CAPITOLO SESTO - STATISTICA INDUTTIVA. moneta buona; ha solo una probabilità molto bassa di verificarsi:

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1 CAPITOLO SESTO - STATISTICA INDUTTIVA 1. Verifica di u ipotesi: u caso particolare Nell euciato di umerosi esempi ed esercizi proposti ei capitoli precedeti si è fatto riferimeto a moete o dadi o truccati, ei quali i possibili esiti soo equiprobabili. Abbiamo tra l altro imparato a risolvere problemi di questo tipo: Effettuado 00 laci di ua moeta buoa, qual è la probabilità di otteere u umero di teste compreso tra 90 e 110? Oppure di otteere almeo 95 teste? Oppure di otteere meo di 100 teste? Laciado 300 volte u dado buoo, qual è la probabilità di otteere 6 per u umero di volte iferiore a 50? O compreso tra 40 e 60? La risoluzioe di tali quesiti richiede u certo lavoro, ma, ua volta itrodotti gli strumeti adeguati, o comporta particolari difficoltà cocettuali. Itediamo ora ribaltare il problema, ossia rispodere i qualche modo ad ua domada quale: ( ) ua certa moeta è buoa? A livello ituitivo si può rispodere el modo seguete: laciamo la moeta u certo umero di volte e cotrolliamo se il umero di teste uscite è approssimativamete uguale a quello delle croci. Questa strategia, pur ella sua plausibilità, è troppo vaga per poter essere utilmete impiegata: occorre precisare meglio cosa si itede per «approssimativamete uguale». Prima di affrotare la questioe è importate sottolieare u aspetto. Se laciado 10 volte ua moeta otteiamo 10 teste è ragioevole sospettare che la moeta o sia buoa; tuttavia o lo potremo affermare co certezza. L eveto i questioe o è impossibile co ua 10 1 moeta buoa; ha solo ua probabilità molto bassa di verificarsi: 0, (e, come si è sottolieato a proposito dei umeri i ritardo sulle ruote del lotto, talvolta si verificao eveti a bassa probabilità). I altre parole, bisoga teer presete che la risposta alla ( ) o sarà mai «sì» o «o» al di là di ogi dubbio. Così, ad esempio, se su persoe scelte a caso i ua popolazioe di , più di 500 soo macie, o potremo essere certi che la probabilità che ua persoa sia macia è maggiore di1/: può darsi che il caso abbia fatto cocetrare el campioe u umero di persoe macie molto superiore alla frequeza ella popolazioe. I sostaza, domade come la ( ) o ammettoo ua risposta defiitiva. L idea allora è la seguete: fissiamo u elevato valore della probabilità, detto livello di sicurezza, ad esempio 0,95, e studiamo come si comporta ua moeta buoa el 95% dei casi. Se la ostra moeta o segue questo comportameto, potremo rifiutare che essa sia buoa, co la certezza di o predere ua decisioe errata almeo el 95% dei casi. Poiamo allora questo problema: data ua moeta buoa ed eseguedo, ad esempio, 100 1aci, determiare 1 itervallo itoro a 50 el quale, co probabilità 0,95, si trova il umero di teste otteute. Si tratta, i sostaza, di u problema iverso rispetto a quelli richiamati all iizio del paragrafo, ei quali era oto l itervallo e si doveva determiare la probabilità. Qui è ota la probabilità e si deve determiare l itervallo. Voledo determiare k i modo che X = «umero di teste otteute i 100 laci» soddisfi la codizioe: p(50 k X 50 + k) = 0,95 1

2 sfruttado l approssimazioe ormale alla distribuzioe biomiale (m = p = 50: σ = ossia: = 5), si può determiare k i modo che: p k 5 X 50 k 5 5 = 0,95 p k 5 X * k 5 = 0,95 Co la otazioe itrodotta el quito capitolo si ha: p k 5 X * k 5 =N k 5 Da N k 5 = 0,95 segue N k 5 = 0,475. Nella Tavola alla fie del capitolo quito si legge che il valore N(z) = 0,475 si ottiee per z = 1,96. I defiitiva k =1,96, da cui k = 9,8. 5 Ciò sigifica che, laciado 100 volte ua moeta buoa, la probabilità di otteere testa u umero di volte compreso tra 50 9,8 e ,8, ossia tra 41 e 59 (estremi iclusi), è 0,95. Quidi, se laciado ua moeta qualsiasi 100 volte si ottiee testa u umero di volte iferiore a 41 o superiore a 59, si hao due possibilità alterative: a) la moeta o è buoa b) la moeta è buoa e si è verificato u eveto co probabilità 0,05. Ne segue che, co probabilità 0,95, la moeta o è buoa. I coclusioe, possiamo adottare la seguete strategia: laciamo la moeta 100 volte; se otteiamo testa u umero di volte iferiore a 41 o superiore a 59 rifiutiamo l ipotesi che la moeta sia buoa. Siamo sicuri di o sbagliare el 95% dei casi. I calcoli possoo essere ripetuti scegliedo u diverso livello di sicurezza, ad esempio 0,99. I tal caso si trova k 1,9. Se i 100 laci si ottiee testa u umero di volte miore di 38 o maggiore di 6 la moeta o è buoa co probabilità 0,99. Il maggior grado di certezza che vogliamo raggiugere per rifiutare che la moeta sia buoa ha ristretto l itervallo delle possibilità. Osservazioe. Il procedimeto fiora esposto è sigificativo el seso che cosete di rifiutare l ipotesi che la moeta sia buoa se si ottiee testa u umero di volte al di fuori dell itervallo determiato, co u elevata probabilità di o predere ua decisioe errata. Si osservi, tuttavia, che se si ottiee testa u umero di volte compreso ell itervallo o è lecito dedurre che, co elevata probabilità, la moeta sia buoa. Suppoiamo che ei 100 laci si sia otteuto testa 55 volte. Allora o possiamo rifiutare, ai livelli di sicurezza che abbiamo itrodotto, che la moeta sia buoa. Ma o possiamo sosteere che co elevata probabilità p = 0,5. Il ostro risultato cocorda altrettato bee co il valore p = 0,53 o co p = 0,55 e cosi via. Questo aspetto del problema sarà approfodito el 4. Cosideriamo ora il caso di u dado. Il problema è più complesso essedovi 6 possibili esiti. Si può tuttavia procedere come el caso della moeta se prediamo i esame l uscita di ua sola faccia, ad esempio quella co il umero 6.

3 Laciamo 360 volte il dado. Se è buoo, la variabile casuale X = «umero dei 6 usciti» ha ua distribuzioe biomiale co E(X) = p = = 60 e σ = ,07. La variabile X* = X 60 ha distribuzioe approssimativamete ormale. 7,07 Come i precedeza, affiché p(60 k X 60 + k) = 0,95, si determia k i modo che p k 7,07 X * k k = 0,95, e si ottiee =1,96 da cui, i defitiva, k 13,86. 7,07 7,07 Quidi: co probabilità 0,95 il umero di volte i cui esce 6, laciado 360 volte u dado buoo, è compreso tra 60 13,86 e ,86, ossia tra 47 e 73, estremi iclusi. La strategia è allora la seguete: se, laciado u qualsiasi dado 360 volte, otteiamo il 6 u umero di volte iferiore a 47 o superiore a 73, al 95% il dado o è buoo. I geerale, per trovare l itervallo el quale cadoo co probabilità 0,95 i valori di ua variabile casuale X co distribuzioe ormale di valore medio m e deviazioe stadard σ, si può sfruttare la seguete formula: m 1,96σ X m + 1,96 σ (1) metre, co probabilità 0,99, l itervallo è: m,58σ X m +,58 σ () Esempio. Su ascite si soo osservati 535 maschi. Al livello di sicurezza 0,95 si può sosteere l equiprobabilità delle ascite maschili e femmiili? E al livello 0,99? Se le ascite maschili e femmiili fossero equiprobabili, il umero dei maschi avrebbe valore medio 500 e deviazioe stadard σ = ,8. Al livello di sicurezza 0,95 (detto X il umero dei maschi) dalla (1) si ottiee: 500 1,96. 15,8 X ,96. 15,8 ossia 470 X 530. Poiché il umero osservato di 535 maschi supera 530, si può rifiutare l ipotesi di equiprobabilità. Al livello 0,99, risultado, per la (), 460 X 540 l ipotesi di equiprobabilità o può essere rifiutata. I defiitiva, il valore osservato di 535 è sufficietemete lotao da 500 per cosetirci di rifiutare l ipotesi al livello 0,95. Tuttavia o è così lotao da 500 da garatirci di poter rifiutare l ipotesi al livello 0,99. Il campioameto Spesso si voglioo otteere iformazioi relative ad u dato feomeo ed è materialmete impossibile, oppure troppo lugo e costoso, procurarsi i dati i modo completo ed esauriete. Uo dei metodi più sfruttati per stimare le gradezze icogite è il ricorso ad u campioe. Prima di occuparci, el prossimo paragrafo, del problema della stima di u parametro icogito, espoiamo brevemete qualche caratteristica del campioameto. Siao dati, ad esempio, i segueti umeri: 1, 3, 6, 8, 14 La loro media aritmetica è X = 6,4; la mediaa è 6 e la variaza (quadrato dello scarto quadratico medio) è s = 0,4. 3

4 Cosideriamo tutti i possibili campioi costituiti co 3 dei 5 umeri dati e di ciascuo di essi cosideriamo la media aritmetica e la mediaa. Si ottiee la seguete tabella: Campioe X M = media del campioe X Me = mediaa del campioe 1, 3, 6 10/3 3 1, 3, , 3, , 6, , 6, , 8, 14 3/3 8 3, 6, 8 17/3 6 3, 6, 14 3/3 6 3, 8, 14 5/3 8 6, 8, 14 8/3 8 I possibili campioi soo 10. Se immagiiamo di aver estratto a sorte u campioe, la media del campioe è ua variabile casuale X M i cui possibili valori soo riportati ella secoda coloa; ciascuo di essi ha probabilità 1/10. I1 valore medio di X M risulta: E(X M )= =6,4 Come si vede, e come si potrebbe dimostrare i geerale, si ha: E(X M )=X vale a dire il valore medio di X M è proprio la media aritmetica dell itera popolazioe. Cosideriamo ora le mediae. La mediaa del campioe è u altra variabile casuale X Me il cui valore medio risulta: E(X Me )= =5,7 Questa volta E(X Me ) o coicide co la mediaa della popolazioe origiaria dei 5 umeri. U aaloga circostaza si sarebbe verificata se avessimo cosiderato la variabile casuale X v = «variaza del campioe»: il valore medio di X v o coicide co la variaza s dell itera popolazioe. I defiitiva, alcui parametri relativi ai campioi hao u valore medio che coicide co quello della popolazioe; altri parametri o hao questa proprietà. Presetiamo ora qualche risultato relativo al caso i cui il campioameto è eseguito co ripetizioe, ossia co la possibilità che u oggetto vega scelto più volte. I tal caso si dimostra che: (a) E(X M )=X (come el caso seza ripetizioe) (b) E(X Me )=X, ossia il valore medio di X Me o è, come ci si aspetterebbe, la mediaa della popolazioe, ma la media aritmetica della popolazioe. 4

5 (c) E(X v )= 1 s (dove è il umero di elemeti del campioe e s la variaza della popolazioe). Ossia il valore medio delle variaze dei campioi è 1 volte la variaza della popolazioe. Se è abbastaza grade, allora 1 è prossimo a 1 e approssimativamete E(X v )=s. I seguito ci occuperemo di casi i cui la popolazioe è sufficietemete grade i modo che il campioameto co o seza ripetizioe coduca a risultati approssimativamete uguali (se la popolazioe è molto grade, la probabilità che u oggetto vega scelto due volte è trascurabile). Si può dimostrare che, se la popolazioe di parteza ha ua distribuzioe pressoché ormale, ache le variabili casuali itrodotte (X M, X Me, X v ) hao distribuzioe ormale. Tuttavia, ache se la popolazioe o ha distribuzioe ormale, le variabili i questioe hao acora ua distribuzioe approssimativamete ormale, purché sia abbastaza grade ( 30 per X M e X Me ; 100 per X v ). Per il seguito è opportuo rilevare che, come si potrebbe dimostrare rigorosamete, la variabile casuale X M ha valore medio m e deviazioe stadard σ tali che: m = E(X M )=X; σ = s (3) dove X e s soo rispettivamete la media aritmetica e lo scarto quadratico medio della popolazioe. Cosideriamo ifie i successivi esiti del lacio di ua moeta, di u dado o di u qualsiasi esperimeto di Beroulli, i cui p è la probabilità di successo. Ua sequeza di esiti può essere pesata come u campioe estratto dall'isieme di tutte le sequeze possibili di esiti. La frequeza F dei successi è ua variabile casuale legata alla X = «umero dei successi» dalla formula: F = X ed ha la stessa distribuzioe biomiale di X. Si dimostra che il valore medio e la variaza di F soo date da: E(F) =p; var(f) = pq per cui: σ = pq (4) 3 La stima di ua quatità icogita (A) Stima putuale Suppoiamo di voler cooscere la statura media degli abitati di ua certa regioe. Scartado la possibilità di misurare le altezze di tutte le persoe della popolazioe, si può ricorrere ad u campioe. Si sceglie a caso u certo umero di persoe e si calcola la loro altezza. La media delle altezze otteute o è altro che u valore della variabile casuale X M itrodotta el paragrafo precedete. Poiché il valore medio di X M è proprio la media aritmetica X della popolazioe, si dice che X M è uo stimatore corretto di X e il valore misurato el campioe può essere assuto come «stima» di X. 5

6 I geerale, data ua qualsiasi gradezza relativa ad ua popolazioe, u suo stimatore corretto è ua qualsiasi variabile casuale il cui valore medio è 1a gradezza i questioe. Si è detto che, se il campioameto è co ripetizioe, o se la popolazioe è molto ampia, E(X Me )=X, per cui ache X Me è uo stimatore corretto di X. Quado abbiamo più stimatori corretti della stessa gradezza, sorge spotaea la domada di quale sia migliore o, come si dice, quale sia il più efficiete. Se si ricorda il sigificato della deviazioe stadard, è aturale assumere come stimatore più efficiete quello co deviazioe stadard miore, i quato i valori assuti sarao più «raccolti» itoro al valore medio (ossia alla gradezza icogita). Nel caso i esame si dimostra che: σ(x M )<σ(x Me ) per cui X M è uo stimatore più efficiete di X Me ; azi, si dimostra che X M è lo stimatore più efficiete di X. Se, ivece, volessimo stimare la mediaa delle altezze della popolazioe della regioe, o potremmo ricorrere a X Me (ossia alla mediaa del campioe) quale stimatore, poiché E(X Me ) o è la mediaa della popolazioe. Aalogamete, per stimare la variaza o lo scarto quadratico medio delle altezze delle persoe, o possiamo, a stretto rigore, ricorrere a X v, i quato il suo valore medio, come si è detto, è E(X v )= 1 s e o è uguale a s. X v è, come si dice, uo stimatore distorto della variaza s della popolazioe. Uo stimatore corretto per la variaza della popolazioe è la variabile casuale 1 X v il cui valore medio è proprio s. Comuque, per campioi abbastaza gradi, l errore che si commette stimado la variaza della popolazioe co la variaza del campioe può essere trascurato. La variabile casuale F = «frequeza di successi» i u esperimeto di Beroulli è uo stimatore corretto della probabilità di successo. Ifatti, come detto el paragrafo precedete, E(F) =p. Tra l altro: X M come stimatore di X F come stimatore di p hao, come segue dalle formule del paragrafo precedete, deviazioe stadard che dimiuisce al crescere di : più umeroso è il campioe, più efficiete è la stima otteuta. I tutti i casi, la variabile casuale assuta come stimatore forisce u valore, detto stima putuale, della gradezza icogita. (B) Stima itervallare Nel puto (A) precedete si è visto come stimare, i alcui semplici casi, ua gradezza icogita. È importate otteere qualche ulteriore iformazioe circa la «botà» della stima, ossia determiare u itervallo itoro al valore stimato el quale cade co elevata probabilità il valore da stimare. Si parla allora di stima itervallare. Ricolleghiamoci co quato visto el 1. Suppoiamo di avere rifiutato l'ipotesi che ua moeta sia buoa. Si poe allora per essa il problema di stabilire la probabilità p che esca testa (avedo escluso, ad u certo livello di sicurezza, che sia p = 1/). 6

7 Si lacia la moeta u certo umero di volte e si assume la frequeza relativa f dei successi (f è u valore della variabile casuale F = «frequeza dei successi» della quale abbiamo parlato i precedeza) come stima di p. Ifatti F è uo stimatore corretto di p. Cerchiamo ora di adare oltre e di stabilire quato attedibile sia questa stima. Per le stesse ragioi per le quali o si può essere assolutamete certi che la moeta o sia buoa (ache se abbiamo rifiutato l ipotesi che lo sia), o potremo stabilire co certezza che p coicide co u suo valore stimato f. Possiamo tuttavia, i sitoia co la trattazioe del 1, porre il problema i questa forma: se f è il valore stimato di p, qual è l itervallo di cetro f el quale p cade co elevata probabilità, ad esempio 0,95? Si tratta, i altre parole, di determiare k i modo che p(f k p f + k) = 0,95. Siamo i grado di risolvere questo problema per le variabili casuali come F che hao distribuzioe, ache solo approssimativamete, ormale. Per poter applicare la (1) del 1, occorre determiare: m = E(F) = p e σ = σ(f) = pq p (1 p) = ma, i questo caso, sia m che σ dipedoo da p, che è icogito. Per i ostri scopi è sufficiete segalare che si può dimostrare quato segue: si può ricorrere alla (1) i cui m e σ soo «stimati» sostituedo p co f, purché sia abbastaza grade (i pratica basta che sia superiore a 30). Esempio 1. Laciado ua moeta 150 volte, si è otteuta testa 10 volte. Determiare, al livello di sicurezza 0,95, ua stima itervallare della probabilità p di otteere testa co quella moeta. Co le otazioi precedeti, f = 10 = 0,8 è la stima putuale di p; m è stimato co 0,8 e σ 150 0,8 0, co 0,0366. Per la (1) del 1, si ha: 150 0,8 1,96. 0,0366 p 0,8 + 1,96. 0,0366 ossia: 0,736 p 0,864 Si può essere certi al 95% che la probabilità di otteere testa co quella moeta è compresa tra 0,736 e 0,864. Se ripetiamo i coti al livello di sicurezza 0,99, ossia co la () del 1, si trova: 0,716 p 0,884 Come è ovvio, per essere più sicuri, dobbiamo accettare u itervallo più ampio di valori. Esempio. Stimare, al livello di sicurezza 0,95, quate soo le persoe macie di ua popolazioe di idividui, sapedo che i u campioe di 00 uità si soo osservati 60 macii. I questo caso p è la probabilità che ua persoa scelta a caso sia macia, ossia: umero totale macii p = Si ha f = =0,3 come stima di p e di m; σ è stimato co 0,3 0,7 0, Per la (1) del 1 si ha: 0,3 1,96. 0,034 p 0,3 + 1,96. 0,034 ossia: 0,365 p 0,3635 7

8 Al livello di sicurezza 0,95 il umero delle persoe macie ella popolazioe è compreso tra e Esempio 3. Stima del valore medio. Stimare, al livello di sicurezza 0,95, la durata media delle lampadie prodotte da ua ditta, sapedo che, i u campioe di 65 lampadie, si è osservata ua durata media di 800 h co scarto quadratico medio di 100 h. Essedo, per le (3) del, E(X M )=X; σ = s, per poter applicare la (1) del 1, dobbiamo stimare X e s, ossia la durata media e lo scarto quadratico medio della popolazioe delle lampadie. Avedo a disposizioe u campioe abbastaza grade ( = 65), possiamo approssimare X e s co i valori 800 h e 100 h rilevati el campioe, per cui m = 800 h e σ = 100 h =4h. Dalla (1) del 1 si ha: ,96 X M ,96 ossia: 79,16 X M 807,84 Quidi, al livello di sicurezza del 95%, la vita media delle lampadie prodotte dalla ditta sarà compresa tra 79,16 h e 807,84 h. 4 Verifica di ipotesi: cosiderazioi geerali Nel 1 abbiamo visto come rifiutare l ipotesi che ua moeta o u dado sia buoo co u elevato livello di sicurezza e si è posta l attezioe sul fatto che o rifiutare u ipotesi ad u certo livello o sigifica accettarla allo stesso livello: se, al livello di sicurezza 0,95, o si è respita l ipotesi che ua moeta sia buoa ciò o sigifica che, co probabilità 0,95, la moeta è buoa, ossia co p = 0,5. Prima di presetare qualche altro test itediamo soffermarci a chiarire questo aspetto. Uo dei compiti che lo statistico si prefigge è quello di verificare o rifiutare ua certa ipotesi; ad esempio: è buoo il dado? È buoa la moeta? Vi è coessioe tra altezza e peso delle persoe? Vi è differeza tra uomii e doe ei cofroti di ua certa prova? È efficace u farmaco? Due campioi di pezzi soo stati prodotti dalla stessa macchia? A secoda del tipo di domada soo stati elaborati test appropriati. Per i ostri scopi è sufficiete cosiderare solo i più semplici, poiché dal loro esame emergoo già le caratteristiche salieti dei procedimeti impiegati ella statistica iduttiva. Chiamiamo ipotesi ulla, e la idichiamo co H 0, l ipotesi che si itede verificare o rifiutare. Nel 1 l ipotesi ulla era: «la moeta è buoa». Nel test statistico, l ipotesi ulla H 0 viee messa a cofroto co u altra ipotesi H 1, detta ipotesi alterativa. No ecessariamete l ipotesi alterativa è tutto ciò che o rietra i H 0 ; ad esempio, l ipotesi che la moeta sia buoa (p = 0,5) può essere messa i alterativa a p = 0,6, oppure a p = 0,7, oppure a p < 0,3, e così via.` U test è cogegato i modo da cosetire ua scelta tra l ipotesi ulla e l ipotesi alterativa. Tale scelta, i ogi caso, o è eseguibile co assoluta certezza, i quato vi è sempre u margie di errore. È opportuo distiguere due tipi di errore: (a) errore di primo tipo è quello che si commette accettado H 1 el caso i cui sia vera H 0, ossia è la possibilità di respigere H 0 per errore. (b) H 1. errore di secodo tipo è quello che si commette accettado H 0 el caso i cui sia vera 8

9 Nel 1 abbiamo posto l acceto sull errore del primo tipo: i geere accettavamo che ua moeta o fosse buoa co ua probabilità di errore di 0,05 (ossia 1 0,95). È questo l esatto sigificato della ostra affermazioe di pag. : el caso di 100 laci, se otteiamo testa u umero di volte iferiore a 41 o superiore a 59, la moeta o è buoa co probabilità 0,95. Ora, se si ottiee testa, sempre su 100 laci, u umero di volte compreso tra 41 e 59 (estremi iclusi) e si accetta che la moeta è buoa, si va icotro ad u possibile errore del secodo tipo. La misura dell errore del secodo tipo dipede da come è formulata l ipotesi alterativa. I geere, dimiuedo la possibilità di errore di primo tipo, aumeta il pericolo di commettere uo di secodo tipo: passado dal livello di sicurezza 0,95 al livello 0,99 siamo più sicuri di o dichiarare truccata ua moeta buoa, ma corriamo u maggiore rischio di dichiarare buoa ua moeta truccata. È chiaro che u test è tato migliore quato più piccole soo etrambe le possibilità di errore. Geeralmete si fissa l errore del primo tipo (di solito 0,05 o 0,0l) e si coduce il test i modo da miimizzare l errore di secodo tipo. Azitutto va scelta co oculatezza l ipotesi alterativa. Ad esempio, se l ipotesi ulla è H 0 = «la moeta è buoa», e si eseguoo l00 laci, il test proposto el 1 ha u piccolo errore di primo tipo, ma u elevato valore dell errore di secodo tipo se l ipotesi alterativa è H 1 = «la moeta o è buoa». Tuttavia, se si assume come ipotesi alterativa, ad esempio, H 1 = «p = 0,6», si può ridurre sesibilmete la possibilità di errore del secodo tipo. I parole più semplici, se l ipotesi che la moeta sia buoa è posta i alterativa all ipotesi che la moeta sia truccata i modo sesibile, il test assicura di poter decidere co elevata sicurezza quale delle ipotesi è vera per ua data moeta. Si può dimostrare che, all aumetare degli elemeti del campioe o dei laci effettuati, per u fissato valore dell errore di primo tipo, si può dimiuire a piacere la probabilità di errore di secodo tipo. L ipotesi H 0 = «la moeta è buoa» può essere posta i alterativa ache all ipotesi H 1 = «la moeta o è buoa» co ua piccola probabilità dei due tipi di errore, pur di eseguire u umero di laci abbastaza elevato. 5 Il test χ (chi quadro) (A) Test di sigificatività Riprediamo i esame il caso del lacio del dado. Suppoiamo di avere laciato 360 volte u dado e di avere otteuto i segueti risultati: e di voler verificare l ipotesi H 0 = «il dado è buoo». Se è vera l ipotesi, il valore atteso di ciascu esito è 60, per cui si tratta di cofrotare la tabella realmete otteuta co quella dei valori attesi: e di valutare se le discordaze o soo troppo accetuate. Ua misura delle discordaze tra le due tabelle è la seguete: χ (45 60) (68 60) (70 60) (55 60) = = = ,3 + (64 60) 60 + (58 60) 60 = 9

10 Ci chiediamo ora se tale valore ci cosete di rifiutare l ipotesi che il dado sia buoo al livello di sicurezza del 95%. Prima di procedere geeralizziamo il discorso. Se soo dati possibili esiti e 1, e,..., e e soo state osservate le frequeze f 1, f,..., f, metre le frequeze teoriche previste i base ad u ipotesi H 0 soo p 1, p,..., p ; poiamo: χ = (f 1 p 1 ) + (f p ) (f p ) p 1 p p Questo umero può essere pesato come u valore di ua variabile casuale (i diversi esperimeti si ottegoo valori f 1, f,..., f diversi). Tale variabile casuale ha valore ullo se le frequeze osservate coicidoo co quelle teoriche. Se l ipotesi H 0 formulata è corretta, i valori di χ sarao «abbastaza piccoli». Per determiare quato «piccoli» devoo essere, occorrerebbe cooscere la distribuzioe di probabilità di tale variabile casuale. Ai ostri fii è sufficiete ricorrere alla Tavola riportata alla fie del capitolo, relativa ai casi del livello di sicurezza 0,95 e 0,99 (e che può essere applicata purché le frequeze teoriche, i pratica i coteuti delle tabelle, siao superiori a 5). Il valore h idica i gradi di libertà e viee determiato a secoda del tipo di applicazioe del test χ. Nei casi come quello i esame h è il umero delle frequeze osservate meo uo: h = 1 Nella Tavola, per h = 5 si legge χ 0,95 = 11,1. Dato che il valore calcolato di 7,3 è iferiore a 11,1, al livello di sicurezza 0,95 l ipotesi che il dado sia buoo o è rifiutabile. Poiché per h = 5 si legge χ 0,99 = 15,1, l'ipotesi o è rifiutabile al livello di sicurezza 0,99 (evidetemete i valori di χ 0,99 soo superiori a quelli di χ 0,95 ; per essere più sicuri di o rifiutare l ipotesi quado è vera, dobbiamo essere disposti ad accettare delle discordaze più ampie tra i valori osservati e quelli teorici). Esempio. I ua scuola la media delle valutazioi geerali degli alui ha avuto gli esiti riportati ella tabella che segue. Per ogi 100 alui si soo avuti: ottimo buoo sufficiete isufficiete gravemete isufficiete U uovo isegate ha dato le segueti valutazioi a 100 alui: ottimo buoo sufficiete isufficiete gravemete isufficiete Stabilire se il uovo isegate adotta u metodo di valutazioe che si discosta sigificativamete dalla media degli altri isegati. L ipotesi ulla H 0 è che i voti attribuiti dal uovo isegate o si discostio da quelli attribuiti dagli altri. Si ha: χ = (1 8) 8 + (5 0) 0 + (51 46) 46 = ,36 + (7 16) 16 + (5 10) 10 = 10

11 Poiché i gradi di libertà soo 5 1 = 4 e χ > χ 0,95 (11,36 > 9,49), si può rifiutare l ipotesi ulla al livello di sicurezza 0,95, ossia il uovo professore è di maica più larga; tuttavia, poiché χ < χ 0,99, al livello di sicurezza 0,99 o si può rifiutare l ipotesi H 0 che egli si comporti come gli altri e che le discordaze osservate siao puramete casuali. (B) Tavole di cotigeza Suppoiamo di voler studiare l efficacia di u uovo farmaco sui soffereti di ua certa malattia. A tal fie cosideriamo 00 malati: a 100 di essi (1 gruppo) sommiistriamo il farmaco, agli altri 100 ( gruppo) o diamo essua cura. Si osserva quato segue: guariti o guariti totale 1 gruppo gruppo totale Facciamo l ipotesi H 0 che il farmaco o abbia alcu effetto. I tal caso i 150 guariti e i 50 o guariti sarebbero equamete ripartiti ei due gruppi e le frequeze sarebbero: guariti o guariti totale 1 gruppo gruppo totale Si ha: χ (80 75) (0 5) (70 75) (30 5) = + + +, Co tabelle di questo tipo il umero h dei gradi di libertà si calcola moltiplicado il umero di righe meo uo per il umero delle coloe meo uo. I questo caso si ha: h = ( 1). ( 1) = 3,84 >,67. Quidi al livello di sicurezza 0,95 o si può rifiutare = 1. Per h = 1, χ 0,95 l ipotesi che il farmaco o abbia alcu effetto. Poiché, i geerale, χ 0,99 > χ 0,95, l ipotesi che il farmaco o abbia alcu effetto o si può ovviamete rifiutare al livello di sicurezza 0,99. (C) Botà dell adattameto Il test χ può essere adoperato per valutare la botà dell adattameto di ua distribuzioe teorica ad ua empirica. Molte volte si è detto, ad esempio, che le altezze delle persoe, o i loro pesi, o le durate delle lampadie, o le dimesioi dei pezzi prodotti da ua macchia hao ua distribuzioe ormale. Come si accerta u fatto del geere? Cosideriamo la seguete tabella di altezze di 100 ragazzi: classi di altezza (i cm) meo di oltre 180 umero dei ragazzi

12 Assumedo 135 cm e 185 cm come altezze delle persoe delle classi estreme, si trova che la media aritmetica delle altezze è X = 163,0 cm e lo scarto quadratico medio è s = 13,88. Cosideriamo le frequeze teoriche che si avrebbero se la distribuzioe fosse ormale co valore medio m = 163,0 e deviazioe stadard σ = 13,88. Ricorriamo alla Tavola dei valori della distribuzioe ormale alla fie del Capitolo quito per calcolare le frequeze teoriche per 100 ragazzi , (1) p(x 140) = p X* = p(x * 1,67) = 0,5 N(1,67) 0,05 13, , , () p(140 X 15) = p X * = p( 1,67 X * 0,95) = 13,88 13,88 N(1,67) N(0,95) 0,1 Aalogamete si trova: (3) p(150 X 160) 0,4 (4) p(160 X 170) 0,8 (5) p(170 X 180) 0, (6) p(x 180) 0,11 Il umero h dei gradi di libertà è 6 1 = 3 (occorre togliere i quato el calcolo delle frequeze teoriche si soo sfruttate due quatità icogite m e σ stimate co X e s). Per h = 3, χ < χ 0,95 = 7,81. Quidi o si può rifiutare, al livello di sicurezza 0,95, l ipotesi che le altezze abbiao ua distribuzioe ormale: il test coferma l ipotesi. TAVOLA PER IL TEST χ 1