Istituzioni di Economia Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Lezione 14 Minimizzazione dei costi

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Lezione 4 Minimizzazione dei costi Prof. Gianmaria Martini Minimizzazione dei costi Un impresa minimizza i costi se produce ciascun livello di output 0 ai costi più bassi possibili. c(,) denota la funzione dei costi minimi totali per l impresa connessi alla produzione di unità di output, dati i prezzi dei fattori,. c(,) si definisce funzione di costo totale per l impresa.

2 Il problema di minimizzazione dei costi Si consideri un impresa che utilizza due inputs per produrre un output. La funzione di produzione è: f(, ). Si prenda come dato il livello di output 0. Dati i prezzi degli inputs e, il costo di una tecnica (paniere di inputs) (, ) è: +. 3 Dati, e, il problema di minimizzazione del costo per l impresa è: min, 0 + sotto il vincolo: f, ). ( 4

3 Ottenimento della funzione di costo Una curva che contenga tutti i panieri di inputs con lo stesso costo è una curva di iso-costo. Es., dati e, la linea di iso-costo di 00 ha equazione: In generale, dati e, l equazione della linea di iso-costo di c è: + c. cioè: + c. Si noti che la pendenza è: - /. 6 3

4 Isocosti con pendenza - /. c + c < c c + 7 Supponiamo di voler produrre. Tracciamo l isoquanto e chiediamoci quale sia il paniere di input più conveniente. f(, ) 8 4

5 Combinazione di inputs di costo minimo (, ) f(, ) 9 Caratteristiche della combinazione di inputs di minimo costo: (a) f (, ) (b) la pendenza dell isocosto e quella dell isoquanto sono uguali: PM STS in (, PM ). f(, ) 0 5

6 Le quantità e dipendono dai prezzi dei fattori e dal livello di produzione. (,,) e (,,) nella combinazione di minimo costo sono le domande (condizionali) per gli inputs e. Il minimo costo totale possibile per produrre unità di output quindi è: c (,, ) (,, ) + (,, ). Minimizzazione dei costi: un esempio Cobb-Douglas La funzione di produzione per l impresa è Cobb- Douglas : f(, ) /3 /3. I prezzi degli inputs sono e. 6

7 La combinazione (, ) che minimizza il costo di produzione di unità di output deve rispettare: (a) (b) /3 /3 ) ( ) ( / / ( / 3)( ( / 3)( ) / 3 ) / 3 ( ( / 3 ) / 3 ). 3 / 3 / 3 (a) ( ) ( ) (b). Dalla (b),. Sostituiamo nella (a) per ottenere: / 3 ( / 3 ) / 3 da cui: / 3. che è la domanda condizionata dell input. 4 7

8 8 5 3 / Si ottiene (,,), cioè la domanda condizionata dell impresa per l input. Poichè e 3 / 3 / 6 Riassumendo, per la funzione di produzione: ( ) ),, ( ),,, ( 3 / 3 / ), ( f la combinazione di inputs più conveniente per ottenere unità di output è:., 3 / 3 /

9 Pertanto, la funzione di costo minimo per l impresa è: c (,, ) (,, ) + (,, ) / 3 + / 3 / 3 / 3 / 3 + / 3 / 3 / / 3. 7 Minimizzazione dei costi: un esempio alla Leontief. La funzione di produzione per l impresa è: min (4, ) I prezzi degli inputs e sono dati. Calcoliamo le funzioni di domanda condizionata e la funzione di minimo costo per l impresa. 8 9

10 A è la combinazione di inputs di minimo costo per ottenere unità di output 4 A min{4, } /4 9 Le domande condizionate per gli inputs sono: (,, ) e (,, ). 4 La funzione di costo totale quindi è: c (,, ) (,, ) + (,, )

11 Costi medi totali di produzione Il costo medio totale per la produzione di unità (per positivo) è: c( CMe,, ), (, ). Il costo medio è il rapporto tra costo totale e livello di produzione. Ritorni-di-scala e costi medi totali La proprietà della tecnologia riguardo ai ritorni-di-scala determina come cambiano i costi medi di produzione al variare dell output. Supponiamo che un impresa produca unità di output. Chiediamoci come cambiano i costi medi di produzione se essa decide di produrre unità di output.

12 Se la tecnologia di un impresa presenta ritorni-di-scala costanti, raddoppiare la produzione (da a ) richiede la duplicazione di tutti i livelli di input. Il costo di produzione totale raddoppia. Il costo medio di produzione non cambia. 3 I punti A e B appartengono alla funzione di costo, la quale in B è doppia rispetto ad A Il CMe (Costo totale/produzione) è dato dalla pendenza dei segmenti che uniscono A e B all origine c( ) B c( ) A Pend. c( )/ CMe( ). Pend. c( )/ CMe( ). 4

13 c( ) Il costo medio è costante con se la tecnologia dell impresa presenta r. di s. costanti. c( ) A B c() Pendenza costante: CMe( ) CMe( ). Pend. c( )/ CMe( ). Pend. c( )/ CMe( ). 5 Se la tecnologia di un impresa presenta ritorni-di-scala decrescenti, raddoppiare la produzione (da a ) richiede livelli di input più che doppi. Il costo di produzione totale più che raddoppia. Il costo medio di produzione aumenta. 6 3

14 I punti A e B appartengono alla funzione di costo, la quale in B è più che doppia che in A. Il CMe (Costo totale/produzione) è dato dalla pen-denza dei segmenti che uniscono A e B all origine. c( ) B Pend. c( )/ CMe( ). c( ) A Pend. c( )/ CMe( ). 7 Il costo medio aumenta con se la tecnologia dell impresa presenta r. di s. decrescenti c( ) B c() Pend. c( )/ CMe( ). c( ) A Pend. c( )/ CMe( ). 8 4

15 Se la tecnologia di un impresa presenta ritorni-di-scala crescenti, raddoppiare la produzione (da a ) richiede livelli di input meno che doppi. Il costo di produzione totale aumenta ma a meno del doppio. Il costo medio di produzione si riduce. 9 I punti (A e B) appartengono alla funzione di costo. La pendenza dei segmenti che li uniscono all origine rappresenta il costo medio. (PendenzaCosto totale/produzione CMe). c( ) c( ) A B Pend. c( )/ CMe( ). Pend. c( )/ CMe( ). 30 5

16 Il costo medio si riduce con se la tecnologia dell impresa presenta r. di s. crescenti c( ) c( ) A B c() Pend. c( )/ CMe( ). Pend. c( )/ CMe( ). 3 Funzione di costo medio nei diversi casi di r. di s. /unità di output CMe() r. di s. decrescenti r. di s. costanti r. di s. crescenti 3 6

17 Costi totali di breve e di lungo periodo Nel lungo periodo un impresa può variare tutti i livelli di input. Consideriamo un impresa che nel breve periodo non sia in grado di cambiare il livello dell input da unità. Chiediamoci quali rapporti ci sono tra il costo totale di lungo periodo (per produrre unità di output) ed il costo totale di breve periodo. 33 Il problema di minimizzazione di lungo periodo è: min +, 0 con vincolo: f (, ). Il problema di minimizzazione di breve periodo è: min 0 ' + ' con vincolo: f, ). ( 34 7

18 Il problema di minimizzazione dei costi di breve periodo è eguale a quello di lungo periodo soggetto al vincolo aggiuntivo. Se la scelta di lungo periodo per fosse, il vincolo aggiuntivo non vincolerebbe realmente e quindi i costi totali di lungo e di breve periodo per produrre sono eguali. 35 Tuttavia, quando la scelta di lungo periodo è allora il vincolo aggiuntivo fa si che l impresa, nel breve periodo, non possa conseguire i costi minimi di lungo periodo. Il vincolo aggiuntivo implica quindi che i costi di breve periodo siano superiori ai costi di lungo periodo. 36 8

19 Consideriamo tre livelli di output ed i relativi livelli di costo 37 Collegando le scelte di produzione di lungo periodo si ottiene il sentiero di espansione di lungo periodo. 38 9

20 Notate che gli isocosti (in blu) rappresentano costi di lungo periodo. Supponiamo ora che l impresa sia soggetta, nel breve periodo, al vincolo. 39 Sentiero di espansione di breve periodo Livelli di costo di lungo periodo 40 0

21 Sentiero di espansione di breve periodo Livelli di costo di breve periodo 4 I costi totali di breve periodo sono superiori ai costi totali di lungo periodo eccetto che per il livello di output in cui il livello di input (vincolato) di breve periodo è eguale alla scelta di lungo periodo. Questo ci dice che la curva dei costi totali di lungo periodo ha sempre in comune un punto con una particolare curva dei costi totali di breve periodo. 4

22 La curva dei costi totali di breve periodo (bp) ha un punto in comune con la curva dei costi totali di lungo periodo, per gli altri livelli di è più elevata. c bp () c() F 43