Equivalenza delle figure piane

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1 Capitolo Equivalenza Poligoni equivalenti - erifica per la classe seconda Teoremi di Pitagora ed Euclide COGNOME NOME Classe Data Quesiti Poligoni equiscomposti 1.a ero o falso? 1. Due figure equivalenti hanno sempre la stessa forma. 2. Se due figure sono congruenti, allora sono anche equivalenti e viceversa. 3. Se due poligoni sono equiscomponibili, allora sono equivalenti. 4. Un poligono convesso si può sempre trasformare in un triangolo a esso equivalente. 5. In un triangolo rettangolo la proiezione di un cateto sull ipotenusa è sempre minore del cateto stesso. 6. La relazione d equivalenza non gode della proprietà simmetrica.. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente alla differenza tra il quadrato costruito sull ipotenusa e quello costruito sull altro cateto. 8. Affinché due quadrilateri siano equivalenti, devono essere anche congruenti. 9. Due triangoli sono equivalenti se hanno tutti i lati uguali. 10. Due triangoli sono equivalenti se hanno tutti gli angoli uguali. 11. Un pentagono convesso qualsiasi si può sempre trasformare in un quadrilatero a esso equivalente. 2.a Dopo aver osservato le figure, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 218 Equivalenza di poligoni 1. A è equivalente a B e a C ma non a D. 2. A è equivalente a C e a D ma non a B. 3. A è equivalente a B, a C e a D. 4. A è equivalente a B e a D ma non a C. 3.a Disegnare un parallelogramma ABCD e costruirne poi altri a esso equivalenti rispettando le seguenti condizioni: 1. abbia la stessa base di ABCD ma non sia congruente a esso; 2. abbia la base uguale alla metà della base di ABCD; 3. abbia la base uguale al triplo della base di ABCD. 3.b Disegnare un rettangolo ABCD e costruire un triangolo a esso equivalente. Descrivere il procedimento utilizzato e giustificare la costruzione.

2 3.c Costruire un triangolo equivalente al quadrilatero ABCD in figura. Teoremi di Pitagora ed Euclide Descrivere il procedimento utilizzato e dimostrare l equivalenza. 4.a Completare gli enunciati dei due teoremi di Euclide: 1. In un triangolo... il quadrato costruito su un... è... al... che ha per lati la... del... sull... e... stessa. 2. In un triangolo... il quadrato costruito sull... relativa all... è equivalente al... che ha per lati le... dei due... sull... stessa. 4.b Dimostrare uno dei due teoremi seguenti: 1. In un triangolo equilatero ABC il quadrato costruito sul lato è equivalente ai di quello costruito sulla sua altezza In un triangolo isoscele il quadrato costruito sulla base è equivalente al doppio del rettangolo che ha per dimensioni la proiezione della base sul lato obliquo e il lato obliquo stesso. 219

3 Capitolo Equivalenza Poligoni equivalenti erifica per la classe seconda COGNOME NOME Classe Data Problema. Determinare il rapporto tra il quadrato costruito su un lato di un triangolo equilatero e il quadrato costruito sul raggio della circonferenza a esso circoscritta Costruire un triangolo equilatero ABC con il comando Poligono regolare. 2. Disegnare la Circonferenza a esso circoscritta di centro O. 3. erifica della costruzione 3.a Spostare con il mouse successivamente i punti A, B, C. 3.b Il triangolo rimane inscritto? 3.c Provare a spostare il punto O. Che cosa succede? 4. Disegnare il raggio CO con il comando Segmento. 5. Costruire il quadrato BCDE sul lato BC. (Descrivere il procedimento utilizzato per costruire il quadrato.) 6. Costruire il quadrato OCG sul raggio CO.. Utilizzare il comando Mostra/Nascondi per nascondere la costruzione. 8. erifica della costruzione 8.a Misurare la lunghezza di BC... e di BE b Calcolare con Calcolatrice il rapporto BC/BE c Misurare gli angoli BĈD... e BÊD d Misurare la lunghezza di G... e di OG e Calcolare con Calcolatrice il rapporto G/OG f Misurare gli angoli GˆC... e GÔC g Spostare con il mouse successivamente i punti A, B, C, O. Che cosa succede ai rapporti BC/BE e G/GO? 9. Con lo strumento Area determinare l area dei due quadrati. 10. Calcolare con Calcolatrice il rapporto tra le due aree. 11. erifica della costruzione 11.a Muovendo il punto D sul piano valutare se e come cambia il rapporto calcolato al punto precedente. 11.b Spostare successivamente i punti A, B, C, O e valutare nuovamente come varia il rapporto tra le aree dei due quadrati. 12. Teoria 12.a Disegnare l altezza CH e misurare la sua lunghezza: CH b Misurare il raggio OC. 12.c Calcolare con Calcolatrice il rapporto OC/CH e giustificare il risultato ottenuto.

4 Equivalenza Capitolo Teorema di Pitagora erifica per la classe seconda COGNOME NOME Classe Data Problema. Il teorema di Pitagora può essere esteso anche ad altri poligoni o è valido solo per i quadrati? 1. Costruire il triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB (sfruttando la proprietà per cui i triangoli rettangoli sono inscrittibili...). 2. Costruire su ogni lato del triangolo i quadrati relativi ABDE, CAG, BCLM, utilizzando i comandi Retta perpendicolare e Compasso.(Tracciare le rette perpendicolari ai lati e con il compasso riportare la misura dei lati.) 3. erifica della costruzione 3.a Provare a muovere il punto C. Può trovarsi in qualsiasi punto del piano? Perché? 3.b Misurare le ampiezze degli angoli formati dalle diagonali dei quadrati con i lati al variare del punto C sul foglio. Le loro ampiezze restano costanti? 3.c Perché per costruire i quadrati non è stato possibile utilizzare il comando Poligono regolare in questo caso? 3.d Con il comando Calcolatrice verificare in quale relazione si trovano i quadrati costruiti sui cateti e il quadrato costruito sulla base. 4. Ampliamento del teorema di Pitagora Sui lati di un altro triangolo rettangolo ABC (ottenuto sempre partendo dalla base AB per ipotenusa) costruire tre triangoli equilateri e misurare le loro aree con il comando Area. 5. erifica/teoria 5.a erificare che muovendo il punto C o il punto B i triangoli restano tutti equilateri con il lato pari ai lati del triangolo. 5.b erificare quale relazione lega le aree dei triangoli muovendo sul foglio di lavoro il vertice C dell angolo retto con il mouse. 5.c ornire una dimostrazione del risultato a cui si è pervenuti. 6. Costruire tre esagoni regolari sui lati del triangolo rettangolo ABC sfruttando la precedente costruzione dei triangoli equilateri. (Con centro sui vertici di ciascuno dei triangoli equilateri disegnare le circonferenze che hanno raggio pari al lato dei triangoli equilateri... Riportare su ciascuna circonferenza, a partire da un vertice del triangolo rettangolo, dei segmenti uguali al raggio fino a ottenere un esagono regolare inscritto nella circonferenza stessa.) 221

5 . Con lo strumento Poligono costruire un esagono regolare che abbia i vertici sui punti della circonferenza determinati dalla costruzione precedente e misurare le aree dei tre esagoni ottenuti. 8. erifica/teoria 8.a Osservando come variano le aree al variare del triangolo ABC, quale relazione lega le aree degli esagoni? 8.b ornire una dimostrazione del risultato a cui si è pervenuti. 9. Il numero di lati dei poligoni regolari aumenta 9.a Costruire su ciascun lato di un triangolo rettangolo i semicerchi che hanno diametro pari al lato stesso e misurare le rispettive aree. 9.b erificare in quale relazione si trovano le tre aree. 10. Considerazioni 10.a In base alle costruzioni precedenti si può osservare che il teorema di Pitagora può essere così ampliato: Il poligono... di n lati costruito sull... di un triangolo... è... alla... dei poligoni regolari di... numero di lati costruiti sui b Il teorema resta vero anche se n va all infinito; infatti: Il semicerchio costruito sull... di un triangolo... è... alla... dei... costruiti sui.... acoltativo 11. Ampliamento ulteriore Costruire tre poligoni simili qualsiasi, anche concavi, aventi tre lati omologhi lunghi quanto i lati del triangolo ABC. (Per la costruzione, calcolare i rapporti tra le lunghezze dei cateti del triangolo e la lunghezza dell ipotenusa con lo strumento Calcolatrice ; utilizzare poi il comando Omotetia con centro in uno dei due vertici [A o B] e rapporto pari ai rapporti trovati; infine, con lo strumento Rotazione disporre i due poligoni simili sui cateti del triangolo.) 12. erifica 12.a Modificare con il mouse il primo poligono. Gli altri due poligoni, ottenuti con la costruzione precedente, restano simili al primo? 12.b Modificare il triangolo, muovendo il punto C. Si modifica la posizione degli altri poligoni e si mantengono i rapporti tra lati omologhi, pari ai rapporti tra cateti e ipotenusa? 12.c Misurare le aree di ciascun poligono. 12.d In quale relazione si trovano le aree? 222

6 Equivalenza Capitolo Poligoni equivalenti - Teoremi di Pitagora ed Euclide: verifica e laboratorio di Cabri Obiettivi erifica Lab. Cabri Teoria al paragrafo Applicare le proprietà dell equivalenza Riconoscere poligoni equiscomposti Conoscere/Dimostrare/Applicare i teoremi sull equivalenza dei parallelogrammi Conoscere/Dimostrare/Applicare i teoremi sull equivalenza di alcuni poligoni Trasformare un poligono in un poligono equivalente avente un lato in meno (o in un triangolo equivalente) Dimostrare/Applicare il teorema di Pitagora Dimostrare/Applicare i teoremi di Euclide 1.a 2.a 3.a 1.a 3.b; 3.c 4.b 4.a; 4.b Soluzioni degli esercizi tempo previsto: 60 min 1.a 2.a 4.a 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;. ; 8. ; 9. ; 10. ; c 1. ; 2. ; 3. ; rettangolo; cateto; equivalente; rettangolo; proiezione; cateto; ipotenusa; ipotenusa 2. rettangolo; altezza; ipotenusa; rettangolo; proiezione; cateti; ipotenusa Si disegna la diagonale AC e si costruisce la retta passante per B parallela ad AC. Si prolunga il lato DC fino a incontrare la suddetta retta nel punto B. Si unisce A con B. Si dimostra che il quadrilatero ABCD è equivalente al triangolo AB D. Infatti i triangoli ACB e ACB sono equivalenti, avendo la base comune AC e stessa altezza, rappresentata dalla distanza delle due rette parallele BB e AC. 223

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