale anche per una distribuzione a simmetria sferica di carica o meglio, Il campo generato da una distribuzione sferica di carica all esterno di essa è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

12 Guscio sferico Φ= Σ i q i /ε 0 Un guscio sferico carico uniformemente attrae o respinge una particella carica posta al di fuori di esso come se tutta la carica del guscio fosse concentrata nel centro del guscio sferico. r > R 1 q E = 4πε0 r2 Un guscio sferico carico uniformemente non esercita alcuna forza elettrostatica su una particella carica posta al suo interno. r = R r < R E = E = 0 1 q 4πε 0 R2 Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

16 richiami Resistenza del mezzo Quando un corpo si muove in un fluido reale è soggetto ad una forza che si oppone al suo movimento ed è direttamente proporzionale alla velocità del corpo rispetto al fluido. La costante di proporzionalità k dipende dalla forma del corpo e dalla viscosità del fluido Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

17 richiami Resistenza del mezzo La velocità aumenta fino a quando la resistenza del mezzo bilancia esattamente la forza peso (velocità limite) Se il corpo ha forma sferica la velocità limite può essere espressa in funzione del raggio della sfera e della viscosità del fluido Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

19 Potenziale elettrico ed energia potenziale elettrica Energia potenziale elettrica e potenziale elettrico Conservazione dell energia Il potenziale elettrico di una carica puntiforme Superfici equipotenziali e campo elettrico Condensatori e dielettrici Accumulo di energia elettrica

20 Energia potenziale elettrica e potenziale elettrico Le forze elettriche, come quelle gravitazionali, sono conservative W = -q 0 Ed W = -mgd È quindi possibile definire una energia potenziale elettrica U = -W U = -W = q 0 Ed

21 potenziale elettrico Definiamo il potenziale elettrico: V = U /q 0 La variazione di potenziale e Il potenziale elettrico si misurano in Joule/Coulomb (VOLT) Una unità di misura pratica di energia per i sistemi atomici è l elettronvolt: 1 ev = Joule definita come la variazione di energia potenziale elettrica U = q 0 V prodotta sulla carica di un elettrone da una variazione di potenziale di un Volt

22 Esempio V = V B -V A = -24 V Calcolare la variazione di energia potenziale elettrica per la carica q A V B < V A B a) q = C U = q V = Joule U(B) < U(A) b) q = C U = q V = Joule U(B) > U(A) N.B. Il lavoro elettrico si può scrivere come il prodotto di una carica per una differenza di potenziale -W el = U = q V

23 Campo elettrico e potenziale W = q 0 E S V = - W/q 0 = -(q 0 E S)/q 0 = - E S E = - V/ S Il campo elettrico si può misurare anche in volt/metro

24 Campo elettrico e potenziale Variazione del potenziale in un campo uniforme Quando ci si sposta nella direzione e nel verso delle linee del campo elettrico N.B. Lo zero del potenziale è stato (arbitrariamente) posto sulla armatura di destra

25 Conservazione della energia K A + U A = K B + U B ½ m v A 2 + U A = ½ mv B2 + U B Relazioni valide per ogni forza conservativa forza energia potenziale Forza peso U = mgy Forza elastica U = ½ kx 2 Forza elettrica U = q 0 V esempio Una particella di massa m e carica q (positiva) si muove da A a B in un campo elettrico uniforme

26 Conservazione della energia K A + U A = K B + U B Relazioni valide per ogni forza conservativa ½ m v A 2 + qv A = ½ mv B2 + qv B ½ m v B 2 = ½ mv A2 + q(v A V B ) Una diminuzione di energia potenziale si traduce in un aumento di energia cinetica N.B. Le cariche, se lasciate libere, si muovono sempre verso la regione del campo ove l energia potenziale elettrica diminuisce.

27 Energia potenziale elettrica della carica di prova nel campo generato da una carica puntiforme + q U B U A = - q 0 E.dr A B = (kq 0 q/r B )- (kq 0 q/r A ) U = -W Relazione simile al caso gravitazionale

28 Energia potenziale elettrica della carica di prova nel campo generato da una carica puntiforme q U B U A = (kq 0 q/r B ) - (kq 0 q/r A ) Assumendo, come nel caso gravitazionale, energia potenziale nulla per una distanza r infinita L energia potenziale assume la forma U = k q q 0 /r Interpretabile anche come la variazione di energia potenziale della carica q 0 quando viene trasferita da una distanza infinita a una distanza r dalla carica q che crea il campo

29 Il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme q La ddp ta A e B si scrive: V A V B =1/q 0 (U A U B )= k q/r A k q/r B Ponendo r B = infinito si ha V B = 0 e la differenza di potenziale V A V B = k q/r A si scrive V A = k q/r A Lo zero del potenziale è stato (arbitrariamente) posto ad una distanza r infinita V = k q/r potenziale generato da una carica puntiforme q U = q 0 V energia potenziale della carica q 0 nel campo generato dalla carica puntiforme q

30 Il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme anche per i potenziali (e le energie potenziali) vale il principio di sovrapposizione U totale = ½ Σ ij U ij V totale = Σ i V i U ij = k (q i q j )/r ij

31 Superfici equipotenziali -W if = q 0 V f i V = 0 W = 0 proprietà caratteristica

32 Campo elettrico e potenziale Abbiamo già visto che in un campo elettrico uniforme e per uno spostamento S nella direzione del campo V = - E S W = q 0 E S E = - V/ S Se ci spostiamo perpendicolarmente alle linee di forza del campo la forza elettrica non compie lavoro W 0 V = 0 Per una direzione qualunque: V = - E. S Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

33 Superfici equipotenziali e campo elettrico Le superfici equipotenziali in un campo uniforme sono piani perpendicolari alla direzione del campo

34 Superfici equipotenziali e campo elettrico F = q 0 E In generale per un piccolo spostamento s in una direzione qualunque E. S = - V Per un piccolo spostamento s lungo una superficie equipotenziale: -W if = q 0 V = (q 0 E). s 0 Le linee del campo elettrico sono sempre perpendicolari alle superficie equipotenziali e puntano sempre nella direzione in cui diminuisce il campo elettrico

35 Superfici equipotenziali e campo elettrico

36 Conduttori ideali All interno di un conduttore carico In equilibrio elettrostatico E = 0 Ne consegue che la differenza di potenziale tra due punti qualunque distanti s: V = - E. S 0 deve essere identicamente nulla La superficie del conduttore (e l intero conduttore) hanno lo stesso potenziale La superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico è sempre una superficie equipotenziale

37 Potenziale di una sfera conduttrice carica Q C R Q i V i = Q i V = k Q/R V totale = Σ k Qi/R = k/r (Σ Q i ) = k Q/R Tutti i punti della sfera conduttrice carica in equilibrio elettrostatico hanno lo stesso potenziale, che ovviamente coincide coincide con quello calcolato nel centro della sfera con il principio di sovrapposizione. Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

38 σ= Q/(4πR 2 ) Q V = k Q/R = 4πkσR Per una sfera di raggio R/2 si avrà lo stesso potenziale con una densità di carica superficiale doppia 2σ Sfera grande (R) Il campo sulla superficie vale: E = kq/r 2 = 4πkσ per la sfera piccola (R/2) E = kq/(r/2) 2 = 4πk2σ dove la curvatura è maggiore, maggiore è anche la densità di carica e il campo elettrico Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

39 Condensatori Un condensatore è un sistema costituito da due conduttori (le armature) separati da un dielettrico (materiale isolante) Capacità di un condensatore: C = Q/V è definita come il rapporto costante fra la carica Q delle armature e Il modulo della differenza di potenziale V fra le armature La capacità si misura in Coulomb/volt (Farad)

40 Condensatori a facce piane e parallele Calcolo della capacità: C = Q/V E = σ/ε 0 σ = Q/A E = Q/(ε 0 A) V = - E S = Q/(ε 0 A) d C = Q/V = (ε 0 A)/d La capacità dipende solo da parametri geometrici

41 Condensatori e dielettrici L impiego di un dielettrico aumenta la capacità del condensatore

42 dipolo elettrico p = q d momento di dipolo elettrico τ = p x E Momento torcente di origine elettrica

44 dielettrici non polari

45 dielettrici E 0 > E V 0 = E 0 d V 0 > V E = E 0 /ε r ε r è la costante dielettrica relativa C 0 = Q/V 0 < C = Q/V V = Ed C = ε r (ε 0 A)/d = ε r C 0

46 Dielettrici: misura della costante dielettrica relativa E 0 /E = V 0 /V = ε r Esempio: soluzioni elettrolitiche ε r N.B. è sempre >1 F = F 0 /ε r Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

48 12. Esempio svolto Un condensatore piano ha le armature con superficie A distanti d e lo spazio fra le armature è riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa ε r Quando il condensatore viene collegato ad una batteria da 12 Volt, ciascuna armatura ha una carica di C Calcolare ε r A = m 2 d = mm V 12 V Q = C ε r C = Q/V = Farad C = ε r (ε 0 A)/d = ε r C 0 C = ε r (ε 0 A)/d ε r = Cd/(ε 0 A) = 6.70

49 Trasferendo una carica Q da una armatura all altra l energia potenziale elettrica aumenta di U = Q V

50 Carica di un condensatore U = Q V U E = Σ U i = Σ Q i V i = ½ QV U E = ½ QV = ½ CV 2 = ½ Q 2 /C

51 Energia e densità di energia elettrica Q = E (ε 0 A) V = Ed energia U E = ½ QV = ½ [E(ε 0 A)] [Ed] = ½ ε 0 E 2 /(Ad) densità di energia u = U E /Volume = ½ ε 0 E 2

52 Campo elettrico e potenziale: caso generale V = - E s s s V totale = -Σ j E j. s j V totale = V f -V i = -E s totale = -Ed f V totale = - E. ds i

53 Circuitazione del campo elettrico B V = - E. ds A γ V = V B -V A = 0 E. ds= 0 γ La circuitazione del campo elettrico è nulla. Questa proprietà è diretta conseguenza del fatto che il campo elettrico è conservativo.