2. Limite infinito di una funzione in un punto

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1 . Limite infinito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: fx ( ) = ( x ) definita in R {}, e quindi il valore di non è calcolabile in x=, che è comunque un punto di accumulazione per il dominio di fx ( ). Quest affermazione tuttavia non esaurisce tutte le informazioni che riguardano la funzione nel punto x=, dato che è immediato rendersi conto che quando ci si avvicina ad esso fx ( ) mostra una certa regolarità nel comportamento. Osserviamo infatti la tabella che mostra l andamento della funzione per valori dell ascissa che si accostano a per eccesso e per difetto. Come si vede in entrambi i casi, a mano a mano che si procede verso x=, la funzione tende a crescere indefinitamente verso numeri positivi sempre maggiori. Questa importante informazione non è espressa dalla semplice affermazione che fx ( ) non è calcolabile in x=, in quanto non riguarda il valore assunto dalla funzione in un punto ma piuttosto descrive il suo comportamento in un intorno del punto. Qui di seguito riportiamo l andamento della funzione nell intorno di x= per visualizzare meglio quanto espresso dalle tabelle: x fx ( ) x fx ( ) fx () x= xδ x x δ x Analogamente a quanto è stato fatto nel caso di una funzione che stabilizza il suo comportamento attorno ad un numero l quando l ascissa si avvicina ad x, possiamo definire un operazione matematica che esprima quantitativamente il fatto che la fx ( ) tende a crescere indefinitamente quando l ascissa si approssima ad x. Si tratta di una definizione che, come già detto, è di tipo dinamico : Definizione: Sia x un punto di accumulazione per il dominio di una funzione fx ( ). Si dice che il limite per x che tende ad x di fx ( ) è uguale ad infinito positivo se: allora: In questo caso si scrive: > δ > talechese < x x < δ fx ( ) > lim fx ( ) = x x 9

2 Come si vede si sta sfidando la funzione ad essere più grande di un valore scelto a piacere da noi, che viene chiamato. Ecco il dialogo fra l osservatore e la funzione: L osservatore chiede ad fx ( ): Puoi essere più grande di qualsiasi che mi passa per la testa, quando ci si avvicina ad x? La risposta della funzione è: Sì, purché tu scelga la tua x nell intorno ( x δ, x δ) L osservatore replica: E cosa sarebbe mai questoδ? Risposta di fx ( ): Con δ intendo un numero positivo che va calcolato di volta in volta a seconda del valore di che hai scelto. Di nuovo l osservatore: E come faccio a calcolarlo? La funzione: Devi risolvere la disequazione fx ( ) > In maniera del tutto analoga è possibile caratterizzare rigorosamente il comportamento di una funzione che decresce indefinitamente quando ci si avvicina ad un valore x : x Definizione: Sia x un punto di accumulazione per il dominio di una funzione fx ( ). Si dice che il limite per x che tende ad x di fx ( ) è uguale ad infinito negativo se: xδ x x δ allora: > δ > talechese < x x < δ fx ( ) < fx () In questo caso si scrive: lim fx ( ) = x x Esercizi di verifica dei limiti infiniti in un punto Esempio lim x 4 ( 8) x = (x8) > è verificata in un intorno di x= 4. Procediamo: (x8) > > (x8) (x8)

3 (x 8) > Per semplicità conviene porre t= x 8 (ma non è necessario, si può anche sviluppare il quadrato): t > t=± < t< < x 8< 4 < x< 4 Che come si vede è un intorno di x= 4, che diviene sempre più stretto quanto più è grande. Si ha evidentemente δ = Esempio lim x ( ) x = ( x ) > è verificata in un intorno di x=. Procediamo: x ( ) > > ( x ) ( x ) x ( ) > Per semplicità conviene porre t= x (ma non è necessario, si può anche sviluppare il quadrato): t > t=± < t< < x < < x<

4 Che come si vede è un intorno di x=, che diviene sempre più stretto quanto più è grande. Si ha evidentemente δ = Esempio lim 7 = ( x ) x 7 < ( x ) è verificata in un intorno di x=. Procediamo: ( 7 ) ( x ) 7 < < ( x ) ( x ) ( 7 ) ( x ) < Per semplicità conviene porre t= x (ma non è necessario, si può anche sviluppare il quadrato): (7 t ) < t=± < t< < x < < x< Che come si vede è un intorno di x=, che diviene sempre più stretto quanto più è grande. Si ha evidentemente δ = Verifiche di limiti infiniti in un punto: Tomo C p4 n 7, 9, 4

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