Sistemi compatibili (Il metodo di Fourier-Motzkin) Claudio Arbib Università degli Studi di L Aquila

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1 Sistemi compatibili (Il metodo di Fourier-Motzkin) Claudio Arbib Università degli Studi di L Aquila

2 Sommario Poliedri Poliedri compatibili Diseguaglianzeimplicate Proiezione di un poliedro Definizione Esempi Teorema di Fourier Algoritmo di Fourier-Motzkin Applicazioni

3 Definizione: Poliedri Siano a IR n, b IR. L insieme H = {x IR n : ax = b} IR n si dice iperpiano. L insieme S = {x IR n : ax < b} IR n si dice semispazio chiuso. Definizione: Un poliedro è l intersezione di un numero finito m di semispazi chiusi di IR n. Quindi A IR m n, b IR m l insieme P(A, b) = {x IR n : Ax < b} IR n definisce un poliedro. In particolare,, H, S, IR n sono poliedri.

4 Diseguaglianzeimplicate Definizione: bx γèuna diseguaglianzaimplicata dal sistema Ax b se ogni x che soddisfa Ax b soddisfa anche bx γ x 2 x 1 0 x 2 0 x 1 + 2x 2 1 S 3x 1 + x 2 2 x 1 5x 1 + 5x 2 4

5 Diseguaglianzeimplicate Definizione: Un sistema di diseguaglianzeèminimale se non contiene diseguaglianzeimplicate. Definizione: bx γ ècombinazioneconica delle diseguaglianze Ax b {a i x b i, i = 1,, m} se e solo se (b, γ) = λ i (a i, b i ) λ i 0 Teorema: Ogni diseguaglianza ottenuta come combinazione conica di Ax b è una diseguaglianzaimplicata.

6 Diseguaglianzeimplicate Esempio: 0 ( 1 x 1, 0, 0) ( 0, 1 x 2, 0) 0 + x 2 1 ( x1, + 2x2, 1) x ( 3 1, + x1 2, 2) 1 = (2.5, 2.5, 1.5) S l = (1, 0.5, 0, 0) x 1 2.5x x 2 2

7 Poliedri compatibili Definizione: Un poliedro si dice compatibile (incompatibile) se (non) ammette soluzione. Problema: Stabilire se un dato poliedro P(A, b) èo no compatibile Principio: Ciò che esiste, fa ombra (Corollario: i vampiri non esistono)

8 Proiezione di un poliedro Definizione: Sia P(A, b) IR n un poliedro. Allora il poliedro P(A, b ) IR n 1 si dice proiezione di P(A, b) se x P(A, b ) z IR tale che (x, z) P(A, b). Esempio: P: x 1 > 0, x 2 > 0, 3x 1 + 2x 2 < 6 P : 0 < x 1 < 2 poniamo z = (6 3x 1 )/2 > 0 x 1 P evidentemente (x 1, (6 3x 1 )/2) P x 1 P

9 Proiezione di un poliedro Esempio: P : x 1 > 0 x 2 > 0 3x 1 + 2x 2 < 6 P : 0 < x 1 < 2 x 1 P, z: (x 1, z) P P èproiezione di P P P

10 Proiezione di un poliedro Esempio: P : x 1 > 0 x 2 > 1 3x 1 + 2x 2 < 6 P : 0 < x 1 < 2 x P tale che x 1 = 2 P P non èproiezione di P P

11 Proiezione di un poliedro Esempio: P : x 1 > 0 x 2 > 1 3x 1 + 2x 2 < 6 P : 0 < x 1 < 4/3 P P èproiezione di P? P

12 Teorema di Fourier Sia dato il poliedro P a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n < b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n < b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n < b m Dividiamo l insieme delle righe R in 3 sottoinsiemi: R 0 ={i R: a i1 =0}, R + ={i R: a i1 >0}, R ={i R: a i1 <0} Costruiamo un nuovo poliedro P contenente: 1) tutte le diseguaglianze di R 0 2) una diseguaglianza per ogni elemento in R + R

13 Teorema di Fourier Una diseguaglianzadel tipo (2) è associata a una riga h R + e una riga k R x 1 + a h2 x a hn x n a k1 x 1 + a k2 x a kn x n < b h < b k riga h riga k ( + ) x 1 + ( + ) x ( + ) x n < ( + ) La diseguaglianzadi P si ottiene per combinazione conica delle due dividendo la prima per dividendo la seconda per sommandole insieme a k1 a h2 a k2 a hn a kn b h b k

14 Teorema di Fourier Il nuovo sistema di diseguaglianzep non contiene la variabile x 1 Teorema (Fourier) P è una proiezione di P nello spazio delle variabili x 2,, x n. Dimostrazione Sia w = (w 2,, w n ) P. Dobbiamo mostrare che esiste uno scalare z tale che (z, w 2,, w n ) P. Per ogni i R 0 si ha a i2 w a in w n < b i Per ogni h R +, k R si ha inoltre a h2 ( + ) w ( + ) w n < ( + ) a k2 a hn a kn b h b k

15 Teorema di Fourier (seguito) Riscriviamo l ultima condizione a k2 w 2 a kn w n a h2 w < b k b h a hn w n Al variare di k in R (di h in R + ) il primo (secondo) membro descrive una classe C (una classe D) di numeri reali, e tutti gli elementi di C risultano < degli elementi di D Dunque esiste un elemento di separazione z tale che: a k2 w 2 a kn w n + + < z h R + b k b h a h2 w 2 z < k R a hn w n

16 Teorema di Fourier (seguito) Le ultime due diseguaglianzesi possono riscrivere: a k1 z + a k2 w 2 + a kn w n < b k k R z + a h2 w 2 + a hn w n < b h h R + Inoltre, i R 0 si ha 0z + a i2 w 2 + a in w n < b i Ne segue che (z, w 2,, w n ) P Fine della dimostrazione

17 Algoritmo di Fourier-Motzkin Il Teorema di Fourier permette di ridurre il problema di decidere se un poliedro è o meno vuoto a quello di decidere se è o meno vuota una sua proiezione Poiché la proiezione di un poliedro è ancora un poliedro, il teorema può essere ripetutamente applicato, fino a pervenire a un poliedro del quale sia semplice decidere Ad esempio, si può applicare il teorema n 1 volte: in questo caso il poliedro risultante P (n 1) sarà un intervallo dell asse reale, eventualmente vuoto o illimitato Ovvero, si può applicare il teorema per n volte: in questo caso il poliedro risultante P (n) avrà la forma 0 x < t. Si danno allora 2 casi: se t > 0, P (n) è banalmente compatibile, in quanto descrive l intero IR n, e quindi anche P è compatibile; se esiste un indice i tale che t i < 0, allora P (n) è banalmente incompatibile, e così P.

18 Applicazioni Il metodo di eliminazione di Fourier-Motzkin si può applicare per Decidere se un poliedro è vuoto oppure no Costruire la rappresentazione implicita di conv(s) per un insieme finito S IR n Risolvere un problema di Programmazione Lineare

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