1 Derivata di una funzione reale di variabile reale (versione

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1 File scaricato da Derivata di una funzione reale di variabile reale (versione beta). Definizione di derivata Sia f () una funzione reale di variabile reale definita in X R. Senza perdita di generalità, supponiamo che X sia un intervallo. Assegnato 0 X: f () f ( 0 ) () La () è una funzione di (, 0 ) e si chiama incremento della funzione f () relativo al punto 0. Si consideri ora il rapporto: f () f ( 0 ) 0 () La grandezza () è una funzione di definita in X { 0 } ed è nota come rapporto incrementale di f () relativo al punto 0 e all incremento 0 della variabile indipendente. Il punto 0 è manifestamente punto di accumulazione per l insieme di definizione della funzione () per cui ci proponiamo il calcolo del limite: f () f ( 0 ) lim (3) 0 0 Se la funzione è continua in 0 il limite (3) si presenta nella forma indeterminata: f () f ( 0 ) lim = , (4) Possono presentarsi tre casi distinti relativamente al comportamento del rapporto incrementale (). Precisamente, tale rapporto può essere:. convergente;. divergente; 3. non regolare. Nel primo caso diremo che la funzione f () è derivabile nel punto 0, e il limite (3) si chiama derivata della funzione f () nel punto 0 e si indica con uno dei seguenti simboli: f ( 0 ), Df () =0, donde scriviamo: f () f ( 0 ) lim = f ( 0 ) (5) 0 0 Nel caso diremo che la funzione f () ha derivata infinita in 0. Più precisamente, se il rapporto incrementale diverge positivamente: f ( 0 ) = + (6)

2 Se invece diverge negativamente: f ( 0 ) = (7) Esempio Determinare la derivata di f () = nel punto 0 =. Soluzione Abbiamo: Sussiste la seguente f 4 () = lim = lim (+) = 4 (8) Proposizione 3 (f () è derivabile in 0 ) = (f () è continua in 0 ) *** Dimostrazione. lim [f () f ( 0 )] = lim 0 Si osservi che tale proposizione non è invertibile, cioè: 0 [ f() f(0 ) ] 0 ( 0 ) = f ( 0 ) 0 = f ( 0 ) <+ 0 (f () è continua in 0 ) (f () è derivabile in 0 ) (9) In altri termini, la continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità. Per contro, la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità. La (9) può essere provata attraverso degli esempi di funzioni continue in un punto ma non ivi derivabili. Esempio 4 La funzione: è continua in 0 = 0, ma non è ivi derivabile. Determiniamo il rapporto incrementale: f () =, f () f ( 0 ) 0 = Tale rapporto è non regolare in 0 : lim 0 + donde la funzione non è derivabile in 0. Osservazione 5 = +, lim 0 =, (0) (f () ha derivata infinita in 0 ) (f () è continua in 0 ) ()

3 Esempio 6 Si consideri la funzione segno di : f () = sign = {, 0 0, = 0 () La () non è continua in 0 = 0. Determiniamo in tale punto il rapporto incrementale: f () f ( 0 ) 0 = 0 + = f ( 0 ) = + Si conclude che la funzione sign ha derivata infinita in 0 = 0 e non è ivi continua. Se eseguiamo il cambio di variabile: il rapporto incrementale () si scrive: *** ξ = 0, (3) La derivata: f ( 0 +ξ) f (ξ) ξ (4) f ( 0 ) = lim ξ 0 f ( 0 +ξ) f (ξ) ξ ξ = 0 è l incremento della variabile indipendente che spesso viene indicato con: (5) (6) La notazione simbolica (6) si generalizza a qualsiasi grandezza, poiché denota una differenza. Ad esempio, nel caso della funzione f (), scriviamo: Nella (7) 0 è una variabile muta, per cui: f ( 0 + ) f ( 0 ) = f (7) Il rapporto incrementale La derivata: f (+ ) f () = f f (8) f f () = lim (9) 0 Se la funzione f () è derivabile per ogni X X, risulta definita in X una nuova funzione f () che chiameremo derivata prima della funzione f (). È spesso utilizzato il simbolo: 3

4 Scriviamo: Df () (0) Df () = f () () La () definisce l operatore di derivazione D. Si tratta di un operatore lineare che applicato ad una qualunque funzione derivabile ci fa passare alla sua derivata. L operatore D agisce anche sulla derivata di f (), dando origine alla derivata della derivata, denominata derivata seconda della funzione f () e si indica con uno dei simboli: f (), D f () () Con tale definizione, la derivata f () è nota come derivata prima della funzione f (). Il secondo dei simboli () si giustifica osservando che la derivata seconda è il risultato dell applicazione dell operatore D sulla derivata prima: Df () = D(Df ()) = D (f ()) (3) Il processo di applicazione dell operatore di derivazione può essere iterato, per cui definiamo la derivata di ordine n della funzione f () il risultato dell applicazione dell operatore D n sulla funzione f (): f (n) () = D(D...D(f ())) } {{ } n volte = D n f () (4) *** Abbiamovistocheilrapportoincrementalerelativoallafunzionef () = nelpunto 0 = 0 è non regolare. Più precisamente, è regolare a sinistra e a destra [eq. (0)]. In casi come questi, si dice che la funzione è derivabile a sinistra e a destra: f () f ( 0 ) lim 0 0 = f ( f () f ( 0 ) 0 ), lim = f + +( 0 ) (5) 0 0 f ( 0 ), f +( 0 ) si chiamano derivata sinistra e derivata destra della funzione f () nel punto 0.. Interpretazione geometrica della derivata Sia f () una funzione definita nell intervallo [a,b]. Supponiamo che la funzione sia ivi continua. Assegnato il riferimento monometrico ortogonale R(Oy), indichiamo con Γ il diagramma cartesiano della funzione. Preso ad arbitrio [a,b] { 0 }, consideriamo i punti P 0 ( 0,f ( 0 )),P (,f ()) Γ (vedere fig. ). Affronteremo in un prossima sezione il significato di tale locuzione. Da un punto di vista formale la funzione f () è la derivata di ordine zero. 4

5 y GLy=fHL fhl PH,fHLL s t fh 0 L P 0 H 0,fH 0 LL 0 Q Figura : Diagramma cartesiano della funzione f (). Senza perdita di generalità abbiamo considerato > 0,f () > f ( 0 ). Ciò premesso, sia s la retta passante per i punti P 0,P, orientata nel verso delle ascisse crescenti. Chiamiamo s retta secante al diagramma per i punti P 0,P. La sua equazione è: Qui m è il coefficiente angolare di s. Dalla Geometria: y = f ( 0 )+m( 0 ) (6) m = tanθ(), (7) essendo θ() al misura in radianti dell angolo che la retta s forma con l asse ; θ() è una funzione definita in [a,b] { 0 }; inoltre: θ() < π (8) Dalla figura : Cioè: tanθ() = QP QP 0 = f () f ( 0) 0 (9) ( ) f () f (0 ) θ() = arctan 0 Per quanto detto, la funzione θ() è definita in [a,b] { 0 }, e supponendo che sia regolare in 0, poniamo: (30) Per la (8): limθ() = θ 0 (3) 0 θ 0 π (3) 5

6 Dalla definizione di θ() segue che il limite θ 0 individua una particolare retta t (fig. ). Poniamo: θ = θ() θ 0 (33) La (33) è l incremento della funzione θ() relativo all incremento 0 della variabile indipendente. Da un punto di vista geometrico θ è la misura in radianti dell angolo tra le rette t,s. SeilpuntoP tendeap 0, seguechetendea 0, larettas ruotaattornoap 0 persovrapporsi alla retta t. Pertanto: Definizione 7 La retta t è la posizione limite della retta secante s alla curva Γ al tendere di P e P 0. Quindi t è la retta tangente a Γ nel punto P 0. Dalle equazioni (30)-(3): [ ] f () f ( 0 ) θ 0 = arctan lim 0 0 Consideriamo il caso particolare in cui la retta t non è parallela all asse y ( θ 0 < π/). Abbiamo: θ 0 < π f () f ( 0 ) lim 0 0 < +, In altri termini, la retta tangente a Γ nel punto P 0 ( 0,f ( 0 )) esiste e non si dispone parallelamente all asse y, se e solo se la funzione è derivabile in 0. In simboli: Inoltre: (34) θ 0 < π f ( 0 ) < + (35) θ 0 = arctanf ( 0 ) f ( 0 ) = tanθ 0 (36) Conclusione 8 La derivata della funzione f () nel punto 0 è il coefficiente angolare m 0 della retta tangente alla curva Γ)y = f (). L equazione della suddetta retta tangente è: y = f ( 0 )+f ( 0 )( 0 ) (37) *** Nel caso speciale in cui f ( 0 ) = 0, la retta tangente è parallela all asse (figura 7). A titolo di esempio consideriamo la funzione f () = 3. Poniamo 0 =, = 4, per cui: Troviamo per tale coppia di punti: P 0 ( 0 =,f ( 0 ) = 8) P ( = 4,f () = 64) 6

7 La retta secante ha equazione: f = 56; = s ) y = 48+8 y P 40 0 Df P 0 D Se immaginiamo di diminuire l incremento della variabile indipendente, la retta secante s ruota intorno al punto P 0 come risulta dalle figure, 3, 4, 5. y Figura : Nella tabella seguente sono riportati i valori numerici del rapporto incrementale f al diminuire dell incremento della variabile indipendente. 7

8 y Figura 3: y Figura 4: y Figura 5: 8

9 f Osservazione 9 La definizione di retta tangente conseguente dalla definizione di derivata è più rigorosa di quella offerta dal senso comune, secondo cui una retta tangente interseca una curva in un sol punto. Come controesempio per quest ultima definizione, si consideri la funzione f () = sin. La retta di equazione y = è tangente alla curva y = sin. Orbene, tale retta interseca in infiniti punti il grafico di sin (fig. 6). y Figura 6: Grafico di f () = sin e della retta y =, quale retta tangente a y = f () nei punti P k ( k = π +kπ,) con k Z. *** Se invece la funzione ha in 0 derivata infinita, la retta tangente è verticale, orientata verso l alto [f ( 0 ) = + ] o verso il basso [f ( 0 ) = ] (figg. 8-9). La sua equazione è = 0. Infatti: f ( 0 ) = + = θ 0 = + π f ( 0 ) = = θ 0 = π 9

10 fh 0 L y P 0 H 0,fH 0 LL t fhl PH,fHL s 0 Figura 7: Diagramma cartesiano di una funzione con derivata nulla nel punto 0. y fh 0 L 0 Figura 8: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) = + y fh 0 L 0 Figura 9: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) = 0

11 fh 0 L y P 0 H 0,fH 0 L 0 Figura 0: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) f + ( 0 ). Precisamente: f ± ( 0 ) < +, 0 < f ( 0 ) < f + ( 0 ) In entrambi i casi, la retta tangente attraversa il diagramma della funzione. Il punto P 0 ( 0,f ( 0 )) è un punto di flesso a tangente verticale. *** In entrambi i casi: f ( 0 ) < +, f ( 0 ) = +, il diagramma cartesiano della funzione f () è comunque dotato di retta tangente nel punto P 0 ( 0,f ( 0 )). Esaminiamo ora i casi in cui esso ne è privo. Ad esempio, supponiamo che: f ( 0 ) f +( 0 ) con f ±( 0 ) < + In altri termini, la funzione non è derivabile in 0, ma è derivabile a sinistra e a destra. Preso ad arbitrio P (,f ()), è facile rendersi conto che se P tende a P 0, la corrispondente retta secante s tende a due rette distinte: t se 0, t + se + 0. Da ciò segue che il diagramma cartesiano è: essendo: Γ = Γ Γ, (38) Γ )y = f (), < 0 Γ )y = f (), > 0 Gli archi di curva Γ e Γ si raccordano nel punto P 0 in forza della continuità della funzione f () (fig: 0) Perquantovisto, nonesistelarettatangenteaγnelpuntop 0. Peraltro, èpossibiledefinirela semirettatangentesinistrat elasemirettatangentedestrat +. Inoltre, t et + siintersecano sotto un angolo la cui tangente trigonometrica è in valore assoluto f ( 0 ) f +( 0 ) > 0. Tale circostanza suggerisce di denominare P 0, punto angoloso del luogo geometrico Γ.

12 Esempio 0 Provare che il grafico della funzione f () = ln (39) ha un punto angoloso in P 0 (,0) Soluzione Esplicitiamo il valore assoluto: f () = { ln, (,+ ) ln, (0,] (40) Le derivate: f +() = lim + ln = 0 0 f () = lim ln = 0 0 Abbiamo una semiretta tangente a destra di equazione: y = H = lim + = + H = lim = e a sinistra: Il grafico è riportato in figura y = + Esempio Si consideri la funzione f () = + +ep(/), 0 (4) f () =, = 0 Provare che P 0 (0,) è un punto angoloso della curva Γ)y = f (). Soluzione 3 Iniziamo col verificare la continutà della funzione (4) nel punto 0 = 0. Abbiamo: lim 0 +f () = (+ ) = +0+ = + 0 lim 0 f () = + +( ) = +0 =, donde: lim f () = f (0) = ( f () è continua in 0 = 0) 0 La derivata sinistra in 0 : f (0) = lim 0 f () f (0) f +(0) = lim 0 + f () f (0) = lim 0 +ep(/) = +( ) = = lim 0 + +ep(/) = +(+ ) = + = 0+,

13 y =.5 - Figura : Diagramma cartesiano di f () = ln.5 y Figura : Diagramma cartesiano della funzione la cui espressione analitica è data dall equazione (4) 3

14 3 y 3 Figura 3: Diagramma cartesiano della funzione la cui espressione analitica è data dall equazione (4) donde l asserto. Scriviamo le equazioni delle due rette tangenti. Il grafico è in figura y = semiretta tangente a destra y = + semiretta tangente a sinistra Esercizio 4 Studiare la derivabilità della funzione: f () = []+ [], [0,+ ) (4) Esempio 5 Esercizio 6 Per la proprietà di [], abbiamo: da cui il grafico Γ della funzione: (0,) = f () = (,) = f () = + + (,3) = f () = (n,n+) = f () = n+ +n... Γ = lim n + k= n Γ k, essendo Γ k la curva di equazione y = k + k e di estremi P k (k,k), Q k (k +,k +) (vedere figura 3). 4

15 La funzione è manifestamente continua, ci aspettiamo una discontinuità della derivata nei punti di ascissa intera. Infatti, iniziamo col determinare la derivata sinistra: f (n) f () f (n) = lim n n n + (n ) n = lim n n ( n)+ = lim = 0 n n 0 [ ] ( n)+ ( n)++ = lim n n ( n)++ = lim n ( n)++ = (43) La derivata destra: f +(n) f () f (n) = lim n + n n+ n n = lim n + n = lim = + n + n (44) Quindi la semitangente a sinistra nei punti P n (n,n), è: y = n+ ( n), mentre la semitangente a destra nei medesimi punti ha equazione: = n Per i particolari grafici vedere le figure (4)-(5) Esercizio 7 Studiare la derivabilità della funzione: f () = [] [], [0,+ ) (45) Soluzione 8 Grafichiamo la funzione. A tale scopo si osservi che (0,) = f () = (,) = f () = (,3) = f () =... (n,n+) = f () = n n..., 5

16 7 y Figura 4: Diagramma cartesiano della funzione f () = []+ [] nell intervallo [5,7]. 8 y Figura 5: Diagramma cartesiano della funzione f () = [] + []. La funzione è ovunque continua, mentre la derivata prima è discontinua nei punti di ascissa intera. 6

17 y Figura 6: Diagramma cartesiano della funzione la cui espressione analitica è data dall equazione (45) donde il grafico di f () è: Γ = lim n + k= n Γ k, essendo Γ k la curva di equazione y = k k di estremi P k (k,k), Q k (k +,k ) (vedere figura 6). Da ciò vediamo che la funzione ha una discontinuità di prima specie in n = n. Per dimostrare scriviamo l espressione analitica della f () a destra e a sinistra per ogni n: f () = n (n ), (n,n) f () = n n, (n,n+) Quindi: f ( n ) [ = lim n f () = lim n ] (n ) = n n f ( n +) [ ] = lim n +f () = lim n n = n, n perciò n = n è un punto di discontinuità di prima specie; il salto di discontinuità è s(n) = +. La funzione non è derivabile in n = n, in quanto non è possibile determinare il valore assunto in tali punti, possiamo però determinare la derivata a destra e a sinistra 7

18 y Figura 7: Diagramma cartesiano di f () = [] [] nell intervallo [5,7]. rispettivamente. f (n) n (n ) (n ) = lim n [ n ] (n ) = lim + (n ) n n + (n ) = lim + (n ) = ; n n n f +(n) n = lim n + n = lim = n + n (46) Dalle (46) vediamo che in ogni punto n la derivata sinistra è /, la derivata destra è. Per l interpretazione geometrica vedere la figura 7. I due casi precedenti si specializzano quando entrambe le derivate sono infinite e di segno opposto. Il grafico della funzione si decompone ancora attraverso la (38) e l angolo tra le due semirette tangenti è in valore assoluto pari a π. Il punto P 0 è chiamato cuspide della curva Γ. *** Se il rapporto incrementale non è regolare a sinistra o a destra (o entrambi), significa che intorno a 0 compie infinite oscillazioni che non si smorzano. Esempio 9 Sia: f () = { sin, 0 0, = 0 Il rapporto incrementale della (47) relativo al punto 0 = 0, è: (47) f () f ( 0 ) 0 = sin 8

19 y fh 0 L 0 Figura 8: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) = +. f + ( 0 ) =. y fh 0 L 0 Figura 9: Diagramma cartesiano di una funzione con f ( 0 ) =. f + ( 0 ) = +. 9

20 Come è noto, la funzione sin( ) non è regolare in 0 = 0. Quindi il grafico della funzione (47) è privo di retta tangente nell origine. Esercizio 0 Provare che il grafico della funzione: ( ) f () = arctan, 0 (48) f () = 0, = 0 ha un punto angolo nell origine. Scrivere quindi le equazioni delle due semirette tangenti. Soluzione Iniziamo col verificare la continuità di f () in 0 = 0. Risulta: lim 0 +f () = lim +0 π 0 = 0 lim 0 f () = lim 0 ( π 0 ) = 0, donde la continuità in 0. Possiamo quindi determinare le derivate: ( ) f +(0) f () f (0) = lim = lim arctan = + π ( ) f (0) f () f (0) = lim = lim arctan = π, donde l asserto. Le equazioni richieste sono: Il grafico è in figura 0.3 Differenziale y = π, semiretta tangente a destra y = π, semiretta tangente a sinistra Sia f () una funzione definita nell intervallo (a,b). Se la funzione è derivabile in 0 (a,b): Nella (49) è: f ( 0 ) = lim 0 f (49) f = f ( 0 + ) f ( 0 ), (50) che per un assegnato 0 è una funzione di. In tal modo f ( ) è un infinitesimo nel limite 0. Precisamente: un infinitesimo di ordine superiore a, se f ( 0 ) = 0, dello stesso ordine, se f ( 0 ) 0. Inoltre, dalla teoria degli infinitesimi sappiamo che la funzione lineare di : p ( ) = f ( 0 ), (5) 0

21 y Figura 0: Diagramma cartesiano della funzione data dall equazione (48) è la parte principale dell infinitesimo f. La differenza: f ( ) = f f ( 0 ), (5) è un infinitesimo di ordine superiore a. Quindi l incremento della funzione f () si decompone: f = f ( 0 ) + f } {{ } ( ) } {{ } p.p infinit. sup. (53) Definizione La parte principale p ( ) dell infinitesimo f, è il differenziale della funzione f () nel punto 0 e si indica con df: L arbitrarietà del punto 0 implica: df def = f ( 0 ) f = f (+ ) f () (54) df = f () Osservazione 3 Se f () =, la seconda delle (54) si scrive: d = In altri termini, il differenziale della variabile indipendente coincide con il suo incremento. Quindi la seconda delle (54) diventa per qualunque funzione f () derivabile: df = f ()d (55)

22 y fh+dl M t P fhl +D Utilizzando la notazione di Landau 3, la (53) si scrive: Per quanto detto: Applicando la definizione di limite: f = df +o(d) (56) o( ) lim 0 = 0 ε > 0, δ ε > 0 : 0 < < δ ε = o( ) < ε In altri termini, intorno al punto = 0 è definitivamente o( ) < ε, per ogni ε > 0. Tale circostanza ci permette di trascurare nella (56) il termine di ordine superiore o( ) in un intorno sufficientemente piccolo di = 0. Abbiamo perciò l uguaglianza approssimata: f = df, (57) valida per < δ ε. Nel limite di validità della (57), l incremento f della funzione f () risulta essere una funzione lineare dell incremento della variabile indipendente. Tale approssimazione è perciò nota come linearizzazione della funzione f () ed ha un interpretazione geometrica immediata. Indichiamo (figura.3) con M un generico punto della retta tangente nelle immediate vicinanze del punto P (, f ()). Il differenziale df si indentifica con y M f () quando l ascissa di M assume il valore +. 3 Se g() è un infinitesimo di ordine superiore a h(), si scrive: g = o(h). Se invece è dello stesso ordine: g = O(h).

23 .4 Regole di derivazione Sia f () una funzione derivabile in X R. Dalla (55): f () = df (58) d Tale equazione esprime la derivata prima utilizzando la cosiddetta notazione differenziale. Tenendo poi conto che y = f (), si scrive: Alternativamente: f () = dy d (59) f () = d f () (60) d La (60) definisce l operatore di derivazione, già introdotto in una sezione precedente: Abbiamo: D = d d (6) Df () = f () (6) D è un operatore, quindi il significato della (63) è: il risultato dell applicazione dell operatore D è la funzione f (). Nell ipotesiincuiladerivataf ()siaasuavoltaunafunzionederivabileinx (senzaperdita di generalità), è possibile definire la derivata di f () ovvero la derivata seconda di f (): D(f ()) = f () (63) Tenendo conto delle equazioni (3)-(4), è possibile definire l operazione di derivazione n- esima: D n f () = f (n) () (64) Evidentemente: D n = dn d n (65) Definizione 4 La funzione f () è indefinitamente derivabile in X se n N, f (n) (). L operatore (63) è lineare: *** Se f () e g() sono due funzioni derivabili in X: D(f ()+g()) = Df ()+Dg() (66) 3

24 Per ogni λ R: D(λf ()) = λd(f ()) (67) *** Applicando la definizione di derivata, si dimostrano le seguenti regole di derivazione: Derivata del prodotto 4. D(f ()g()) = f ()g()+f ()g () (68) Derivata del rapporto. D f () g() = f ()g() f ()g () [g()] (69) Derivata della reciproca. Ponendo f () = nella (69): D g() = g () [g()], o ciò che è lo stesso: Derivata della funzione composta. D f () = f () [f ()] (70) Se = (t), allora f ((t)). Applicando la definizione di derivata, è facile convincersi che: d df () d f ((t)) = (7) dt d dt *** Applicando la definizione di derivata è possibile determinare le derivate delle principali funzioni lineari. Riportiamo di seguito tali derivate: d d n = n n d d e = e d d =, ( > 0) d ln =, ( > 0) d d d sin = cos log d d a = = log a e, ( > 0,a > 0) lna d d cos = sin sinh = cosh d d d tan = d cosh = sinh d cos d d cot = d tanh = d sin d cosh d arcsin = d d, ( < ) coth = d sinh d arccos = d d, ( < ) Arcsinh = d + d arctan = d Arccosh = d + d, ( > ) d arccot = d Arctanh =, ( < ) d + d d d a = a d ln Arccoth =, ( > ) d 4 In tal senso la (66) esprime la regola di derivazione della somma due funzioni, immediatamente generalizzabile a n funzioni. 4

25 .5 Esercizi proposti.5. Introduzione. Determinare la velocità media di variazione della funzione f () = 4 nell intervallo [a,b]. Si consideri a =, b = 4.. L equazione oraria del moto di una particella è s(t) = t +3t+5, essendo t il tempo espresso in secondi, e s l ascissa curvilinea espressa in centimetri. Determinare la velocità media nell intervallo di tempo [t,t ] con t = s, t = 5s. 3. Determinare in = il rapporto incrementale della funzione f () =. Graficare il rapporto così ottenuto su carta millimetrata. 4. Sia T (t) la temperatura istantanea di un corpo in un ambiente a temperatura più in bassa. Dare la definizione di: ) velocità media di raffredamento; ) velocità istantanea di raffredamento. 5. Si modellizzi una barra non omogenea attraverso un segmento di lunghezza L. Introducendo un riferimento cartesiano della retta contenente tale segmento, risulta che la massa della barra è una funzione m() con [0,L]. Determinare: ) l espressione della densità lineare media nell intervallo [, + ]; ) l espressione della densità lineare in [0,L]. 6. Assegnata la funzione f () = ( ) ( ) 3 e i punti = 0, =, 3 =, determinare (applicando le regole di derivazione) f ( ),f ( ),f ( 3 ). 7. Sia f () = 3. Come è noto, tale funzione è definita in R. Determinare in punti R : f () = f (). 8. Una particella si muove con equazione oraria s(t) = e t, essendo t il tempo espresso in s, e s l ascissa curvilinea espressa in cm. Determinare: a) la velocità della particella a t = 3s; b) l ascissa s(t) dopo un tempo infinitamente lungo. 9. Scrivere l equazione della retta tangente alla curva y = sin nel punto (π,0). 0. Assegnate le due funzioni: f () =, f () = scrivere le equazioni delle rette tangenti alle curve Γ )y = f (), Γ )y = f () nel punto P 0 = Γ Γ. Determinare poi la misura in gradi dell angolo tra le suddette tangenti..5. Differenziale. Assegnata la funzione: f () = 3 Determinare il differenziale di f nonché l incremento f per =, = 0. 5

26 . Indicando con la misura del lato di un quadrato, la sua superficie sarà data da: S() = Determinare il differenziale e l incremento della funzione S() dandone un interpretazione geometrica, determinando poi gli eventuali valori di per i quali nel limite per 0, l incremento S non è equivalente al differenziale ds. 3. Si dimostri che nel limite per 0: (7) 4. Un resistore R è attraversato da una corrente di intensità I. Determinare approssimativamente la variazione dell intensità di corrente causata da fluttuazioni di R..5.3 Derivazione di funzioni algebriche. f () = a +b+c. f () = f () = 53 a 4. f (t) = at m +bt m+n 5. s(t) = (t 3) 4 6. f () = f () = f () = f () = ( 5) 6 0. f () = (3 3 +) 4. f () = (3+4 ) /. f () = f () = π +ln 4. f () = / +6 /3 3/ 5. f () = / + 6 /3 3/ 4 3/4 6. f () = 3 /3 5/ + 3 6

27 7. f () = 3 / 3/ + / 8. f () = f () = p n m 0. f () = 3. f () = n m. f () = a 3 b 3 3. f () = p n m 4. f () = f () = f () = + 7. f () = f () = ( +4)( ) 3 9. f () = f () = a+b a +b 3. f () = f () = 33. f () = a6 +b a +b 34. f () = ( ) f () = 36. f () = f () = ( ) f () = f () = f () = + 4. f () = ( +3) 4 ( 3 5) 3 4. f () = + 3 ( 43. f () = ) 4 7

28 y fh 0 L P 0 n T S S S N Figura : Diagramma cartesiano della funzione f () Applicazioni geometriche Definizioni Sia f () una funzione definita nell intervallo [a, b]. Supponiamo che la funzione sia ivi derivabile. Assegnato il riferimento monometrico ortogonale R(0y), indichiamo con Γ il diagramma cartesiano della funzione. Preso ad arbitrio 0 [a,b], consideriamo il punto P 0 ( 0,f ( 0 )) Γ. Quindi tracciamo la retta tangente e la retta normale a Γ in P 0 (vedere fig. ). Le equazioni delle suddette rette sono: Ciò premesso, abbiamo la seguente Definizione 5 S t = TS = lunghezza della sottotangente S n = SN = lunghezza della sottonormale n = P 0 N = lunghezza della normale. Risulta: y = f ( 0 )+f ( 0 )( 0 ) (73) y = f ( 0 ) f ( 0 ) ( 0) P 0 S = f ( 0 ) P 0 S TS = f ( 0 ), donde le lunghezze sopra definite si esprimono in funzione di f ( 0 ) e di f ( 0 ): S t = f ( 0 ) f ( 0 ) (74) S n = f ( 0 )f ( 0 ) n = f ( 0 ) +f ( 0 ) 8

29 ***. Assegnata l equazione: y +y = 7, (75) esplicitare la variabile y, ottenendo l espressione analitica di due funzioni f (), f (). Determinare le coordinate dei punti in cui la retta tangente è: a) parallela all asse ; b) parallella all asse y.. Assegnata la curva Γ di equazione y = f () con: f () = 3 +4, scrivere le equazioni della retta tangente e della retta normale a Γ in P 0 ( 0 =,y 0 = 4) 3. Assegnata la curva di equazione: +3y +y = 5, (76) a) determinare i punti P nei quali la retta tangente è parallela all asse ; b) scrivere le equazioni della retta tangente e della retta normale in P 0 ( 0 =,y 0 = ). 4. Si consideri l ellisse Γ di equazione: 4 +9y = 40 (77) Scrivere le equazioni delle tangenti a Γ con coefficiente angolare m 0 = /9. 5. Scrivere l equazione della retta tangente tracciata dal punto P ( =,y = ) all iperbole Γ di equazione: y = 6 (78) 6. Assegnate le curve Γ ) y = f () e Γ ) y = f () con: f () = (79) f () = , scrivere le equazioni delle rette parallele all asse y passanti per i punti di Γ k tali che le rispettive tangenti sono parallele. 7. Assegnata la parabola: y = p, (80) dimostrare che l equazione della generica retta tangente è y = m+ p m, per m 0 9

30 8. Assegnata la curva y = f () con: f () = 5, (8) determinara la lunghezza della sottotangente, della sottonormale e della normale in P 0 ( 0,f ( 0 )) essendo 0 =. 9. Determinare l angolo acuto sotto cui si intersecano le due curve: Γ ) y = 4 Γ ) = 5y 0. Assegnate le curve Γ k )y = f k () con k =, e: f () = 3 + (8) f () = +, provarecheessehannounatangenteorizzantaleincomunenelpuntop ( = 0,y = ) e che nel punto P ( =,y = 0) Γ Γ le tangenti formano un angolo β = arctan Si consideri la curva di equazione y = Si determinino le coordinate cartesiane dei punti di tale curva in cui la retta tangente passa per l origine del riferimento cartesiano.. Assegnate le circonferenze: determinare l angolo acuto di interesezione..5.4 Soluzioni.5.4. Introduzione γ ) +y 4 = 0, γ ) +y = 8, (83). La velocità media di variazione è il rapporto incrementale: Per a =, b = 4: f (b) f (a) b a = b4 a 4 b a = ( b +a ) (b+a) f (b) f (a) b a = 85 (a,b)=(,4). La velocità media della particella è il rapporto incrementale della funzione s(t). Abbiamo: s = s(t ) s(t ) = 70 0 = 60 L incremento della variabile indipendente è t = t t = 4s, donde la velocità media: s t = 5cm s 30

31 H Df D L = D 3. L incremento della funzione è: f = + = ( ) Il rapporto incrementale: Nel punto = : il cui grafico è in figura 3. f = ( ) f = =, 4. La velocità media di raffredamento è il rapporto incrementale della funzione T (t): T t T (t+ t) T (t) =, t mentre la velocità istantanea di raffredamento è la derivata di T (t) che viene indicata con il simbolo T (t) 5. Quindi: T T (t) = lim t 0 t 5. La densità lineare media è il rapporto incrementale di m() relativo all incremento. Quindi, la sua espressione è: m La densità lineare è la derivata di m(): m ρ() = lim 0 (84) 5 Si legge T punto. È utilizzato il punto al posto dell apice ogni volta che la variabile indipendente è il tempo t. 3

32 Esprimendo m in g, e la lunghezza in cm, la densità (84) risulta essere espressa in g cm. Utilizzando la notazione differenziale: ρ() = dm d Quindi: dm = ρ()d (85) La(85) ha una semplice interpretazione fisica: ρ() d è la massa elementare contenuta nel segmento infinitesimo di estremi e +d. 6. Risulta: Quindi: 7. La derivata prima è: La richiesta è: f () = ( ) ( ) f (0) = 8, f () = f () = 0 f () = 3 f () = f () 3 = 3, le cui soluzioni sono: = 0 (molteplicità ) = 3 8. La velocità è: ṡ(t) = e t A t = t : La posizione della particella a t = + : ṡ = ṡ(t ) = e 3 s = lim s(t) = lim t + t + e t = 0 Da ciò segue che la particella si muove nel verso delle ascisse decrescenti impiegando un tempo infinito a raggiungere l origine delle coordinate. 9. La derivata è f () = cos, da cui m 0 =. Quindi l equazione della tangente: +y π = 0 Il grafico è in figura 9. 3

33 y p p 3p p Figura : Grafico di Γ)y = sin e della retta tangente a Γ in (π,0). 0. Determiniamo le coordinate del punto P 0 ( 0,y 0 ) = Γ Γ. = = Quindi è P 0 (,).Le derivate sono: f () =, f () = Da cui i coefficienti angolari delle rette tangenti: m =, m = Le misure in radianti degli angoli tra l asse e le singole tangenti (t, t ): θ = π 4, θ = arctan La misura in radianti dell angolo tra t e t : θ = θ θ = arctan+ π 4 In gradi: θ = Il grafico è in figura 0. 33

34 y Differenziale. Risulta: f = f (+ ) f () = [ 3(+ ) (+ ) ] ( 3 ) Quindi lo sviluppo di f nelle potenze di è f = (6 ) +3( ) donde: df = (6 ) Per =, = 0 : Il grafico è in figura 3. df = 5 0, f = L incremento di S() è: S = S(+ ) S() = (+ ), Quindi lo sviluppo di S nelle potenze di è S = () +( ) (86) Il differenziale: ds = L interpretazione geometrica è in 4. Dalla (86) segue che per = 0, è: S = ( ) Quindi per = 0 la funzione S() non è linearizzabile. 34

35 y.5.5 P t Figura 3: Grafico di f () = 3, con retta tangente nel punto P ( =,y = f ()). Figura 4: Il rettangolo azzurro ha lato di misura, quindi superficie S() =. Se la variabile indipendente varia da a +, la superficie varia di S = +( ). La grandezza è la somma delle superfici in grigio, mentre l infinitesimo di ordine superiore ( ) è la misura della superficie del rettangolino verde. 35

36 3. Iniziamo con la prima delle (7), ponendo: f () =, il cui differenziale è: df =, donde: f per 0 cioè la prima delle (7). Per la seconda, poniamo: g() = 3, il cui differenziale è: donde: dg = 3 3, g 3 3 cioè la seconda delle (7). 4. Per la legge di Ohm: I = V R, (87) essendo V la differenza di potenziale ai capi di R. Abbiamo: di = V R dr = IdR R, donde nel limite per R 0: I I R R Derivazione di funzioni algebriche. f () = a+b. f () = = 5( ) 3. f () = 5 a 4. f () = amt m +(m+n)bt (m+n) = t m [am+b(m+n)t n ] 5. ṡ(t) = 4(t 3) 3 t = 8t(t 3) 3 36

37 6. f () = f () = f () = f () = 6( 5) 4 ( 5) = 30( 5) 4 0. f () = 4(3 3 +) 3 (3 3 ) = ( )(3 3 +) 3. f () = (3+4 ) / (4 ) = 3+4. f () = f () = π 4. f () = / + /3 3 / 5. f () = / +6 /3 3/ 4 3/4 ; f () = 3/ 4/3 +3 5/ +3 7/4 = 3/ 4/ / + 3 7/4 6. f () = /3 5 3/ f () = 3 / 3 / 3/ 8. f () = 3 /3 /3 5 / f () = 3 /3 3 /3 = f () = p+m n; f () = ( p+ m n) p+ m n = ( p+ m n 0. (p =,n = 3,m = ) = f () = ) p m/n = np+m n p n m. f () = m/n = f () = m n m n = m n m+n n = m n n m. f () = a b f () = ( ) p+ m n (p+ m n) = np+m n p+ n m 4. f () = 3 3/ = 3 3/ 5. f () = 3/ 4/3 = 3/( + /6) = +/6 3/ 6. f () = + = + 7. f () = f () = ( ) (3+8 ) 37

38 9. f () = (3+) (3 ) (3+) = (3+) 30. f () = b(a +b ) b (a+b) (a +b ) = a b ab (a +b ) 3. f () = ( 5+5) ( 5)(+3) ( 5+5 ) = +6 5 ( 5+5 ) 3. f () = 4 ( ) f () = 6a5 a +b 34. f () = 5 ( ) 4 = 54 + (+) (+) f () = 4 + ( ) = (8 5) 36. f () = 3 + ( 4) 3 = f () = ++( ) = f () = + = 4 (+ ) ( ) f () = 4 ( 8) 4 = 4 ( 4 ) 3/ 40. f () = + 4. f () = ( +3) 3 ( 3 5) ( ) 4. f () = (3 )+( +) (3 ) ( 43. f () = = 0 (3 ) ) 3 3 ( 3 +) 6 ( 3 ) ( 3 +) = 36 ( 3 +) Applicazioni geometriche. Scriviamo la (75) nella forma: ( ) y y + 7 = 0, che risolta rispetto a y: y = [± 08 3 ] 38

39 y 6 G G -6 Figura 5: Grafico di Γ k ) y = f k (). Abbiamo perciò le due funzioni: f () = [+ ] 08 3 f () = [ ] 08 3 (88) entrambe definite in X = [ 6,6]. Indichiamo con Γ k ) y = f k () i grafici di singola funzione. Le dervate sono: f () = [ ] 3 (89) 08 3 f () = [ ] La derivata f () si annulla in = +3, pertanto la retta tangente a Γ è ivi parallela all asse. La derivata f () si annulla in = 3, pertanto la retta tangente a Γ è ivi parallela all asse Dalle (89) vediamo che per 6, f k () + ; quindi nei punti = +6, = 6 la retta tangente è parallela all asse y. Il grafico è in figura.. La derivata della funzione f () è: f () = 3 4, che in 0 = assume il valore f ( 0 ) = 4, per cui il coefficiente angolare della retta tangente t a Γ nel punto P 0 è m 0 = 4. Il coefficiente angolare della retta normale nel medesimo punto è: m 0 = m 0 = 4, 39

40 5 y 4.5 fh 0 L P Figura 6: Grafico di Γ) y = 3 +4 e delle rette t,n. da cui le equazioni delle rette t e n: t) 4 y 4 = 0 n) +4y 8 = 0 Il grafico è in figura Esplicitando la variabile y nella (76): Γ k )y = f k (), k =, essendo f () = [ 3+ ] 5( +4) f () = [ 3 ] 5( +4) le derivate: f k() = [ 3± ] 5 5( +4) Risulta: R : f k() = 0, 40

41 per cui: P Γ k : la tangente a Γ k in P è parallela all asse Le equazioni richieste: t ) y = n ) y = t ) y = 4+ ( + n ) y = 4 ( ) ) 3 ( ) La (77) è equivalente a: a + y =, (90) b essendoa = 0, b = 3 0, ilsemiassemaggioreeilsemiasseminore, rispettivamente. Per scrivere le equazioni richieste, differenziamo rispetto a, primo e secondo membro della (90): y ad+ bdy = 0, da cui: dy d = 4 9y Indichiamo con ( 0,y 0 ) il punto di Γ in cui la retta tangente ha coefficiente angolare m 0 = /9. Deve essere: ( ) dy = 4 0 = d = 0 9y 0 9 Otteniamo quindi: Inoltre: Le (9)-(9) compongono il sistema: Le soluzioni di (93) sono: y 0 0 = 0 (9) ( 0,y 0 ) Γ = 0 a + y 0 b = 0 = 0 (9) 0 y 0 = 0 (93) 0 +0 = ( 0,y 0 ) = (,) (94) ( 0,y 0) = (, ) 4

42 y 0 = 3 y -3-0 =- 0 = 3 - y 0 =- -3 Figura 7: Grafico di Γ) 4 +9y = 40 e delle rette t ±. Le equazioni delle tangenti a Γ per i punti (93) sono: t ± ) y = (95) Il grafico è in figura Differenziamo rispetto a primo e secondo membro della (78): d ydy = 0, donde: dy d = y Se m 0 è il coefficiente angolare della tangente t: m 0 = 0 y 0 (96) essendo ( 0,y 0 ) le coordinate di P 0 = t Γ. L appartenenza di tale punto a Γ implica: 0 y 0 = 6, (97) che a sua volta implica: 0 +y 0 0 (98) Osserviamo che P ( =,y = ) t, donde: y + = m 0 ( ) (99) D altro canto P 0 t, donde: y 0 + = m 0 ( 0 ) (00) 4

43 y y 0 =3 P =5 - P -4 Figura 8: Grafico di Γ) y = 6 e della retta t. Sostituendo nella (00) il valore di m 0 dato dalla (96): y 0 0 +(y ) = 0 (0) Tenendo conto della (98), l ultima equazione equivale a: 0 y 0 = (0) Le equazioni (97)-(97) compongono il sistema: 0 y 0 = 6 (03) 0 y 0 =, che ammette l unica soluzione: ( 0,y 0 ) = (5,3), da cui l equazione di t: y = 3+ 5 ( 5) (04) 3 Il grafico è in figura 8. 43

44 y 5 f H 0 L= = Figura 9: Grafico di Γ e Γ nell intervallo [ 3,] 6. Derivando le (79): f () = (05) f () = +6 Le ascisse dei punti P Γ k tali che le rette tangenti rispettivamente a Γ eγ risultano parallele, sono le soluzioni dell equazione: f () = f (), (06) le cui soluzioni sono: 0 =, 0 = 3 Quindi le equazioni richieste sono: = 0, = 0 Il grafico è in Differenziamo rispetto a primo e secondo membro della (80): ydy = pd, quindi: dy d = p y = m (07) L equazione della retta tangente è: y = p +n (08) y 44

45 y = Figura 30: Grafico di Γ e Γ nell intervallo [,4] Risolvendo la (08) rispetto a n: n = p y = p 4p = y = p m, donde: Il grafico è in figura 3. y = m+ p m 8. La derivata di f () è: In 0 = : Sostituendo nelle (74): f 3 () = ( ) f ( 0 ) =, f ( 0 ) = 3 S t = 3 = 3 S n = ( 3) = 3 n = 0 45

46 y Figura 3: Grafico di Γ) y = p. 9. Determiniamo innanzitutto le coordinate dei punti di interesezione di Γ, Γ ; occorre risolvere il sistema: y = 4 = 5y, le cui soluzioni sono: (,),(4, 4) Quindi i punti di intersezione sono: P ( =,y = ), P ( = 4,y = 4) L angolo α sotto cui si interesecano le curve altro non è che l angolo tra le rispettive rette tangenti, donde: tanα = m m +m m, (09) essendo m k i coefficienti angolari delle tangenti. Per il calcolo di m k, poniamo: f () =,f () =, g() = 5 5 (0) 46

47 3 y y P Figura 3: Intersezione in P ( =,y = ). Da ciò segue: f ( ) = = m g ( ) = 4 5 = m, che sostituiti nella (09): tanα = 9 = α 83.7 Nel punto P : f ( ) = = m g ( ) = 6 5 = m L angolo di intersezione è: tanβ = 7 6 = β 46. Il grafico è in figura Deriviamo le (8): f () = 3 f () = 4 In = 0 si annullano entrambe: f ( ) = f ( ) = 0: α = arctan m m +m m = arctan0 = 0. Nel punto = : f ( ) = = m f ( ) = 8 = m, 47

48 y y P Figura 33: Intersezione in P ( = 4,y = 4). donde: β = arctan m m +m m = arctan Poniamo: la cui derivata è: f () def = , () f () = Nel punto (ξ,η) Γ)y = f (), il coefficiente angolare della retta tangente è: m = 6ξ +6ξ +5 () L appartenenza di (ξ, η) a Γ implica: η = ξ 3 +3ξ +5ξ +9 (3) L equazione della retta tangente per l origine è: t) y = m D altro canto (ξ,η) t, donde: η = mξ (4) 48

49 80 P y y 3 P P Figura 34: Grafico di Γ) y = f () e delle rette tangenti passanti per l origine. Le ()-(3)-(4) compongono il sistema: ξ 3 +3ξ +5ξ +9 = η (5) 6ξ +6ξ +5 = m ξ = η m, Eliminando le variaibili m, η in (5): 4ξ 3 +3ξ 9 = 0 (ξ +) ( 4ξ +9ξ 9 ) = 0, le cui soluzioni sono: Il grafico è in figura 34. = 3, =, 3 = 3 4 (6). Le (83) possono essere rappresentate dalle funzioni: f () = +4 (7) f () = f () g () = 8 g () = g () 49

50 L intersezione avviene nei punti P ( =,y = ),P ( =,y = ). Derivando le (7): f () = 4 f () = f () g () = 8 g () = g (), donde i coefficienti angolari delle tangenti in P : Quindi: In P : da cui: Il grafico è in figura 35. m = 0 m = α = π 4 m = 0 m = β = π Derivazione di funzioni trigonometriche. f () = 5sin+3cos. f () = sink 3. f () = cos5 4. f () = sin 5. f () = 4cos 6. f () = tan3 7. f () = 4tan5 8. f () = cot f () = sin5 cos3 0. f () = tan cot 50

51 y 4 3 y P y P -3-4 Figura 35: Grafico di γ k e delle tangenti nei punti di intersezione.. f () = sin 3tan. f () = tan 3. f () = cot( ) 4. f () = sec 3 5. f () = csc 6. f () = 9sec 3 7. f () = 4 csc4 8. f () = sin 9. f () = sin 0. f () = sin+cos sin cos. f () = sin ( )cos. Calcolare la derivata terza di f () = sin 3. Calcolare la derivata seconda di f () = tan (3 ) 4. f () = sin cos

52 5. f () = sin 6. f () = sin 7. f () = cos( ) 8. f () = cos( ) 9. f () = sin (3 ) 30. f () = sin 3 ( 3) 3. f () = tansin 3. f () = (sec ) 3/ 33. f () = tan() cot() 34. f () = sin+cos sin 35. Sia y() = Asink+Bcosk, essendo A,B,k costanti. Mostrare che la funzione y() è soluzione dell equazione differenziale: d y d +k y = Assegnate le curve Γ ) y = f (), Γ ) y = f (), essendo: f () = sin (8) f () = cos, si determinino gli angoli acuti di interesezione tra Γ e Γ nell intervallo (0,π) Applicazioni. In una data località ad un certo istante l angolo di elevazione del sole è 45 e diminuisce di /4 rad/ h. Determinare la velocità di crescita dell ombra su terreno orizzontale di un palo alto h = 6m. 5

53 .5.6 Soluzioni. f () = 5cos 3sin. Osserviamo che per la regola di derivazione delle funzioni composte: Nel caso in esame: φ() = k: 3. f () = 5sin5 4. f () = 4cos d d sinφ() = φ ()cos f () = kcosk 5. f () = sin 6. f () = 3 cos 3 7. f () = 0 cos 5 8. f () = 8 = 4 sin 8 9. f () = 5cos5+3sin3 sin 8 0. f () = cos + sin = sin +cos sin cos = sin cos = ( sin ) = 4 sin. f () = cos 3 cos. f () = cos 3. f () = d d ( ) ( sin ( ) ) = 4 sin ( ) = 4cot ( ) 4. f () = (cos ) 3 = f () = 3(cos ) 4 ( sin ) = 3 5. f () = (sin) / = f () = (sin) 3/ cos = cos = cot sin (sin) 3/ [ ] 6. f () = 9 d d cos ( ) 3 = 9 cos ( 3 sin ) = 3 sin 3 = 3sin 3 3 cos 3 sec f () 4 ( )(sin4) (cos4) = cos4 sin 4 8. f () = sin+ cos 9. f () = sin cos = sin cos 0. f () = (cos sin)(sin cos) (cos+sin)(sin+cos) (sin cos) = (sin cos) (sin+cos) (sin cos) = sin cos (sin cos) = (sin cos) 53 sin cos 3

54 . f () = sin+cos ()cos+( )sin = sin. f () = sin+cos f () = cos+cos sin = cos sin f () = cos sin = cos f () f () = sin f () = sin sin cos = 3sin cos 3. f 3 () = tan(3 ) = 6tan(3 ) cos (3 ) cos (3 ) f () = 8+cos(3 )sin(3 ) 8tan(3 ) cos (3 ) = 8+36sin (3 ) cos (3 ) 4. f () = sin f () = cos sin 6. f () = ( cos )( ) = cos ( ) 7. f () = sin( ) ( ) = sin( ) 8. f () = sin( ) ( )( ) = ( )sin( ) 9. f () = sin(3 )cos(3 ) 3 = 6sin(3 )cos(3 ) = 3sin(6 4) 30. f () = 3sin ( 3)cos( 3) = 6sin ( 3)cos( 3) = 3sin(4 6)cos( 3) 3. Siamo tentati ad applicare la regola di derivazione di un prodotto. In realtà la funzione si semplifica: donde: f () = tansin = sin cos sincos = sin, f () = sincos = sin 3. f () = D [ (cos) ] 3/ [ = 3 (cos) ] 5/ (cos) sin sin = 3 = 3 tansec cos[(cos) ] 5/ (sec ) 5/ 33. f () = sec(sec cscsec) (cot ) 34. f () = sin+ cos+cos sin cos = cos 54

55 35. La derivata prima è: La derivata seconda: dy d = k(acos Bsink) d y d = k (Asink+Bcosk) = k y, donde l asserto. 36. Determiniamo innanzitutto le ascisse dei punti P Γ Γ. A tale scopo risolviamo nell intervallo (0, π), l equazione trigonometrica: sin = cos Per le formule di duplicazione l equazione precedente diventa: Cioè: sin = sin sin = ± Osservando che f () e f () sono periodiche di periodo π, è facile rendersi conto che le soluzioni nell intervallo (0, π) sono: = π 6, = 5 6 π, 3 = +π = 7 6 π, 4 = +π = 6 π Tali punti sono visibili nel grafico di figura 36, da cui vediamo che la simmetria delle curve conserva l angolo di intersezione nei punti P k ( k,y k ) con k =,...,4. Le derivate di f k () sono: f () = 4sincos f () = sin I coefficienti angolari delle rette tangenti in P (,y = /) sono: Quindi l angolo di intersezione è: L angolo acuto: m = 3,m = 3 tanα = m m +m m = 3 = α = arctan Il grafico è riportato in figura 37. β = π 3 ( ) 3 = 3 π 55

56 y p 3 3p 4 p - Figura 36: Grafico di f () e f () nell intervallo (0,π). y y P -0.5 Figura 37: Grafico di f () e f () nell intervallo (0,). 56

57 .5.6. Applicazioni. Indichiamo con L(t) e α(t) rispettivamente la lunghezza dell ombra e l angolo di elevazione del sole al tempo t. Assumiamo come istante iniziale t = 0, l istante in cui l angolo è π/4: α(0) def = α 0 = π (9) 4 Sia h = 6m l altezza del palo. La lunghezza iniziale dell ombra è: L 0 = h tanα 0 = h (0) A tutti i tempi: L(t) = Quindi la velocità di crescita dell ombra: h tanα(t) L(t) = h α(t) sin α(t) () () Dobbiamo determinare α(t) e α(t). Quest ultima è: Siccome α(t) =const, segue che α(t) è lineare: α(t) = α 0 = α 0 = rad/h (3) 4 α(t) = C +C t C e C sono costanti fissate dalle condizioni iniziali: C = α(0) = π 4 C = α 0, donde: α(t) = π 4 t 4, per cui: Mentre L(t): L(t) = L(t) = 4 sin ( π ) (4) t tan ( π ) (5) t 4 4 Si osservi che nelle (4)-(5) il tempo t è espresso in ore e varia in (0,π). Risulta: Il grafico di tali funzioni è in figura 38. lim t π +L(t) = lim L(t) = + t π + 57

58 L,L t Figura 38: Grafico in scala logaritmica di L(t), L(t)..5.7 Derivazione di funzioni trigonometriche inverse. f () = arcsin( 3). f () = arcsin(3) 3. f () = arccos ( ) 4. f () = arccos( ) 5. f () = arctan(3 ) 6. f () = arccot ( ) + 7. f () = arccot ( ) + 8. f () = arctan ( ) + 9. f () = arctan ( ) + 0. f () = arctan ( ) 3. f () = arcsin( ). f () = arctan+arccot 3. f () = arcsin 4. f () = arccos ( ) 5. f () = a +a arcsin a a 6. f () = ( a) a +a arcsin ( a a ) 58

59 y B R-yHtL P shtl Q yhtl L qhtl R qhtl Figura 39: Esercizio di Applicazioni. Un lampione L illumina un arena circolare (fig. 39). Un ragazzo, partendo da B, corre ad una velocità costante v 0 verso il centro dell arena. Dimostrare che la velocità dell ombra lungo il contorno nell istante in cui il ragazzo si trova a metà tra B e il centro, dipende linearmente da v 0 ed è indipendente dal raggio dell arena.. Le estremità di un segmento AB = L = 5m scivolano sugli assi coordinati e y di un riferimento monometrico ortogonale R(Oy). La velocità dell estremità A è costante ed è pari a m s. Determinare la velocità di B nell istante in cui l ascissa di A è 0 = 3m (fig. ). 3. Il lato di un rettangolo ha una lunghezza costante a 0, mentre l altro lato cresce secondo la legge: b(t) = b 0 +ḃ0t, essendotiltempo, eb 0,ḃ0 costanti(lunghezzainizialeevelocitàdicrescita). Sidimostri che nel limite per t +, la diagonale cresce con la medesima velocità con cui cresce il lato b..5.8 Soluzioni. f () = = = ( 3)

60 y B L 0 A. f () = (3) d d (3) = f () = ( ) d d ( ) = 4 = 4 4. f () = ( ) d d ( ) = 4 5. f () = +(3 ) d d (3 ) = f ++ () = +( ) + ( ) 7. f () = + 8. f d () = +( ) + d 9. f () = + = ( + ) = + 0. f () = + 9 ( 3 ) = f () = +( ) = ( ). f () = + + = 0 ( ) f () = arcsin+ = +arcsin 4. f () = arccos ( [ ) ( ) ] + = 4 ++ ( ) = + [ arccos ( ) ] f () = a ( ) a a = a (a ) 3/ 6. f () = a ( a) a + a a = a 60

61 .5.8. Applicazioni. Fissiamo un riferimento cartesiano monometrico ortogonale R(Oy) come in fig. 39. La posizione iniziale del ragazzo è B(0,R), e la sua equazione oraria è: y(t) = R+ẏ 0 t, (6) essendo ẏ 0 = v 0. La velocità dell ombra è la velocità del punto Q che compie un moto circolare. Dalla figura 39 vediamo che l ascissa curvilinea di Q contata a partire da B, è: [ π ] s(t) = R θ(t) (7) Dalla medesima figura vediamo che l angolo θ(t) è: ( ) y(t) θ(t) = arctan R (8) Sostituendo nella (7): [ π s(t) = R arctan ( )] R v0 t R (9) La variabile t varia nell intervallo [0,t ], essendo t l istante di tempo in cui il ragazzo arriva nel centro dell arena. Evidentemente: t = R v 0, s(t ) = πr La (9) può essere riscritta come: s(t) = R { π arctan [ y(t) R ]}, la cui derivata è: R v 0 ṡ(t) = R +y (t), (30) che è la velocità di Q. Il problema richiede il valore di tale velocità quando l ordinata del ragazzo è R/. Sia τ (0,t ) l istante tale che y(τ) = R/, donde: ṡ(τ) = R v 0 R + R 4 = 8 5 v 0 che è la velocità richiesta. Da ciò vediamo che ṡ(τ) è indipendente dal raggio R ed è una funzione lineare di v 0. 6

62 Sostituendo l espressione analitica di y(t) nella (30): Si osservi che l accelerazione di Q è: R v 0 ṡ(t) = (3) v 0 t +Rv 0 t+r s(t) = 4v 0 R Nella (3) la variabile adimensionale η(t) (+η (t)) (3) η(t) = R v 0t R, che misura l ordinata del ragazzo in unità R =. Dalla (3) vediamo che s(t) = 0 per η(t) = 0 t = R/v 0 = t ; a ciò corrisponde un punto di massimo per la velocità di Q.. Assumiamo t = 0 quando l ascissa di A è pari a 0, per cui l equazione del moto di A è: A (t) = v A t+ 0 Se y B (t) è l ordinata di B, deve essere: A (t) +y B (t) = L, t [0,+ ) donde (tenendo conto che y B (t) 0): y B (t) = L 0 va t v A 0 t (33) La velocità di B è la derivata prima rispetto a t della funzione (33): v A (v A t+ 0 ) v B (t) = ẏ(t) = L 0 va t v A 0 t La funzione y B (t) è definita in (0,t ) essendo t tale che: Si osservi che t si ricava dalla condizione: Quindi: L 0 v At v A 0 t = 0 A (t ) = L t = L 0 v A = s La richiesta del problema è: deteminare v B (t) quando A (t) = 0, donde è t = 0: v B (0) = v A 0 L 0 = 3 ms 6

63 y t Figura 40: 4 y t Figura 4: Osservazione 6 Come c era da aspettarsi è ẏ(t) < 0, t [0,+ ). Fisicamente significa che l estremità B si muove nel verso delle ordinate decrescenti. Inoltre: Il grafico è riportato in figura 40. mentre il grafico di y B (t) è in figura 4. limẏ(t) = t t 3. La lunghezza della diagonale al generico istante t è: d(t) = a 0 +b(t) = d 0 +ḃ0t +b 0 ḃ 0 t, (34) essendo d 0 = a 0 +b 0. Derivando la (34): ) ḃ 0 (b 0 +ḃ0t d(t) =, d 0 +ḃ 0t +b 0 ḃ 0 t 63

64 per cui: lim t + d(t) = ḃ0 lim t + b 0 +ḃ 0t t ḃ 0 + d 0 + b t 0ḃ0 t = ḃ0.5.9 Derivazione di funzioni logaritmiche ed esponenziali Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni. f () = lg a (3 +4). f () = ln(+5) 3. f () = ln (+5) 4. f () = ln[( +4)( +)] 5. f () = ln(4 3) 6. f () = ln 5 7. f () = ln(4 3 ) 8. f () = ln( + ) 3 9. f () = ln [ 0. f () = ln ] 4 ( 5). f () = ln(sina). f () = ln ( + + ) 3. f () = e b 4. f () = e n 5. f () = 3 6. f () = ea e a e a +e a 7. f () = ln ( cos +tan) 8. f () = e sin4 9. f () = 3 0. f () = e e. f () = 7 e. f () = ( )e 64

65 3. f () = e 4. f () = e cos 5. f () = ( +)e 6. f () = arcsin 7. f () = ln 8. f () = n ln n n 9. f () = +ln ln Calcolare con il metodo della derivata logaritmica la derivata prima delle seguenti funzioni. f () =. f () = 3. f () = 4. f () = 5. f () = 6. f () = ln 7. f () = e 8. f () = sin, tracciando poi il grafico. 9. f () = (cos) sin 0. f () = (arctan) Calcolo di derivate seconde. f () = e ln. f () = f () = e 4. f () = 3 ln(+ ) 65

66 .5.0 Soluzioni. f () = 3 +4 lg ae d d (3 +4) = lg ae =. f () = d d [ln(+3)] = f () = ln(+5) = ln(+5) (3 +4)lna 4. f () = d d [ln( +4)+ln( +)] = ( f () = f () = 5 7. f () = 4 3 = 3 8. f () = d d [3ln( + )] = 3 3(+) (+) = f () = d 4( 5) [ln+4ln ln( 5)] = d ( 5) 0. f () = ln+ = ln. f () = sina. f () = f () = be b (cosa) a = acota ( ) + = + + ) = +5 ( +4)( +) 4. f () = e n d d (n ) = n n e n 5. f () = ln = (3+ln) 6. f () = d e a d 4a = e a +e a + +e a = ae a (+e a )+ae a ( e a ) 4a (e a +e a ) (+e a ) = 4ae a (+e a ) = 4a = e a (+e a ) 7. f () = lng(); g() def = cos +sin cos = f () = g () g() = cos + tan = +sin cos = g () = cos +sin(+sin) cos = 8. f () = e sin4 d d (sin4) = 4esin4 cos4 9. f () = 3 ln3 0. f () = e g() ; g() def = e = g () = e ; f () = g ()e g() = e e g() = e +g() = e +e. f () = 6 e (7+). f () = ( )e 3. f () = e 3 66

67 4. f () = e cos e sin = e (cos sin) 5. f () = ( )e +( +)e = e ) 6. f () = e arcsin+ e = e (arcsin+ 7. f () = ln ln = (ln ) ln 8. f () = n n ln+ n n = n n 9. f () = + ln Derivata logaritmica. La funzione è: = + ln f () = Prendiamo il logarimo di primo e secondo membro: lnf () = ln Quindi deriviamo: donde: f () f () = ln+, f () = (ln+). lnf () = ln = f () f() = (ln+) = f () = + (ln+) 3. lnf () = ln = f () = ln f() = f () = ( ln) 4. lnf () = ln = f () f() = ln + = ln+ = ( ln+) 5. lnf () = ln ( ) = ln = f () = d f() d ( ln) = (ln) d d ( )+ = (ln+)ln+ = f () = ( + ln +ln+ ) 6. lnf () = ln ( ln) = (ln) = f () f() = ln = f () = f () ln = lnln = ln ln 7. lnf () = e ln = f () = f() e ln+ e = f () = e e ( ln) 8. lnf () = sinln = f () = cosln + sin = (sin+cosln) = f() f () = sin (sin+cosln). La funzione f () è definita in (0,+ ) con limf () = 0 (figura 4 ) Essendo sin, la funzione compie oscillazione con ampiezza linearmente crescente (grafico inviluppato da y =, figg ) 67