Alberi. Cosa sono gli alberi? Strutture gerarchiche di ogni tipo. Corso di Informatica 2. Generale. Colonnello 1. Colonnello k

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1 Alei Coso i Infomti 2 Cos sono gli lei? Stuttue gehihe i ogni tipo Genele Colonnello 1 Colonnello k Mggioe 1,1 Mggioe 1,m Cpitno Mggioe k,1 Mggioe k,n

2 Stuttue gehihe i ogni tipo Stuttue ti 1. Tipi i to e stuttue ti 1. Speifi e elizzzione 2. Rppesentzione in memoi 2. Liste 1. L ADT elle liste 2. Relizzzione on vettoi 3. Relizzzione on punttoi 3. Pile e oe 1. L ADT elle pile Definizioni Un leo èun gfo onnesso ilio; nel so finito può essee efinito inuttivmente ome un insieme tle he: è un leo; se k 0, T 1,, T k sono lei, v un vetie, llo {v, T 1,, T k è un leo Un insieme i lei è un foest. leo foest gfo ilio Stuttu inuttiv egli lei leo ie leo

3 Alei on ie e foglie L ie è un noo pivilegito i un leo; se l leo è un gfo non oientto qulunque noo può onsiesi ie; se l leo è oientto llo ue si: 1. l ie h solo hi in usit (leo sogente) 2. l ie h solo hi in entt (leo pozzo) Un fogli è un noo ui non ese lun o Alei sogente, lei pozzo sogente pozzo Pentele è pe i e è figlio i è ftello i e e f f è un isenente i ; è un vo i f

4 Cmmini Un mmino ll ie un fogli si ie mo Cmmino: sequenz i i hi isuno iniente sul sul vetie i i quello suessivo Livelli Livello: insieme i i vetii equiistnti ll ie L ltezz è l mssim istnz ll ie i un livello non vuoto Livello 0 Livello 1 Livello 2 Alei ointi Un Un leo è ointo quno lo lo sono (linemente) i i suoi livelli = Cont solo l oine, non sinist e est Come lei ointi simo ivesi

5 Alei k-i Aietà = mssimo num. ei ei figli i i qulhe noo Io sono un leo tenio Alei posizionli Un Un leo ointo è posizionle quno nell oine ei ei livelli si si tiene onto i i (si (si eve quini fisse l ietà) Un speifi Sintssi Tipi: Tee, Noe Opetoi: NewTee: voi Tee IsEmptyTee: Tee oolen InsAsRoot: Noe, Tee Tee Root: Tee Noe Pent: Noe, Tee Noe Lef: Noe, Tee oolen

6 Un speifi Sintssi Tipi: Tee, Noe Opetoi: Chil: Noe, Tee Noe HsSiling: Noe, Tee Boolen Siling: Noe, Tee Noe InsTee: Noe, Noe, Tee, Tee Tee DelTee: Noe, Tee Tee Semnti egli opetoi Con qulos si eve pu ominie InsAsRoot(, ) A os sevono queste nlità? InsAsRoot(n, T ) = T Pe: T = Post: T è l leo il ui unio noo è n Semnti egli opetoi T DelTee(, T ) DelTee(n, T ) = T Pe: n è un noo i T Post: T isult T eliminno il sottoleo on ie in n

7 Semnti egli opetoi z x v z T U x v InsTee(n, m, T, U ) = T InsTee(,, T, U ) Pe: m, n sono noi i T, U Post: T isult T inseeno U ome figlio i m e 1. ftello suessivo i n se n m 2. pimo figlio i m se n = m Semnti egli opetoi z x v z T U x v InsTee(n, m, T, U ) = T InsTee(,, T, U ) Pe: m, n sono noi i T, U Post: T isult T inseeno U ome figlio i m e 1. ftello suessivo i n se n m 2. pimo figlio i m se n = m Semnti egli opetoi Semnti NewTee () = (leo vuoto) Root(T) = l ie i T Pent (n, T) = m Pe: n T Post: m pe i n Chil (n, T) = m Pe: n T, Lef(n, T) = flse Post: m è il pimo figlio i n Siling (n, T) = m Pe: n T, HsSiling (n, T) = tue Post: m è il ftello suessivo i n IsEmptyTee(T) = tue se T =, flse lt. Lef(n, T) = Pe: n T, = tue sse n è un fogli HsSiling(n, T) = Pe: n T Post: = tue sse n h un ftello

8 Relizzzioni: vettoe ei pi e f Effiiente pe ppesente lei pozzo i inlità (numeo ei noi) fisst etihett el noo e 2 f 3 inie el pe inie el noo Alei ini: efinizione inuttiv L insieme egli lei ini etihettti in A, BT(A), è efinito inuttivmente: ) BT(A) (leo vuoto) ) A, l BT(A), BT(A) Si intoue l nozione i sottoleo sinisto e esto ConsTee(, l, ) BT(A) l Alei ini elizzti on punttoi info T left ight T

9 Coifi ini i lei k-i e f g e f g Nel so i lei non ointi l oifi non è univo! Relizzzioni: on punttoi pent info hil siling e f g e f g L inlità i un leo inio B Left(B) = l l Right(B) = Cinlità (B) if B = then etun 0 else etun 1 + Cinlità (Left(B)) + Cinlità (Right(B))

10 L ltezz i un leo inio Altezz (B) // Pe: B // Post: iton l ltezz i B etun Altezz_ux (B) Si us un funzione usilii pehé il so i se B = è essenzile ll iosione Altezz_ux (B) // Post: iton l ltezz i B, 0 se B = if B = then etun 0 else etun mx{altezz_ux(left(b), Altezz_ux(Right(B)) + 1 L iosione sugli lei ContFoglie (T) // Post: iton il numeo elle foglie i T if T = then etun 0 ue si i se else if T h un solo noo then etun 1 else sino T 1,, T k i sottolei on ii nei noi figli i ell ie i T k etun i = ContFoglie( T 1 i ) Questo pseuooie è lontno ll elizzzione L iosione sugli lei ContFoglie (T) // Post: iton il numeo elle foglie i T if IsEmptyTee(T) then etun 0 else etun Cf_ux(Root(T), T) Cf_ux (n, T) // Pe: n T // Post: iton il numeo elle foglie el sottoleo i T on ie in n

11 L iosione sugli lei Cf_ux (n, T) // Pe: n T // Post: iton il numeo elle foglie el sottoleo i T on ie in n if Lef(n, T) then etun 1 else // n h lmeno un figlio in T m Chil(n, T) foglie Cf_ux (m, T) while HsSiling (m, T) o m Siling (m, T) foglie foglie + Cf_ux (m, T) etun foglie Se m vev un ftello, llo l ttule vloe i m è un noo i T Visite: Depth Fist Seh DFS (T) // Post: visit i noi i T in pofonità if T then visit Root(T) sino T 1,, T k i sottolei on ii nei noi figli i ell ie i T fo i 1 to k o DFS (T i ) Visite: Depth Fist Seh DFS (T) // Post: visit i noi i T in pofonità if not IsEmtyTee(T ) then DFS_ux (Root(T), T) DFS_ux (n, T) // Post: visit in pofonità il sottoleo i T on ie in n

12 Visite: Depth Fist Seh DFS_ux (n, T) // Post: visit in pofonità il sottoleo i T on ie in n ominino ll ie visit n if not Lef (n, T) then m Chil (n, T) DFS_ux (m, T) while HsSiling (m, T) o m Siling(m, T) DFS_ux (m, T) Il tipo BinTee typeef stut tnoe { T info; // etihett stut tnoe *left, *ight; // punttoi i figli sinisto e esto tnoe; typeef stut inteefme { int ; // numeo ei noi ell leo tnoe* oot; // ie ell leo BinTeeFme typeef BinTeeFme* BinTee; Costuttoi tnoe* NewtNoe (T et, tnoe* l, tnoe* ) { tnoe* n = new tnoe; n->info = et; n->left = l; n->ight = ; etun n; BinTee NewBinTee (voi) { BinTee t = new BinTeeFme; t-> = 0; t->oot = NULL; etun t;

13 Un esempio: l funzione Altezz int Altezz (tnoe* n) // Pe: n!= NULL // Post: iton l ltezz ell leo on ie in n { etun Altezz_ux(n); int Altezz_ux (tnoe*) // Post: iton l ltezz i tnoe se!= NULL, 0 lt. { int hl = 0, h = 0; if (n->left == NULL && n->ight == NULL) etun 0; if (n->left!= NULL) hl = Altezz_ux (n->left); if (n->ight!= NULL) h = Altezz_ux (n->ight); if (hl > h) etun hl + 1; etun h + 1; Visite in pofonità voi peoe (tnoe* n) { if (n!= NULL) { visit(n); peoe(n->left); peoe(n->ight); voi inoe (tnoe* n) { if (n!= NULL) { inoe(n->left); visit(n); inoe(n->ight); L list ei vetii in peoine (1) l l

14 L list ei vetii in peoine (2) L soluzione ovvi è O(n 2 ): Noe* Peoe_List (tnoe* n) { if (n == NULL) etun NULL; etun NewNoe(n->info, ont (Peoe_List(n->left), Peoe_List(n->ight)); L omplessità quti eiv ll uso i ont nel so in ui l leo si egenee sinisto. L list ei vetii in peoine (3) Esiste un soluzione ottim O(n): Noe* Peoe_List2 (tnoe* n, Noe* l) { if (n == NULL) etun l; etun NewNoe(n->info, Peoe_List2(n->left, Peoe_List2(n->ight,l));