Esponenziali e logaritmi

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1 Prof Emnuele ANDRISANI Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se 0, per tutti e soli gli Z Esponenzili e ritmi Sono definite: 7 7 Non sono definite: Csi prticolri :,, per ogni R 0 0,, per ogni R Le proprietà delle potenze definite per esponenti interi vlgono nche per esponenti reli: Se 0, 4 : b per ogni, b pprtenenti R vle : wwwesmthsltervistorg

2 Prof Emnuele ANDRISANI Funzione esponenzile Si chim funzione esponenzile ogni funzione del tipo :, con 0 fissto, R Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è tutto R il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R + (l funzione esponenzile è sempre strettmente positiv) Si distinguono tre csi: : funzione crescente : : funzione costnte : per ogni R 0 : funzione decrescente : I seguenti grfici illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : wwwesmthsltervistorg

3 Prof Emnuele ANDRISANI = = = = 0 0 < < > > > EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del tipo : b, con 0 e b 0 è l' incognit dell' equzione Un'equzione esponenzile del tipo b può essere impossibile, indetermint o determint : impossibile se b 0, oppure b e esempio : oppure indetermint se, b esempio : determint se 0,, b 0 esempio : Si chim ritmo in bse di b l'unic soluzione dell'equzione esponenzile elementre wwwesmthsltervistorg

4 Prof Emnuele ANDRISANI = b = bse dell eponenzile e del ritmo nel cso determinto, cioè l'esponente d ssegnre ll bse per ottenere il numero b Supponimo di dover risolvere un'equzione esponenzile b : se e b si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, si eguglino gli esponenti : 8 se e b non si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, le soluzioni si scrivono sotto form di ritmi : Il ritmo risult essere l'operzione invers dell'esponenzile, pertnto le limitzioni cui è soggetto l'esponenzile si riflettono sul ritmo: fisst l bse >0, deve essere b>0, inoltre vlgono i csi prticolri: 0, poichè, poichè Anmente, lle proprietà degli esponenzili precedentemente elencte corrispondono le seguenti proprietà dei ritmi: ) ) ) 4) b c c b ( R ( R ( R 0 (, b, c 0) R, 0) R R, 0), 0) formul di cmbiment o di bse nei ritmi I ritmi che compiono sulle clcoltrici sono in bse 0 oppure in bse e, 78 : indic il 0, detto nche ritmo decimle ln, indic il e, detto nche ritmo nturle o neperino Funzione ritmic Si chim funzione ritmic ogni funzione del tipo :, con 0 e fissto, R L funzione ritmic è l'invers dell'esponenzile, pertnto dominio e codominio risultno scmbiti rispetto quelli dell funzione esponenzile Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è R + il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R Si distinguono due csi: = b wwwesmthsltervistorg

5 : funzione crescente : 0 : funzione decrescente : Prof Emnuele ANDRISANI = = 0 = 0 < < > > > I grfici dell funzione ritmic si ottengono d quelli dell funzione esponenzile per simmetri rispetto ll bisettrice del I e III qudrnte ( ) essi illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equzione si dice ritmic qundo l'incognit compre soltnto nell'rgomento di uno o più ritmi L'equzione ritmic più semplice (elementre) è del tipo : b, con 0 e b R 0 è l' incognit dell' equzione L su soluzione, per qunto detto proposito dell'equzione esponenzile, è : Per risolvere un'equzione ritmic conviene: b wwwesmthsltervistorg

6 (qundo è possibile) trsformre l'equzione dt in un equivlente del tipo A B, pplicndo le proprietà dei ritmi determinre le soluzioni dell'equzione A B eseguire il controllo medinte verific dirett dei vlori di clcolti l punto 4 4 in lterntiv l punto, ssocire ll'equzione di cui l punto tutte le condizioni di esistenz sui ritmi (ricordimo che un ritmo è definito soltnto per vlori positivi del suo rgomento), per selezionre le soluzioni ccettbili Esempi Risolvimo l'equzione: 8 Osservimo che: 6 e Quindi è possibile trsformre l'equzione ssegnt nell'equzione: L soluzione dell'equzione dt è quindi Risolvimo l'equzione: 7 Possimo trsformre l'equzione eseguendo il ritmo (in un bse qulsisi, per esempio in bse 0) del primo e del secondo membro: 7 Applichimo l proprietà ) dei ritmi: 7 Applichimo l proprietà ) dei ritmi: 7 Isolndo ottenimo: 7 (*) In lterntiv potevmo isolre, ottenendo: 7 Prendendo il ritmo in bse di entrmbi i membri si h: 7 7 Utilizzndo l formul di cmbimento di bse 4) si riottiene (*) Risolvimo l'equzione: 6 Osservimo che: Prof Emnuele ANDRISANI wwwesmthsltervistorg

7 Prof Emnuele ANDRISANI L'equzione ssegnt è equivlente : Il denomintore, essendo un funzione esponenzile, non può ssumere il vlore zero Possimo moltiplicre per entrmbi i membri, ottenendo: E' evidente l struttur di equzione lgebric di II grdo nell'incognit Risolvendo tle equzione (può essere utile introdurre un vribile usiliri più evidente l ntur di equzione di secondo grdo) si h: d cui: oppure 4 oppure z per rendere 4 4 Risolvimo l'equzione ritmic: Imponimo le condizioni di esistenz sui ritmi dell'equzione dt, ricordndo che gli rgomenti devono essere positivi: cioè ll vribile si possono ssegnre solo i vlori mggiori di Risolvimo l'equzione pplicndo l proprietà ) dei ritmi e osservndo che : Uguglindo gli rgomenti si h l seguente equzione equivlente: 9 9 0, 7 7 Il vlore è minore di, quindi non è comptibile con le condizioni di esistenz L'unic soluzione dell'equzione è dt d: 7 Esercizi Tenendo presente che n m m n, scrivi le seguenti potenze sotto form di rdice: wwwesmthsltervistorg

8 Prof Emnuele ANDRISANI ) ) b) b) Scrivi le seguenti rdici sotto form di potenz con esponente rzionle: ) ) 4 0 b) b) Risolvi le seguenti equzioni esponenzili: ) ) b) b) c) c) d) d) 7 6 e) e) 4 f) f) 4 7 g) g) 4 0 h) h) 9 i) i) 6 7 j) j) Risolvi le seguenti equzioni ritmiche: ) ) 9 b) b) c) c) d) d) 6 e) e) f) f) 8 9 wwwesmthsltervistorg