Connessioni tra i numeri di Bernoulli, di Eulero e di Fibonacci

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1 Connessioni tra i numeri di Bernoulli, di Eulero e di Fibonacci Francesco Di Noto, Michele Nardelli Un approccio diverso al percorso che va da Bernoulli alla funzione zeta e poi anche alla teoria di stringa, potrebbe essere il seguente POSSIBILI CONNESSIONI MATEMATICHE TRA: a) i numeri Bernoulli (B), b) i numeri di Eulero (E), c) i numeri di Fibonacci (F), d) la funzione zeta (Z) di Riemann, e e) la teoria di stringa (S) Prima di esporre le suddette connessioni, iniziamo con la griglia generale delle possibili (5*4)/2 =10 connessioni 1

2 B E F Z S B - si si si? E - si?? F - si si Z - si S - Per EZ, BS, ed ES non conosciamo ancora eventuali e possibili connessioni dirette utili al completamento delle dieci possibili connessioni indicate nella griglia di cui sopra, ma in questo lavoro ci occuperemo delle sole connessioni BE, BF, EF, per le altre rimandiamo i lettori eventualmente interessati al Rif. 1. 2

3 1. Connessione BE tra Bernoulli ed Eulero I numeri B di Bernoulli e i numeri E di Eulero sono dati da due serie numeriche molto simili, e connessi anche alla costante matematica π = 3,14. Numeri di Bernoulli ed Eulero con Google: I numeri di Bernoulli B1, B2, B3, Bn sono definiti dalle due serie qui di seguito : Da Wikipedia per valori interi positivi fissati di m. I numeri di Bernoulli possono anche essere definiti usando una funzione generatrice esponenziale con la formula 3

4 Connessione BE tra i numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero Relazione tra i numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero Tabella dei primi 12 numeri di Bernoulli e di Eulero Numeri di Bernoulli Numeri di Eulero B1 =1/6 E1 = 1 B2 = 1/30 E2 = 5 B3 = 1/42 E3 = 61 B4 = 1/30 E4 = 1385 B5 = 5/66 E5 = B6 = 691/2730 E6 = B7 = 7/6 E7 = B8 = 3617/510 E8 = B9 = 43867/798 E9 = B10 = /330 E10 = B11 = /138 E11 = B12 = /2730 E12 = Circa la voce di Wikipedia Numeri di Bernoulli alla quale rimandiamo, riportiamo anche il brano finale, per noi interessante per la connessione BZ, in cui si dice che: I numeri di Bernoulli compaiono anche negli sviluppi in serie di Taylor della tangente e della tangente iperbolica, nella formula 4

5 di Euler - Maclaurin e nelle espressioni di certi valori della funzione zeta di Riemann (vedi anche successiva connessione BZ, in Rif.1). 2) Connessioni BF tra i numeri di Bernoulli e i numeri di Fibonacci I numeri di Bernoulli si possono anche scrivere in maniera decimale, per esempio 1/6 = 0,166. 1/30 = 0,333 0,166 ~ 0 0,033 0,023 0,033 0,075 0,253 1,166 ~ 1 7,092 ~ 8 54,97 ~ ,124 ~ ,123 ~ 5473 = ( )/2 8658,025 ~ 8855 = ( )/2 Tale relazione si ferma però a 55, dopo diventa meno precisa (529 anziché 610) e ancora dopo si collega all incirca alla media 5

6 aritmetica tra due numeri di Fibonacci più grandi (4181, 6765, 10946). Tra i numeri di Bernoulli e i numeri di Fibonacci ci sono anche altre delle connessioni; una di queste è nel rapporto Bn/Bn-1, accennato nella connessione precedente. I valori di tali rapporti sono infatti molto vicini a numeri di Fibonacci, come da tabella seguente: 1/6 = 0,16 = 5,33 ~ 5 1/30 0,03 1/42 = 0,02 = 0,66 ~ 1 1/30 0,03 1/30 = 0,03 = 1,5 ~ 1 ~ 2 1/42 0,02 5/66 = 0,075 = 2,5 ~ 2 ~ 3 1/30 0,03 691/2730 = 0,25 = 3,33 ~ 3 5/66 0,075 _7/6 = 1,16 = 4,64 ~ 5 691/2730 0,25 6

7 3617/510 = 7,09 = 6,11 ~ 5 7/6 1, /798 = 54,97 = 7,75 ~ /510 7, /330 = 529,12 = 9,62 ~ /798 54, /138 = 6192,12 = 11,70 ~ / , /2730 = 86580,25 = 13,98 ~ / ,12 Invertendo invece denominatore con numeratore >1 dei numeri di Bernoulli, abbiamo: 66/5 = 13,2 ~ /691 = 3,9 ~ 3 non invertendoli, invece: 3617/510 = 7,09 ~ /798 = 54,97 ~ 55 7

8 174611/ 330 = 529,12 ~ 610 Un altra relazione tra i numeri di Bernoulli e i numeri di Fibonacci riguarda il cosiddetto calcolo umbrale, nelle cui formule un indice passa ad esponente e viceversa. Per esempio, per Fibonacci, abbiamo: Un altro clamoroso esempio di tale tecnica si ha nella manipolazione dei numeri Fn di Fibonacci quando la loro relazione di ricorrenza che li genera: F n = F n-1 + F n-2 si scrive sotto forma di potenze simboliche F n = F n-1 + F n-2 Essa caratterizza l ombra di Fibonacci cosi come la (2.1) B k = (B 1) k caratterizza l ombra di Bernoulli. Nonostante gli sforzi di numerosi matematici del novecento per rendere rigoroso questo tipo di calcolo (vedi per esempio lo stesso [RR]), soltanto con il 8

9 lavoro di [RT] di Rota e Taylor sembra che si sia arrivati a una soluzione definitiva Vedi: Introduzione alla matematica discreta di Gian Carlo Rota Mauro Cerasoli 3) Connessione EF tra i numeri di Eulero e i numeri di Fibonacci Tra i numeri di Eulero e i numeri di Fibonacci c è anche la seguente relazione, basata sul rapporto tra En/En-1 5/1 = 5 = 5 61/5 = 12,2 ~ /61 = 22,70 ~ /1385 = 36,47 ~ /50521 = 53,49 ~ / = 73,76 ~ / = 97,26 ~ 89 (73, ,26)/2=85,51 9

10 / = 124,017 ~ / = 154,008 ~ 144 (124, ,008)/2 = 139,012 ~ / = 187,24 187,24 ~ ( )/2 = 188, / = 223,71 ~ 233 Connessioni FZ, FS e ZS insieme Per quanto riguarda la connessione FZ tra i numeri F di Fibonacci e la funzione Zeta di Riemann, ed FS tra i n numeri di Fibonacci e la teoria di stringa rinviamo al Rif.1 Una connessione indiretta tra numeri di Fibonacci e la teoria di stringa si ha tramite i numeri di dimensioni 10

11 coinvolte nelle vibrazioni delle stringhe (esse vibrano in spazi con diversi numeri di dimensioni): da Rif. 2, dal quale riportiamo il solo riassunto iniziale: In questo lavoro si mostrano semplici ma interessanti connessioni tra i numeri F di Fibonacci F = 1, 2, 3, 5, 8, 13 e i numeri D (2, 4, 6, 10, 16, 26, N.d.A.A) corrispondenti alle dimensioni spazio-temporali coinvolte nelle teorie di stringa, con D = 2F, formula che potrebbe essere la condizione limitante (o una delle condizioni limitanti) circa i modi di vibrazioni delle stringhe, le quali possono vibrare solo con certi numeri D, come 10 e 26 per le stringhe eterotiche, e non con altri. Inoltre potrebbe esistere una connessione tra le simmetrie dei gruppi algebrici di Lie, importanti nel Modello Standard, e i numeri D = 2F. Se così fosse veramente, l intero nostro universo visibile poggerebbe, dal punto di vista matematico, quasi interamene sui numeri di Fibonacci, oltre che sui numeri primi, i numeri primi naturali, ed anche sui numeri di partizioni p(n), coinvolti nelle teorie sulla gravitazione ma anche nelle teorie di stringa, e i numeri p-adici, coinvolti nelle teorie di stringa. Ci sarebbe quindi un solido ponte tra la fisica teorica e alcuni settori della teoria dei numeri (numeri di Fibonacci con la formula D = 2F, numeri primi sottoforma di numeri primi naturali, di forma 6F + 1, numeri p-adici, e infine i numeri di partizione; tutti numeri con curve logaritmiche, molto diffuse in parecchi fenomeni naturali La connessione FS, anche se indiretta, risulta evidente: Numeri di Fibonacci F numeri D di dimensioni in cui vibrano le stringhe - stringhe teorie di stringa (S), e quindi, più brevemente: FDS = connessione Fibonacci Dimensioni- Teorie di 11

12 stringa S = FS Conclusioni Come si può notare, ci sono delle connessioni matematiche tra numeri B di Bernoulli, numeri E di Eulero, numeri F di Fibonacci, trattate in questo lavoro,oltre che con funzione zeta Z e teorie di stringa S, viste in Rif.1 e 2; connessioni che, come abbiamo visto partendo da funzioni trigonometriche (sech nei numeri di Bernoulli e relazioni con la tangente e la tangente iperbolica, che portano poi ai numeri di Eulero; ed entrambi portano a Fibonacci, i cui numeri e la sezione aurea portano poi a loro volta alle teorie di stringa e alla funzione zeta, in un lungo percorso matematico più o meno continuo e logico ancora però da perfezionare ulteriormente, che dalla matematica pura e dalla teoria dei numeri (trigonometria, costanti matematiche e, π, Ф, numeri primi, ecc.), porta 12

13 infine alla fisica teorica (Modello Standard e fisica quantistica, chimica, relatività e cosmologia, insomma dalle microscopiche stringhe all universo intero). Riferimenti 1) POSSIBILI CONNESSIONI MATEMATICHE TRA: a) i numeri Bernoulli (B), b) i numeri di Eulero (E), c) i numeri di Fibonacci (F), d) la funzione zeta (Z) di Riemann, e e) la teoria di stringa (S) Gruppo Eratostene sul sito 13

14 2) FIBONACCI, DIMENSIONI, STRINGHE: NUOVE INTERESSANTI CONNESSIONI Francesco Di Noto e Michele Nardelli Sito eprints.bice.rm.cnr.it/640/1/nardinot02.pdf 14