Distribuzioni di probabilità e principi del metodo di Montecarlo. Montecarlo

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1 Distribuzioni di probabilità e principi del metodo di Montecarlo Simulazione di sistemi complessi Distribuzioni di probabilità Istogrammi Generazione di numeri casuali Esempi di applicazione del metodo di Montecarlo Laboratorio di Calcolo B 42

2 Sistemi complessi Supponiamo di voler eseguire una simulazione numerica di un sistema complesso, come ad esempio l insieme delle molecole di un gas in un un recipiente. Da un lato l operazione non presenta difficoltà, nel senso che possiamo pensare di trattare ogni molecola come un corpo rigido, utilizzando le tecniche esposte nelle lezioni precedenti. Ovviamente una simulazione realistica deve prevedere l analisi del moto di un numero molto grande di corpi, e quindi l utilizzo di una enorme potenza di calcolo. Laboratorio di Calcolo B 43

3 Sistemi complessi Lo studio della fisica ci insegna pero che non tutte le caratteristiche di un sistema complesso emergono direttamente dall analisi del moto dei singoli corpi: la temperatura ad esempio è una proprietà collettiva del gas che determina la distribuzione delle velocità delle singole molecole tramite un unico parametro. È chiaro quindi che la simulazione di sistemi complessi può beneficiare enormemente dell utilizzo di tecniche statistiche, che aiutano a migliorare la comprensione del problema fisico e a ridurre i tempi di calcolo. Ovviamente è necessario essere capaci di trattare, all interno del programma, le distribuzioni di probabilità delle grandezza fisiche interessanti. Laboratorio di Calcolo B 44

4 Distribuzioni di probabilità Consideriamo un sistema caratterizzato dalla variabile x. Supponiamo che x sia una variabile aleatoria, ovvero una variabile il cui valore non è costante, ma varia seguendo una legge di probabilità nota. La variazione di x può essere legata a successive ripetizioni dell esperimento (ad esempio l estrazione dei numeri del lotto, o la misura del tempo di decadimento di una particella) oppure alla presenza di molte repliche della variabile nel sistema (ad es. la velocità media delle molecole di un gas). La funzione densità di probabilità di x, p(x) possiede la proprietà: P( x < x < x ) 2 1 = x x 1 2 p( x) dx x 1 x 2 x Laboratorio di Calcolo B 45

5 Distribuzioni di probabilità p(x) può quindi essere pensata come la probabilità (infinitesima) che il valore della variabile aleatoria sia compreso tra x e x+dx. Ne discendono le relazioni: 2 σ = x + = + p( x) dx + ( x x) = 1 xp( x) dx 2 p( x) dx 2 σ Va osservato tuttavia che la distribuzione di probabilità continua è una astrazione matematica, nel senso che operativamente non è possibile distinguere valori di x arbitrariamente vicini. Usualmente si divide l asse x in n intervalli e si assegna ad ogni intervallo una probabilità media. Si ottiene quindi una distribuzione discreta. Laboratorio di Calcolo B 46 = x n i= 1 = n i= 1 p n i i= 1 ( x i = 1 x i p i x) 2 p i

6 Istogrammi Gli istogrammi sono grafici usati per visualizzare le distribuzioni di probabilità (o di frequenza, se si moltiplica per il numero totale di eventi N) discrete (o continue, nell approssimazione detta prima). Per ogni intervallo x i (detto bin ) si disegna un rettangolo largo quanto l intervallo e di altezza pari alla probabilità p i che x cada nell intervallo (nel caso delle frequenze pari al numero di eventi nell intervallo, N i = Np i ). Nuovo evento x = 12 0< x <30 in 30 intervalli 0 30 Laboratorio di Calcolo B 47

7 Binning Il numero di bin può influenzare in modo rilevante l aspetto di un istogramma, e quindi va scelto caso per caso, cercando di evitare la presenza di molti bin poco popolati. x = x = 0.2 x = 0.05 x = 1.6 Laboratorio di Calcolo B 48

8 Manipolazione di istogrammi in CROOT In definitiva un istogramma è un vettore che contiene la popolazione degli n bins. CROOT possiede un supporto per la visualizzazione degli istogrammi. Per crearli si usa R_CreateHist1D(char *his, char *tit, int nch, float xmin, float xmax); Identificatore Estremi x Titolo Numero di bin Laboratorio di Calcolo B 49

9 Manipolazione di istogrammi in CROOT In definitiva un istogramma è un vettore che contiene la popolazione degli n bins. CROOT possiede un supporto per la visualizzazione degli istogrammi. Per crearli si usa R_CreateHist1D(char *his, char *tit, int nch, float xmin, float xmax); Per riempirli R_FillHist1D(char *his, float x, float w); Identificatore Valore della variabile aleatoria Peso; w=1 per un singolo evento. Laboratorio di Calcolo B 50

10 Manipolazione di istogrammi in CROOT In definitiva un istogramma è un vettore che contiene la popolazione degli n bins. CROOT possiede un supporto per la visualizzazione degli istogrammi. Per crearli si usa R_CreateHist1D(char *his, char *tit, int nch, float xmin, float xmax); Per riempirli R_FillHist1D(char *his, float x, float w); Per visualizzarli R_PlotHist(char *his, char *opt); Identificatore Opzioni di visualizzazione opt = H Default opt= SAME per sovrapporre istogrammi Laboratorio di Calcolo B 51

11 Manipolazione di istogrammi in CROOT In definitiva un istogramma è un vettore che contiene la popolazione degli n bins. CROOT possiede un supporto per la visualizzazione degli istogrammi. Per crearli si usa R_CreateHist1D(char *his, char *tit, int nch, float xmin, float xmax); Per riempirli R_FillHist1D(char *his, float x, float w); Per visualizzarli R_PlotHist(char *his, char *opt); Per leggere il contenuto di un istogramma double R_GetBinContentHist1D(char *his, int bin); Identificatore Numero di bin Laboratorio di Calcolo B 52

12 Uso degli istogrammi nei programmi A differenza di un normale grafico, che viene usato solo nella fase finale dei calcoli, un istogramma viene di solito usato, all interno di un programma, come elemento di memorizzazione dei dati. Quando si analizzano milioni di ripetizioni di un evento non importa tanto il singolo valore di una variabile, ma la distribuzione di tale variabile in un dato intervallo. Dal contenuto dei bin di un istogramma si può risalire, in modo approssimato, alla media e alla varianza della distribuzione. Supponiamo di avere n misure x i, e di rappresentarle tramite un istogramma con M bin aventi il centro nei punti x c j σ 2 x = = n i= 1 n i= 1 ( x i xi n n x) 2 Calcolo dai dati Calcolo dall istogramma σ 2 x = = M j= 1 M j= 1 n j n j ( x x n c j c n j x) 2 Laboratorio di Calcolo B 53

13 Confronto con distribuzioni teoriche Un modo semplice per confrontare graficamente un istogramma sperimentale con una distribuzione teorica è quello di sovrapporre il grafico della densità di probabilità. La cosa pare banale, ma si deve fare attenzione alla corretta normalizzazione: se i bin sono larghi x e si hanno in totale N eventi, il bin con valore centrale x i conterrà in media Np(x i ) x eventi. Per avere una corretta normalizzazione si deve quindi moltiplicare la densità di probabilità p(x) per il fattore N x. Laboratorio di Calcolo B 54

14 Confronto con distribuzioni teoriche Un secondo metodo di confronto consiste nel costruire un istogramma identico a quello sperimentale, e di mettere in ogni bin un numero di eventi pari alla densità di probabilità calcolata al centro del bin moltiplicata per la larghezza del bin x e per il numero totale di eventi osservati sperimentalmente N. Questo si puo fare con usa sola chiamata a R_FillHist1D utilizzando come x il centro del bin x c i e come peso il fattore Np(x c i) x. Laboratorio di Calcolo B 55

15 Traccia dell esercitazione In laboratorio dovrete realizzare un programma che: legga da un file una serie di misure affette da un errore statistico e quindi, presumibilmente, con distribuzione gaussiana (potrete usare una serie di misure da voi eseguite e/o dei files che vi forniamo); calcoli, durante la lettura, media e varianza della serie di misure, e memorizzi i dati in un istogramma; calcoli, a partire dal contenuto dei bin dell istogramma, la media e la varianza approssimate; visualizzi l istogramma sperimentale con sovrapposta la gaussiana teorica; visualizzi l istogramma sperimentale con sovrapposto l istogramma della distribuzione teorica. I confronti vanno eseguiti variando il numero di bin e l intervallo coperto dall istogramma. Laboratorio di Calcolo B 56

16 Fit di istogrammi Il confronto ad occhio di un istogramma sperimentale con una distribuzione teorica non è ovviamente soddisfacente. La cosa migliore da fare è eseguire un fit che determini i parametri della distribuzione teorica che meglio approssima l istogramma sperimentale. Il metodo è identico a quello che avete già usato per il fit ad una serie di punti sperimentali, e consiste nel minimizzare una funzione χ 2 data da: χ = bin j= 1 ( C n N x p( x, p ) N 2 j j ) dove si è assunto che l errore sul conteggio degli eventi nel bin j-mo sia pari alla radice di n j (vedere corso Lab1B). n j 2 Laboratorio di Calcolo B 57

17 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Laboratorio di Calcolo B 58

18 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); Numero totale di misure int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Laboratorio di Calcolo B 59

19 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); Numero di bins int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Laboratorio di Calcolo B 60

20 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Larghezza del bin, ottenuta come distanza tra i centri di due bins vicini Laboratorio di Calcolo B 61

21 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) Loop sui bins - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Laboratorio di Calcolo B 62

22 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); Contenuto del bin j-mo int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Laboratorio di Calcolo B 63

23 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); Posizione del centro del bin j-mo int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Laboratorio di Calcolo B 64

24 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); Valore della densità di probabilità al centro del bin int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Laboratorio di Calcolo B 65

25 Fit Istogramma-Funzione Dato un istogramma ed una funzione di densità di probabilità, ecco la funzione χ 2 da usare in minuit. // Calcolo della funzione da minimizzare (chi-quadro) double xfcn(int npar, double *par){ double Np = R_GetEntries( Histo ); int Nb = R_GetNBins( Histo, x ); double Dx = R_GetBinCenter( Histo,2, x ) - R_GetBinCenter( Histo,1, x ); Contributo al χ 2 del bin j-mo int ib; double chi2=0.0; for (i=1; i <= Nb; i++){ double nj = R_GetBinContentHist1D( Hist,ib); double xc = R_GetBinCenter( Histo,ib, x ); double p = prob(xc, npar, par); chi2 += pow(nj-np*dx*p,2)/nj; return chi2; Laboratorio di Calcolo B 66