Distribuzioni discrete di Probabilità

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1 Ma la biologia di laboratorio che cosa ha a che fare con le distribuzioni discrete di probabilità? Consideriamo questo gedankenexperiment: in una fiasca per coltura cellulare abbiamo una popolazione eterogenea di cellule solo le cellule di un certo tipo (es. le cellule T) possono proliferare se stimolate tutte le altre cellule non proliferano affatto non ci sono modi per misurare direttamente le cellule T Il problema è: come posso stimare quante cellule del tipo T ci sono nella popolazione cellulare? es. reale: stimare quanti linfociti T attivi ci sono nella milza di un topo dopo una immunizzazione...

2 cellule T seminare le cellule altre cellule aggiungere lo stimolo Proliferazione: + diluire il campione seminare le cellule aggiungere lo stimolo Proliferazione:

3 Qual è la probabilità di ottenere pozzetti in cui le cellule proliferano? Se distribuiamo a caso e indipendentemente c cellule in w pozzetti (da eng. wells) qual è la probabilità che un dato pozzetto contenga esattamente un certo numero di cellule? NB assunzioni: siamo in grado di distribuire le cellule nei pozzetti in modo casuale e in modo tale che nessuna cellula influenzi il destino dell'altra (ad es. NON ci devono essere aggregati cellulari) variabili: (da: I.Lefkovits and H.Waldmann, Limiting dilution analysis of cells in the immune system, Cambridge University Press, 1979)

4 prendiamo a caso un pozzetto tra i w disponibili. Qual è la probabilità che una data cellula finisca esattamente in quel pozzetto? poiché O una cellula finisce nel pozzetto O lo manca (tertium non datur), allora: dunque la probabilità che la cellula manchi il dato pozzetto è: ma questo vale anche per la seconda, la terza, la quarta,..., la cesima cellula. Poiché ogni cellula si comporta in modo indipendente da tutte le altre:

5 Dunque, la probabilità P0 che tutte le cellule manchino un pozzetto è: Qual è la probabilità che una data cellula entri nel pozzetto e che tutte le altre lo manchino? Ma questo vale anche per la seconda cellula, la terza, la..., cesima cellula. Dunque:

6 Qual è ora la probabilità che due cellule entrino nel pozzetto e che tutte le altre lo manchino? Ma questo deve valere per tutte le possibili coppie di cellule: c c e dunque:

7 Allo stesso modo calcoliamo la probabilità che tre cellule entrino in una dato pozzetto, che tutte le altre lo manchino, ed estendiamo questo conto a tutte le possibili terne di cellule (senza ripetizioni): e infine calcoliamo la probabilità per un numero qualsiasi r di cellule: Ancora un passo (trucchetto): moltiplico e divido per la quantità

8 Distribuzione BINOMIALE probabilità di ottenere k successi in n prove indipendenti (del tipo vero o falso) e in cui la probabilità per ogni singolo successo è p

9 Distribuzione BINOMIALE in biologia? es. suddivisione degli organelli cellulari alla mitosi!

10 es.

11 Distribuzione BINOMIALE distribuzione discreta di probabilità parametri p ed n media = np varianza = np(1p) probabilità di ottenere k successi in n prove indipendenti (del tipo vero o falso) e in cui la probabilità per ogni singolo successo è p

12 ...il problema pratico con la distribuzione binomiale sta nel calcolo dei fattoriali

13 riprendiamo questa equazione: e consideriamo valori di c e w molto grandi ora, se e dunque: ma se: Dunque: dove u = n. cell/pozzetto è un numero finito.

14 distribuzione di Poisson

15 distribuzione di Poisson es.: semino le cellule alla densità di 5 cellule/pozzetto. 6.7 pozzetti su 1000 conterranno r=0 cellule 3.4 pozzetti su 100 conterranno r=1 cellule 8.4 pozzetti su 100 conterranno r=2 cellule

16 distribuzione di Poisson caso particolare: semino le cellule alla densità di 1 cellula/pozzetto. il 37% dei pozzetti NON conterrà cellule notiamo che: dunque: 1)semino le cellule a diversa densità u in tanti pozzetti 2)conto quanti pozzetti non presentano cellule 3)grafico in modo opportuno il risultato 4)a livello del 37% SO che 1 su u cellule seminate prolifera! Dunque ho risolto il problema iniziale!

17 (a real experiment from: I.Lefkovits and H.Waldmann, Limiting dilution analysis of cells in the immune system, Cambridge University Press, 1979)...a P0=0.37 ci attendiamo che 1 sola cellula proliferi in un dato pozzetto. Ma per arrivare a questo risultato ho dovuto seminare ~ cellule (della popolazione eterogenea di partenza. Dunque 1/ cellule è la frequenza di cellule proliferanti (le cellule T) nella popolazione d'origine.

18

19 (0.65/15.9=0.04) ~1/6 ~1/153

20 distribuzione di Poisson es. a che densità cellulare conviene seminare le cellule per sperare di averne solo 1 in un pozzetto ed ottenere così un clone cellulare? u=0.1 u=0.3 u=1 P P P P

21 distribuzione di Poisson limite della distribuzione binomiale estremamente comune. Ad esempio permette di calcolare la probabilità che si verifichino n eventi (indipendenti) in un dato intervallo di spazio o di tempo, sapendo che in media se ne verificano λ nello stesso intervallo (es. telefonate ad un call center) legge degli eventi rari

22 Distribuzioni continue di Probabilità calcoliamo per: osserviamo che la distribuzione diventa sempre più fitta

23 Distribuzioni continue di Probabilità linea rossa (x=r): NB eventi NON più rari!!! La distribuzione di Poisson viene approssimata da una distribuzione continua detta normale (o di Gauss) con

24 Distribuzioni continue di Probabilità Distribuzione normale: distribuzione continua e simmetrica attorno alla media due parametri: media μ e varianza σ2 eventi NON rari ma molteplici, casuali ed indipendenti somma di variabili aleatorie gaussiane è gaussiana x1+x2+x3=xtot

25 Distribuzioni continue di Probabilità Il passaggio al continuo NON è indolore: distribuzioni discrete: la variabile aleatoria assume solo un dato valore di probabilità distribuzioni continue: la variabile aleatoria assume un continuum di valori di probabilità in un dato intervallo (bin). Dunque la probabilità di una variabile continua è definita solo come somma di tutti i valori di quell'intervallo es. caso normale:

26 Distribuzioni continue di Probabilità Dunque, per calcolare la probabilità di un evento nel caso continuo ho bisogno di: la PDF che descrive la distribuzione della variabile aleatoria in esame calcolare (correttamente) integrali

27 Distribuzione normale es.:

28 Distribuzione normale

29 Distribuzione normale

30 Distribuzione normale dunque la probabilità di osservare un evento è: dunque un evento MOLTO raro e pertanto ragionevolmente NON dovuto al caso. Tale evento può dunque essere un segnale scientificamente interessante

31 Distribuzione normale dove: Il problema, pertanto, è riuscire a calcolare l'integrale. Ci sono almeno (più di) 3 modi: metodo furbo: (imparare ad) usare un software in grado di farlo metodo più furbo: normalizzare la PDF gaussiana e fare riferimento a opportune tabelle metodo gnucco: usare il PC per quello che è (una volta tanto), ovvero un calcolatore

32 Calcolo aree: metodo gnucco

33 Calcolo aree: metodo gnucco da usare con attenzione occhio all'intervallo! preferire forza bruta

34 Calcolo aree: metodo più furbo x = { , , , , , , , , , ,...} dove Z è una variabile aleatoria con distribuzione normale standard

35 Calcolo aree: metodo più furbo

36 Calcolo aree: metodo più furbo es.: supponiamo che l'altezza degli italiani sia distribuita normalmente, e che i valori di media e deviazione standard siano rispettivamente (o in alternativa che la statura media sia di ). 1. Qual è la probabilità di trovare italiani più alti di cm? 2. Qual è la probabilità di trovare italiani più bassi di cm? 3. Qual è la probabilità di trovare italiani più alti di cm O bassi di cm? Caso 1.: una coda

37 Calcolo aree: metodo più furbo Caso 2.: una coda NB si usa la simmetria della distribuzione normale!

38 Calcolo aree: metodo più furbo Caso 3.: due code

39 Calcolo aree: metodo più furbo si noti che: dunque, un generico valore può essere interpretato come: il dato di partenza dista dalla media Quindi, se vogliamo che un dato si discosti dalla media di, ad esempio, allora deve essere: e questo dato viene ottenuto con probabilità

40 Verifica ipotesi calcolare la distribuzione (PDF) sotto l'ipotesi che la variabile che stiamo studiando sia soggetta solo al caso (variabile aleatoria) calcolare la probabilità di uscita della variabile falsificare o meno l'ipotesi: la variabile NON è o È soggetta al solo caso Ma: non sempre (praticamente mai) possiamo calcolare la PDF ciò significa che non sempre (praticamente mai) abbiamo i valori di dunque dobbiamo stimare in modo furbo questi valori a partire dalle osservazioni inferenza statistica e

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