Lezione 2 a - Statistica descrittiva per variabili quantitative

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1 Lezone 2 a - Statstca descrttva per varabl quanttatve Esempo 5. Nella tabella seguente sono rportat valor del tasso glcemco rlevat su 10 pazent: Pazente Glcema (mg/100cc) 1 x 1 =103 2 x 2 =97 3 x 3 =90 4 x 4 =119 5 x 5 =107 6 x 6 =71 7 x 7 =94 8 x 8 =81 9 x 9 =92 10 x 10 =96 Totale 950 Numerostà del campone: n=10 Varable rlevata: glcema Untà d msura: mg/100cc I QUESITO: Come s dstrbuscono quest dat? Una prma anals descrttva de dat può essere d tpo grafco, attraverso la costruzone d un stogramma o un polgono d frequenza. Essendo la varable X quanttatva e contnua, la s può suddvdere n class d valor d data ampezza. S può sceglere, ad esempo, una suddvsone n 5 class d ampezza = (valore massmo valore mnmo)/5 = (119 71)/5 10 mg/100 cc, come n tabella seguente (n ogn classe l prmo estremo è escluso, l secondo è ncluso). S fa osservare, comunque, che la scelta del numero d class non è sempre agevole, può essere anche arbtrara e dpende dalla numerostà camponara.

2 Calcolo delle frequenze d ogn classe: assolute e relatve percentual Class d valor d Frequenza assoluta Frequenza relatva glcema / % = 10 % / % = 20 % / % = 40 % / % = 20 % / % = 10 % Totale % Costruzone dell'stogramma e del polgono d frequenza Frequenza ass oluta Frequenza ass oluta Glcema GLICEMIA Istogramma

3 S tratta ora d sceglere una msura d poszone (o d tendenza centrale) pù approprata per sntetzzare la dstrbuzone n esame. Le msure d poszone pù usate sono: 1. meda artmetca; 2. medana; 3. moda; 4. meda armonca; 5. meda geometrca. Per dat quanttatv (varabl statstche quanttatve) s possono utlzzare le mede algebrche (artmetca, geometrca, armonca). La meda artmetca è quel valore che avrebbero tutte le osservazon se non c fosse la varabltà (casuale o sstematca). Pù precsamente, è quel valore x che sosttuto a cascun degl n dato ne fa rmanere costante la somma: x 1 + x 2 + x x n = n = 1 x = n x x n n x = 1 =. Nell Esempo 5 s ha: n = 1 x = 950= 10 x x = 950/10 = 95 mg/100 cc. 95 x 10=950

4 Esempo 6. Nella tabella seguente c sono vot rportat da uno studente unverstaro n 19 esame sostenut Voto (x ) Frequenza (f ) x f Totale Dalla tabella la meda artmetca (ponderata o pesata) è data da: x = x f f = = 22,32 Propretà della meda artmetca: a) mnmo de dat < x < massmo de dat; b) (x x) = 0 (coè: la somma degl scart dalla meda è zero); 2 c) (x z) assume valore mnmo per z = x ;

5 d) la meda de valor: k x è par a: k x (dove k è un numero reale qualsas); e) la meda de valor: x ± h è par a: x ± h (dove h è un numero reale qualsas). Lmte della meda artmetca: è notevolmente nfluenzata da valor estrem della dstrbuzone. S consder nfatt l seguente esempo. Esempo 7: Età alla morte d 5 soggett: x 1 = 34 ann; x 2 = 70 ann; x 3 = 74 ann; x 4 = 64 ann; x 5 = 68 ann. La meda artmetca è par a: x = ( )/5 = 62 ann e tale valore è seramente nfluenzato dall osservazone d una morte avvenuta all età d 34 ann; n realtà 4 delle 5 osservazon sono superor alla meda.

6 Esempo 7': Peso n gramm d 5 topn x 1 =19gr, x 2 =17gr, x 3 =25gr, x 4 =18, x 5 =15gr La meda artmetca è par a: x = ( )/5 = 18.8gr La medana (Me) è quell osservazone che bpartsce la dstrbuzone n modo tale da lascare al d sotto lo stesso numero d termn che lasca al d sopra. Rtornando all Esempo 5, per l calcolo della medana è necessaro dsporre dat n ordne crescente: 71, 81, 90, 92, 94, 96, 97, 103, 107, 119 la medana è quel dato che cade a metà della dstrbuzone ordnata. Se l numero d osservazon è par (come nel caso dell esempo della glcema) la medana è la meda artmetca delle due osservazon central: Me = (94+96)/2 = 95 mg/100 cc. Esempo 7 : n=5

7 Il fatto che medana e meda artmetca n questo caso concdano non è casuale n quanto la dstrbuzone è smmetrca. Ma, n generale, cò non avvene. Vantaggo nell uso della medana: non è nfluenzata dalle osservazon aberrant o estreme. Così nell Esempo 7, dspost dat n ordne crescente: 34 ann; 64 ann; 68 ann; 70 ann; 74 ann; s ottene l valore: Me = 68 ann, msura pù attendble d sntes de (poch) dat a dsposzone. In realtà, n presenza d una dstrbuzone non smmetrca d dat è pù approprato far rcorso alla medana che non alla meda artmetca. Le fas operatve per l calcolo della medana sono le seguent: a) ordnamento crescente de dat; b) se l numero d dat n è dspar, la medana corrsponde al dato che occupa la (n+1)/2 esma poszone se l numero d dat n è par, la medana è data dalla meda artmetca de due dat che occupano la poszone n/2 e quella n/2+1.

8 In presenza d una dstrbuzone d frequenze è necessaro consderare le frequenze cumulate, come llustrato nell Esempo 6 d seguto rpreso n esame. Vot ordnat (x ) Frequenze (f ) Freq. Cumulate (F ) = = = = = 19 Totale n/2 = 19/2 = 9,5 la pù pccola frequenza cumulata maggore o uguale a n/2 è par a 14, dunque la medana è data da Me = 22 (voto corrspondente alla frequenza cumulata 14). Se, nfne, dat sono raggruppat n class, per l calcolo della medana s può far rfermento al valore centrale d cascuna classe (dato dalla semsomma de valor estrem d classe) o, pù n genere, alla classe medana.

9 La Moda (Mo) è l osservazone che s verfca con maggore frequenza n una data dstrbuzone. S possono avere anche pù valor modal. Ad esempo, la moda della dstrbuzone d vot (Esempo 6) è par a Mo = 22; nel caso della glcema s può consderare la classe modale par all ntervallo: Altre msure d tendenza centrale sono la meda armonca e quella geometrca.

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