Indice. Produzione e impresa. La massimizzazione del profitto. Mercati perfettamente concorrenziali. La massimizzazione del profitto

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1 Indice Produzione e impresa Corso di Microeconomia progredito Parte II 1 Impresa e mercati concorrenziali Il problema dell impresa La funzione di costo Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 1 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 2 / 27 Mercati perfettamente concorrenziali Comportamento di mercato dell impresa L beni; p R L ++ prezzi degli L beni Impresa è price taker Impresa massimizza i profitti p y = p p L y L Insieme di produzione : è chiuso, non vuoto e soddisfa la proprietà di free disposal Il comportamento dell impresa si ricava da max y p y s. a y Si può riscrivere con la funzione di trasformazione max y p y s. a F (y) 0 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 3 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 4 / 27

2 Soluzione grafica (L = 2) p y = Π Retta di isoprofitto Π = p y = p 1 + p 2 p y = 0 y p Se la tecnologia è convessa, l insieme di produzione è convesso Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 5 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 6 / 27 Condizione di tangenza p l p k = MRT l,k (y) y La soluzione, y(p), è la funzione di offerta Non sempre esiste una soluzione Se la tecnologia non è strettamente convessa può non esistere una soluzione y y p Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 7 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 8 / 27

3 Soluzione Formale Se è convesso e chiuso, esiste una soluzione di frontiera e le condizioni di Khun-Tucker sono necessarie e sufficienti y F (y ) p p = λ F (y) F (y) = 0, λ 0 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 9 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 10 / 27 Esempio Esempio Esempio Tecnologia con un singolo output, L = 3 Si ponga q = y 3, z i = y i p = p 3, w i = p i, con i = 1, 2 I beni 1 e 2 sono input, il bene 3 è un output Le condizioni Khun-Tucker sono w 1 = λ f (, )/ w 2 = λ f (, )/ p = λ, λ > 0 Data la funzione di produzione f (, ) la funzione di trasformazione è F (y) = y 3 f (, ) quindi o anche w i = p f (, )/ z i, i = 1, 2 w i w k = MRTS i,k (z) Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 11 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 12 / 27

4 Il problema dell impresa può essere separato in due problemi logicamente distinti 1 minimizzazione dei costi dato l output 2 massimizzazione del profitto dati i costi Studiamo il caso della tecnologia con un singolo output Osservazione Se un impresa massimizza i profitti allora minimizza i costi Se il piano di produzione ( z, q ) massimizza i profitti ai prezzi p e w, allora z minimizza i costi per produrre q. Infatti, se cosí non fosse esisterebbe ( z, q ) con w z w z. Da cui contrariamente all ipotesi pq w z > pq w z Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 13 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 14 / 27 Il problema dell impresa si può risolvere in due passi 1 Per ogni dato q si trova la combinazione di input, z, che minimizza i costi dati i prezzi degli input 2 Data la funzione di costo, si trova la quantità q che massimizza i profitti dato il prezzo dell output L analisi della minimizzazione dei costi si applica all impresa anche quando il mercato del prodotto non è perfettamente concorrenziale la tecnologia è a rendimenti di scala crescenti Minimizzazione dei costi Soluzione Analisi grafica min z w z s. a f (z) q Vincolo, insieme superiore di livello, {z f (z) q} Isocosto, {z w z = c} Analisi grafica Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 15 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 16 / 27

5 Analisi grafica Analisi grafica Il vincolo è un insieme superiore di livello della funzione di produzione, ISL( q) = {z f (z) q} ISL( q) {z f (z) = q} Le rette di isocosto, {z w z = c } z w z w z = c w z = c Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 17 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 18 / 27 Analisi grafica Soluzione Analisi formale z punto di tangenza w 1 = f 1(z) w 2 f 2 (z) z Condizioni di Khun-Tucker f (z ) Cioè il SMST è uguale al rapporto tra i prezzi degli input z f (, ) = q w = λ f (z) f (z) = q, λ 0 z w f (, ) = q Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 19 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 20 / 27

6 Soluzione Analisi formale Osservazioni Se la tecnologia è convessa la funzione di produzione è concava e le condizioni di Khun-Tucker sono anche sufficienti le condizioni di Khun-Tucker sono necessarie e sufficienti anche se la funzione di produzione è quasiconcava Per ogni valore di q e w si ricava la soluzione; in questo modo si definisce una funzione (q, w) z i (w, q) per ogni i Funzione di domanda condizionata dei fattori z(w, q) = ( (w, q),..., z L 1 (w, q)) La funzione di costo Andando a sostituire la soluzione z(w, q) nella funzione obiettivo si ottiene la funzione di costo Funzione di costo C(q, w) = w 1 (w, q) + w 2 (w, q) La funzione di costo è la funzione del valore ottimo del problema di minimizzazione dei costi Costo Medio Costo marginale AC(q) = MC(q) = C(q, w) q C(q, w) q Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 21 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 22 / 27 La funzione di costo Interpretazione economica del moltiplicatore di Lagrange Teorema dell inviluppo dm(a) f (x; a) = g(x; a) da a λ x=x(a) a Applicando il teorema alla funzione di costo si ha dc(q, w) = w z [f (z) q] dq q λ z=z( w,q) q quindi λ(q, w) = C(q, w)/ q x=x(a) z=z( w,q) cioè, il moltiplicatore di Lagrange del problema di minimo è pari al costo marginale Esercizio - Cobb-Douglas Esercizio - Cobb-Douglas f (, ) = z 1 Domande condizionate dei fattori Funzione di costo Condizioni del primo ordine w 1 = λz1 1 z 2 w 2 = λz 1 2 z1 q = z1 z 2, λ 0 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 23 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 24 / 27

7 Esercizio - Cobb-Douglas Esercizio - Cobb-Douglas Domande condizionate dei fattori Il moltiplicatore di Lagrange ( (w 1, w 2, q) = q 1 w2 w 1 ( (w 1, w 2, q) = q 1 w1 w 2 λ(w, q) = q 1 ( w1 ) ( w2 ) ) ) Funzione di costo C(q, w 1, w 2 ) = q 1 [ ( ) ( ) ] + w 1 w2 Quando vi sono Rendimenti di scala costanti, + = 1, sia z i che C(q, w) sono funzioni lineari della quantità q Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 25 / 27 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 26 / 27 Proprietà della funzione di costo Analogia formale tra il problema della minimizzazione della spesa e il problema di minimizzazione dei costi 1 z è omogenea di grado 0 in w grafico analisi CPO 2 Lemma di Shepard, C(q, w)/ w i = z i (w, q) Applicazione del Th. dell inviluppo 3 C(q, w) è omogenea di grado 1 in w implicazione della (1) 4 C(q, w) è concava in w, quindi H è NSD e Jz è NSD Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte II 27 / 27