Integrazione con metodo Monte Carlo

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1 28 Ottobre 2010

2 Outline 1

3 Integrazione numerica I metodi deterministici di integrazione numerica (come Simpson, trapezi, e in generale Newton-Cotes) lavorano tipicamente con campionature uniformi del dominio. Tali formule di quadratura funzionano molto bene per funzioni univariate, ma all aumentare della dimensione/gradi di libertà del problema soffrono di una perdita di efficienza dovuta alla crescita esponenziale del numero di punti in cui si valuta la funzione integranda. Per ovviare a ciò, se la funzione da integrare ha un buon comportamento, è possibile utilizzare metodi statistici, che generano casualmente un numero prefissato di punti di valutazione all interno del dominio (di qualsiasi dimensione esso sia).

4 Le realizzazioni dalle varie leggi distributive possono essere utilizzate per approssimare numericamente gli integrali del tipo o, in più dimensioni, b a V g(u)du g(u)du

5 Valore atteso Definizione Data una variabile aleatoria X definita su uno spazio di probabilità (Ω, F,P), si definisce valore atteso di X la quantità E[X] = X dp Se la distribuzione di probabilità di X ammette una densità di probabilità p(x), allora il valore atteso diventa E[X] = xp(x) dx R Ω

6 Siano u 1,...,u n n realizzazioni indipendenti da variabili aleatorie uniformi nell intervallo [a,b], ovvero con densità di probabilità pari a p(u) = 1 b a. Applicando la definizione di valore atteso nel nostro caso, si ha E[g(u)] = b a 1 g(u) b a du Per la legge debole dei grandi numeri, c è convergenza della media campionaria della funzione integranda al valore atteso: 1 n n i=1 g(u i ) n E[g(u)]

7 Pertanto vale b a g(u)du = (b a)e[g(u)] (b a) 1 n n g(u i ) i=1 Quindi si ottiene un valore approssimato dell integrale moltiplicando la stima del valore atteso (data dalla media) per l ampiezza dell intervallo.

8 Il teorema del limite centrale assicura 1 n g(u i ) N (E[g(u)], 1n ) n var[g(u)] i=1 L errore può quindi scriversi come deviazione standard σ n = (b a) g 2 ( g) 2 n dove g = 1 n g(u i ) e n g2 = 1 n g 2 (u i ) n i=1 e il valore dell integrale si può esprimere più correttamente come b g(u)du (b a) 1 n g(u i ) ± σ n n a i=1 i=1

9 Osservazione La stima del valore dell integrale si discosta da E[g(u)] dell ordine di σ n 1 n, ovvero P (E[g(u)](b a) σ n < valore stimato < E[g(u)](b a) + σ n ) 0.68 Questo significa che il metodo converge lentamente O(n 1 2), ovvero per migliorare di una cifra significativa il risultato è necessario utilizzare un numero di punti (cioè di numeri generati casualmente) 100 volte più grande. di metodi più efficienti: trapezi O(n 2 ) Simpson/Gauss O(n 4 )

10 Osservazione Tuttavia, il metodo di Monte Carlo (che mantiene la stessa forma per integrali multi-dimensionali) si dimostra più conveniente a partire dalla dimensione 6 o 7, in confronto ad altri metodi deterministici di integrazione. Ad esempio, rispetto al metodo midpoint (che prevede una suddivisione equispaziata del dominio), Monte Carlo è più efficiente già per dimensione 3.

11 montecarlo.r contiene: function montecarlo 1d per Monte Carlo 1-dimensionale function montecarlo 2d per Monte Carlo 2-dimensionale function montecarlo per Monte Carlo a dimensione qualunque valutazione delle funzioni integrande main per testare gli esempi

12 o 1 Approssimare l integrale 5 2 sinx dx. Vero valore: cos(2) cos(5) Figure: f (x) = sin x, x [2, 5]

13 o 2 Approssimare l integrale doppio sin(x y)dx dy. Vero valore: 2 sin(3)(cos(6) cos(1)) Figure: f (x, y) = sin(x y), (x, y) [1, 7] [3, 10]

14 o 3 Approssimare l integrale doppio Vero valore: π π π y cos(xy)dx dy Figure: f (x, y) = y cos(xy), (x, y) [ π, π] [0, 1]