1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4

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1 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle 5 4. L funzione integrle Il teorem fondmentle del clcolo Integrle di un f definit trtti Funzione integrle di un f definit trtti L integrle di Riemnn generlizzto 9 5. Integrle generlizzto su intervllo non itto Criteri di convergenz Integrle generlizzto di funzione non itt Criteri di convergenz Soluzioni degli esercizi 8 Definizione di integrle di Riemnn Definizione Si [, b] in intervllo chiuso e itto. Chimimo prtizione di [, b] un sottoinsieme finito {,,..., N } di punti di [,b] tli che = < <... N = b. L insieme di tutte le possibili prtizioni di [,b] (ovvimente sono infinite) verrà indicto con P[, b] Definizione Supponimo in [,b] si definit un funzione f : [,b] R e che f si itt. Ad ogni prtizione P = {,,..., N } di [,b] possimo ssocire l somm inferiore s(p) e l somm superiore S(P) di Riemnn, definite d b N N ( ) s(p) = m i i i i= N ( ) e S(P) = M i i i, i= dove m i = inf f() e M i = sup f(). [ i, i] [ i, i] Le figure che seguono cercno di illustrre l costruzione di un somm inferiore e di un somm superiore di Riemnn per un funzione dt. È chiro che l insieme {,,..., N } è ftto d N + punti e che questi punti con le crtteristiche richieste suddividono [,b] in N sottointervlli. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

2 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN 3 4 b Somm inferiore di Riemnn Somm superiore di Riemnn Osservzione Nelle due figure sono rppresentte geometricmente l somm superiore e l somm inferiore ( di un) funzione positiv, reltivellprtizione{,,, 3, 4,b}. Siosserviinftti chedesempiole quntitàm i i i forniscono l re dei rettngoli inscritti dell figur di sinistr. Quindi l somm inferiore di Riemnn fornisce l re dell unione di tutti i rettngoli inscritti, reltivi ll dt prtizione. Si definiscono or integrle inferiore f e integrle superiore f di Riemnn di f in [,b] rispettivmente 3 4 b f = sup P P[,b] s(p) e f = inf P P[,b] S(P). Osservzione Quindi l integrle inferiore si ottiene considerndo l insieme di tutte le possibili somme inferiori e prendendo di questo insieme (di numeri reli) l estremo superiore. Invece l integrle superiore si ottiene considerndo l insieme di tutte le possibili somme superiori e prendendo di questo insieme l estremo inferiore. Nturlmente nessuno ci grntisce che così fcendo ottenimo l stess quntità. Si consideri nche che lmeno uno dei due potrebbe essere infinito. Si può dimostrre che in generle f Ecco or l ultimo psso dell definizione: se f = f, diremo che f è integrbile secondo Riemnn in [,b] e chimeremo integrle di Riemnn di f in [,b] il vlore comune degli integrli inferiore e superiore di f, e lo indicheremo con f. Per distinguerlo dll integrle indefinito, questo viene spesso detto integrle definito. Osservzione Riflettendo sull definizione di integrle di Riemnn, ci si può convincere che l integrle h in qulche modo che fre con l re dell regione di pino sottes dl grfico di f. È bene ricordre che l re è un quntità positiv e che quindi qunto detto è vero solo se l f è non negtiv nell intervllo. Quindi l integrle di un f non negtiv è l re dell regione sottes dl grfico di f (può essere quest un interpretzione geometric dell integrle). Se l f cmbi segno, non è vero che l integrle si l re dell regione sottes dl grfico di f. In tli csi si può comunque dire che l integrle è l re con segno di quest regione, intendendo con re con segno l re, eventulmente cmbit di segno nelle regioni in cui l funzione è negtiv. Esempi Supponimo che c b, che f(c) = e che f() = se c. Allor f è integrbile secondo Riemnn e f =. f. b Qundo nell scrittur di f ppre esplicitmente l indiczione dell vribile si us scrivere f()d, come già visto con gli integrli indefiniti. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

3 INTEGRALE DI RIEMANN CONDIZIONI DI ESISTENZA DELL INTEGRALE DI RIEMANN 3 Inftti, dt un qulunque prtizione P dell intervllo [, b], le somme inferiori reltive P sono nulle e le somme superiori si riducono d un ddendo (quello reltivo ll intervllo [ i, i ] in cui cde il punto c). Avremo perciò s(p) = e S(P) = f(c) ( i i ). Quindi f = e, prendendo l estremo inferiore rispetto tli prtizioni, si ottiene f =, d cui l conclusione. Si f : [,] R definit d f() = { se Q se / Q. c b Si può provre che f non è integrbile secondo Riemnn. Inftti, per le proprietà dei rzionli e dei reli, si può provre che per ogni prtizione P di [,] si h che s(p) = e S(P) =, per cui f f e quindi f non è integrbile secondo Riemnn. Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn Dt l complessità dell definizione, non è fcile cpire se un funzione è integrbile secondo Riemnn. Si pone llor l seguente questione: ci sono proprietà di un funzione che ssicurno l su integrbilità? L rispost è ffermtiv. Teorem Supponimo che si f : [,b] R. Se vle un delle condizioni seguenti: (i) f è continu in [,b]; (ii) f è monoton in [,b]; (iii) f è itt e h un numero finito di punti di discontinuità in [,b], llor f è integrbile secondo Riemnn. Osservzione Ribdisco che queste condizioni sono singolrmente sufficienti per l integrbilità. Ciscun quindi, indipendentemente dlle ltre, grntisce l integrbilità secondo Riemnn dell funzione. Osservzione Il teorem permette di ffermre che un grndissim prte delle funzioni, definite in un intervllo, che solitmente incontrimo sono integrbili secondo Riemnn. Ad esempio un qulunque polinomio, considerto in un qulunque intervllo [, b], lo è. Tutte le funzioni elementri, considerte in un intervllo [, b] in cui risultno definite, lo sono (sono funzioni continue). 3 Anche l funzione f() =, pur non essendo un funzione elementre, è continu in qulunque intervllo chiuso e itto e quindi integrbile secondo Riemnn in tle intervllo. L funzione { [,) f() = [,] è integrbile secondo Riemnn in [,], dto che, pur non essendo continu né monoton, è itt e h un solo punto di discontinuità. Un spetto teoricmente rilevnte è quello di individure intere clssi di funzioni integrbili. Le tre proprietà ppen viste forniscono come detto clssi significtive, m non coprono tutte le possibilità. L proposizione che segue individu un clsse sufficientemente mpi e dice che se componimo un funzione integrbile (intern) con un funzione continu (estern) ottenimo un funzione integrbile. Proposizione Supponimo che f si integrbile secondo Riemnn in [,b] e che g si continu in f([,b]). 4 Allor g f è integrbile secondo Riemnn in [,b]. 3 Si fcci ttenzione: l intervllo deve essere chiuso e itto, lmeno per or. Quindi non possimo dire d esempio che ln in (,) si integrbile. 4 Che l g si definit in f([,b]) ormi non dovrebbe disorientre lo studente: si trtt dell solit ipotesi che grntisce l possibilità di prlre di funzione compost g f, cioè g(f). A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

4 3 PROPRIETÀ DELL INTEGRALE DI RIEMANN 4 Osservzione Conseguenz dell Proposizione è quindi d esempio che l funzione f() è integrbile se è integrbile f, dto che l funzione t t è continu. Osservzione Il teorem precedente contiene, come cso prticolre, l impliczione f integrbile in [,b] = f n integrbile in [,b], per ogni n N. È interessnte chiedersi se è vero nche il vicevers, cioè se, spendo che f n è integrbile, possimo dire che nche f lo è. Lo studente riflett un po, prim di leggere il seguito. L rispost è che se n è dispri l cos è ver, m se n è pri può non esserlo. Ad esempio, l funzione f : [,b] R definit d f() = { se Q se / Q non è integrbile in [,b], mentre il suo qudrto, che è l funzione identicmente ugule in [,b], lo è. 5 3 Proprietà dell integrle di Riemnn Teorem Supponimo che [,b] si un intervllo chiuso e itto e che f,g sino integrbili secondo Riemnn in [, b]. Allor vlgono le proprietà seguenti: (i) (linerità) se c,c sono due costnti, llor c f +c g sono integrbili secondo Riemnn in [,b] e si h (ii) (monotoni) se f g, llor (iii) se < c < b, llor f (c f +c g) = c f +c g; g; 6 f = c f + c f; (iv) se f() M, llor f M (b ); (v) fg è integrbile secondo Riemnn in [,b]; (vi) f è integrbile secondo Riemnn in [,b] e f f. Osservzione Il punto (vi) ribdisce quindi che se f è integrbile llor nche f lo è e ggiunge un disuguglinz tr gli integrli. Osservzioni Supponimo che > e che f si integrbile secondo Riemnn in [,]. Si intuisce, e non srebbe difficile dimostrrlo, che se f è dispri, llor f = ; se f è pri, llor f = f. 5 Ricordre che 3 f 3 = f, m f = f. Si ved nche, nell sezione che segue, le proprietà che coinvolgono il vlore ssoluto. 6 Non si confond l monotoni di un funzione con l monotoni dell integrle. Qui si prl di monotoni dell integrle. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

5 INTEGRALE DI RIEMANN 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 5 Quindi, nche se non sppimo ncor come clcolre gli integrli, possimo dire che 3 d =, dto che l funzione 3 è integrbile (in qunto monoton, o continu) e dispri, cioè simmetric rispetto ll origine. Possimo nche dire che d = d, m quest ultimo non lo sppimo ncor clcolre. È importnte il seguente Teorem (dell medi integrle). Supponimo che f si continu in [,b]. Allor esiste c [,b] tle che Il numero b f(c) = b f oppure, nlogmente, f si chim medi integrle di f in [,b]. Osservzione Il teorem h un semplice interpretzione geometric: scrivendo l tesi nell form f = (b )f(c). f = (b )f(c) f(c) vi si legge che l integrle è ugule ll re del rettngolo di bse l intervllo [, b] e ltezz f(c). Attenzione che quest interpretzione geometric vle se possimo identificre l integrle con l re, cioè se l f è positiv. Osservzione L tesi può essere fls in ssenz dell ipotesi di continuità di f. Considerimo l funzione f : [,] R definit d c b f() = L medi integrle di f in [,] è { se se <. 3/ f = 3, m non esiste nessun punto c dell intervllo [,] in cui f(c) = 3. Osservzione Un interessnte questione è se l nnullrsi dell integrle comport necessrimente che l funzione si sempre null. Qulche studente forse dirà subito che questo è flso, ricordndo uno degli esempi inizili di clcolo dell integrle con l definizione (lo si cerchi). E noterà che in quell esempio l funzione non er continu. Inftti l continuità è importnte in questo spetto. Si potrebbe dimostrre che, se f è continu e non negtiv in [,b] e se f =, llor f è identicmente null in [,b]. Per esercizio lo studente verifichi che l conclusione può essere fls se si omette l ipotesi di non negtività di f o quell di continuità. 4 Clcolo dell integrle L definizione di integrle non è comod per il clcolo opertivo degli integrli. Occorre un metodo di clcolo più efficce, e tr poco lo ottenimo. 4. L funzione integrle Si f un funzione integrbile nell intervllo [, b]. A prtire d f possimo definire un nuov funzione, che ssoci d ogni [,b] l integrle di f tr e, cioè F() = f, per ogni [,b]. Se vogo scrivere esplicitmente nell integrle nche l vribile di integrzione è bene fre in modo di non confondere quest con l vribile dell funzione F, cioè. Si scrive llor F() = f(t)dt, per ogni [,b]. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

6 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 6 L si ved così: per ogni fissto in [,b], t vri tr e ed è l vribile di integrzione. Quest nuov funzione F si chim funzione integrle di f in [, b] ed è un funzione molto importnte. b L figur qui sopr illustr che il vlore dell funzione integrle in (di un funzione non negtiv) è l re sottes dl grfico tr e, l vrire di. Osservzione Si può dimostrre che l funzione integrle F di un funzione integrbile f è un funzione continu (nell intervllo in cui è definit). Quindi, nche se f non è continu, l su funzione integrle lo è. Si potrebbe dire che l funzione integrle è più regolre dell funzione d cui proviene. Quest prticolrità dell funzione integrle è confermt nche dl seguente importntissimo teorem. 4. Il teorem fondmentle del clcolo Teorem (fondmentle del clcolo). Supponimo che f si integrbile in [, b] e che F si l su funzione integrle. Vlgono le proprietà seguenti: (i) se f è continu in [,b], llor F è derivbile e F = f in [,b]; (ii) se f è continu in [,b] e G è un qulunque primitiv di f in [,b], llor f = G(b) G(). Osservzione Il punto (i) del teorem fferm quindi che se f è continu llor l su funzione integrle è un su primitiv. L funzione costruit con l integrle di f è un funzione che h per derivt f (legme profondo tr derivt e integrle). Il punto (ii) del teorem fondmentle fornisce invece un comodo metodo per il clcolo dell integrle di Riemnn f()d. Dice inftti che, se conoscimo un primitiv G di f in [,b], llor l integrle è dto d G(b) G(). È chiro che l prte difficile st nel clcolo dell primitiv che, bbimo visto, può non essere bnle. Osservzione Nel clcolo dell integrle f()d, dopo ver trovto un primitiv G di f, per indicre che si pplic il teorem fondmentle e si clcol l vrizione dell primitiv gli estremi dell intervllo, si scrive f()d = G(), che st d indicre ppunto G(b) G(). Vedimo llor qulche esempio di clcolo di integrle definito. Esempi b Clcoo d. Si h d = 3 3 = ( 3 ) = Clcoo 3 d. Si h 3 d = /3 d = 4/3 4/3 = Per qunto detto in precedenz sugli integrli di funzioni pri o dispri, si potev nche fre d = d = 3 3 = 3. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

7 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 7 Clcoo e lnd. Si h (ricordo che l integrzione di ln si f per prti) e lnd = (ln ) e =. Clcoo e d. Ricordndo che e d = ( )e d = e +c, si h e d = e =. Il risultto er prevedibile, dto che l funzione è dispri e l intervllo è simmetrico rispetto ll origine. Esempio Per concludere quest sezione vedimo come si può scrivere l espressione di un funzione integrle. Considerimo ncor l funzione f() = e nell intervllo [,]. Trovimo l espressione dell funzione integrle di f in tle intervllo. Dll definizione di funzione integrle bbimo F() = te t dt = ( )te t dt = e t = ( e e ). A verific del teorem fondmentle, possimo osservre che clcolndo l derivt di F ottenimo F () = e ( ) = e = f(). Non pprofondisco molto questo spetto, m per evitre che qulche studente perd inutilmente del tempo nel clcolo di qulche integrle (tlvolt per fre qulche esercizio in più ci si invent un funzione e si prov d integrrl) vverto che ci sono funzioni che non si possono integrre. Chirisco il significto: ci sono funzioni che non hnno primitive elementri. Ogni funzione continu h primitive, in conseguenz del teorem fondmentle del clcolo: se f è continu in [,b] llor F() = f è un primitiv di f, solo che non è detto che se f è un funzione ottenut con composizione di funzioni elementri tle primitiv si ncor un funzione esprimibile ttrverso funzioni elementri. Ci sono funzioni elementri per cui si può dimostrre che l primitiv non è elementre e f() = e è l più fmos tr queste. 8 Quindi possimo certmente dire che F() = e t dt è un primitiv di e in tutto R, m non possimo esprimere F medinte funzioni elementri (per esprimerl non possimo fre meno di usre l integrle). Esercizio 4. Clcolre i seguenti integrli di Riemnn. () (c) (e) (g) (i) (k) e 3 d (b) 7/ e d (d) 3 d (f) d lnd (+) d (h) (j) (l) / 4 e d + d e d ln d + d ( ) d 8 Nemmeno e h primitive elementri, m quell col meno è più fmos, essendo un funzione fondmentle nell teori dell probbilità. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

8 INTEGRALE DI RIEMANN 4 CALCOLO DELL INTEGRALE Integrle di un f definit trtti Se dobbimo clcolre l integrle di un funzione definit trtti bst utilizzre l proprietà (iii) dell integrle di Riemnn, quell che fferm che se ho un prtizione dell intervllo di integrzione, il clcolo dell integrle può essere scomposto nell somm di più integrli, ciscuno dei quli su di un sottointervllo dell prtizione. Vedimo llor come si procede in un pio di semplici esempi. Se dobbimo clcolre d, dobbimo nzitutto osservre che l funzione cmbi segno nell intervllo di integrzione e quindi (dll definizione di vlore ssoluto) si h { se (,] [,+ ) f() = se (,). Pertnto, usndo l proprietà (iii) dell integrle, possimo scrivere d = ( )d+ ( )d ( ) = 3 ( ) = ( ) ( 3 ) =. Se dobbimo clcolre l integrle in [, ] dell funzione f() = + < <, (lo studente dic perché quest funzione è integrbile) possimo scrivere y y f()d = = = 3. (+)d+ ( ) + ( )d+ Un utile esercizio è verificre il risultto utilizzndo il grfico di f e clcolndo con l geometri elementre le ree dei tringoli/qudrti individuti nell figur. + d Osservzione Si potrebbe dimostrre rigorosmente, m mi ito d enuncire quest semplice ed intuitiv questione: il vlore dell integrle non dipende di singoli vlori che l funzione ssume in qulche punto (dicimo in un numero finito di punti). Ad esempio, nel cso ppen visto dell funzione definit trtti, noi potremmo cmbire il vlore di f in e in, cioè gli estremi degli intervlli, senz modificre con questo il vlore dell integrle. E forse si intuisce nche che frlo in due punti o in mille non f differenz, il vlore dell integrle resterebbe sempre lo stesso. Divers è l questione se cmbimo il vlore di f in un numero infinito di punti, m qui non vdo oltre. 4.4 Funzione integrle di un f definit trtti Nel corso di Sttistic gli studenti incontrernno nche questo problem: scrivere l espressione di un funzione integrle di un funzione definit trtti. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

9 INTEGRALE DI RIEMANN 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 9 Il problem è per molti spetti simile quello ppen incontrto, con l piccol difficoltà ggiuntiv dovut ll presenz dell vribile. Considerimo d esempio l funzione f() = < <. Quest funzione è integrbile nell intervllo [, ] (lo studente dic perché) e quindi possimo scrivere l funzione integrle di f in tle intervllo, che per definizione è F() = f(t)dt. Evidentemente è un problem nlogo quello già incontrto poco f qundo bbimo trovto l espressione di un funzione integrle. L unic differenz è che or l f è definit trtti e quindi non bbimo un unic espressione di f, m in questo cso tre espressioni distinte, ciscun vlid in un certo intervllo. Allor dobbimo distinguere tutti i csi possibili circ l posizione dell, che può stre nel primo ([, ]), nel secondo ((,]) o nel terzo intervllo ((, ]). Quindi bbimo: y se [, ] se (,] F() = F() = f(t)dt = f(t)dt = dt = ; dt+ = ( t)dt t = + ; se infine (,] F() = f(t)dt = dt+ Quindi rissumento possimo scrivere F() = ( t)dt+ dt = t se + se < + se <. +t = +. Nelle due figure qui sotto ho riportto nuovmente sinistr il grfico di f e destr quello di F. y y 3/ / Osservzione Il grfico di F rende evidente un proprietà (perltro già individubile nell espressione di F()) e cioè l continuità di F nell intervllo considerto. Si noti che invece f non è continu. Questo non deve sorprendere: ho già prlto in precedenz di quest proprietà: se f è integrbile, llor F è continu. Lo studente ttento noterà questo punto che F non è invece derivbile (in e in ), e si intuisce che ciò dipende dll non continuità dell f. Osservzione Metto quindi in gurdi lo studente su questo punto: se, in un esercizio nlogo l precedente, ll fine dei clcoli ottenimo un funzione integrle che non è continu, bbimo sicurmente commesso un errore. 5 L integrle di Riemnn generlizzto L integrle di Riemnn richiede, come bbimo visto, che l funzione si itt in un intervllo itto. Nel cso cdno queste ipotesi, si prl di integrle di Riemnn generlizzto. Esistono quindi due possibili situzioni d considerre: funzione non itt o intervllo non itto. Comincimo con l situzione dell intervllo non itto. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

10 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 5. Integrle generlizzto su intervllo non itto Definizione Si f : [,+ ) R e si f integrbile secondo Riemnn in [,b] qulunque si b >. Se f esiste finito, dicimo che f è integrbile in senso generlizzto in [, + ), e chimimo b + integrle generlizzto di f in [, + ) il numero rele f = b + f (figur sotto sinistr). Anlogmente, con f : (,b] R, integrbile secondo Riemnn in [,b] qulunque si < b, se f esiste finito, dicimo che f è integrbile in senso generlizzto in (, b], e chimimo integrle generlizzto di f in (,b] il numero rele f = f (figur l centro). Infine dicimo che f : R R è integrbile in senso generlizzto in (,+ ) (in R) se f è integrbile in senso generlizzto in (,] e in [,+ ). Chimimo integrle di f in (,+ ) (in R) il numero rele f = f + f (figur destr). Si fcci ttenzione che quindi entrmbi gli integrli destr dell ugule devono essere finiti. Se un funzione f è integrbile in senso generlizzto in qulche intervllo, si dice nche che il corrispondente integrle generlizzto converge. Altrimenti dicimo che l integrle generlizzto diverge. b b b Le figure qui sopr illustrno che, se f, il suo integrle generlizzto è l re dell regione (or non itt) sottes dl grfico di f. Quest re può essere finit (se l integrle converge) oppure infinit (se l integrle diverge). Dll definizione di integrle generlizzto e dll linerità dell integrle di Riemnn, si deduce l proprietà seguente: se f e g sono integrbili in senso generlizzto in [,+ ) lo stesso vle per c f +c g, e si h (c f +c g) = c f +c g (nlogmente se l intervllo è (, b] o (, + )). Vle inoltre l seguente importnte proprietà: se f è integrbile in [,b] per ogni b > e se f è integrbile in senso generlizzto su [,+ ), 9 llor nche f lo è e + f f. Attenzione. Non vle il vicevers di quest ultim, cioè dll integrbilità in senso generlizzto di f non si può dedurre integrbilità in senso generlizzto di f. Esempio L funzione e è integrbile in senso generlizzto in [,+ ) e e d =. 9 Enunciti nloghi si hnno nturlmente per funzioni definite in intervlli del tipo (,b] o (,+ ). Si noti che per l integrle di Riemnn clssico invece, come bbimo visto, dll integrbilità di f segue l integrbilità di f, e non vicevers. Ecco quindi in questo ultimo enuncito l importnz dell ipotesi inizile, che cioè f si Riemnn integrbile in [, b] per ogni b >. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

11 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO Inftti, Si verifichi che invece non è finito e d. e d = b + e d ( e ) b (teorem fond. clcolo) = b + ( = e b ) b + =. Esempio Considerimo l integrle di un funzione potenz, in prticolre considerimo distinguendo i vri csi. Se α =, si h Se α, bbimo d = b + d (teorem fond. clcolo) = ln b b + = lnb b + α d = = +. b + (teorem fond. clcolo) = b + = α d α+ b α+ ( b α ). α b + d con α >, α Il ite è infinito se < α < ed è invece finito se α >. Quindi, rissumendo, l integrle converge se α > e diverge se < α. Ad esempio, d converge, dto che α = >. Invece in entrmbi α. d e d non convergono, dto che Osservzione Negli esempi visti l funzione integrnd è infinitesim (cioè tende zero) ll infinito. Può nscere quindi l domnd se, per poter essere integrbile in senso generlizzto, un funzione non negtiv debb tendere zero ll infinito. Lo studente ci riflett un po su prim di continure. Presentt così, l questione h subito rispost negtiv: si consideri d esempio l funzione in [, + ) null dppertutto trnne che sui numeri nturli, dove vle. Ess è integrbile secondo Riemnn in un qulunque intervllo [,b] (è itt e h un numero finito di punti di discontinuità) e l integrle in [,b] è nullo. Quindi è integrbile in senso generlizzto in [, + ), con integrle nullo. Il suo ite ll infinito però non esiste. A questo punto si potrebbe riproporre l questione in questi termini: per poter essere integrbile in senso generlizzto, un funzione non negtiv e continu deve tendere zero ll infinito? L rispost è ncor negtiv, nche se un controesempio non è semplice come quello di prim (e non lo vedimo). Si intuisce forse però che nche così un funzione di controesempio può esserci, ptto che non bbi ite ll infinito. Se ponessi l domnd: per poter essere integrbile in senso generlizzto, un funzione non negtiv, continu, che bbi ite ll infinito, deve tende zero? Allor l rispost srebbe sì, e potrei nche togliere l richiest sull continuità. Si noti che il cso più significtivo è quello di un funzione potenz che tend zero qundo +, e quindi il modello più rgionevole è ppunto α con α >. Se l potenz tende ll infinito l integrle non può convergere. Per ricordre più fcilmente il risultto: l integrle converge se l potenz per + tende zero rpidmente, quindi con α >. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

12 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 5. Criteri di convergenz Lo studio dell integrbilità in senso generlizzto di un funzione ttrverso l definizione, cioè ttrverso il clcolo del ite dell integrle, risult tlvolt imprticbile, perché richiede il clcolo di un primitiv dell funzione, cos non sempre possibile. Sono utili llor criteri che permettno di stbilire l convergenz dell integrle generlizzto senz dover clcolre un primitiv. In quest sezione presento lcuni criteri di convergenz per integrli generlizzti. Per brevità enuncio i criteri reltivi gli integrli generlizzti del tipo f; criteri nloghi vlgono per integrli del tipo f. Criteri del confronto. Sino f, g funzioni continue in [, + ), vlori non negtivi. Vlgono le ffermzioni seguenti: (i) se f g, e g è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), llor nche f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ); (ii) se f g, e g non è integrbile in senso generlizzto in [, + ), llor nemmeno f è integrbile in senso generlizzto in [, + ); (iii) se f() = o(g()), per +, 3 e g è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), llor nche f è integrbile in senso generlizzto in [, + ); (iv) se g() = o(f()), per +, e g non è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), llor nemmeno f è integrbile in senso generlizzto in [, + ); (v) se f() g(), per +, 4 llor f e g hnno lo stesso crttere, cioè un è integrbile se e solo se è integrbile l ltr. Osservzione Si fcci ttenzione che i criteri si pplicno funzioni vlori non negtivi. f() Osservzione Si noti che, se si h f() g(), per +, cioè se =, llor si ricde nel cso (v). + g() Osservzione In reltà (iii) e (iv) sono conseguenze rispettivmente di (i) e (ii). Questo perché (punto (iii)), se f() = o(g()) per +, llor f è definitivmente minore o ugule g, 5 dicimo d b in poi. M llor per le ipotesi in [b,+ ) f è integrbile e quindi lo è nche in [,+ ), dto che in [,b] è continu e quindi integrbile. Stesso discorso per il punto (iv). I criteri presentti hnno utili conseguenze (confronti con le potenze). Supponimo che f si continu e positiv in [,+ ). Corollrio Se ( ) f() = o α, per + e α >, llor f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ). È conseguenz dell (iii) e del ftto che, essendo α >, /α è integrbile. Corollrio Se α = o( f() ), per + e α, llor f non è integrbile in senso generlizzto in [,+ ). È conseguenz dell (iv) e del ftto che, essendo α, / α non è integrbile. Corollrio Se f() α, per +, e α >, llor f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ); è conseguenz dell (v) e del ftto che, essendo α >, / α è integrbile. Qundo invece l relzione vle con α, llor f non è integrbile in senso generlizzto in [,+ ). 3 f() Ricordo che l scrittur signific che + = (f è trscurbile rispetto g). g() 4 f() Ricordo che l scrittur signific che + esiste finito e diverso d zero (f è dello stesso ordine di grndezz di g). 5 g() Definitivmente signific d un certo punto in poi. Quindi dire che un proprietà vle definitivmente vuol dire che non vle dppertutto m vle d un certo punto (vlore rele) in poi. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

13 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 3 Osservzione Si fcci ttenzione. Se per un cert funzione f vle l proprietà f() / α per +, possimo sempre stbilire se l funzione f è integrbile in senso generlizzto oppure no. Se vle invece l proprietà f() = o ( / α) per +, possimo concludere solo se α >. Quindi, d esempio, se trovo che f() = o ( / ) per +, non posso concludere null. 6 Esempi ln Considerimo 3 d.7 Dopo ver osservto che l funzione integrnd è continu e non negtiv nell intervllo di integrzione, ricordndo che ln per ogni >, possimo dire che ln 3 = 3. Quindi, essendo / integrbile in senso generlizzto in [, + ), per l (i) dei Criteri del confronto il nostro integrle converge. L integrle d non converge. Inftti in [,+ ) l funzione è continu e positiv, si h ln, e ln quindi ln. Dto che / non è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), dll (ii) dei Criteri del confronto segue llor che nemmeno f() = ln è integrbile in senso generlizzto in [,+ ). Considerimo e d. 8 L funzione f() = e è continu e non negtiv nell intervllo considerto. Confrontndo f() con / possimo osservre che f() 3 + / = + e = (confronto stndrd). Pertnto f() = o(/ ), per +. Dll integrbilità di / in [,+ ), per l (iii) dei Criteri del confronto, llor nche f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), e quindi in [,+ ). L integrle +ln 3 +ln 3 d converge. Inftti, f() = +ln 3 +ln 3 è continu e non negtiv in [,+ ), e f() 3 = per + (in reltà sono equivlenti, cioè f() ); quindi, dto che / è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), nche f lo è (per l (v)). Considerimo e d e si trtt di un esempio importnte (fondmentle nell teori dell probbilità). L funzione f() = e non h primitive elementri, cioè le sue primitive non si possono esprimere ttrverso funzioni elementri o loro composizioni. Quindi non simo in grdo di clcolre l integrle con l definizione. Possimo però provre che l integrle in questione è finito, cioè che f è integrbile in senso generlizzto in (, + ). Vedimo perché. Si trtt di un funzione continu in tutto R, positiv e pri (simmetric rispetto ll sse y). Possimo considerrl nell intervllo [, + ). Possimo or osservre che e + / = + e t e t = t + = (confronto stndrd). 6 Si considerino d esempio le due funzioni f () = / e f () = /(ln) nell intervllo [,+ ). Entrmbe sono o(/), per +. L prim è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), l second no. 7 Per l verità questo integrle si potrebbe clcolre nche con l definizione, dto che di quest funzione simo in grdo di trovre un primitiv (lo studente provi per esercizio: il risultto è 4 ). 8 Anche questo integrle si potrebbe clcolre con l definizione, dto che simo in grdo di trovre un primitiv dell funzione (lo studente provi per esercizio: il risultto è ). A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

14 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 4 Pertnto e = o(/ ), per +. Dto che l funzione / è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), per i Criteri del confronto nche f è integrbile in senso generlizzto in [,+ ), e quindi è integrbile in senso generlizzto in [, + ), dto che tr e l integrle è certmente finito. Dll simmetri segue che nche l integrle generlizzto in (,] esiste (ed è ugule quello in [,+ )). Quindi f() = e è integrbile in senso generlizzto in (, + ). È un funzione (e un integrle) ssolutmente fondmentle nel clcolo delle probbilità (li incontrerete nuovmente nel corso di Sttistic). Si può dimostrre che e d = π. Osservzione Fccio nuovmente osservre che con i Criteri del confronto possimo studire l integrbilità in senso generlizzto di funzioni di cui non simo in grdo di trovre un primitiv. 9 Osservzione Se f è un funzione integrbile in senso generlizzto, è possibile scrivere l su funzione integrle con primo estremo, cioè l funzione F() = f(t)dt. Ad ess è pplicbile il teorem fondmentle del clcolo integrle, che grntisce, nel cso f si continu, l derivbilità di F e l uguglinz F () = f(). Ritroverete nche quest prticolre situzione nel corso di Sttistic. Per gli scopi del clcolo delle probbilità è d esempio importnte l funzione e t dt. Qui l ppliczione del teorem fondmentle port dire fcilmente che quest funzione è monoton crescente. Inoltre ess è positiv e itt. Le due figure qui sotto illustrno f() = e e l su funzione integrlef() = e t dt. f F π π Pssimo or considerre l second situzione possibile, quell dell funzione non itt. 5.3 Integrle generlizzto di funzione non itt Si f : (,b] R un funzione integrbile in [c,b], per ogni < c < b. Si inoltre +f() = ±. Dicimo che f è integrbile in senso generlizzto in (,b] se c + c f esiste finito (figur sotto sinistr). In questo cso chimimo integrle generlizzto di f in [,b) tle ite, e lo indichimo nturlmente con f. Anlogmente per un funzione non itt in prossimità del secondo estremo: se f : [,b) R è integrbile in [,c], per ogni < c < b, e se f() = ±, dicimo che f è integrbile in senso generlizzto in [,b) se b c b c f esiste finito (figur l centro). c b c b t b z c 9 È chiro che in questi csi si può dire solo se l integrle è finito o infinito, m non si riesce in genere, se è finito, clcolrlo. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

15 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 5 Si può poi generlizzre l definizione estendendol l cso di un funzione f definit in un intervllo (, b), d eccezione eventulmente di un insieme finito di punti in prossimità dei quli f è ilitt (figur destr). Bst suddividere opportunmente l intervllo (, b) in sottointervlli in modo che in ciscuno di questi f si ilitt in prossimità di un solo estremo. L integrle su (, b) esiste se esistono (finiti) tutti gli integrli sui vri sottointervlli. A titolo di esempio (sempre figur sopr destr), si f : (,b) (b,c) R, Riemnn integrbile su ogni intervllo chiuso contenuto in (,b) (b,c). Sino inoltre + f(), tutti infiniti. Allor, se < t < b e b < z < c, c b f(), f = se tutti e quttro integrli destr sono finiti. t f + t b + f(), f + z b f + c z f, c f() Esempio Chiedimoci se converge l integrle generlizzto d. Anzitutto, con questo tipo di integrli occorre fre ttenzione: in pprenz l integrle si present come un integrle di Riemnn. A differenz di quelli dove un estremo è infinito (per cui è fcile vedere che sono generlizzti) qui si trtt intnto di ccorgersi che sono generlizzti. Quello che rende generlizzto un integrle è il ftto che l funzione integrnd è infinit (cioè tende ll infinito) in qulche punto dell intervllo (estremi o punti interni). Quindi l domnd che ci si deve fre è ppunto: l funzione è ilitt nell intervllo? Nel nostro cso evidentemente l funzione è infinit in zero e quindi questo è un integrle generlizzto. Si h llor con l definizione d = d = c + c c + ln = ( lnc) = +. c c + Quindi l integrle non converge. Come ftto prim con l ltro tipo di integrle generlizzto, risolvimo quest questione in generle: in quli csi converge l integrle di un funzione non itt di tipo potenz? Volendol ffrontre con l mssim generlità, dobbimo prevedere due prmetri: l esponente dell potenz e il punto in prossimità del qule l funzione è ilitt. Un modello sufficientemente generle di funzione potenz nell intervllo [, b), non itt in prossimità di b (d sinistr) è l funzione f() = (b ) α, per b. Si quindi < b e considerimo Se α = bbimo Se α bbimo d, con α >. (b ) α c d = b c b c b ( b d ( ) c = ln(b ) c b ) = ln(b c)+ln(b ) = +. c d = (b ) α c b (b ) α d ) = ( (b ) α c c b α = c b ( (b c) α α + (b ) α α Ovvimente se volessi l funzione potenz in (,b], non itt in prossimità di (d destr) considererei l funzione f() = ( ) α, per +. Con α l funzione non è ilitt e l integrle non è più un integrle generlizzto, m un integrle di Riemnn trdizionle. ). A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

16 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 6 Il ite è finito se e solo se α <. Pertnto l integrle Quindi d esempio d converge, mentre Osservzione Regole nloghe si hnno per l integrle mentre d non converge. ( ) 3 Esempio Considerimo quindi l integrle converge. lnd = + d converge se e solo se α <. (b ) α ( ) d non converge. lnd. L funzione ln è non itt per +. Si h ( ) d. Quindi d esempio α + d converge, ( lnd = ln = ( ) ln+ =, + + Anche per questo tipo di integrli generlizzti si possono dimostrre le consuete proprietà di linerità dell integrle (si vedno quelle nloghe per gli integrli generlizzti su intervlli non itti). Vle nche qui inoltre l proprietà che, se f è Riemnn integrbile in [,c] per ogni < c < b e se f è integrbile in senso generlizzto su [,b), llor nche f lo è e f f. 5.4 Criteri di convergenz Vlgono criteri di convergenz nloghi quelli dell integrle generlizzto su intervlli non itti. In prticolre vlgono i seguenti criteri del confronto (per brevità enuncio i criteri reltivi l cso di funzioni non itte in prossimità del secondo estremo di integrzione; criteri nloghi vlgono per gli ltri csi). Criteri del confronto. Sino f, g funzioni continue in [, b), vlori non negtivi. Vlgono le ffermzioni seguenti: (i) se f g, e g è integrbile in senso generlizzto in [,b), llor nche f è integrbile in senso generlizzto in [,b); (ii) sef g,eg non èintegrbileinsensogenerlizztoin[,b), llornemmenof èintegrbileinsensogenerlizzto in [,b); (iii) se f() = o(g()), per b, e g è integrbile in senso generlizzto in [,b), llor f è integrbile in senso generlizzto in [, b); (iv) seg() = o(f()), per b, eg nonèintegrbileinsensogenerlizztoin[,b), llornemmenof èintegrbile in senso generlizzto in [, b); (v) se f() g(), per b, llor f e g hnno lo stesso crttere, cioè un è integrbile se e solo se è integrbile l ltr. Osservzione Come in precedenz, il cso delle funzioni equivlenti (f() g()) rientr nel cso(v). Inoltre nche qui i punti (iii) e (iv) sono conseguenz rispettivmente di (i) e (ii). Come per l integrle su intervlli ilitti, conseguenz dei criteri del confronto sono i seguenti ulteriori importnti risultti (confronti con le potenze). Si f continu e positiv in [, b). Corollrio Se ( ) f() = o (b ) α e α <, llor f è integrbile in senso generlizzto in [,b). Corollrio Se per b (b ) α = o( f() ), per b, e α, Per ricordre più fcilmente il risultto: l integrle converge se l potenz tende ll infinito lentmente, quindi con α <. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

17 5 L INTEGRALE DI RIEMANN GENERALIZZATO 7 llor f non è integrbile in senso generlizzto in [,b). Corollrio Se f() (b ) α per b e α <, llor f è integrbile in senso generlizzto in [,b); qundo invece l relzione vle con α, llor f non è integrbile in senso generlizzto in [, b). Esempi Considerimo (+) d. Dopo ver osservto che l funzione è positiv nell intervllo (, ] (e non itt in un intorno destro di zero), possimo notre che nell intervllo si h + > e quindi (+) <. Dto che / è integrbile in senso generlizzto in (,], llor per l (i) dei Criteri del confronto il nostro integrle converge. 3 Considerimo / ln d. L funzione è positiv nell intervllo (, ] e non itt in un intorno destro di zero (esercizio). Se l confrontimo con / ottenimo + ln = + ln =. Quindi ln = o(/ ), per +. M llor, essendo / integrbile in senso generlizzto in (,], per l (iii) dei Criteri del confronto il nostro integrle converge. Considerimo e / d. L funzione integrnd è ilitt in zero d destr. Se l confrontimo con / e clcoo il e / + / = e t t + t = +, ottenimo che llor / = o(e / ) e quindi, dto che / non è integrbile in senso generlizzto in (,], per l (iv) l integrle dto diverge. Considerimo + + d. L funzione integrnd è ilitt in zero d destr. Ricordndo che = o() e = o( ), per +, possimo scrivere + + =, per +. Quindi, dto che / è integrbile in senso generlizzto in (,], per l (v) l integrle converge. All conclusione che l integrle generlizzto lnd (che bbimo clcolto con l definizione poco f) converge si può rrivre con il confronto. Occorre osservre nzitutto che l funzione è negtiv nell intervllo di integrzione. Possimo procedere così: considerimo ln d. Abbimo ln + / = ln =, + e quindi ln = o ( / ), per +. Dto che / è integrbile in senso generlizzto in (,], llor per i Criteri del confronto nche ln è integrbile in senso generlizzto in (,], e questo ci consente di dire che nche ln lo è. 3 Si potev nche, forse più semplicemente, osservre che (+) è equivlente, per +. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

18 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 8 È istruttivo l integrle / ln d. Si trov fcilmente che ln = o(/) e che / = o( ln ), per +. Questo però non consente di concludere null in qunto / non è integrbile in (,] e / è invece integrbile. L integrle si può clcolre con l definizione, dto che simo in grdo di trovre un primitiv dell funzione integrnd. Lo lscio per esercizio. 4 Esercizio 5. Clcolre i seguenti integrli generlizzti, utilizzndo l definizione. () (c) (e) Esercizio 5. e d e d ln d (b) (d) (f) 4 d ln d d Stbilire se i seguenti integrli generlizzti convergono, utilizzndo i criteri di convergenz. () (c) (e) (g) (i) 3 ++ d e d +e (b) (d) d (f) 3 d (h) + e d (j) d +e d d + ln(+) 3/ d + d 6 Soluzioni degli esercizi Esercizio 4. () d. Si h 3/ d = 3/ = 3. (b) 7/ 3 + d. Si h 7/ 3 + d = (+) /3 /3 7/ = 3 4 (8/3 ) = 9 4. (c) e d. Si h e d = e = /e. 4 Il risultto è che l integrle converge e vle ln. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

19 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 9 (d) / + d. Si h / + d = ln(+) / = 5 ln. (e) d. Si h d = d = 4 ln(+4 ) = 4 ln. (f) 4 e d. Si h 4 e 4 d = e d = e 4 = e(e ). L integrle è stto risolto riconducendolo d un integrle immedito del tipo e f Df. Si potev nche risolverlo con un cmbio di vribile. A tle proposito, ricordo che un buon procedur è l seguente: risolvere nzitutto l integrle indefinito, operndo il cmbio di vribile. Un volt trovt l primitiv, clcolre l integrle definito. Alterntivmente si può nche operre il cmbio di vribile sull integrle definito, m in questo cso occorre ricordrsi di cmbire nche gli estremi di integrzione. Ad esempio, nell integrle in questione, questo secondo modo di procedere porterebbe scrivere (con l sostituzione = t, d cui = t e quindi d = tdt) (g) (h) (i) 4 e e t d = t tdt = e t dt = e t Così fcendo non c è ovvimente l necessità di tornre ll vribile. e e + 3 d. Si h ln d. Si h + 3 d = 3 e ln d = d = (+ 3 ) 3/ 3 3/ e (ln) / d = (ln)3/ 3/ = (e e). e = 9 ( ). = 3. lnd. Qui serve prim un integrzione per prti per risolvere l integrle indefinito. lnd = ln = 3 3 ln 3 9 +c = 9 3 (3ln )+c. Quindi e ( lnd = 9 3 (3ln ) e = 9 (e3 +). (j) d. L integrle si riconduce fcilmente d un integrle immedito: + + d = + d = ln(+ ) = log 5. 5 Il vlore ssoluto qui si può omettere dto che l rgomento è positivo nell intervllo di integrzione. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

20 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI (k) (l) 3 3 d. Si h (+) 3 (+) d = 3 ( ) ( d = ln ln = ln ln3. 6 ( ) d. Qui serve prim l decomposizione in frzioni semplici di /(( ) ). Ponimo Si ottiene d cui Pertnto 3 ( ) d = 3 ( ) = A + B+C ( ). A + B+C ( ) = (A+B) +( A+C)+A ( ) A+B = A+C = A = e cioè A = B = C =. ( + ) ( ( ) d = ln ln 3 = ln3 ln+/. 7 Esercizio 5. () e d. Si h e d = e d = e = ( e ) =. (b) (c) 4 d. Si h 4 e d. Si h b d = d = b = ( b 4) = +. b + 4 b + 4 b + e d = = = e d+ e d e d+ b + ( /e + b + e d ( /e b = / ( e ) / b + (e b ) =. 8 6 Qui l scomposizione dell funzione integrnd in frzioni semplici er immedit, m si potev comunque procedere con l posizione inizile /(( + )) = A/ + B/( + ). Avremmo trovto A = e B =. Si noti che in questo cso non si può omettere il vlore ssoluto nelle primitive, poiché l funzione è negtiv nell intervllo di integrzione. 7 Qui l integrzione del termine ( )/( ) si può fre in modo clssico con il cmbio di vribile = t, oppure osservndo che ( ) = + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = + ( ). Queste sono integrbili in modo immedito. In questo cso si potev omettere il vlore ssoluto. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

21 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI (d) (e) ln d. Si noti che l funzione è ilitt per +. Quindi occorre spezzre l integrle in due integrli, e per frlo possimo scegliere un qulunque punto ll destr di (prendimo ). ln d = = + ln d+ ln d d+ ln b + = +logln + b + logln b. Si vede llor che entrmbi i iti sono infiniti. Quindi l integrle diverge. ln d ln d. L funzione è ilitt per + e per. Anche qui occorre spezzre l integrle in due integrli, e per frlo possimo scegliere un qulunque punto tr e (prendimo /). ln d = / = + = + = + ln d+ / ( / ln / ln + ( ln + ln ln d d+ b b ) + b / ln d b ln / ( lnb ). ln ( Si vede llor che il primo integrle converge, mentre il secondo diverge. Quindi l integrle dto diverge. (f) d. L funzione non è itt per. Quindi d = b = b ( = b = b ( = +. d ( / + / + ) d /ln +/ln + ) /ln b +/ln +b b Esercizio 5. () 3 ++ d. L funzione è continu e positiv in [, + ). Possimo scrivere 3 ++ = 3 +o( 3 ) 3, per +. Quindi per il criterio del confronto, dto che l funzione / 3 è integrbile ll infinito, l integrle dto converge. 8 Si noti che l funzione è dispri. Attenzione! Non è vero in generle che l integrle generlizzto di un funzione dispri è sempre, in qunto l integrle potrebbe non essere finito. È vero però che, se un funzione dispri è integrbile in senso generlizzto, llor l integrle è zero. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

22 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI (b) (c) (d) (e) (f) (g) d. L funzione è continu e positiv in [, + ). Possimo scrivere = +o( ) 3 +o( 3 ) 3 =, per +. Quindi per il criterio del confronto, dto che l funzione / non è integrbile ll infinito, l integrle dto non converge. e d. Possimo osservre che l funzione è pri. Allor considerimo funzione /. Si h e 4 t + / = = + e t + e t =. e d. Fccimo un confronto con l Quindibbimoche e = o(/ ), per +. Allorperil criteriodelconfrontol integrledtoconverge. +e d. L funzione è positiv nell intervllo di integrzione e Quindi l integrle dto diverge. +e Quest volt d. Quindi l integrle dto converge. +e +e d. + L funzione è positiv nell intervllo di integrzione e Quindi l integrle dto converge. 3 d., per +., per +. + = +o( ), per +. L funzione è ilitt si per + si per. 9 Per + si h 3 = +o( ) e quindi possimo concludere che l integrle dto diverge. 3 Per vremmo vuto 3 = ( ). Anche d quest prte l integrle diverge (in ogni cso, come detto nell not, bst che uno dei due diverg per concludere). 9 Volendolo ffrontre con l definizione questo ndrebbe suddiviso in due integrli: / e 3 / Si noti che l esercizio può finire qui, nel senso che il risultto trovto proposito del primo integrle (quello d esempio tr e /) permette di concludere che l integrle tr e non converge. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

23 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 3 (h) ln(+) 3/ d. L funzione è positiv nell intervllo di integrzione e ilitt per +. ln(+) 3/ = +o() 3/ /, per +. Quindi l integrle dto converge. Si ricordi lo sviluppo di Tylor ln(+) = +o(), per. (i) e d. Funzione positiv e ilitt per +. e = +o(), per +. Quindi l integrle dto converge. Qui si ricordi lo sviluppo di Tylor e = ++o(), d cui e = +o() per. (j) + d. Funzione positiv, m ilitt per +. 3 Per + si h e quindi l integrle in converge. Per + si h + = +o( ) + = +o( ) e quindi l integrle converge nche ll infinito. Pertnto l integrle dto converge. 3 Questo ndrebbe suddiviso d esempio in e. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz