ESERCITAZIONE SU TEORIA DELLA PRODUZIONE E MINIMIZZAZIONE DEI COSTI
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- Giacinta Di Stefano
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1 ESERITAZIONE SU TEORIA DELLA PRODUZIONE E MINIMIZZAZIONE DEI OSTI. I rendimenti di scala sono costanti. a) I rendimenti di scala sono costanti se: tf(k,l)f(tk,tl) 40 f(k,l) 80 40f(K,L)f(K,L) f(3k,3l)3f(k,l) c) b) VERA. Il prodotto marginale di un fattore diminuisce quando se ne impiegano quantità via via crescenti (mantenendo fisso l'altro) f(3k, L) - f(k, L)< f(k, L) - f(k, L) 5<0 idem per il lavoro AV AV V(Q)/Q OSTO MEDIO VARIABILE Breve periodo Q on rendimenti costanti: A( K, L,) (( K, L,)/ (( K, L,))/ LUNGO PERIODO A(Q) (Q)/Q A OSTO MEDIO DI LUNGO PERIODO Q
2 Nel breve periodo (K è fisso) il costo medio variabile è crescente data la produttività marginale decrescente del fattore lavoro. Nel lungo periodo (tutti i fattori produttivi variano) la funzione di costo medio è costante dati i rendimenti di scala costanti. Rendimenti di scala crescenti. a) Infatti per ottenere la produzione Q è necessario un incremento di K e L inferiore rispetto all'aumento necessario per ottenere Q 00 (infatti bc>cd). Lo stesso dicasi per passare da Q 00 a Q 00 (infatti ab>bc) Stesso incremento della produzione ma incrementi decrescenti degli input. b) Poiché i rendimenti di scala sono crescenti, l'incremento dei costi all'espandersi della produzione sarà meno che proporzionale rispetto all'incremento nel prodotto. La curva dei costi medi di LP è decrescente. me me Q 3. Due isoquanti di una stessa impresa e relativi allo stesso periodo di tempo non possono intersecarsi, perché, per definizione gli isoquanti indicano tutte le combinazioni di due input con le quali è possibile ottenere uno stesso volume di produzione massimo. Gli isoquanti non possono intersecarsi per la stessa ragione per cui le curve di indifferenza di un individuo non possono intersecarsi. Se si intersecassero, nel punto di intersezione un volume di produzione maggiore dovrebbe essere uguale ad un volume di produzione minore, il che è un controsenso. E' possibile immaginare un isoquanto crescente (per un breve tratto) ma anche se esistesse effettivamente sarebbe di scarso interesse poiché, dato un qualunque punto di questo tratto, sarebbe possibile ottenere lo stesso volume di produzione con una quantità minore di entrambi gli input
3 4. a) Volume di produzione osto totale osto medio osto marginale b) Rendimenti di scala decrescenti. on rendimenti di scala decrescenti i costi totali crescono più che proporzionalmente rispetto all'output. 5. Yf(, )( ) a) Per (, ) (, 5) l'impresa produce il livello di output Y(3)5 Se gli input raddoppiano, cioè (, ) (4, 0), l'output diventa Y'50 L'incremento di output è pari a Δ ' Δ (5/3) 5 Il prodotto è cresciuto meno del doppio poiché (5/3)<3 (Rendimenti di scala decrescenti) b) Saggio marginale di sostituzione tecnica: PMa SMST PMa Nel nostro caso: SMST non dipende da ISOQUANTI QUASI LINEARI In corrispondenza dei livelli di input sarà: SMS(, 5) /() /3 SMS(4, 0) /(4)/5 c), X / Isocosto E Isoquanto -( / ) /
4 min, s.v. ) ( Z - μ(( ) - ) ondizioni del primo ordine (FO) 0 0 μ μ Z Z μ μ ) ( 0 μ ) ( Z ( ) ( ) ( ) ( ) SMST dove è la condizione di ottimalità per la minimizzazione dei costi ( ) ( ) FUNZIONI DI DOMANDA ONDIZIONATA DEI FATTORI: dipendono dai prezzi e dalla quantità di output che l'impresa intende produrre: * *(,, ) * *(,, ) oppure La condizione di ottimalità per la minimizzazione dei costi è data dalla seguente relazione: SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE TENIA RAPPORTO TRA I PREZZI DEI FATTORI SMST Nel nostro caso SMST da cui * inserendo * nella funzione di produzione Perché L'impresa sceglierà gli input in modo da uguagliare il rapporto tra Pma di ogni fattore diviso per il prezzo Se PMa PMa > L'impresa potrebbe ridurre il suo costo ed allo stesso tempo produrre la stessa quantità di output utilizzando più e meno
5 f(, ) ( ) otteniamo: * 6. -(P L /P ) In E f f SMST L P P L P P L 0 E Se P L si riduce, si riduce anche (P L /P ) ' E' Q 0 L 0 L' L Se il prezzo del fattore lavoro diminuisce, l'isocosto diventa meno inclinato (ad esempio quello tratteggiato in figura). La nuova combinazione di capitale e lavoro per produrre Q 0 (quindi lo stesso isoquanto) è indicata nel punto E. La quantità impiegata di lavoro aumenta (la Produttività marginale del lavoro diminuisce) La quantità impiegata di capitale si riduce (la Produttività marginale del capitale aumenta) SMST è decrescente se si impiega una quantità > di L e si varia l'impiego di in modo da rimanere sullo stesso isoquanto, il saggio marginale di sostituzione tecnica diminuisce. Quindi isoquanti con la stessa forma convessa delle curve di indifferenza regolari. Le ipotesi di SMST decrescente e produttività marginale decrescente sono strettamente convesse, ma non coincidono esattamente. L'ipotesi di produttività marginale decrescente concerne la variazione del prodotto marginale che dipende dall'aumento della quantità impiegata di un fattore, se si l'altro ad un livello prefissato. L'ipotesi di SMST decrescente invece riguarda il modo in cui il rapporto dei prodotti marginali (l'inclinazione dell'isoquanto) varia se si aumenta la quantità impiegata di un fattore e si fa variare la quantità impiegata dell'altro modo da rimanere sullo stesso isoquanto.
6 7. a) 0 A B 40 A B B 0 ISOOSTO: A A B B; B(/ B )-( A / B )A -( A / B ) A b) OSTANTI. tf(a,b) f(ta,tb); t> tatbt(ab)tf(a,b) Se si modifica per t la quantità impiegata di tutti gli input, risulterà modificata per t la quantità prodotta. c) YA d) Punto di ottimo: il Saggio tecnico di Sostituzione (TRS(A;B)) deve essere uguale al rapporto fra i prezzi dei fattori: MPA A MPB B soluzione d'angolo B0 e A0 dobbiamo individuare sull'isoquanto il punto al quale è associata la retta di isocosto più bassa possibile. 8. LK ; p L ;p K a) L'equazione della generica curva di isocosto (associata al costo totale ) è: K L
7 / Intercetta che aumenta all'aumentare di Y00 / K b) Poiché l'impresa vuole produrre 00 dovrà scegliere K e L che le consentano di produrre l'aumentare di output prefissato. c) Graficamente un punto sull'isoquanto 00 Problema di minimizzazione del costo punto sull'isoquanto al quale è associato il costo minore. La seconda condizione da soddisfare nel punto di ottimo: ) 00 ) tangenza isoquanto - isocosto, cioè uguaglianza fra SMST ed il rapporto tra i prezzi degli input 00 KL K K L SMSTK,L L L K Da questo sistema di due equazioni in due incognite si ricava: K00;L00 I costi saranno ( 00 00)400 c) Il profitto dell'impresa sarà dato da 00p-400, essendo p il prezzo dell'output: si noti che deve essere p>, affinché vi possano essere profitti positivi. 9. Lungo periodo: scelta della combinazione ottima dei fattori ondizione per la minimizzazione dei costi: PMa L PMaK r oppure PMa L PMaK r dati i costi dei fattori
8 K -( US /r) -( Nepal /r) K US K Nepal Q tonnellata L US L Nepal L Gli US producono Q adottando una tecnica di produzione a più alta intensità di K, il Nepal adotta una tecnica a più alti intensità di L. la ragione non risiede nel fatto che gli US sono più ricchi, ma nel fatto che i prezzi relativi del lavoro e del capitale sono molto diversi nei due paesi. I paesi in cui lavoro è poco costoso relativamente al capitale sceglieranno tecniche di produzione a maggiore intensità di lavoro e viceversa.
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