Definizione - Sottoinsieme Simbolo di Sottoinsieme Relazione di inclusione forte o stretta Simbolicamente: Sottoinsieme: Uguaglianza:

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1 Insiemi Concetto Primitivo Simboli di appartenenza e non appartenenza Insieme vuoto ø Rappresentazione: Elencazione Diagrammi di Eulero-Venn Mediante Proprietà Caratteristica a, b Definizione - Sottoinsieme Simbolo di Sottoinsieme Relazione di inclusione forte o stretta Simbolicamente: Sottoinsieme: 1 oppure 1 oppure 1 1 ( oppure ( ( Uguaglianza: = et 1

2 Operazioni con gli Insiemi 1/4 Operazione con gli Insiemi: Unione : U Intersezione: Definizione : insiemi disgiunti : se =ø Proprietà Commutativa Proprietà ssociativa Proprietà Distributiva = = ( C = ( C ( C = ( C Differenza di insiemi \ ( - Esempio: ={1, 2, 3, 4} ={2, 4, 6} Trovare U,, \, \ ( C = ( ( C ( C = ( ( C Esercizio: U = (\ U ( U (\ (insiemi disgiunti Prodotto Cartesiano: = {insieme delle coppie ordinate (a, b con a e b } \ \ Es. R R = R 2 2

3 Operazioni con gli Insiemi 2/4 Insieme Universo: U Complementazione: oppure c Leggi di complementarità: C = U C = Ø Ø C = U U C = Ø Se, allora C C Involuzione o legge del doppio complemento:( C C Leggi di De Morgan: = = = 3

4 Prima Legge di De Morgan: Operazioni con gli Insiemi 3/4 = Seconda Legge di De Morgan: = 4

5 Operazioni con gli Insiemi 4/4 Insieme delle Parti o insieme Potenza: P(:= L insieme di tutti i sottoinsiemi di (compreso e l insieme vuoto Ø Esempio : Ricavare l insieme della parti P( dell insieme: ={1 ; 2 ; 3 ; 4} ES: P( Ø {1}, {2}, {3}, {4} {1;2}, {1;3}, {1;4}, {2;3}, {2;4}, {3;4} {1;2;3}, {1;2;4}, {1;3;4}, {2;3;,4} {1;2;3;4}= Def. Si chiama Partizione di un insieme una collezione di sottoinsiemi di tali che: sono a due a due disgiunti la loro unione è uguale all insieme 5

6 Proposizioni Logiche. Connettivi Logici e Tavole di Verità 1/3 Proposizioni Logiche: P = La rosa è un fiore Q = Il leone è un animale domestico Valori di verità: Vero, Falso ( tertium non datur Composizione di proposizioni mediante connettivi Connettivi Logici: Disgiunzione o ( P Q Congiunzione e ( P Q Negazione non ( P [( P vel Q,( P Q,( P or Q ] è falsa se sia P che Q sono false, altrimenti è vera [( P et Q,( P Q,( P and Q ] è vera se sia P che Q sono vere, altrimenti è falsa [( P, P, not( P ] è vera quando P è falsa e viceversa 6

7 Proposizioni Logiche. Connettivi Logici e Tavole di Verità 2/3 Implicazione (se.. allora: P Q è falsa quando l ipotesi ( o antecedente P è vera e la tesi (o conseguente Q è falso, altrimenti è vera Coimplicazione (se e solo se: P Q è vera quando sia P che Q hanno lo stesso valore di verità (entrambe vere oppure entrambe false, altrimenti è falsa P Q PvQ P^Q P Q P Q V V V V V V V F V F F F F V V F V F F F F F V V 7

8 Proposizioni Logiche. Connettivi Logici e Tavole di Verità 3/3 Esercizio: Verificare che i seguenti enunciati composti hanno le stesse tavole di verità (a sin e d del simbolo di identità: Doppia negazione: [ ] Leggi di De Morgan Negazione dell implicazione: Contronominale: Doppia Implicazione: ( ( 8

9 [ ] Proposizioni Logiche. Soluzioni 1/3 V F V [ ] F V F V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V 9

10 Proposizioni Logiche. Soluzioni 2/3 V V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F V V V F F V V F F F V F F V V V F V F F V V V V 10

11 Proposizioni Logiche. Soluzioni 3/3 ( ( 11 ( ( V V V V V V V F F F V F F V F V F F F F V V V V

12 Proposizioni Logiche. Modus Ponens, Modus Tollens: tautologie. Modus Ponens: Modus Tollens: ( (( ( Contraddizioni: Proposizioni sempre false ( (( Tautologie: Proposizioni sempre vere Modus Ponens: Dimostra affermando ( (( V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V 12

13 Proposizioni Logiche. Modus Ponens, Modus Tollens: tautologie. ( Modus Tollens: Dimostra Negando (Reductio ad absurdum ( ( ( V V V F F F V V F F V F F V F V V F F V V F F V V V V V 13

14 QUNTIFICTORI 1 Scriviamo P( per indicare che l oggetto soddisfa alla proprietà P ( si parla di predicati = proposizioni logiche contenenti una o più variabili Esempio: P(= il numero intero è un numero pari llora P(2 è vera mentre P(3 è falsa Quantificatore Universale ( per ogni : simbolo Quantificatore Esistenziale ( esiste : simbolo Unicità (uno ed uno solo: simbolo! a volte si trova : Unicità (uno ed uno solo: simbolo!! Utilizzi: esiste un numero pari: esiste un numero dispari: : P( oppure P( : P( esiste un numero intero naturale pari: N : P( 14

15 QUNTIFICTORI 2 esiste un numero intero pari: Z : P( per ogni numero reale, esiste un altro numero reale (zero che sommato al precedente lo ripete uguale: R, 0 R : + 0 = Esiste un unico numero intero naturale che moltiplicato per ogni altro dà come prodotto l altro numero! 1 N N, * 1 = (NON Commutatività dei Quantificatori Siano: <y,, y numeri reali: y : ( < y vera : y( < y falsa y : ( < y falsa 15

16 Negazione e quantificatori: ( : P( ( : P( QUNTIFICTORI 3 ( : P( ( : P( ES. non (tutti gli orsi polari sono bianchi ( : P ( ( : P ( Esiste (almeno un orso polare che non è bianco ( : P ( ( : P ( ES. non (esiste alcuno studente che ama la storia Tutti gli studenti non amano la storia ES. non tutti i numeri interi naturali sono pari: ( N, P( N P( 16

17 Negazione e connettivi logici: ( P( Q( ( P( Q( QUNTIFICTORI 4 ( P ( Q( ( ( P( ( Q( ( P( Q( ( P( Q( ( ( P( ( P ( Q( ( ( P( ( Q( P ( ( P( P( Valgono regole analoghe a quelle stabilite per le tabelle di verità. 17

18 QUNTIFICTORI 5 ES. (Giudizio Universale ffermativo (simbolo Si traduca la proposizione: tutti i numeri divisibili per 6 sono pari Traduciamo: per ogni : se ( è divisibile per 6 allora ( è pari Cioè: : D( P( Con : D(= è divisibile per 6 P(= è pari ES. (Negazione : D( P( : D( P( Poichè: Cioè: Traduciamo: esiste (almeno un : ( è divisibile per 6 et ( NON è pari Ossia esiste almeno un numero divisibile per 6 che non è pari 18

19 QUNTIFICTORI 6 ES. (Giudizio Universale Negativo (simbolo E Si traduca la proposizione: nessuna potenza di 10 è multipla di 7 Traduciamo: per ogni : se ( è una potenza di 10 allora ( non è multiplo di 7 Cioè: : P( M ( Con : P(= è potenza di 10 M(= è multiplo di 7 ES. (Negazione : P( M ( : P( M ( Poichè: Cioè: Traduciamo: esiste (almeno un : ( è potenza di 10 et ( è multiplo di 7 Ossia esiste almeno un numero che è potenza di 10 e che è multiplo di 7 19

20 QUNTIFICTORI 7 ES. (Giudizio Particolare ffermativo (simbolo I Si traduca la proposizione: qualche numero naturale è primo Traduciamo: esiste (almeno un : ( è un numero naturale et ( è primo Cioè: : N( P( Con : N(= è numero naturale P(= è primo ES. (Negazione : N( P( : N( P( Cioè: Traduciamo: per ogni : ( non è un numero naturale oppure ( NON è primo 20

21 QUNTIFICTORI 8 ES. (Giudizio Particolare Negativo (simbolo O Si traduca la proposizione: qualche serpente non è un animale velenoso Traduciamo: esiste almeno un : ( è serpente et ( non è un animale velenoso Cioè: : S( V ( Con : S(= è un serpente V(= è un animale velenoso ES. (Negazione : S( V ( : S( V ( Cioè: Traduciamo: per ogni : ( non è un serpente oppure ( è velenoso 21

22 QUNTIFICTORI 8-bis - RISSUNTO Giudizio Universale ffermativo (simbolo : D( P( (Negazione : D( P( Giudizio Universale Negativo (simbolo E : P( M ( (Negazione : P( M ( Giudizio Particolare ffermativo (simbolo I : N( P( (Negazione : N( P( Giudizio Particolare Negativo (simbolo O : S( V ( (Negazione : S( V ( 22

23 ES. Negare i seguenti enunciati QUNTIFICTORI 9 ntonio e Marco stanno studiando = ntonio sta studiando M= Marco sta studiando M = M ntonio non sta studiando oppure Marco non sta studiando Se fa bel tempo vado a passeggiare = Fa bel tempo P= Vado a passeggiare P = P fa bel tempo e non vado a passeggiare Se e solo se fa bel tempo allora vado a passeggiare P = = Fa bel tempo P= Vado a passeggiare ( P ( P = ( P ( P = ( P ( P fa bel tempo e non vado a passeggiare oppure vado a passeggiare e non fa bel tempo 23

24 QUNTIFICTORI 10 QUNTIFICTORI 10 ES. Negare i seguenti enunciati Qualche uomo ha fame U( = è un uomo F( = ha fame [ ] ( ( : ( ( : ( ( : ( ( : F U F U F U F U Per tutte le se è un uomo allora non ha fame [ ] 24 Nessun uomo ha fame U( = è un uomo F( = ha fame ( ( : ( ( : ( ( : F U F U F U Qualche uomo ha fame Per tutte le se è un uomo allora non ha fame nessun uomo ha fame [per ogni : o non è un uomo o non ha fame]

25 ES. Negare i seguenti enunciati Tutti i rettangoli sono quadrati QUNTIFICTORI 11 R( = è un rettangolo Q( = è un quadrato : R( Q( : R( Q( : R( Q( Qualche rettangolo non è un quadrato tutti gli uomini sono soldati tutti i soldati sono eroi Qualche cavallo non è bianco Qualche cavallo è nero qualche uomo non è un soldato qualche soldato non è un eroe tutti i cavalli sono bianchi tutti i cavalli non sono neri se la situazione non cambierà qualcuno ci rimetterà il posto la situazione non cambierà e nessuno ci rimetterà il posto ( : R( S( ( : R( S( ( : R( S( 25

26 ES. Negare i seguenti enunciati Tutti i miei compagni sono studiosi ed intelligenti QUNTIFICTORI 12 C( = è un mio compagno S( = è studioso I( = è intelligente ( S( I( : C( ( S( I( : C( ( S( I( : C( Qualche mio compagno non è studioso oppure non è intelligente 26

27 IMPLICZIONI (Cond. Necessarie e Sufficienti Si considerino due proposizione P e Q Un teorema è un implicazione del tipo: P Q. La proposizione P è detta ipotesi e Q è detta tesi La precedente implicazione può anche leggersi come: P è una condizione sufficiente per Q Oppure Q è una condizione necessaria per P P è una condizione necessaria e sufficiente per Q equivale a ; P Q et Q P Oppure P Q Oppure P se e solo se Q Es. P= T è un triangolo rettangolo, Q= la somma degli angoli interni è 180 P Q è vera dunque P è condizione sufficiente per Q E quindi anche Q è condizione necessaria per P. Q P è falsa dunque P non è condizione necessaria per Q (infatti T potrebbe essere un triangolo qualsiasi 27

28 Qualche precisazione sugli insiemi a ( ( a si intende = si intende = (uguaglianza di insiemi significa : 28

29 Ridefinizione Operazioni tra insiemi = = { } { } Unione Intersezione \ { } = Differenza c { U } = = Complementazione {( a, b a b } = ( ( et Prodotto Cartesiano Sottoinsieme = Uguaglianza 29

30 Esercizi Insiemi Esercizi Insiemi Es. Si dimostri: Es. Si verifichi: = \ ( = 30 = = Es. Si verifichino le leggi di De Morgan = \

31 Relazioni 1/2 Def. Si chiama Relazione tra due insiemi e un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano. Es. Sia ={a,b,c} e ={1,2,3} a (a,1 (a,2 (a,3 b (b,1 (b,2 (b,3 c (c,1 (c,2 (c, a (a,1 (a,2 (a,3 b (b,1 (b,2 (b,3 c (c,1 (c,2 (c,3 Prodotto Cartesiano Relazione tra l insieme e l insieme 31

32 Relazioni 2/ a (a,1 (a,2 (a,3 b (b,1 (b,2 (b,3 c (c,1 (c,2 (c,3 Relazione tra l insieme e l insieme Rappresentazione sagittale della relazione Insieme Insieme a 1 b c 2 3 Per dire che la coppia (a,1 fa parte della relazione R data, scriveremo ar1 32

33 Relazioni d equivalenza 1/2 Relazioni particolarmente importanti sono le Relazioni di equivalenza : esse sono relazioni di un insieme con se stesso ( ad. es. = 2 Def. Si chiama Relazione di Equivalenza su un insieme, una relazione di che soddisfa alle seguente tre proprietà: 1. Riflessiva : ogni elemento di è in relazione con se stesso oppure ogni elemento di è equivalente a se stesso 2. Simmetrica : se un elemento a è in relazione ad un elemento b allora anche b é in relazione ad a oppure se a è equivalente a b anche b è equivalente ad a 3. Transitiva se a è in relazione a b e b è in relazione a c allora a è in relazione a c oppure se a è equivalente a b e b è equivalente a c allora a è equivalente a c 33

34 Relazioni d equivalenza 2/2 E una relazione di un insieme con se stesso. Nel linguaggio della teoria degli insiemi, indicando la relazione di equivalenza tra gli elementi a e b dell insieme con il simbolo ~ ( a ~ b, abbiamo: 1. Riflessiva : a a ~ a 2. Simmetrica se a ~ b b ~ a 3. Transitiva s e a ~ b b ~ c a ~ c Ogni relazione di equivalenza induce sull insieme in cui è definita una partizione canonica i cui elementi ( sottoinsiemi di a due a due disgiunti, la cui unione dà ancora sono le classi di equivalenza della partizione. L insieme delle classi di equivalenze è detto Insieme Quoziente. Es. Classi di resti. Si consideri l insieme N (dei numeri naturali.[suggerimento: ripassare il concetto di quoziente e resto] Diciamo che due elementi di N sono equivalenti se hanno lo stesso resto nella divisione per p (altro numero naturale, maggiore di 2. Verificare, fissato p, che tale relazione è di equivalenza, e che l insieme quoziente è costituito, esattamente, da p elementi che possono essere indicati con [0],[1],,[p-1] 34

35 Relazioni d ordine Def. Si chiama Relazione di Ordine Parziale su un insieme, una relazione di che soddisfa alle seguente tre proprietà (indichiamo la relazione d ordine parziale con il simbolo : 1. Riflessiva 2. ntisimmetrica: se a è in relazione a b e b è in relazione ad a allora a=b 3. Transitiva a a s e a b b a a = b se a b b c a c Es. Nell insieme R la relazione è una relazione d ordine parziale a Def. a < b significa a b a b 35

36 Funzioni 1/3 Def. Dati due insiemi X e Y, si chiama funzione da X in Y una relazione univoca di X con Y. Una relazione cioè che faccia corrispondere ad un elemento di X (al più un unico elemento y di Y Convenzioni Scriveremo : f : X Y, X insieme di partenza ( a volte dominio Y insieme di arrivo ( a volte codominio In generale la funzione è definitiva in un sottoinsieme del dominio detto insieme di definizione o campo di esistenza della funzione o dominio (insieme dei punti da cui partono le frecce nella rappresentazione sagittale. Gli elementi raggiunti dalle frecce nell insieme Y costituiscono l insieme delle immagini o codominio della funzione f. Se un elemento y dell insieme di arrivo Y, proviene da un elemento dell insieme di partenza X allora diremo che y è l immagine di attraverso la funzione f e scriveremo y=f(: indicheremo quindi come variabile indipendente ed y come variabile dipendente. La scrittura y=f( potrà fare riferimento al piano cartesiano ed al grafico della funzione (vedi poi.. In generale se f è definita su sottoinsieme di X a valori in Y scriveremo: f : Y Indichiamo con f( l insieme delle immagini della funzione f. X 36

37 Funzioni 2/3 Convenzioni Con f indichiamo la funzione nella sua totalità ( legge di corrispondenza con dominio e codominio Notiamo che stesse leggi di corrispondenza con dominio o codominio diversi originano funzioni diverse: Es. Si consideri la funzione f: R R tale che f(= 2 essa è va considerata diversa dalle seguenti funzioni g: R + R tale che f(= 2 h: R R + tale che f(= 2 Con f( indichiamo invece l immagine dell elemento dell insieme di definizione della funzione 37

38 Def. Funzioni Iniettive Data f : X Y Essa è detta iniettiva se Funzioni 3/3 1, 2 tali che 1 2 f( 1 f ( 2 Es. Si consideri f:r R : f(= 2. Essa non è iniettiva. Es. Si consideri f:r R : f(= 3. Essa è iniettiva. Def. Funzioni Suriettive Data f : X Y Essa è detta suriettiva se f(=y Es. Si consideri f:r R : f(= 2. Essa non é suriettiva. Es. Si consideri f:r R : f(= 3. Essa è suriettiva. Def. Funzioni iiettive ( o iunivoche Data f : X Y Essa è detta biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva Es. Si consideri f:r R : f(= 2. Essa non é biiettiva. Es. Si consideri f:r R : f(= 3. Essa è biiettiva. 38

39 Funzione Inversa 1/2 Def. Controimmagine Data f : X Y Sia y un elemento dell insieme delle immagini ( f( della funzione f. 1 Indichiamo con f ( y = { X : f ( = y} X Il sottoinsieme di X che contiene tutti gli elementi di X che hanno come immagine l elemento y inizialmente selezionato. Nota: non si confonda la notazione f -1 (y con 1/f(y (inverso moltiplicativo. Es. Si consideri f:r R : f(= 2. llora f -1 (4={-2, 2}. Es. Si consideri f:r R : f(= 3. llora f -1 (8={ 2}, f -1 (-8={-2}. Def. Funzione Inversa Se accade che per ogni y di f(, f -1 (y è costituito (al più da un solo elemento (diciamo. Cioè se : f -1 (y={} per ogni y di f( è possibile considerare la corrispondenza tra y e come una funzione (in quanto tale corrispondenza è univoca, tale funzione indicata con f -1 è detta funzione inversa di f. 39

40 Funzione Inversa 2/2 Note Evidentemente: f 1 : = f ( Y X Una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione f ammetta la funzione inversa f -1 è che la funzione f sia biunivoca. se f è invertibile 1 f( = y f ( y = Es. Si consideri f:r R : f(= 2. Non essendo biunivoca f non è invertibile. Es. Si consideri f:r R : f(= 3. Essendo biunivoca f è invertibile e quindi esiste f -1. Essa è tale che: f 1 : R R f = 1 ( y 3 y 40

41 Def. Funzione Composta f Funzione Composta 1/2 : X Y g : Y Z y z Siano: llora dato appartenente ad si consideri y=f(. La funzione g può agire su y portandolo in un elemento z di Z: cioè z=g(y=g(f(. La funzione h: h : X Z tale che dato si abbia h( = g( f ( f h g È detta funzione composta di g ed f e si scriverà: h = g[f] oppure h = g o f Note Evidentemente: = f -1 [f(] e y=f[f -1 (y] La funzione composta identità (dell insieme X h = f 1 [f] oppure h = f 1 o f è detta funzione La funzione composta identità (dell insieme Y h 1 = f[f ] oppure h = f o f 1 è detta funzione Spesso si indica con f 2 = f o f 41

42 Funzione Composta 2/2 Es. Siano a(= 3, b(= 2+1, c(=1/. Si ricavi: 1 [ a [ a( ] + 2 = c o [ ] + 2 = 1 f ( = c [ a a( ] + 2 = 1 c ( = b = = [ a( ] + c[ b( ] = ( f b[ ] + c(2 + 1 = 42

43 Grafico di una funzione reale di variabile reale Def. Grafico di una funzione f : R R 2 {(, y R : y f ( } Gr ( f = = Note Il grafico di una funzione interseca una retta verticale (=k in (al più un punto Il grafico di una funzione invertibile interseca una retta orizzontale (y=k in (al più un punto Il grafico di una funzione ed il grafico della sua funzione inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice I-III quadrante Non è il grafico di una funzione 43

44 Grafici Grafico di una funzione NON Invertibile Grafici di una funzione invertibile e della sua inversa (e della bisettrice I-III 44

45 Insiemi Numerici ed Operazioni 1/8 Def. N insiemi dei (numeri Naturali N={0, 1, 2, 3, } Operazione di addizione ( la si definisce tramite il successivo di un numero naturale Essa gode delle seguenti proprietà [proprietà gruppali]: 1. Operazione Interna a, b N a + b N 2. Proprietà ssociativa a, b, c N a + ( b + c = ( a + b + c 3. Proprietà Commutativa a, b N a + b = b + a 4. Elemento Neutro esiste cioè in N un elemento che sommato a qualsiasi altro lo ripete uguale Tale elemento è indicato con 0. a N, N : a + = + a = a 45

46 Insiemi Numerici ed Operazioni 2/8 Tuttavia i problemi legati all operazione di addizione hanno richiesto la seguente proprietà per ogni elemento dell insieme considerato: 5. Elemento Simmetrico a N, N : a + = + a = 0 La quinta proprietà non è soddisfatta in N. Si è così passati a considerare un nuovo insieme, più ampio del precedente, che contenesse N come sottoinsieme, che avesse per l operazione di addizione le stesse prime 4 proprietà ma che soddisfacesse anche alla quinta. Def. Z insiemi dei Numeri Interi (Relativi Z={ -3,-2,-1,0, 1, 2, 3, } N Z Operazione di addizione Essa gode in Z delle seguenti proprietà: 1. Operazione Interna 2. Proprietà ssociativa 3. Proprietà Commutativa 4. Elemento Neutro 5. Elemento Simmetrico a Z, Z : a + = + a = 0 46

47 Insiemi Numerici ed Operazioni 3/8 Note L elemento simmetrico di a (rispetto all operazione di addizione è indicato con a. Un insieme (come Z che, rispetto ad una operazione (in questo caso l addizione, soddisfa alle proprietà 1,2,4,5 è detto GRUPPO. Se soddisfa anche alla proprietà 3 (commutativa è detto GRUPPO ELINO. Z è un gruppo abeliano rispetto all operazione di addizione. Cenno: corrispondenza tra alcuni punti della retta e i numeri interi. Operazione di moltiplicazione (definita sulla base di addizioni ripetute Essa gode in N delle seguenti proprietà: 1. Operazione Interna a, b N a b N 2. Proprietà ssociativa a, b, c N a ( b c = ( a b c 3. Proprietà Commutativa a, b N a b = b a 4. Elemento Neutro Tale elemento è indicato con 1. a N, N : a = a = a 47

48 Insiemi Numerici ed Operazioni 4/8 a N \ { 0 }, N : a = a = 1 5. Elemento Simmetrico Tale proprietà non è soddisfatta in N ( e nemmeno in Z Considerate assieme per le due operazioni vale però la : 6. Proprietà Distributiva a, b, c N (a + b c = a c + b c Nota : Se si vuole estendere a Z, in modo congruente, la proprietà 6 si dimostra facilmente che deve valere la famosa regola dei segni e la proprietà di assorbimento dello zero. Es. 0=0*3=(2+(-2*3=2*3+(-2*3 da cui segue che (-2*3=-6 Es. 0=0*(-3=(2+(-2*(-3=2*(-3+(-2*(-3 da cui segue che (-2*(-3=+6 Es. (2-2*=0*=2-2=0 Per trovare un insieme che soddisfi alla proprietà 5 occorre introdurre l insieme dei numeri razionali Q, che contiene Z come sottoinsieme e che soddisfa a tutte le precedenti proprietà rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione più, ovviamente, la proprietà dell elemento simmetrico rispetto all operazione di moltiplicazione. Q avrà quindi una struttura di gruppo abeliano rispetto alla addizione e di gruppo abeliano (in realtà Q\{0} rispetto alla moltiplicazione (una tale struttura è nota in algebra con il nome di CMPO. 48

49 Insiemi Numerici ed Operazioni 5/8 Def. Q insieme dei Numeri Razionali m Q = : n 0 m, n Z n Note Q è un insieme denso (tra due numeri razionali se ne trova sempre un terzo e quindi infiniti N e Z sono discreti Punti su una retta e densità di Q Tuttavia ci sono ancora infiniti buchi sulla retta reale (nessun numero razionale elevato al quadrato può dare 2 o 3 o 5 Cenno: rappresentazione geometrica (punto sulla retta reale che dovrebbe corrispondere a 2 Hanno rappresentazione decimale periodica. Def. R insieme dei Numeri Reali Come vengono definiti? Mediante successioni di numeri razionali. Facciamo solo un esempio per 2 mediante una approssimazione con numeri razionali scritti in base 10: N N Z Z Q Q R 49

50 Dai numeri razionali ai numeri reali

51 Insiemi Numerici ed Operazioni 6/8 Facciamo solo un esempio per 2. Partiamo dai numeri interi e troviamo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui quadrato è maggiore di =1<2? 2 2 =4>2 Tra 1,1 e 1,9 scelgo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui quadrato è maggiore di 2 1,4 2 =1,96<2? 1,5 2 =2,25>2 Tra 1,41 e 1,49 scelgo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui quadrato è maggiore di 2 1,41 2 =1,9881<2? 1,42 2 =2,0164>2 Tra 1,411 e 1,419 scelgo quello il cui quadrato è minore di 2 e quello il cui quadrato è maggiore di 2 1,414 2 =1,999396<2? 1,415 2 =2,002225>2 51

52 Insiemi Numerici ed Operazioni 7/8 Note la successione i cui quadrati sono minori di 2 (successione minorante è crescente 1 < 1,4 < 1,41 < 1,414 la successione i cui quadrati sono maggiori di 2 (successione maggiorante è decrescente 2 > 1,5 > 1,42 > 1,415 La distanza tra i termini corrispondenti è sempre più piccola Le due successione (minorante e maggiorante non hanno elementi in comune (sono disgiunte e non si intersecano mai (nessun elemento della minorante è maggiore di qualche elemento della maggiorante queste precise caratteristiche delle successioni di numeri razionali permettono di costruire i numeri reali 52

53 Insiemi Numerici ed Operazioni 8/8 Note SUI NUMERI RELI I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta Insieme numeri Irrazionale=R\Q Per gli insiemi numerici citati valgono le inclusione strette: N Z Q Ogni numero razionale ammette una rappresentazione decimale periodica Ogni numero irrazionale ammette una rappresentazione decimale non periodica Distinzione tra numeri irrazionali algebrici e trascendenti (come π=3, ed e=2, R Def. Def. R R + = = { R > 0} { R < 0} R R { R 0} { R 0} + 0 = 0 = N Z Q R 53

54 Intervalli: definizione Dati a,b numeri reali tali che a<b [a,b] (a,b [a,b { R a b} [ a, b] = : { R a < b} ( a, b = : < { R a b} [ a, b = : < (a,b] ( a, b ] = { R : a < b } Intervalli di R 54