Frazioni e numeri razionali

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1 Cognome e nome Data Matematica Teoria - Numeri III Base I Frazioni e numeri razionali I. Introduzione I.. Rappresentazione di frazioni FRAZIONE I.. Frazione come operatore 0? di 0 : Divido in ( ) : di Prendo parti

2 Operatori inversi 0 0 di di è è Aiutandoti con uno schema cerca di verificare il motivo di quanto sopra esposto (Operatori inversi )

3 a) Trova una frazione che corrisponda alla parte di figura tratteggiata: oppure oppure oppure oppure oppure oppure b) Colora una parte di figura corrispondente a quella indicata dalla frazione 7 6 7

4 c) Su ogni orizzontale segna i punti e le lettere corrispondenti alle frazioni indicate accanto (osserva quello che è stato fatto per A e per B). Congiungi ora i punti nell ordine indicato: A-E-D ; C-F-B ; M-P-R ; I-N-Q ; P-N ; G-H-O-L e

5 d) Problemi a. Una squadra di calcio perde partite che corrispondono ai / delle partite giocate. Quante partite ha effettuato la squadra? b. Ad un esame teorico per la patente del motorino, si sono iscritti piú di 0 ragazzi. Sapendo che 6 ragazzi, che corrispondono ai / degli iscritti, sono stati respinti, sapresti trovare il numero esatto di quelli che si sono presentati? c. In una classe ci sono ragazze che corrispondono ai 7/ dell'effettivo. Da quanti allievi é formata la classe? d. Una botte contiene,8 hl che corrispondono ai 7/9 della sua capacità. Quanti litri mancano per riempirla? e. Da una scatola contenente chiodi se ne tolgono 0, cioè i / del numero di chiodi contenuti nella scatola. Quanti chiodi rimangono nella scatola? f. Ho speso Fr, cioè i /9 dei miei risparmi, per comperare una bicicletta. A quanto ammontavano i miei risparmi? Quanto mi rimane? g. Esco di casa con 0 Fr e mi reco in un supermercato della zona. Spendo dapprima i /0 della somma per acquistare un disco poi un terzo della somma iniziale per acquistare un paio di scarpe e infine la metà di quello che mi rimane per acquistare un libro. Se non effettuo più altre spese, con quanti franchi rincaso?

6 I. Insiemi di frazioni equivalenti / Numeri razionali I.. I... Equivalenza di frazioni Frazioni diverse possono rappresentare valori uguali. Completa, se necessario, le frazioni e i rettangoli associati: inserisci eventualmente nei disegni delle suddivisioni orizzontali supplementari. Osserviamo: Con ogni nuova suddivisione il numero totale di parti e il numero delle parti colorate e stato moltiplicato per lo stesso numero: Le quattro frazioni di ognuno dei due esempi rappresentano la medesima parte dell intero: diciamo che esse sono frazioni equivalenti : diverse nella scrittura ma uguali nel valore. Quindi Ci sono quindi più frazioni che possono essere utilizzate per indicare la stessa parte. Queste frazioni si dicono equivalenti. Tutte le frazioni equivalenti a una frazione data si possono raggruppare in un insieme. Nel nostro caso: A...,,,,,,.... Ogni frazione è un rappresentante dell insieme. In questo caso è il rappresentante più semplice. 6

7 ..., ;...,..., ; Insieme ; 6 ; ; 8 ; ; ; ; ; ; ; ;... ;... ;... Rappresentante più semplice 7

8 I.. Ricerca di frazioni equivalenti Analizziamo ora vari metodi per trovare delle frazioni equivalenti: I... Con le moltiplicazioni Esempio Come vedi il denominatore è stato moltiplicato per perciò anche il numeratore deve essere moltiplicato per. 7 9? Esempio 7 9? Per quanto bisogna moltiplicare 9 per ottenere? Lo possiamo sapere calcolando : 9 = Quindi otteniamo Completa: a) b) 8 c) d) e) i) o) 7 f) g) h) l) m) n) p) q) r)

9 I... Con le divisioni Esempio 6 60 : : 8 0 : : 9 : : Abbiamo cioè effettuato delle semplificazioni di frazioni: da a ; da a e da a Si poteva ottenere direttamente la frazione dividendo in numeratore e il denominatore per : 60: Se una frazione non è semplificabile (cioe numeratore e denominatore non hanno divisori interi comuni diversi da o da -) si dice che è ridotta ai minimi termini. Esempio 0 Completa: Infatti e 0 sono entrambi divisibili per. : Quindi otteniamo 0 0 : a) 8 : b) 8 : 6 : 6 : c) 8 6 d) 0 9 e) 0 Riduci ai minimi termini le frazioni seguenti:

10 I.. Frazioni equivalenti Due frazioni si dicono equivalenti se: a) applicate come operatore allo stesso numero (o grandezza) danno lo stesso risultato: di ) (60) 90 è uguale a 9 perché 6 perché di 9 (60) 0 6 è uguale a b) una delle due si ottiene dall altra moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero 9 9 perché 6 6 : perché : c) Entrambe sono equivalenti ad una terza frazione 6 0 perchè e 6 0 0

11 Esercizi di applicazione. Completa con = o. Completa

12 I. Semplificazione di frazioni Una frazione è semplificabile se sia il numeratore che il denominatore possono essere divisi per lo stesso numero. La frazione semplificata e quella di partenza, ovviamente, sono equivalenti: 0 0 0: 0: 6 8 I. Riduzione ai minimi termini Una frazione è ridotta ai minimi termini se non è più possibile semplificarla ulteriormente. Esempio: a) 0 0 : 6 6 : con semplificazioni successive 0 0 : 8 8 : b) 0 0 :0 Dividendo il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D. 0 0 :0 d) La semplificazione può anche essere organizzata così: I. Riduzione allo stesso denominatore Ridurre due frazioni allo stesso denominatore vuol dire trasformarle in altre equivalenti alle prime ma che abbiano lo stesso denominatore. Esempio 8 7 Per comodità si può usare il minimo comune denominatore, che coincide con il m.c.m. dei denominatori.

13 7 ; m.c.m. (7;) = ; 8 Esercizi di applicazione. Riduci ai minimi termini (Indica ogni volta il divisore utilizzato). Riduci allo stesso denominatore i seguenti gruppi di frazioni (consiglio: riduci prima ai minimi termini: 6 8 a. ; b. ; ; 0 7 c. e. g. ; ; 60 7 ; ; 8 8 ; ; ; 6 d. f. h. ; ; ; ; ; ; ; ; 9 0

14 I.6 Operazioni con le frazioni I.6. Frazioni e divisioni Spesso si può scrivere il risultato della divisione fra due numeri sotto forma di frazione: Esempi: : 0,7 : 0, Questo fatto può trovare giustificazione pensando a situazioni come quelle che permettono ad esempio di indicare: 0,7 L di latte con di litro di latte 0, Kg di pane con Kg di pane Ricordati che: dividendo divisore a : b a b numeratore denominatore L uso della frazione come risultato di una divisione fa si che assumano significato anche frazioni del tipo: ; 8 ; Infatti: 8 ( ) : 0, 8 : ( ), 6 ( ) : ( )...

15 Completa: (-) : 0 = =.. : (-) = =.. (+) : (+) = =.. (-8) : 0 = =.. I.6. I.6.. Addizione e sottrazione con le frazioni Addizione Dalla tua esperienza quotidiana sai che: ( ora) ( ora) ( ora) ( ora) ( ora) ( ora) Allo stesso modo: 6 Possiamo riscrivere tutto con delle frazioni equivalenti ma con lo stesso denominatore comune:

16 6 Se sei stato attento; avrai notato che, una volta ridotte tutte le frazioni allo stesso denominatore comune; per ottenere la somma totale, è sufficiente sommare i singoli numeratori tra di loro. Riassumiamo velocemente: Per sommare (o sottrarre) due (o più) frazioni: Si riducono allo stesso denominatore (meglio se minimo) Si sommano (o si sottraggono) i numeratori delle nuove frazioni equivalenti Si riduce (se necessario) il risultato ai minimi termini Esempio: Esercizi di applicazione Calcola (su di un foglio a parte)

17 I.6.. Sottrazione Per la sottrazione vale una regola analogia a quella vista per l addizione: Per sottrarre due frazioni bisogna trasformarle in frazioni equivalenti aventi lo stesso denominatore. Quest ultimo sarà pure il denominatore della differenza mentre il numeratore si ottiene sottraendo i nuovi numeratori Esercizi di applicazione: Calcola:

18 I.6. Forme di scrittura di un numero razionale Ogni numero razionale può essere scritto in: Forma frazionaria (es. ) Forma decimale (es.,) Forma mista (es ) Si sceglie la forma più adatta in funzione di ciò che si desidera rappresentare o delle operazioni che si devono eseguire In situazioni particolari si usano particolari modi di dire, in effetti si dice: locali e non, locali, litri e non litro di giro e non 0, giri I.6.. Trasformazione dalla forma frazionaria a quella decimale Esempi Possiamo dedurre la seguente regola: Per passare dalla forma frazionaria a quella decimale è sufficiente dividere il numeratore per il denominatore 8

19 . Esercizio: Scrivi in forma decimale il numero razionale rappresentato dalle seguenti frazioni (Vietato usare la calcolatrice): a. d. g. j. m. p. b. e. 0 h. 0 7 k. 0 n. q. c. 00 f. 00 i. 00 l. 000 o. 000 r. 000 I.6.. Dalla forma decimale (finita) a quella frazionaria Dalla pagina precedente sappiamo che: 7 0 0,7 ; 00 0,0 ; ,008 ;... 0, 0 0,6 Quindi 0,0 0,09 0,007 0,00 Esempio Consideriamo il numero,, avremo: 0, 0, Verifica 9 : =. Conclusione: il numero, corrisponde a 9 (forma frazionaria ridotta ai minimi termini). 9

20 Esempio Consideriamo il numero 0,8 avremo: ,8 0 0, 0,08 0, 0, Verifica : :.=.. 7 Conclusione: il numero 0,8 corrisponde a.(forma frazionaria ridotta ai minimi termini). Osservazione E possibile ricavare la forma frazionaria anche se la forma decimale non è periodica. Esempi 0, 0,6 6 0, 9 Il procedimento è più complicato e verrà trattato l anno prossimo.. Esercizio: Trasforma in forma frazionaria e riduci ai minimi termini: a. 0, =..=.. b. 0,6 =..=.. c. 0,8=..=.. d., =..=.. e. 0, =..=.. f., =..=.. g. 0, =..=.. h.,0 =..=.. i. -0, =..=.. j. -, =..=.. k. 0,0 =..=.. l., =..=.. m. 0, =..=.. n., =..=.. o.,00 =..=.. p., =..=.. q.,70 =..=.. r. 0, =..=.. s. 0,008 =..=.. t., 6 =..=.. 0

21 I.6.. Dalla forma mista a quella frazionaria Esempio Trasformiamo in frazione il numero ( si legge e e significa ) Siccome interi corrispondono a in totale abbiamo 7 Quindi Esempio Trasformiamo in frazione il numero ( significa ) 7 Siccome interi corrispondono a in totale abbiamo 7 Quindi. Esercizio: Scrivi in forma frazionaria i seguenti numeri misti a. b. c. 8 9 d. e. f. 6 8 g. h. i. 7 j. k. l. 6 0 m. n. 8 o. p. 9 q. 6 0

22 I.6.. Esempio: Dalla forma frazionaria a quella mista La trasformazione si può ottenere ad esempio nei modi seguenti: a) scrivendo in modo opportuno il numeratore come addizione: 0 0 b) Sfruttando la divisione con resto: Esercizio : ; perciò. Scrivi sotto forma di numero misto a. d. 7 g. 8 j. m. b. 8 e. 9 h. k. n. 8 c. 0 f i. 8 l. 9 7 o. 8

23 I.6. Moltiplicazione e divisione con le frazioni I.6.. Moltiplicazione Esempio Una lezione dura h. Quanto durano lezioni? 9 volte h = h cioè h Esempio E in forma frazionaria Semplificando: Notiamo che 0,7 0, = 0, Per moltiplicare due frazioni si moltiplicano fra di loro i numeratori e fra loro i denominatori Anche nell esempio si può calcolare nello stesso modo. 9 volte = Calcola e poi riduci il risultato dove possibile, ai minimi termini 9 6 6

24 Osservazioni a) Semplificazioni in una moltiplicazione Esempio 6 7 A volte e possibile semplificare uno dei numeratori con uno dei denominatori prima di effettuare la moltiplicazione ; Calcola semplificando nel modo appena visto: b) Moltiplicazion di più frazioni ??? Le parentesi sono quindi superflue quando si moltiplicano più frazioni tra loro. Calcola

25 Tenendo presente che la moltiplicazione ha la precedenza sull addizione e sulla sottrazione, trova il risultato ridotto ai minimi termini I.6.. Dalla frazione come operatore alla moltiplicazione di frazioni di Infatti : di : 00 Di conseguenza i / di ¼ di 60 li possiamo calcolare come segue di di Calcola. I / di / di 0:... I / dei 9/ di 00:... Il doppio della meta di 0,:

26 I.6.. Divisione Esempio A quanto corrispondono la metà di? Risolviamo il problema con un disegno: 8 Esempio Tu sai che la meta di un ora e mezzo corrisponde a quarti d ora. Si puo scrivere che ( h): ( h): ( h) Esempio La forma decimale 0,7:0,6=, In forma frazionaria: : 00 Notiamo che Ma anche : :? 6

27 Conclusione Per dividere due frazioni si moltiplica la prima per l inversa della seconda : 7 7 Verifichiamo questa regola risolvendo i primi due esempi: : : : : 8 Calcola e riduci i risultati ai minimi termini: a) 6 b) c) 6 7 d) 9 e) 6 f) 8 g) : 7 h) : 8 i) : 0 j) 7 : 0 0 k) 0 : 0 : 6 l) 7

28 II Le figure piane: formulario Triangolo Disegno Formule utili Quadrato Disegno Formule utili Rettangolo Disegno Formule utili 8

29 Rombo Matematica Teoria - Numeri III Base Disegno Formule utili Romboide Disegno Formule utili Trapezio Disegno Formule utili 9

30 Poligoni regolari Un poligono avente tutti i lati e gli angoli congruenti si dice poligono regolare. Esempi di poligoni regolari sono: Per calcolare l area di un poligono regolare si utilizza la formula: dove a = apotema del poligono regolare.. La misura dell apotema di un poligono regolare dipende dalla misura del lato. Vale infatti la relazione: apotema = lato numero fisso Il numero fisso è un numero che varia con il variare del numero dei lati del poligono. Ogni poligono regolare ha quindi il proprio numero fisso: triangolo: 0,89 quadrato: 0, pentagono: 0,688 esagono: 0,866 ettagono:,08 ottagono:,07 ennagono:,7 decagono:,9 endecagono:,70 dodecagono:,866 Terminologia: Scrivi nel disegno, al posto giusto, le seguenti parole: Circonferenza inscritta Circonferenza circoscritta Apotema Centro Raggio del poligono Lato 0

31 Circonferenza e cerchio Disegno Formule utili Settore circolare e arco Disegno Formule utili

32 Esercizi: Risolvi gli esercizi seguenti facendo uno schizzo della situazione e trascrivendo a parte le formule utilizzate per risolverli. In questo modo potrai completare il formulario che trovi nelle pagine che seguono.. L area di un triangolo avente un lato di m è di 70 m. Trova l altezza relativa al lato in questione.. Un rettangolo ha la base di cm e l altezza di 0 cm. Determina area e perimetro.. Trova l area di un rettangolo avente il perimetro di cm e una dimensione di 7 cm.. Un aiuola quadrata ha il perimetro di 6 m. Che superficie occupa?. Di un rombo si sa che una diagonale misura 8 dm, mentre l altra è il doppio della precedente. Trova la misura dell altezza di un romboide avente la stessa area del rombo e la base lunga 9 dm. 6. L area di un trapezio è di 68 dm. Trova la misura dell altezza sapendo che le basi misurano rispettivamente 77 dm e dm.

33 7. Un pentagono regolare ha il lato di m. Quanto vale la sua area? 8. Per pavimentare un salone, vengono adoperate 0 piastrelle a forma di ottagono regolare aventi ciascuna il lato di 0 cm ed altrettante piastrelle quadrate aventi anch esse il lato di 0 cm. Trova l area del pavimento. (numero fisso ottagono =,07) 9. Un podista si allena su di una pista perfettamente circolare lunga 00 m. Quanto misura approssimativamente il raggio della pista in questione? 0. Un domatore di tigri presenta il suo numero al circo: farà passare i propri animali attraverso un cerchio infuocato di raggio 0 cm. Dentro quale superficie salteranno le tigri?

34 III Il Teorema di Pitagora III. Prerequisiti III.. Il quadrato di un numero Il quadrato di un numero è il risultato che si ottiene moltiplicando un numero per se stesso Esempi: 6 = 6 6 = 6 (0,6) = 0,6 0,6 = 0,6 (0,06) = 0,06 0,06 = 0,006 In generale a = a a Dove a è la base della potenza e è l esponente. III.. La radice quadrata di un numero La radice quadrata di un numero positivo b è quel numero positivo a che, elevato al quadrato, dà b. Abbiamo quindi: b a se e solo se a b Esempi: = Perché = = Perché = 0,6 = 0,6 0,0 = 0, perché perchè 0,6 0,6 = 0,6 0, 0, = 0,0

35 III.. Relazione tra quadrato di un numero e radice quadrata La radice quadrata e l elevazione al quadrato sono operazioni inverse, come si può notare dallo schema seguente: () a a = b eq. III.. Esercizi ) Completa la tabella, calcolando i quadrati e le radici quadrate richieste: a a b b 7 8 0,9 0, 0,006, ,08 0,06 ) Completa la tabella approssimando, dove necessario al centesimo a a b b 0,0,, 0, ,08 0,089 0,0 69 ) Completa la tabella, calcolando le lunghezze dei lati dei quadrati di cui conosci l area approssimando il risultato al cm Area del quadrato Lato del quadrato, m, m 0, m 0,00 m 0,0 m

36 ) Completa la seguente tabella, calcolando le lunghezze dei raggi dei cerchi, di cui conosci l area Area del cerchio Raggio del cerchio 78, m,6 dm 0,00 m 0,0 m 6

37 III. Il triangolo rettangolo Disegna i seguenti triangoli, date le misure dei lati: LATI: cm; cm; cm LATI: 8 cm; 6 cm; 0 cm LATI:, cm; 6 cm; 6, cm LATI: cm; 7, cm; 8, cm Misura l ampiezza dei triangoli disegnati. Essi sono tutti triangoli.. perché.. b C i Ipotenusa In un triangolo rettangolo si chiamano cateti i due lati che formano l angolo retto (a e b in questo caso) e ipotenusa il lato maggiore, quello opposto all angolo retto (c in questo caso) A a B Tenendo conto dell esercizio precedente possiamo generalizzare dicendo che: i a e i b Cateti + =. 7

38 III.. Esercizi ) ABC è un triangolo rettangolo; si ha AB = 6 cm, BC = 6 cm, AC = 6 cm a. Quali sono i cateti e quale l ipotenusa? b. Quale è l angolo retto? ) ABC è un triangolo rettangolo; si ha : A Bˆ C = 90 e A ĈB = allora B ÂC = o ) Rispondi ai seguenti quesiti a. E possibile che un triangolo rettangolo abbia i cateti di 7 cm e 67 cm e l ipotenusa di 97 cm? b. E possibile che un triangolo rettangolo abbia i cateti di 7 cm e 67 cm e l ipotenusa di 7 cm? c. E possibile che un triangolo rettangolo abbia i due angoli non retti di 89 e? d. E possibile che un triangolo rettangolo abbia uno degli angoli non retti di 9? ) Nei seguenti triangoli segna l angolo retto e colora in rosso l ipotenusa 8

39 III. Scopriamo insieme il teorema di Pitagora Procurati alcuni fogli bianchi (cioè non quadrettati) e costruisci con precisione (riga, squadra, compasso) i tre triangoli: ABC con AB = a = cm BC = b = cm AC = c = cm DEF con DE = a = cm EF = b = 6 cm DF = c = 0 cm GHI con GH = a = 8 cm HI = b = cm GI = c = 7 cm Se sei stato preciso, misurando con il goniometro, dovresti constatare che tutti e tre i triangoli sono rettangoli. Completa ora la tabella seguente effettuando i necessari calcoli (dove tutte le misure sono in cm e cm e si riferiscono ai precedenti tre triangoli rettangoli): a b c a b c a + b Osservando i dati raccolti possiamo affermare che: =.. Costruisci ora con precisione (sempre su un foglio bianco) utilizzando riga squadra e compasso i tre triangoli seguenti: LMN con LM = a = cm MN = b = 6 cm LN = c = 7 cm OPQ con OP = a = 7 cm PQ = b = cm OQ = c = cm RST con RS = a = cm ST = b = cm RT = c = 8 cm Se sei stato preciso, misurando con il goniometro, dovresti constatare che nessuno dei tre triangoli è rettangolo. Completa ora la tabella seguente effettuando i necessari calcoli (dove tutte le misure sono in cm e cm e si riferiscono ai precedenti tre triangoli rettangoli): a b C a b c a + b Osservando i dati raccolti possiamo affermare che:.. 9

40 III. L enunciato del teorema di Pitagora Dall attività svolta nel precedente paragrafo possiamo trarre la seguente, importante conclusione: Per i triangoli rettangoli, il quadrato dell ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti: a + b = c Per i triangoli non rettangoli, invece, la conclusione precedente non è valida. Facciamo ora un attività inversa alla precedente; completa la tabella, dove a,b,c sono le misure in cm di altrettanti triangoli (A,B,C,D,E,F) e inserisci Vero o Falso nelle caselle dell ultima colonna. Triangolo a b c a b c a + b = c? A B 6 7 C D 8 E F Per i triangoli seguenti vale la relazione a + b = c Per i triangoli seguenti non vale la relazione a + b = c.. A questo punto su dei fogli bianchi costruisci con precisione (riga, squadra, compasso) i sei triangoli A,B,C,D,E,F della tabella precedente. Dopo aver effettuato le sei costruzioni, controlla con il goniometro quali triangoli sono rettangoli. I triangoli. per i quali vale la relazione. sono rettangoli. I triangoli. per i quali non vale la relazione non sono rettangoli. Possiamo quindi affermare: Un triangolo è rettangolo sole se il quadrato dell ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti a e b, cioè solo se vale la relazione: a + b = c 0

41 III. Interpretazione geometrica del teorema di Pitagora Cerchiamo ora di dare un interpretazione geometrica del teorema di Pitagora. Su di un foglio bianco (senza quadretti) costruisci (lasciando molto spazio tra le figure) con riga, squadra e compasso i seguenti triangoli: ABC con AB = a = cm BC = b = cm AC = c = cm DEF con DE = a = 6 cm EF = b = 8 cm DF = c = 0 cm GHI con GH = a = cm HI = b = cm GI = c = cm Misurando tutti gli angoli cosa puoi dire a proposito dei tre triangoli appena disegnati? RISPOSTA:.. Procurati ora della carta millimetrata e ritaglia 9 quadrati aventi come lato esattamente la lunghezza dei lati dei triangoli appena disegnati, incolla in seguito i quadrati ritagliati su ciascuno dei lati dei triangoli. In quanti quadrati unitari (area cm ) può essere scomposto il quadrato di lato: cm? quadrati cm? quadrati cm? quadrati 6 cm? quadrati 8 cm? quadrati 0 cm? quadrati cm? quadrati cm? quadrati cm? quadrati Che conclusioni puoi trarre? RISPOSTA:....

42 Su di un altro foglio bianco costruisci ora (lasciando molto spazio tra le figure) con riga, squadra e compasso i seguenti triangoli: LMN con LM = a = cm MN = b = cm LN = c = 6 cm OPQ con OP = a = 7 cm PQ = b = cm OQ = c = 0 cm RST con RS = a = 6 cm ST = b = 7 cm RT = c = cm Misurando tutti gli angoli cosa puoi dire a proposito dei tre triangoli appena disegnati? RISPOSTA:.. Procurati ora della carta millimetrata e ritaglia 9 quadrati aventi come lato esattamente la lunghezza dei lati dei triangoli appena disegnati, incolla in seguito i quadrati ritagliati su ciascuno dei lati dei triangoli. In quanti quadrati unitari (area cm ) può essere scomposto il quadrato di lato: cm? quadrati cm? quadrati 6 cm? quadrati 7 cm? quadrati cm? quadrati 0 cm? quadrati 6 cm? quadrati 7 cm? quadrati cm? quadrati Che conclusioni puoi trarre? RISPOSTA:...

43 Riassumiamo ora quello che abbiamo visto nelle pagine precedenti: consideriamo i due triangoli ABC e LMN del paragrafo III.. Triangolo ABC In questo triangolo si ha: a = cm quindi a = 9 cm b = cm quindi a = 6 cm c = cm quindi a = cm c b a Triangolo LMN dove a, b,c sono rispettivamente le aree dei quadrati costruiti sui lati Osservando la figura e i precedenti risultati (cioè a + b = c ) possiamo dire che per il triangolo ABC, che è rettangolo: L area del quadrato costruito sull ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti In questo triangolo si ha: a = cm quindi a = 6 cm b = cm quindi a = 6 cm c = 6 cm quindi a = 6 cm c a b dove a, b,c sono rispettivamente le aree dei quadrati costruiti sui lati Osservando la figura e i precedenti risultati (cioè a + b c ) possiamo dire che per il triangolo ABC, che NON è rettangolo: L area del quadrato costruito sull ipotenusa NON è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti

44 III.6 Riassunto sul Teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo, l area del quadrato costruito sull ipotenusa i è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti a e b A = i i b A = b a A = a Si ha: A + A = A Cioè: i = a + b Dove: i: ipotenusa a,b: cateti

45 III.7 Cenno storico sul Teorema di Pitagora Si racconta che Pitagora intuii il suo famoso teorema osservando un pavimento piastrellato. Il disegno ricostruisce la probabile forma di quelle piastrella: In colore è evidenziata la costruzione geometrica dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo; le aree dei quadrati sono legate alle misure dei lati del triangolo proprio dal teorema di Pitagora

46 III.8 Esercizi. Completa la seguente tabella dove a,b,i sono le misure in cm dei lati di un triangolo, e rispondi alle domande in essa contenute: a b i E un triangolo rettangolo? 9 6 8,,,,8 0,7,, Perchè. Calcola gli elementi mancanti nella seguente tabella che si riferisce a triangoli rettangoli, come quello della figura sottostante: A i b a A A a b i A A A,,,6,8 9,6,8 0, 60,8, 68,

47 III.9 Giustificazione grafica del teorema di Pitagora Finora abbiamo osservato la relazione di Pitagora in casi particolari e poi abbiano tratto le conclusioni. Verifichiamo adesso la veridicità della relazione di Pitagora nel caso generale di un triangolo rettangolo qualsiasi, dandone una giustificazione grafica. Consideriamo un triangolo rettangolo qualunque di lati a, b, i e riproduciamolo volte: b i b i b i b i a a a a Componiamo poi insieme i quattro triangoli congruenti in due modi diversi,ma tali da formare due quadrati, come nelle figure che seguono: D a Q b C DÆ a CÆ b i a b i b M P a b a i b a i a A b N a B AÆ b BÆ Se osservi bene le due figure, ti accorgerai che i due quadrati ABCD e A B C D sono congruenti, quindi sono equiestetsi, ossia hanno la stessa area, Osserva ora la figura di sinistra; possiamo notare che anche MNPQ è un quadrato, perché: I lati sono tutti congruenti (ipotenuse di triangoli rettangoli congruenti) I quattro angoli sono retti (giustifica tu questa affermazione, osservando i due angoli e 7

48 Adesso dai due quadrati ABCD e A B C D togliamo i quattro triangoli rettangoli tratteggiati (congruenti); rimangono le due parti bianche: Q b i i b b M P a b i a a i a N L area del quadrato MNPQ è: i L area della figura formata dai due quadrati è: a +b Ma le due parti bianche sono equivalenti (cioè hanno la stessa area) perché. Concludiamo, dunque, con l enunciato del Teorema di Pitagora a + b = c 8

49 III.0 Applichiamo il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli III.0. Esempio Consideriamo il triangolo rettangolo ABC definito nella figura sottostante: Dove si ha: A a = cm b = 8 cm i a A Quindi: b A = a = = (cm ) A = b = 8 = 6 (cm ) A Vogliamo ora calcolare la lunghezza dell ipotenusa i. Il triangolo è rettangolo, quindi vale la relazione di Pitagora: A + A = A Allora: A = A + A = cm + 6 cm = 89 cm Quindi: i = A = 89 = 7 (cm) III.0. Esempio Consideriamo il triangolo rettangolo ABC definito nella figura sottostante: Dove si ha: A i = cm b = cm i a A Quindi: b A = i = = 69 (cm ) A = b = = (cm ) A Vogliamo ora calcolare la lunghezza del cateto a. Il triangolo è rettangolo, quindi vale la relazione di Pitagora: A + A = A Allora: A = A - A = 69 cm - cm = cm Quindi: a = A = = (cm) 9

50 III.0. Esercizi ) Dato un triangolo rettangolo ABC con a=0 cm e b= cm, calcola la lunghezza dell ipotenusa i Schizzo: Risoluzione: Si ha a = 0 cm e b= cm Calcoliamo la lunghezza di i A i i a A (cm) b A ) Dato un triangolo rettangolo ABC con a =,6 dm e b =,8 dm, calcola la lunghezza dell ipotenusa i ) Dato un triangolo rettangolo ABC con a = 7, mm e b = 9,6 mm, calcola la lunghezza dell ipotenusa i ) Dato un triangolo rettangolo ABC con a = 90 m e b = 0 m, calcola la lunghezza dell ipotenusa i ) Dato un triangolo rettangolo ABC con a = 8 mm e b = mm, calcola la lunghezza dell ipotenusa i 6) Dato un triangolo rettangolo ABC con a=9 cm e i= cm, calcola la lunghezza del cateto b Schizzo: Risoluzione: Si ha a = 9 cm e i= cm Calcoliamo la lunghezza di b A b i a A (cm) b A 7) Dato un triangolo rettangolo ABC con i = 6 dm e b = dm, calcola la lunghezza del cateto a 0

51 8) Dato un triangolo rettangolo ABC con a = 8 cm e i = cm, calcola la lunghezza del cateto b 9) Dato un triangolo rettangolo ABC con i = 7, cm e b =, cm, calcola la lunghezza del cateto a: approssima al mm 0) Dato un triangolo rettangolo ABC con i = 9 cm e a =, cm, calcola la lunghezza del cateto b Ricapitoliamo quanto visto negli esercizi C In un triangolo rettangolo, grazie al Teorema di Pitagora, possiamo affermare che: b i a = i b a i b A a B b = i - a b i a i = a + b i a b

52 III. Applichiamo il Teorema di Pitagora alle figure piane III.. Rettangolo h b d Osservando la figura a lato dove è messo in evidenza il triangolo rettangolo adoperato, ricaviamo la misura della diagonale partendo da quelle della base e dell altezza del rettangolo: d b h E, viceversa ricaviamo le due formule inverse b h d d h b Esempio Le dimensioni di un rettangolo (base b e altezza h) sono cm e cm. Calcola la lunghezza della diagonale. D h i C Consideriamo il triangolo rettangolo ABD; in esso conosciamo le lunghezze dei cateti e vogliamo calcolare quella dell ipotenusa, d: A b B Si ha: d 08 8,8(cm) III.. Quadrato D a d C Osservando la figura a lato dove è messo in evidenza il triangolo rettangolo adoperato, ricaviamo la misura della diagonale partendo da quelle della base e dell altezza del rettangolo: d a a a a E, viceversa ricaviamo le due formule inverse A B a d

53 Esempio Di un quadrato conosci la lunghezza de lato l, cm. Calcola la lunghezza della diagonale d D a d C Consideriamo il triangolo rettangolo ABD; in esso conosciamo le lunghezze dei cateti congruenti e vogliamo calcolare quella dell ipotenusa, d: Si ha: d 7(cm) A B III.. Triangolo isoscele Osservando la figura a lato dove è messo in evidenza il triangolo rettangolo adoperato, ricaviamo l altezza del triangolo isoscele partendo dalla base e dal lato obliquo: h L b h L E, viceversa ricaviamo le due formule inverse Esempio b b/ L b h b L h Di un triangolo isoscele ABC conosci le lunghezze del lato (L = 7 cm) e della base (b = cm). Calcola la lunghezza dell altezza h. C Consideriamo il triangolo rettangolo CHB; in esso conosciamo le lunghezze del cateto HB, cm (cioè la metà della base b)e quella dell ipotenusa, 7 cm e vogliamo calcolare quella del cateto h. h L Si ha: h 7 (cm) b/ A H b B

54 III.. Triangolo equilatero Osservando la figura a lato dove è messo in evidenza il triangolo rettangolo adoperato, ricaviamo l altezza del triangolo equilatero partendo dal lato: h L L/ L Finalmente h h h L L L L L h E, viceversa ricaviamo la formula inversa h L Esempio Di un triangolo equilatero ABC conosci la lunghezza del lato (L = 0 cm). Calcola la lunghezza dell altezza h. h C L Consideriamo il triangolo rettangolo CHB; in esso conosciamo le lunghezze del cateto HB (cioè la metà del lato del triangolo equilatero) e quella dell ipotenusa (cioè il lato del triangolo equilatero), 0 cm e vogliamo calcolare quella del cateto h. A H L L/ B Si ha: h ,6(cm) O anche L h 0,6(cm)

55 III.. Rombo Osservando la figura a lato dove è messo in evidenza il triangolo rettangolo adoperato, ricaviamo il lato L del rombo partendo dalle due diagonali: d/ L L d d d/ E, viceversa ricaviamo le formule inverse d d d L d L Esempio Di un rombo ABCD conosci le lunghezze del lato (6 cm) e di una diagonale ( cm). Calcola la lunghezza della seconda diagonale d/ D L Consideriamo il triangolo rettangolo DOC. Abbiamo: DC = 6 cm OC = = 6 cm A O d / C Per cui si ha OD (cm) d B

56 IV Il Calcolo Percentuale IV. Esempi di uso delle percentuali nelle attività umane Domanda: Cosa significa. In Ticino l aumento più incisivo: il 7, %. Sconto del 0 %?. Borsa svizzera in calo del, %?. Aumento dei salari dell 0,9 %. Industria: perso l % dei posti 6

57 IV. IV.. Introduzione Esercizio introduttivo Due computer diversi vengono venduti dallo stesso negozio con i seguenti ribassi:. 00 Frs di sconto su un prezzo iniziale di 000 Frs. 600 Frs di sconto su un prezzo iniziale di 00 Frs Quale è l offerta più conveniente secondo te?. Perché?... Un metodo per rispondere alle domande appena poste è considerare il rapporto tra sconto e prezzo iniziale: e Riducendo le due frazione ai minimi termini abbiamo: e Per poterli confrontare dobbiamo trovare due frazione equivalenti che abbiano lo stesso denominatore, scegliamo di utilizzare come denominatore il numero 00, avremo: e A questo punto risulta evidente che la migliore offerta è la seconda in quanto:.. >.. oppure

58 0 La frazione significa 00 che: La frazione significa 00 che: Per ogni 00 Frs di spesa si ottiene uno sconto di 0 Frs. Abbiamo visto che indicare le frazione con lo stesso denominatore (in questo caso 00) ci permette un confronto immediato. IV. Significato del simbolo % Molto spesso per indicare frazioni del tipo 0 00 ; 00 ; ecc si usa la forma percentuale 0 0,0 = 00 0, = 00 SIGNIFIC A SIGNIFIC 0 % ( venti percento ) % ( ventiquattro percento ) Altri esempi: Il % di 00 Kg è : 00 (Kg) 00 Il % di 00 L è : (L) Il % di 0 Frs è : 0 60 (Frs) 00 Il % di 0 km è : 0, (Km) 00 Le scritture %, %, %, %, ecc rappresentano un alternativa per indicare le frazioni ; ; e ecc applicate ad una grandezza data

59 IV. Il concetto di percentuale Tenendo conto delle osservazioni fatte nel paragrafo precedente; colora in ognuna delle figure la parte corrispondente a quella indicata: % 0 % 7% %, 0 % e 7 % sono delle percentuali. La percentuale di una grandezza è quindi il numero di parti di questa grandezza che consideriamo, supponendo di suddividere la grandezza in 00 parti uguali. Ritornando agli esempi precedenti la percentuale % indica di suddividere la grandezza in 00 parti uguali e considerarne. Riprendendo gli esempi della Pag., completa indicando il significato delle frasi: Sconto del 0 % per gli abbonati al Corriere del Ticino: In Ticino l aumento più incisivo: + 7, %! 9

60 Alle ultime elezioni federali si sono recati alle urne il % degli aventi diritto di voto Aumento dei salari dello 0,9 %. Industria: perso l % dei posti IV. Applicazione sull uso delle percentuali I dati riguardanti la popolazione attiva della Svizzera nel 00 hanno permesso di allestire il seguente aerogramma: Disoccupati.80% Primario.0% Secondario.7% Primario Secondario Terziario Disoccupati Terziario 68.8% Fonte ( La Svizzera in cifre Edizione 00 UBS) 60

61 Sapendo che la popolazione attiva nel 00 ammontava a 76'9 abitanti, rispondi alle seguenti domande:. Cosa vuol dire che il,7 % delle persone attive è impiegato nel settore secondario?.. Quante erano quindi le persone attive in questo settore?. Calcola il numero di persone impiegate nel settore primario... Calcola il numero delle persone disoccupate.. 6

62 IV.6 Trasformazioni da una forma all altra (decimale, frazione, percentuale) IV.6. Dalla forma frazionaria alla percentuale Completa: 0, % % % % % % IV.6. Dalla percentuale alla forma frazionaria Completa (riduci sempre ai minimi termini il risultato) 0 % 0 00 % % % , %

63 IV.7 Permille A volte invece della suddivisione in centesimi viene usata la suddivisione in millesimi. Il simbolo % viene in questi casi sostituito con il simbolo 0 / 00 ( per mille ). Esempi: 0 / 00 di 800 Fr = 0 / 00 di 0 Fr =... = di 800 Fr 000 =... di. =... di 900 Fr = 000 IV.8 Esercizi sulle attività di base. Considera la seguente serie di palline: Corrispondono all 8 % Corrispondono all.. Corrispondono all.. Corrispondono all.. Corrispondono all.. 6

64 . Completa riportando tutti i calcoli a) % di 000 Fr = b) 7, % di 600 mm = c) % di 000 Fr = d) 8,6 % di 900 ml = e) % di 80 Kg = f) % di m = g) % di 0 L = h) 0 % di 80 m = i) 8 % di m = j) 0 % dii Kg = k) 00 % di t = l) 7 % di 80 Kg = m) 0 % di 0 Kg = n) 7 % di 6 Fr = o) 0 % di dm = p) 9 % di 80 Kg = q) 00 % di 0 Fr = r) 0, % di 000 dl = s) 0,7 % di 00 cm = t) 0, % di 00 mm u), % di 0 Fr =. Di ogni figura quale percentuale è stata colorata?.. 6

65 . Osserva le due figure seguenti: la figura a) è composta da quattro cerchi tangenti; la si copre parzialmente con un quadrato bianco avente i vertici nei centri dei cerchi, come illustrato nella figura b). Qual è la percentuale della figura che non risulta nascosta? (a) (b). Completa la tabella Pezzi realizzati Pezzi difettosi % pezzi difettosi Scrivi le frazioni (ridotte ai minimi termini) corrispondenti alla percentuale data: 0 % =. 8 % =. 7 % =. 0 % =. % =. 0 % =. % =. 00 % =. 0 % =. 6

66 7. Completa la tabella Percentuale dei pezzi realizzati 8 % % Frazione ridotta ai minimi termini Numero decimale 0, 0, 66

67 Matematica IV.9 Teoria - Numeri Esempi di problemi con le percentuali Il % di Percentuale IV.0 IV.0. III Base 600 Intero è 0 Parte Si conoscono la percentuale e l intero Problema Quale sconto viene fatto in Frs a l acquisto di 6 Kg di prosciutto arrotolato? Ricorda lo sconto. Soluzione Costo di 6 Kg senza sconto : 6 6 Frs 6Frs Sconto in Frs : 0 % di 6 Frs 6,8 Frs Spesa effettiva : 6 Frs 6.8 Frs, Frs Conclusione Acquistando 6 Kg di prosciutto arrotolato si ottiene uno sconto di 6,8 Frs e se ne spendono, Frs 67

68 IV.0. Problema Nel 00 vi erano circa 0'000 collegamenti alla rete di telefonia mobile, di questi il 6 % erano stipulati con Swisscom. Quanti sono i collegamenti di telefonia mobile stipulati con Swisscom? Soluzione 6 6 % di 0'000 = 0'000 0'00 (abbonati) 00 Conclusione: Nel 00 gli abbonati alla telefonia mobile con Swisscom erano IV. Si conoscono l intero e la parte IV.. Problema Che sconto viene praticato sul forno a microonde? Soluzione Sconto in franchi: 7 Frs 8 Frs = Frs Avremo x % di 7 = x 7 00 x 00' 7 x 00 0 % 7 Conclusione : Lo sconto percentuale concesso sul forno è del 0 %. 68

69 Matematica Teoria - Numeri III Base IV. Si conoscono la percentuale e la parte IV.. Problema Quanto costava il tostapane prima del ribasso? Soluzione Spesa in % : 00 % - 0 % = 70 % Se indichiamo con x il costo del tostapane (in Frs) avremo: 70 % di x = cioè 0,7 x x : 0,7 (Frs) Conclusione :.. 69

70 V Calcolo Letterale V. Problemi introduttivi V.. Lavoro a coppie Il lavoro si svolge nel modo seguente:. Completa individualmente i rettangoli sottostanti seguendo le indicazioni del problema. Comunica al tuo compagno SOLO il risultato scritto nella casella bianca. Il tuo compagno deve cercare di rispondere alla domanda iniziale. Scambiatevi i ruoli Problema Domanda : Quanto hai in tasca? Somma in centesimi di cui disponi attualmente: Moltiplica tale somma per : Aggiungi al prodotto così ottenuto Moltiplica tale risultato per Sottrai 6 Problema Domanda: Quando festeggi il compleanno? Scrivi il numero del mese in cui sei nato (da a ): Moltiplica tale numero per : Aggiungi 7: Moltiplica il tutto per : Aggiungi : Moltiplica il tutto per : Aggiungi il giorno di nascita 70

71 Problema Domanda: A quale numero hai pensato? Pensa un numero: Raddopiato: Aggiungi 8: Dividi per : Cerchiamo di giustificare con il calcolo letterale l ultimo risultato, indichiamo per esempio con n il numero pensato, avremo (completa): Pensa un numero: n Raddopiato: Aggiungi 8: Dividi per : Quindi indipendentemente dal vaolre di n scelto il risultato finale sarà sempre:.. e quindi per scoprire il valore di n basterà. dal risultato trovato. Cioè: n=. 7

72 V.. Curiosità Osserva attentamente lo schema di numeri dell esempio a fianco e completa addizzionando i numeri di ogni singola colonna, riga e diagonale. Poniamo ora = a avremo anche = - = a- ; 7 = + = a+ Completa in questo modo lo schema seguente: a- a+ a Se usiamo al posto di a= un altro valore addizzionando i numeri di ogni singola colonna, riga e diagonale troviamo ancora lo stesso numero? Prova con gli esempi seguenti: a=0 a=, a= 9 7

73 Quanto vale a ne seguenti schemi? a=. a=. a= - 7, V. Il calcolo letterale e la geometria Teniamo presente che: Una stessa lettera rappresenta, nello stesso calcolo, lo stesso valore a è un abbreviazione di 7 a Ammettiamo di dover ritagliare diverse figure con la stessa forma ma con delle misure diverse, vogliamo poi calcolare il perimetro della figura ABCD, completa la tabella : a b Perimetro,7, E evidente che risolvere il problema in modo letterale ci facilita non poco il compito, in quanto avremo a disposizione una formula che, dopo aver sostituito accuratamente a e b ci permette di trovare il risultato, avremo: P= 7

74 Vogliamo ora calcolare l acqua contenuta in una piscina. Usiamo la formula per il calcolo del volume del parallelepipedo: V a b c dove a,b e c rappresentano le tre dimensioni. Es. Prendiamo il caso della piscina olimpionica: a (lunghezza) = 0 m b (larghezza) = 0 m c (profondità) = m Volume dell acqua: V=.=.. Osservazione Solitamente quando si affronta un problema si cerca di trovare la soluzione operando con dati conosciuti (numeri); se però si vuole trovare una soluzione che sia valida indipendentemente dai valori assegnati, si usa sostituire i numeri con delle lettere tenendo presente che in uno stesso calcolo (come già detto) la stessa lettera rappresenta sempre lo stesso numero. 7

75 V. Operazioni con espressioni letterali Per poter utilizzare in maniera corretta le potenzialità del calcolo letterale stiamone alcune proprietà. V.. Addizione Consideriamo il quadrato ABCD di lato a, il suo perimetro sarà dato da: P= a + a + a + a + a = a a=.a Applichiamo quanto visto in precedenza all esempio seguente: Il perimetro è: P = 7

76 Dagli esempi precedenti possiamo quindi dire che: Un addizione di termini aventi la stessa parte letterale può essere scritta in modo abbreviato. Es: a + a + a = 0a 7x + x + x = 0x In un addizione i termini con la stessa parte letterale possono essere raggruppati. Es: a + b + b = a + b a + b a b + c = a b + c Esercizi di apprendimento Abbrevia le seguenti espressioni letterali. a + b + a + a + b =. a + a + a + b =. ab b ab =. 7mn + m n nm =. m + n m n + m 6. x x + y + x y = 7. 7c c c + c = 8. c + c 7c 7c = 76

77 V.. Moltiplicazione e divisione Per avvicinarci al problema calcoliamo l area di un rettangolo. n A=.. m Ora quella di un triangolo : A= Dato un parallelepipedo rettangolo di volume 0abc calcola l altezza V = 0abc A b =. h =. 77

78 Data una piramide a base quadrangolare con il lato di base di a e l altezza di b calcola il volume V =.. 78

79 V.. Combiniamo addizioni e moltiplicazioni Cerchiamo di calcolare l area del rettangolo ABCD Considerando ABCD come un rettangolo di base s + t Considerando ABCD come formato dai due rettangoli di base s e t: A=.. A =.. Deduciamo che s t h... Questa operazione viene chiamato proprietà distributiva Vale anche h s t... 79

80 Esercizi di apprendimento. a 7. a a. a. a a. b b 6. 7 x yx x 7. 8 y a y 80

81 V. Esercizi. Completa le seguenti uguaglianze a. x = x + b. x + + x = 6x c. y - = y d. b = b +. Trova il valore delle seguenti espressioni per x = e x = a. x + b. x c. x d. x e. 0 x f. x. Indica quali delle seguenti disuguaglianze sono vere e quali false. a. a + = 0 per a = b. a = 0 per a = c. b = per b = d. c = per c = e. d + 0 = per d = f. d 0 per d =. Sapendo che p = 0 e q =, calcola il valore di: a. b. c. d. p q q p p q 00 pq 8

82 . Scrivi la lunghezza dei segmenti a. b. 6. Calcola a. a a a b. 6 x x x c. t t t d. y y e. x x x f. d d d g. x x h. c c c i. x x x 7. Osserva le seguenti figure e calcola il loro perimetro e la loro area: 8

83 8. Calcola a. a 7b a b. x y x 6y c. 7 x x x d. 8 x y x y e. 6 a b a 8

84 VI VI. Le equazioni Introduzione Problema : Al doppio di un numero si aggiunge tre e si ottiene così. Qual è il numero? al doppio di si aggiunge e si un numero tre ottiene quindici x + = Il problema è tradotto nella forma : x + = Possiamo risolverlo usando i diagrammi di flusso che già conosciamo dall'anno scorso : x. + Quindi x =... il numero è... Problema : Di un trapezio sappiamo che l'area è 8 cm, che la base maggiore è lunga cm e che l'altezza è lunga 6 cm. Calcola la lunghezza della base minore. x cm 6 cm A = 8 cm b = x Si ha A b b h Quindi sostituendo si ha l'equazione 8 x 6 8

85 che si può risolvere con il diagramma : x Quindi b =... Attenzione : esistono delle equazioni che non è possibile risolvere con i diagrammi di flusso, per le quali dobbiamo dunque trovare un altro metodo di risoluzione. VI. Alcune precisazioni su.. equazione, incognita, membri, soluzione x + = è un ' equazione x + = membro membro x è l' incognita x = 6 è la soluzione Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni aritmetiche dove compare almeno un incognita. Immaginiamo ora che i membri dell'equazione rappresentino delle masse poste su due piatti di una bilancia. L'uguaglianza tra le due masse si traduce in una situazione di equilibrio della bilancia. Si tratta di determinare quali valori di x permettono questo equilibrio; questi valori si chiamano soluzioni dell'equazione. 8

86 x + È facile capire che l'equilibrio è mantenuto solo sostituendo la x ( incognita) con il numero 6. L'equazione x + = ha come soluzione x = 6. VI. Verifica delle soluzioni di una equazione La verifica di un equazione si fa sostituendo la soluzione al posto dell incognita ( tutte le volte che compare ) e verificando che l uguaglianza numerica che si ottiene è vera. Nell'equazione precedente?. 6 + = sì, quindi la soluzione è quella giusta 86

87 VI. Tecnica di risoluzione di un'equazione ad una incognita Risolvere un'equazione in cui compare una sola incognita vuol dire trovare quel valore ( o quei valori) che sostituiti all'incognita rendono vera l'uguaglianza. Generalmente cercheremo quei valori nell'insieme Q. VI.. Principio di addizione / sottrazione Partiamo da una situazione di equilibrio ( Kg = Kg + Kg) + aggiungiamo Kg sul piatto di destra aggiungiamo Kg sui due piatti cioè : cioè: Kg Kg + Kg + Kg Kg = Kg + Kg + Kg L'equilibrio non è più mantenuto L'equilibrio è mantenuto Sulla base delle precedenti osservazioni consideriamo l'equazione x - 7 = e consideriamo le seguenti situazioni : x - 7 Rappresentiamo l equazione con una bilancia in equilibrio... x aggiungiamo ad ambedue i piatti lo stesso "peso" 7, ottenendo... 87

88 x 8... che x " pesa" 8 Per l' analogia BILANCIA - EQUAZIONE si ha : Principio di addizione / sottrazione In un'equazione data se si addiziona ( o si sottrae) uno stesso valore ai due membri, si ottiene una nuova equazione ( detta equivalente alla prima ) che ha le stesse soluzioni di quella data. In pratica questo esempio viene utilizzato per isolare l'incognita in uno dei due membri dell'equazione Esempi di equazioni risolte utilizzando il principio di addizione /sottrazione a) risolviamo l'equazione x - = 8 x - = 8 x - + = 8 + aggiungiamo + ai due membri x = 8 + eseguiamo i calcoli x = otteniamo la soluzione 88

89 b) risolviamo l'equazione 0 = 7+ x 0 = 7 + x 0-7 = 7 + x = x = x c) risolviamo l'equazione x - = x - x - = x - x - - x = x - - x x - = - x - + = - + x = VI.. Principio di moltiplicazione /divisione Principio di moltiplicazione /divisione In un'equazione data se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri per uno stesso numero ( diverso da zero), si ottiene una equazione equivalente alla prima ( cioè che ha le stesse soluzioni di quella data) Applichiamo questo principio a qualche esempio, sempre tenendo presente che dobbiamo riuscire ad isolare l'incognita 89

90 esempio : risolviamo l'equazione x = x = x : = : divido per x =... e se invece di dividere per i due membri li moltiplichiamo per? x = x. =. moltiplico per x = cioè : dividere per equivale a moltiplicare per esempio : risolviamo l'equazione - x = - x = - x. ( -) =. ( - ) moltiplico per ( - ) x = - 90

91 esempio : risolviamo l'equazione x = x = x. =. x = 0 x : = 0 : x = 0 moltiplico per divido per esempio : risolviamo l'equazione x + = 7x - 8 x + = 7x - 8 x + - = 7x x = 7x - x - 7x = 7x - - 7x - x = - x = principio di moltiplicazione /divisione x. =. x = 9

92 VI. Esperienze con le bilance Consideriamo una bilancia a due piatti : essa è in equilibrio quando i pesi poggiati sui due piatti sono uguali : Se pesa come allora la bilancia sottostante è in equilibrio Lavorando con le bilance, vediamo ora di individuare due fondamentali principi, che ci permetteranno di risolvere qualsiasi equazione di primo grado in modo agevole e semplice. Prima esperienza: La bilancia è in equilibrio - Aggiungiamo a ciascun piatto della bilancia lo stesso peso È ancora in equilibrio la bilancia?... Seconda esperienza : Abbiamo una bilancia in equilibrio... togliamo ad ambedue i piatti lo stesso peso 9

93 La bilancia è ancora in equilibrio?... Prima conclusione : In una bilancia in equilibrio possiamo aggiungere o sottrarre ad ambedue i piatti la stessa quantità e la bilancia sarà ancora in equilibrio. Terza esperienza Una bilancia è in equilibrio... raddoppiamo il peso su ciascun piatto La bilancia è ancora in equilibrio?... Quarta esperienza : Una bilancia è in equilibrio...dimezziamo ( cioè dividiamo per ) il contenuto di ciascun piatto: La bilancia è in equilibrio?... 9

94 Seconda conclusione : In una bilancia in equilibrio possiamo raddoppiare, triplicare, ecc.. o dimezzare, dividere pere tre, ecc le quantità contenute in ambedue i piatti e la bilancia sarà ancora in equilibrio. x - x + = Rappresentiamo l equazione con una bilancia in equilibrio... x - - x x + - x =... togliamo ad ambedue i piatti lo stesso peso, x, ottenendo... x - =... poi ancora... x =... aggiungiamo ad ambedue i piatti lo stesso peso,, ed otteniamo... x =... che x pesa Possiamo affermare di aver risolto l equazione di partenza, ottenendo la soluzione x = 9

95 Consideriamo adesso l equazione x - 6 = x + 8 x - 6 x + 8 = Rappresentiamo l equazione con una bilancia in equilibrio... x x x x =... togliamo ad ambedue i piatti lo stesso peso, x, ottenendo... x =... poi ancora... x = x =... aggiungiamo ad ambedue i piatti lo stesso peso, 6, ottenendo poi ancora... ( x ) : : =... dimezziamo (cioè dividiamo il peso per ) il contenuto di ambedue i piatti, trovando che... x 7... che x pesa 7 = Possiamo affermare di aver risolto l equazione di partenza, ottenendo la soluzione x = 7 9

96 VII Le Piramidi 96

97 VII. Volume e area di una piramide 97

98 VII. Il teorema di Pitagora nelle piramidi 98