Massimo e minimo limite di successioni

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Massimo e minimo limite di successioni"

Transcript

1 Massimo e minimo limite di successioni 1 Premesse Definizione 1.1. Definiamo R esteso l insieme R = R { } {+ }. In R si estende l ordinamento tra numeri reali ponendo < a < +, a R. In base a tale definizione, R ammette massimo (+ ) e minimo ( ). Definizione 1.2. Una successione di numeri reali (a n ) n N si dice regolare se ammette limite, finito o meno, ovvero se esiste lim n a n R, ovvero se è convergente o divergente a + o. Si ricorda che ogni successione (di numeri reali) limitata ha una sottosuccessione convergente, e che ogni successione superiormente/inferiormente illimitata ha una sottosuccessione divergente a + /. Dunque ogni successione di numeri reali ha almeno una sottosuccessione regolare. Definizione 1.3. Un sottinsieme non vuoto B di R si dice superiormente saturo se, preso un qualunque b B, ogni suo maggiorante appartiene ancora a B, cioè b B, x R, x > b x B, si dice inferiormente saturo se se, preso un qualunque b B, ogni suo minorante appartiene ancora a B, cioè b B, x R, x < b x B. Allo scopo di caratterizzare gli insiemi superiormente saturi, sia β = inf B. Si hanno due casi: o β = o β R. 1

2 Nel caso β =, B è inferiormente illimitato e quindi ogni x R non è una limitazione inferiore per B, cioè per ogni x R esiste b B tale che b < x. Essendo B superioremnte saturo, si ha che x B. Quindi B = R. Nel caso β R, si ha che β b per ogni b B e quindi B [β, + ). Per la seconda proprietà caratterisitca dell estremo inferiore si ha che per ogni x > β esiste b B tale che b < x. Essendo B superioremnte saturo, x B, quindi (β, + ) B. Segue allora che (β, + ) B [β, + ). Da quanto sopra, si ha che gli insiemi superiormente saturi sono dei seguenti tipi: R, (β, + ), [β, + ). Similmente, gli insiemi inferiormente saturi sono dei seguenti tipi: R, (, β), (, β]. 2 Massimo e minimo limite di successioni Sia (a n ) n N una successione di numeri reali. Definizione 2.1. Un numero reale M si dice maggiorante definitivo di (a n ) n N se esiste ν N tale che M a n per ogni n ν. Indichiamo con M l insieme dei maggioranti definitivi di (a n ) n N. Osservazione 2.2. Valgono le seguenti proprietà: i) Se M è un maggiorante di (a n ) n N, allora è un maggiorante definitivo, mentre non vale il viceversa, ma se una successione (a n ) n N ammette un maggiorante definitivo, allora ammette un maggiorante. Infatti se M è un maggiorante definitivo, esiste ν N tale che M a n per ogni n ν. Allora M = max{m, a 1,..., a ν 1 } è un maggiorante di (a n ) n N. ii) La successione (a n ) n N è superiormente limitata se e solo se M. La successione (a n ) n N è superiormente illimitata se e solo se M =. iii) Se M, allora M è superiormente saturo. Infatti se M M, M è un maggiorante definitivo di (a n ) n N, quindi ogni x > M è pure un maggiorante definitivo di (a n ) n N. Dunque o M = (L, + ) o M = [L, + ) o M = R. Ad esempio, se a n = 1, M = (0, + ), se a n n = 1, M = [0, + ), se n a n = n, M = R. iv) M = R lim a n =. Segue dalla definizione. 2

3 Definizione 2.3. Data una successione di numeri reali (a n ) n N si definisce massimo limite di (a n ) n N inf M, se M, lim sup a n = +, se M =. Si usano equivalentemente le seguenti notazioni lim sup a n = max lim a n = lim a n = lim a n. Da quanto visto, si ha la seguente casistica +, M = a n superiormente illimitata, lim sup a n =, lim a n =, L R, a n superiormente limitata e non divergente a. Analogamente si definisce il minimo limite Definizione 2.4. Un numero reale M si dice minorante definitivo di (a n ) n N se esiste ν N tale che M a n per ogni n ν. Indichiamo con N l insieme dei minoranti definitivi di (a n ) n N. Osservazione 2.5. Valgono le seguenti proprietà: i) Se m è un minorante di (a n ) n N, allora è un minorante definitivo, mentre non vale il viceversa, ma se una successione (a n ) n N ammette un minorante definitivo, allora ammette un minorante. Infatti se m un minorante definitivo, esiste ν N tale che m a n per ogni n ν. Allora m = min{m, a 1,..., a ν 1 } è un minorante di (a n ) n N. ii) La successione (a n ) n N è inferiormente limitata se e solo se N. La successione (a n ) n N è inferiormente illimitata se e solo se N =. iii) Se N, allora N è superiormente saturo. Dunque o N = (, l) o N = (, l] o N = R. iv) N = R lim a n = +. 3

4 Definizione 2.6. Data una successione di numeri reali (a n ) n N si definisce minimo limite di (a n ) n N sup N, se N, lim inf a n =, se N =. Si usano equivalentemente le seguenti notazioni lim inf a n = min lim a n = lim a n = lim a n. Da quanto visto, si ha la seguente casistica, N = a n inferiormente illimitata, lim inf a n = +, lim a n = +, l R, a n inferiormente limitata e non divergente a +. Esempio 2.7. Sia a n = ( 1) n : lim sup a n = 1, lim inf a n = 1. Sia a n = ( 1) n n: lim sup a n = +, lim inf a n =. Sia a n = ( 1)n n : lim sup a n = lim inf a n = 0. Le nozioni di massimo e minimo limite sono utili in vari contesti perchè si possono sempre considerare, anche quando non esiste il limite della successione. Proposizione 2.8. lim inf a n lim sup a n. Dimostrazione. La tesi segue banalmente se M = o se N =. Supponiamo allora M, N. Per ogni a N esiste ν 1 N tale che a a n per ogni n ν 1 e per ogni b M esiste ν 2 N tale che b a n per ogni n ν 2. Dunque per n ν = max{ν 1, ν 2 } si ha a a n b. Quindi a b per ogni a N e per ogni b M, da cui sup N inf M. Vedremo tre caratterizzazioni del massimo limite e del minimo limite. La prima di esse è fornita dalla seguente proposizione. Proposizione 2.9. lim sup a n = inf sup n N k n a k, lim inf a n = sup inf a k. k n n N 4

5 Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione per il massimo limite, l altra è analoga. Se a n è superiormente illimitata l uguaglianza è verificata perchè entrambi i suoi membri sono uguali a +. Altrimenti, sia Λ n = sup k n a k. Per ogni n N, Λ n è un maggiorante definitivo della successione e quindi {Λ n } n N M. Segue allora che inf n N sup k n a k = inf n N Λ n inf M = lim sup a n. Viceversa, se α M esiste ν N tale che α a k per ogni k ν. quindi α Λ ν inf n N Λ n = inf n N sup k n a k. Dunque per ogni α M, α inf n N sup k n a k, da cui lim sup a n = inf α M α inf n N sup k n a k. Osservazione La successione Λ n è decrescente, quindi esiste lim Λ n = inf Λ n = lim sup a n. n N Similmente, posto λ n = inf k n a k, la successione λ n è crescente, quindi esiste lim λ n = sup λ n = lim inf a n. n N Vediamo ora una seconda caratterizzazione del massimo limite e del minimo limite, valida però solo quando essi sono numeri reali. Proposizione Il numero reale L è il massimo limite di (a n ) n N se e solo se valgono le due proprietà seguenti: a) ɛ > 0, ν N tale che a n < L + ɛ, n ν, b) ɛ > 0, a n > L ɛ, per infiniti indici n. Il numero reale l è il minimo limite di (a n ) n N se e solo se valgono le due proprietà seguenti: a ) ɛ > 0, ν N tale che a n > l ɛ, n ν, b ) ɛ > 0, a n < l ɛ, per infiniti indici n. Le proprietà a) e b) sono dette le proprietà caratteristiche del massimo limite; le proprietà a ) e b ) sono dette le proprietà caratteristiche del minimo limite. Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione per il massimo limite. La proprietà a) si esprime equivalentemente dicendo che ogni L > L è un maggiorante definitivo, ovvero che (L, + ) M. 5

6 La proprietà b) si esprime equivalentemente dicendo che ogni L < L non è un maggiorante definitivo, ovvero che (, L) M =. In definitiva, le proprietà a) e b) sono equivalenti a (L, + ) M [L, + ), cioè M = (L, + ) o M = [L, + ), ovvero L = inf M = lim sup a n. Teorema La successione (a n ) n N ha limite λ R se e solo se lim sup a n = lim inf a n = λ Dimostrazione. Supponiamo che esista lim a n = λ. Si hanno tre casi: a) λ = +, b) λ =, c) λ R. a) La succcessione diverge a +, quindi lim inf a n = +. Poichè lim sup a n lim inf a n, si ha che lim sup a n = + quindi massimo limite, minimo limite e limite coincidono. b) La succcessione diverge a, quindi lim sup a n =. Poichè lim inf a n lim sup a n, si ha che lim inf a n = quindi massimo limite, minimo limite e limite coincidono. c) Per ogni ɛ > 0 esiste ν N tale che λ ɛ < a n < λ + ɛ. Allora λ soddisfa le proprietà caratteristiche sia del massimo limite che del minimo limite, quindi lim sup a n = lim inf a n = λ. Viceversa, supponiamo ora che lim sup a n = lim inf a n = λ. Distinguiamo i tre casi: a) λ = +, b) λ =, c) λ R. a) Dato che lim inf a n = +, la successione a n diverge a +. b) Dato che lim sup a n =, la successione a n diverge a. c) Dalle proprietà a) del massimo limite e a ) del minimo limite segue che la successione converge a λ. Sia X R l insieme dei valori limite di tutte le sottosuccessioni regolari di (a n ) n N. Per quanto osservato nel paragrafo 1, X è non vuoto. Inoltre se la successione (a n ) n N è regolare e lim a n = λ, allora X = {λ}. Vediamo la terza caratterizzazione del massimo limite e del minimo limite. Proposizione L insieme X dei valori limite delle sottosuccessioni di (a n ) n N ammette massimo e minimo e si ha max X = lim sup a n, min X = lim inf a n. 6

7 Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione per il massimo limite. Distinguiamo tre casi: a) lim sup a n = +, b) lim sup a n =, c) lim sup a n R. a) In tal caso a n è superiormente illimitata e quindi ha una sottosuccessione divergente a +. Dunque + X ed allora max X = +. b) In tal caso a n diverge a meno infinito. Dunque X = { } e min X =. c) Sia lim sup a n = L R. Dalle proprietà caratteristiche a) e b) si ha che per ogni ɛ > 0 esistono infiniti indici per cui L ɛ < a n < L + ɛ. Per ɛ = 1, esiste n 1 tale che L 1 < a n < L + 1, per ɛ = 1, esiste n 2 2 > n 1 tale che L 1 < a 2 n < L + 1, 2... per ɛ = 1, esiste n k k > n k 1 tale che L 1 < a k n < L + 1, k La sottosuccessione a nk di a n converge a L per il teorema dei due carabinieri, quindi L X. Per ogni L tale che L > L esiste ɛ > 0 tale che L < L + ɛ < L. Per la proprietà caratteristica a) del massimo limite, esiste ν N tale che a n < L+ɛ per ogni n ν. Quindi ogni sottosuccessine regolare di a n tende a un limite l L + ɛ < L. Allora L X, da cui segue che L è il massimo di X. Da questa proposizione derivano i termini massimo limite e minimo limite. dato che il massimo limite e il minimo limite sono rispettivamente il massimo e il minimo dei valori limite delle sottosuccessioni di (a n ) n N. Proposizione Sia (a n ) n N una successione tale che a n > 0 per ogni n N. Si ha lim inf a n+1 a n lim inf n an lim sup n an lim sup a n+1 a n. Dimostrazione. La disuguaglianza centrale è nota. Proviamo la disuguaglianza lim sup n a a n lim sup n+1 a n ; la dimostrazione della disuguaglianza lim inf n+1 a n a lim inf n a n è del tutto analoga. a Sia α = lim sup n+1 a n. Se α = +, la tesi è ovvia, sia dunque α R. Per ogni β > α, dalla proprietà caratterisica a) del massimo limite, esiste ν N tale che a n+1 a n < β per ogni n ν. Si ha che a ν+1 < βa ν, a ν+2 < β 2 a ν,..., a ν+k < β k a ν per ogni k N. Operando il cambio di variabili n = ν+k, si ha a n < β n ν a ν per ogni n ν, ovvero a n < β n aν per ogni n ν. β ν Quindi si ha n a n < β n a ν n β ν per ogni n ν. Quindi lim sup n a n lim sup β n a ν n β ν = lim β n a ν n β ν = β. Dunque lim sup n a n β per ogni β > α, e perciò lim sup n a n α. 7

CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI

CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI CLASSE LIMITE DI UNA SUCCESSIONE DI NUMERI REALI C. MADERNA, G. MOLTENI, M. VIGNATI Consideriamo l insieme R = R {, + } ottenuto aggiungendo all insieme dei numeri reali i simboli e +. Introduciamo in

Dettagli

Massimo limite e minimo limite di una funzione

Massimo limite e minimo limite di una funzione Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r.

Dettagli

Matematica 1 per Ottici e Orafi. I Numeri Reali

Matematica 1 per Ottici e Orafi. I Numeri Reali Matematica 1 per Ottici e Orafi I Numeri Reali Indichiamo con N l insieme dei numeri naturali 1, 2, 3,.... Su N sono definite due operazioni : e + che soddisfano le seguenti proprietá formali : a, b, c

Dettagli

3. Massimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori.

3. Massimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori. 3. assimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori. Definizione: assimo Sia un insieme di numeri reali. Def. Si dice massimo di, se esiste, quel numero che appartiene

Dettagli

Pag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche

Pag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche C.7 Serie Pag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche Teorema 5.29 (Criterio del confronto) Siano e due serie numeriche a termini positivi e si abbia 0, per ogni

Dettagli

Principali insiemi di numeri

Principali insiemi di numeri Principali insiemi di numeri N = {0,1,2,...} insieme dei numeri naturali o anche interi non negativi Z = N { 1, 2, 3,...} insieme dei numeri interi Q = { n m } : n,m Z, m 0 insieme dei numeri razionali

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 02 - I Numeri Reali Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano, M.

Dettagli

Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R

Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Università di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie per i Media Successioni, massimo e minimo limite e compattezza in R Massimo A. Picardello BOZZA 10.11.2011 21:24 i CAPITOLO 1 Successioni

Dettagli

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione

Dettagli

3 LA RETTA REALE ESTESA

3 LA RETTA REALE ESTESA 3 LA RETTA REALE ESTESA Abbiamo visto che i concetti di sup e inf sono utili per descrivere proprietà di insiemi superiormente/inferiormente limitati. Per coprire con questi concetti tutti gli insiemi

Dettagli

Insiemi numerici. Definizioni

Insiemi numerici. Definizioni 1 Insiemi numerici Gli insiemi numerici sono insiemi i cui elementi sono numeri, cioè appartengono all'insieme N dei naturali, degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R o dei complessi C ( es.: A =

Dettagli

Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti

Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di

Dettagli

COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R.

COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R. COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R. FABIO CIPRIANI 1. Completezza dell insieme dei numeri reali R. Nell insieme dei numeri reali R la condizione di Cauchy e necessaria e sufficiente per la convergenza

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE

ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html Ricevimento:

Dettagli

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,

Dettagli

Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo

Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti

Dettagli

Complemento 1 Gli insiemi N, Z e Q

Complemento 1 Gli insiemi N, Z e Q AM110 Mat, Univ. Roma Tre (AA 2010/11 L. Chierchia) 30/9/10 1 Complemento 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici

Dettagli

Esempi 1. Troviamo, se esistono, sup/inf, max/min dell insieme A = n : n N,n>0 } A è composto dai numeri. 4,... Vediamo subito che 1 A e 1 n 2, 1 3, 1

Esempi 1. Troviamo, se esistono, sup/inf, max/min dell insieme A = n : n N,n>0 } A è composto dai numeri. 4,... Vediamo subito che 1 A e 1 n 2, 1 3, 1 Lezioni -4 8 Esempi 1. Troviamo, se esistono, sup/inf, max/min dell insieme A = A è composto dai numeri { 1 n : n N,n>0 }. 1, 1 2, 1, 1 4,... Vediamo subito che 1 A e 1 n 1 per ogni n N, n > 0. Questa

Dettagli

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Analisi Matematica per i corsi di Laurea in Ingegneria Energetica e Meccanica N-Z dell Università di Bologna. Anno Accademico 2003/2004.

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti

Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 30 1 Definizione di successione

Dettagli

Analisi Matematica 1. Serie numeriche. (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo.

Analisi Matematica 1. Serie numeriche. (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo. Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale Analisi Matematica 1 Serie numeriche (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo ezio.dicostanzo@sbai.uniroma1.it Definizione Data la serie + n=0 a n si definisce resto

Dettagli

11. Misure con segno.

11. Misure con segno. 11. Misure con segno. 11.1. Misure con segno. Sia Ω un insieme non vuoto e sia A una σ-algebra in Ω. Definizione 11.1.1. (Misura con segno). Si chiama misura con segno su A ogni funzione ϕ : A R verificante

Dettagli

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Teorema 0. Una funzione f(x) è continua in x 0 se e solo se per ogni sucessione {x n } dom(f) con x n x 0 dom(f), risulta f(x n ) f(x 0 ). (Non

Dettagli

Topologia, continuità, limiti in R n

Topologia, continuità, limiti in R n Topologia, continuità, limiti in R n Ultimo aggiornamento: 18 febbraio 2017 1. Preliminari Prima di iniziare lo studio delle funzioni di più variabili, in generale funzioni di k variabili e a valori in

Dettagli

Insiemi di numeri reali

Insiemi di numeri reali Capitolo 1 1.1 Elementi di teoria degli insiemi Se S è una totalità di oggetti x, si dice che S è uno spazio avente gli elementi x. Se si considerano alcuni elementi di S si dice che essi costituiscono

Dettagli

= {(a, b) : a A, b B}.

= {(a, b) : a A, b B}. Relazioni 1. Il prodotto cartesiano. Definizione 1. (Prodotto cartesiano di due insiemi). Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama prodotto cartesiano dell insieme A per l insieme B, e si indica con

Dettagli

Serie numeriche. 1 Nozioni generali

Serie numeriche. 1 Nozioni generali Serie numeriche Nozioni generali Con il concetto di serie si affronta il problema di dare un senso alla somma di infiniti addendi ordinati in successione. Data una successione (a k ) k N di numeri reali,

Dettagli

IL LINGUAGGIO MATEMATICO

IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 Lezioni 1-2 Connettivi logici IL LINGUAGGIO MATEMATICO (non); (e); (oppure); = (se...allora/...implica...); (...se e solo se...) Quantificatori (per ogni);... :... (esiste...tale che...) Proposizioni

Dettagli

1 Successioni di funzioni

1 Successioni di funzioni Analisi Matematica 2 Successioni di funzioni CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 6 SERIE DI POTENZE Supponiamo di associare ad ogni n N (rispettivamente ad ogni n p, per qualche

Dettagli

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Complementi di Analisi Matematica ed Elementi di Calcolo delle probabilità per il corso di Laurea in Ingegneria per la parte di Elementi

Dettagli

3. Successioni di insiemi.

3. Successioni di insiemi. 3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche

Dettagli

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite Lezioni del 22 e 24 settembre. Numeri razionali. 1. Operazioni, ordinamento. Indichiamo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, e razionali: N = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...}

Dettagli

Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3)

Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Nicola Durante 2011-12 Abstract 1 Insiemi numerici (Lezione del 5.10.11) 1.1 Cenni di teoria degli insiemi Richiamiamo brevemente alcuni simboli usati in

Dettagli

Esempi. La successione {cos n} è limitata; {n ¾ } è limitata inferiormente ma non è limitata superiormente, quindi non è limitata.

Esempi. La successione {cos n} è limitata; {n ¾ } è limitata inferiormente ma non è limitata superiormente, quindi non è limitata. Analisi 2 Successioni numeriche -1- ÔÔÙÒØ Ô Ö Ð ÓÖ Ó Ò Ð ¾ º ËÙ ÓÒ ÒÙÑ Ö Proposizione (unicità del limite). Se {a n } è convergente, allora il limite è unico. Dimostrazione. Supponiamo che la tesi sia

Dettagli

Serie Borlini Alex

Serie Borlini Alex Serie numerica >> Prefazione Progressione lista ordinata e finita di elementi. Successione lista ordinata e infinita di elementi (numeri reali chiamati termini), {a n }=a 1, a 2, a 3 Successione di Fibonacci:

Dettagli

1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi

1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi Prima di affrontare gli esercizi su estremo superiore ed inferiore, ricordiamo alcune definizioni ed alcuni teoremi che ci verranno utili. Definizione.

Dettagli

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti

Dettagli

La radice quadrata di 2

La radice quadrata di 2 G.Gorni 8/9 La radice quadrata di. Preliminari: completezza dei numeri reali Sia dato un sottinsieme A non vuoto di R. Definizione. Un numero reale M si dice massimo di A se () M A e () ogni altro elemento

Dettagli

Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: TEOREMI

Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: TEOREMI Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: TEOREMI Pagina 1 NUMERI COMPLESSI (C, +, ) è un campo. i 2 = -1. K, +,,, 0, 1 L'equazione x 2 +1=0

Dettagli

Programmazione Non Lineare

Programmazione Non Lineare Capitolo 1 Programmazione Non Lineare 1.1 Introduzione Un problema di ottimizzazione viene definito come la minimizzazione o la massimizzazione di una funzione a valori reali su un insieme specificato.

Dettagli

k=0 a k k=0 a k, quando si voglia precisare qual è l indice iniziale: si possono infatti considerare anche serie del tipo k=1 a k, k=50 a k,

k=0 a k k=0 a k, quando si voglia precisare qual è l indice iniziale: si possono infatti considerare anche serie del tipo k=1 a k, k=50 a k, 2.2 Serie Le serie numeriche sono semplicemente successioni reali o complesse di tipo particolare, che però, per la loro importanza pratica e teorica, meritano una trattazione a parte. Data una successione

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona

Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Gli argomenti denotati con un asterisco tra parentesi sono stati

Dettagli

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1 Analisi Matematica a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo a) Si ha perciò si distinguono due casi: I) se x < 7,siha x 7 se x 7 x 7 7 x se x < 7, x 7 7 x x x 5 x 5, e poiché 5 > 7 la disequazione

Dettagli

Analisi Matematica. Alcune dimostrazioni e verifiche relative al capitolo Limiti di successioni numeriche e di funzioni

Analisi Matematica. Alcune dimostrazioni e verifiche relative al capitolo Limiti di successioni numeriche e di funzioni a.a. 204/205 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Alcune dimostrazioni e verifiche relative al capitolo Limiti di successioni numeriche e di funzioni Avvertenza Per comodità degli studenti

Dettagli

APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I

APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI MAURIZIO CORNALBA L assioma della scelta e il lemma di Zorn Sia {A i } i I un insieme di insiemi. Il prodotto i I A i è l insieme di tutte le applicazioni α : I i I A i

Dettagli

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

[A-E] IST. DI MATEMATICA I. 3. Lezione. giovedì 6 ottobre Massimo e minimo.

[A-E] IST. DI MATEMATICA I. 3. Lezione. giovedì 6 ottobre Massimo e minimo. IST. DI MATEMATICA I [A-E] giovedì 6 ottobre 2016 3. Lezione 3.1. Massimo e minimo. Definizioni di minimo e/o massimo per un insieme E di numeri reali: il numero min si dice minimo dell insieme E se min

Dettagli

Osservazione 1.1 Si verifica facilmente che esiste un unica relazione d ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato.

Osservazione 1.1 Si verifica facilmente che esiste un unica relazione d ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato. 1 Numeri reali Definizione 1.1 Un campo ordinato è un campo K munito di una relazione d ordine totale, compatibile con le operazioni di somma e prodotto nel senso seguente: 1. a, b, c K, a b = a + c b

Dettagli

Ricorrendo alle definizioni di limite, si dimostrano importanti risultati. Vedremo: che, se esiste, il limite lim

Ricorrendo alle definizioni di limite, si dimostrano importanti risultati. Vedremo: che, se esiste, il limite lim Teoremi sui limiti Ricorrendo alle definizioni di limite, si dimostrano importanti risultati. Vedremo: che, se esiste, il limite lim f () può dare informazioni locali (= che valgono nell intorno di c)

Dettagli

14. Confronto tra l integrale di Lebesgue e l integrale di Riemann.

14. Confronto tra l integrale di Lebesgue e l integrale di Riemann. 4. Confronto tra l integrale di Lebesgue e l integrale di Riemann. Lo scopo di questo capitolo è quello di mettere a confronto i vari tipi di integrale (di Riemann, generalizzato e improprio) di funzioni

Dettagli

non solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.4), ma anche che tale valore non dipende da

non solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.4), ma anche che tale valore non dipende da NOTE INTEGRATIVE PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ANNO ACCADEMICO 2012/13 NOTE SULLA CONTINUITÀ UNIFORME D.BARTOLUCCI, D.GUIDO Sia f(x) = x 3, x [ 1, 1]. Si ha 1. La continuità uniforme x 3 y 3 = x

Dettagli

Richiami sugli insiemi numerici

Richiami sugli insiemi numerici Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri

Dettagli

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico

Dettagli

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno

Dettagli

1 Numeri reali. Esercizi.

1 Numeri reali. Esercizi. Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 1 (Docente: Federico Lastaria) Settembre 2012 1 Numeri reali. Esercizi. Esercizio 1.1 (Un numero moltiplicato per zero

Dettagli

Il Teorema di Mountain-Pass

Il Teorema di Mountain-Pass Capitolo 4 Il Teorema di Mountain-Pass Descriviamo ora un altro metodo per trovare soluzioni non nulle di alcuni tipi di problemi, per esempio { u = u p 1 u in u = 0 su (4.1) con p > 1, utilizzando dei

Dettagli

I NUMERI. Si dice "radice quadrata" di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a.

I NUMERI. Si dice radice quadrata di un numero positivo a, quel numero positivo b che elevato al quadrato dà come risultato a. Questa dispensa rappresenta una breve introduzione ai numeri reali e alla loro Topologia, minimo necessario per affrontare serenamente lo studio dell ANALISI MATEMATICA. Inoltre non si ha la pretesa che

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI SERIE NUMERICHE Si consideri una successione di elementi. Si definisce serie associata ad la somma Per ogni indice della successione, si definisce successione delle somme parziali associata a la somma

Dettagli

Corso di Analisi Matematica I numeri reali

Corso di Analisi Matematica I numeri reali Corso di Analisi Matematica I numeri reali Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 57 1 Insiemi e logica 2 Campi ordinati 3 Estremo

Dettagli

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 5. Funzioni continue Soluzione dell Esercizio 76. Osserviamo che possiamo scrivere p() = n (a n + u()) e q() = m (b m + v()) con lim

Dettagli

COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI

COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI COSTRUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI Si vuole arrivare alla descrizione completa dell insieme dei numeri reali R per via assiomatica partendo dall insieme dei numeri naturali N e passando attraverso

Dettagli

Esistenza ed unicità per equazioni differenziali

Esistenza ed unicità per equazioni differenziali Esistenza ed unicità per equazioni differenziali Per concludere queste lezioni sulle equazioni differenziali vogliamo dimostrare il teorema esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Faremo la dimostrazione

Dettagli

Analisi Matematica 1+2

Analisi Matematica 1+2 Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-700 Savona Tel. +39 09 264555 - Fax +39 09 264558 Ingegneria Gestionale Analisi Matematica +2 A.A 998/99 - Prove parziali

Dettagli

Il teorema di Lusin (versione )

Il teorema di Lusin (versione ) G.Gorni 7/8 Il teorema di Lusin versione 8-6-). Distanza da un insieme Deinizione. Dato uno spazio metrico X, d), un sottinsieme non vuoto A X e un punto x X deiniamo distanza ra x e A il numero distx,

Dettagli

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite

Dettagli

Limite di successioni

Limite di successioni Limite di successioni Ricordiamo che: una successione è una funzione a : n N a (n) R si pone a n = a (n) e la successione stessa viene indicata con (a n ) n0 oppure a 0,a 1,a 2,a 3,... è ammesso che sia

Dettagli

LIMITI. 1. Definizione di limite.

LIMITI. 1. Definizione di limite. LIMITI 1. Definizione di limite. Sia A un sottoinsieme di IR; se il numero reale x 0 è di accumulazione per A in ogni intorno di x 0 si trovano elementi di A distinti da x 0. Allora ha senso chiedersi

Dettagli

Note sulle funzioni convesse/concave

Note sulle funzioni convesse/concave Note sulle funzioni convesse/concave 4th December 2008 1 Definizioni e proprietà delle funzioni convesse/concave. Definizione 1.1 Un insieme A IR n è detto convesso se per ogni x 1 e x 2 punti di A, il

Dettagli

Completezza e compattezza

Completezza e compattezza 1 Completezza e compattezza Spazi metrici completi Data una successione x : N X, j x j, una sua sottosuccessione è la composizione x ν, ove ν : N N è strettamente crescente. Data una successione (x j )

Dettagli

NUMERI REALI. x(y + z) = xy + xz. Nel seguito faremo uso delle seguenti notazioni. IR+ 0 = {x IR : 0 x} IR 0 = {x IR : 0 x}

NUMERI REALI. x(y + z) = xy + xz. Nel seguito faremo uso delle seguenti notazioni. IR+ 0 = {x IR : 0 x} IR 0 = {x IR : 0 x} NUMERI REALI In quanto segue non diremo che cosa è un numero reale ma definiremo per via assiomatica l insieme dei numeri reali. Insieme che denotiamo con IR. L insieme dei numeri reali è un campo totalmente

Dettagli

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che

Dettagli

Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia

Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. L insieme dei numeri reali

Corso di Analisi Matematica. L insieme dei numeri reali a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica L insieme dei numeri reali Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

Capitolo 1. Gli strumenti. 1.1 Relazioni

Capitolo 1. Gli strumenti. 1.1 Relazioni Capitolo 1 Gli strumenti Consideriamo un insieme X. In geometria siamo abituati a considerare insiemi i cui elementi sono punti ad esempio, la retta reale, il piano cartesiano. Più in generale i matematici

Dettagli

RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano

RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI C. FRANCHI 1. Relazioni Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano X Y := {(x, y) x X, y Y } dove con (x, y) si intende la coppia ordinata

Dettagli

Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008

Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008 Analisi 1 Polo di Savona Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008 1- PrA1.TEX [] Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 Prima prova Parziale 21/10/1998 Si consideri

Dettagli

Alcuni elementi di Analisi Matematica I

Alcuni elementi di Analisi Matematica I Alcuni elementi di Analisi Matematica I Prof. Carlo Alberini 20 novembre 206 Indice Indice Elenco delle figure Il sistema dei numeri reali 2. Proprietà fondamentali del sistema dei numeri reali.................

Dettagli

Liceo Galilei - ROMA 27 maggio 2010

Liceo Galilei - ROMA 27 maggio 2010 Liceo Galilei - ROMA 27 maggio 2010 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza 27 maggio 2010 L. Lamberti Dipartimento di Matematica La Sapienza

Dettagli

1 Il valore assoluto p-adico

1 Il valore assoluto p-adico 1 Il valore assoluto p-adico Definizione 1.1. Siano a, b Z. Se a divide b scriveremo a b, altrimenti scriveremo a b. Con (a, b) indichiamo il massimo comun divisore di a e b. Sia x Z e p un numero primo.

Dettagli

Leggi 0-1, successioni di v.a. stazionarie in senso stretto ed introduzione alla teoria ergodica

Leggi 0-1, successioni di v.a. stazionarie in senso stretto ed introduzione alla teoria ergodica Leggi 0-, successioni di v.a. stazionarie in senso stretto ed introduzione alla teoria ergodica Michele Gianfelice a.a. 202-203 Misura sullo spazio delle successioni a valori reali Sia R N l insieme delle

Dettagli

Appunti del Corso Analisi 1

Appunti del Corso Analisi 1 Appunti del Corso Analisi 1 Anno Accademico 2011-2012 Roberto Monti Versione del 5 Ottobre 2011 1 Contents Chapter 1. Cardinalità 5 1. Insiemi e funzioni. Introduzione informale 5 2. Cardinalità 7 3.

Dettagli

La definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni

La definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni La definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni Lorenzo Lami Definizione 1 (Filtro). Dato un insieme X, si dice filtro su X una collezione F di sottoinsiemi di X tali che: X F; / F; A F, B

Dettagli

COMPLEMENTI DI ANALISI: LIMITI E CONTINUITÀ INDICE

COMPLEMENTI DI ANALISI: LIMITI E CONTINUITÀ INDICE COMPLEMENTI DI ANALISI: LIMITI E CONTINUITÀ ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE INDICE 1. Principio di induzione e completezza dei numeri reali 1 1.1. Il principio di induzione 1 1.2. Completezza

Dettagli

INSIEMI. Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X).

INSIEMI. Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X). INSIEMI Se X è un insieme, indichiamo con P(X) l insieme dei sottoinsiemi di X (sono elementi di P(X) anche e X). Sia A = {A λ : λ Λ} una famiglia di insiemi. Definiamo: unione A = A λ è l insieme U tale

Dettagli

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio A. Figà Talamanca 14 ottobre 2010 2 0.1 Ancora limiti di funzioni di variabile reale Esercizio 1 Sia f(x) = [sin x] definita nell insieme [0,

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 5/04/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. Integrali Impropri Esercizio. (CRITERIO DEL CONFRONTO). Dimostrare che se f : (a, b] R e g(x) : (a, b] R sono integrabili

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Esercizi di preparazione allo scritto a.a. 2015-16 Esercizio 1. Dimostrare che Topologia 1. d(x, y) = max 1 i n x i y i definisce una distanza su R n. 2. d(x,

Dettagli

(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora +

(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora + 1. Spazi di misura In questo paragrafo accenneremo alla nozione di spazio di misura. Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se : (1) A; (2) se A

Dettagli

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x 4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto

Dettagli

Appunti sui numeri reali. Alessandro Figà Talamanca

Appunti sui numeri reali. Alessandro Figà Talamanca Appunti sui numeri reali Alessandro Figà Talamanca 24 febbraio 2010 2 Premessa Questi appunti forniscono una dimostrazione del Teorema 1.19 a pag. 8 del libro Pincipi di Analisi Matematica di Walter Rudin,

Dettagli

3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon

3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon Marco Barlotti appunti di Teoria degli insiemi supplemento numero 1 Pag. 1 3.3 - Il principio del buon ordine. Sia A un insieme, e sia una relazione di ordine in A. Si dice che è un buon ordine per A,

Dettagli

ALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x.

ALGEBRE DI BOOLE. (d) x, y X x y oppure y x. ALGEBRE DI BOOLE Un insieme parzialmente ordinato è una coppia ordinata (X, ) dove X è un insieme non vuoto e " " è una relazione binaria definita su X tale che (a) x X x x (riflessività) (b) x, y, X se

Dettagli

Proprietà commutativa e associativa per le serie

Proprietà commutativa e associativa per le serie Analisi Matematica 1 Trentaseiesima Trentasettesimalezione Proprietà commutativa e associativa per le serie Prodotto Serie di alla potenze Cauchy prof. Claudio Saccon Dipartimento di Matematica Applicata,

Dettagli

Teorema di Hahn-Banach

Teorema di Hahn-Banach Teorema di Hahn-Banach Alessandra Albanese e Sara Lamboglia 12.03.2012 1 Teorema di Hahn-Banach Teorema 1.1 (Hahn-Banach). Se M é un sottospazio di uno spazio vettoriale normato X e f é un funzionale lineare

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 8 - METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI Norme Una norma in R n è una funzione. : R n R tale che x 0 x R n ; x = 0 x = 0; αx = α x ; x

Dettagli

Spazi di Funzioni. Docente:Alessandra Cutrì. A. Cutrì e Metodi Matematici per l ingegneria Ing. Gestionale

Spazi di Funzioni. Docente:Alessandra Cutrì. A. Cutrì e Metodi Matematici per l ingegneria Ing. Gestionale Spazi di Funzioni Docente:Alessandra Cutrì Spazi vettoriali normati Uno spazio Vettoriale V si dice NORMATO se è definita su V una norma, cioè una funzione che verifica: v 0 e v = 0 v = 0 λv = λ v λ R(o

Dettagli