FUNZIONI CONTINUE. funzioni di una variabile: def : Una funzione f(x) definita in un insieme D R si dice continua in un punto c D se risulta.

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1 FUNZIONI CONTINUE funzioni di una variabile: def : Una funzione f(x) definita in un insieme D R si die ontinua in un punto D se risulta Analizza bene la definizione: lim x f ( x) = f ( ) Il punto deve appartenere all insieme di definizione deve esistere finito il limite per x he tende a (questo signifia he li limite destro e il limite sinistro per x he tende a devono oinidere) il valore di questi limite deve essere uguale al valore assunto dalla funzione nel punto questo è un esempio di funzione ontinua in ogni punto dell insieme (a ; b) Fig. 1 Mentre questo è un esempio nel punto di funzione non ontinua Fig Intuitivamente possiamo dire he una funzione è ontinua quando possiamo disegnarla senza staare la penna dal foglio Una funzione si die ontinua in un intervallo se è ontinua in ogni punto dell intervallo I punti in ui una funzione non è ontinua si diono punti di disontinuità. (approfondimenti) ESEMPI funzioni di una variabile ESEMPI funzioni di due variabili ESERCIZI per funzioni di una variabile Torna all inizio

2 ESEMPI DI FUNZIONI CONTINUE la funzione ostante f(x)= è ontinua in tutto R in figura il grafio della funzione y= La funzione polinomiale f(x)=a 0 x n a 1 x n-1.. a n-1 x a n In figura il grafio di y= x 3 - x 1 FUNZIONI DISCONTINUE IN UNO O PIU PUNTI La funzione y=1/x presenta un punto di disontinuità in x = 0 perhé tale punto non appartiene al dominio della funzione infatti non è possibile disegnare tutta la funzione senza staare la penna dal foglio La funzione è però ontinua in tutti gli altri punti x se x < 0 la finzione y = non è ontinua in x = 0 anhe se 0 appartiene al x 1 se x 0 dominio, infatti in questo aso il limite destro per x he tende a 0 (e he vale 1) è diverso dal limite sinistro (he vale 0) Salto 1 CONTROLLA SE HAI CAPITOesrizi

3 Torna alla prima pagina ESERCIZI 1) Controlla i seguenti grafii e individua in quali sono rappresentate funzioni ontinue e in quali invee non è ontinuità in un punto, stabilendo di quale tipo di disontinuità si tratta a b x 4 ) Considera la funzione y = e stabilisi, mediante la definizione, se la funzione è x ontinua in x =0 ; in x = - e in x = 3) Considera la funzione x 1 per x > 3 y = e stabilisi se in x = 3 la funzione è ontinua - x per x 3 4) Determina per quale valore di a la funzione osì definita x a per x > 3 y = - x per x 3 è ontinua in x = 3 Vuoi vedere le SOLUZIONI? SI NO torna all inizio

4 RISPOSTE AGLI ESERCIZI 1) - nel primo aso la funzione e lo apiso dal grafio perhé posso perorrerlo senza staare la matita dal grafio - nel seondo aso appartiene al dominio e f() = ma ho un punto di disontinuità in x = perhé il limite destro e il limite sinistro sono diversi ma finiti, quindi è un punto di disontinuità di prima speie - nel terzo aso la funzione è definita in (vale ) ma il limite destro e quello sinistro sono diversi e poihé quello destro tende a infinito in ho un punto di disontinuità di seonda speie - nel quarto aso il pallino vuoto vuole indiare he la funzione non è definita in, ma il limite destro e quello sinistro oinidono ( e valgono ) quindi è un punto di disontinuità di terza speie, ioè eliminabile. ) Il dominio della funzione è R - {} quindi il punto x=0 appartiene al dominio, inoltre risulta x 4 lim = he oinide on f(0) quindi la funzione è ontinua in x = 0 x 0 x x 4 - la stessa onsiderazione vale per x = - infatti - al dominio, lim = 0 e x x oinide on f(-) - il valore x= non appartiene al dominio della funzione, di onseguenza in x 0 la funzione non può essere ontinua, tuttavia risulta: x 4 ( x ) ( x ) x 4 lim = lim = 4 = lim e poihé limite destro e limite sinistro x x x x x x oinidono la funzione ha in un punto di disontinuità di terza speie. 3) - in x = 3 la funzione è definita e f(3) = - (3) = -6 - lim f ( x) lim( x 1) = lim f ( x) = lim x = 6 = Pihe il limite destro è diverso da quello sinistro, ma sono entrambi finiti si ha un punto di disontinuità di prima speie (prova a fare il grafio e vedrai il salto) 4) - in x = 3 la funzione è definita e f(3) = - (3) = -6 - lim f ( x) lim( x a) = 3-a lim f ( x) = lim x = 6 = - per essere ontinua in 3 deve risultare 3-a=-6 quindi a = 9 Torna all inizio

5 Continuità per le funzioni di due variabili Def: La funzione z = f(x;y), definita in un insieme D, si die ontinua nel punto P 0 (x 0 ; y 0 ) se esiste finito il limite per x he tende a x 0 e y he tende a y 0 e tale limite oinide on il valore he la funzione assume in P 0 ioè: lim f ( P) = f ( P0 ) P P 0 esempio di funzione ontinua in P 0 (0;0) z= x y Esempio di funzione disontinua in P 0 (0;0) z = x 1 y Torna all inizio

6 CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI DISCONTINUITA Essi si dividono per onvenzione in tre speie: Disontinuità di prima speie: sono quei punti in ui i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi tra loro. (aso presentato nella figura in ui il limite destro e quello sinistro sono diversi) h Il limite destro tende ad h mentre il sinistro tende a Es Disontinuità di seonda speie: sono quei punti in ui uno dei due limiti non esiste o diventa infinito. Nell esempio è infinito il limite sinistro della funzione per x he tende a y 0 b x Disontinuità di terza speie: sono quei punti in ui i due limiti oinidono ma non esiste il valore della funzione oppure esso non oinide on il limite. y f() In il valore della funzione è diverso dal valore del limite oppure il valore potrebbe non esistere x Torna alle funzioni ontinue Vai agli eserizi

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