Matematica Discreta. Gianfranco Niesi. Appunti per il corso di. C.S. in Informatica. Dipartimento di Matematica A.A

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1 Appunti per il corso di Matematica Discreta C.S. in Informatica UNIVERSITÀ DI GENOVA A.A Gianfranco Niesi Dipartimento di Matematica URL: niesi 4 ottobre 2005

2 2 Indice Introduzione 4 1 Linguaggio matematico e insiemi Aspetti logici del linguaggio Esercizi Il linguaggio degli insiemi Esercizi Numeri naturali e induzione Dimostrazioni per induzione Divisione col resto Numeri primi Esercizi Funzioni Definizione di funzione Iniettività e surgettività Funzioni e cardinalità Composizione di funzioni e funzioni invertibili Esercizi Operazioni su un insieme Esercizi Algoritmo euclideo Quoziente e resto Massimo comun divisore Algoritmo euclideo Identità di Bezout Equazioni lineari in Z Esercizi Relazioni d ordine e d equivalenza Proprietà di una relazione su un insieme Relazioni d ordine Relazioni di equivalenza

3 3 5.4 Esercizi Aritmetica modulare Gli insiemi Z n L aritmetica di Z n Criteri di divisibilità Il teorema di Fermat RSA Esercizi Numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione trigonometrica Rappresentazione esponenziale Radici n -esime di un numero complesso Esercizi Soluzione di alcuni esercizi 91 Indice analitico 108

4 Introduzione Il termine Matematica Discreta indica la parte della matematica che studia oggetti e strutture che non fanno riferimento al concetto di continuità che caratterizza invece l argomento di studio del Calcolo Differenziale. Gli oggetti studiati sono principalmente insiemi finiti o numerabili come i numeri interi e, soprattutto, relazioni e operazioni (funzioni, ordinamenti, operazioni aritmetiche, ecc.), fondamentali anche nello studio di insiemi non numerabili quali ad esempio i numeri reali. In questo senso rientrano nel campo della Matematica Discreta molti settori della tradizionale classificazione della matematica, tra cui la logica, la teoria degli insiemi, la teoria dei grafi, la teoria dei numeri, la combinatorica, lo studio delle strutture algebriche, l algebra lineare con le sue varie applicazioni, ecc. La Matematica Discreta ha interessanti applicazioni nell informatica non solo per gli strumenti che fornisce ma anche per il linguaggio e la metodologia sviluppati. A fronte di un soggetto così ampio, il tempo a disposizione di questo corso non consente di andare oltre a una rapida introduzione ad alcuni dei temi menzionati sopra. Dopo qualche cenno al linguaggio matematico in generale e a quello degli insiemi in particolare, ci soffermeremo sull insieme dei numeri naturali e sul principio di induzione su cui si fondano la ricorsione e il potente metodo di dimostrazione per induzione, molto usato nella matematica discreta; questa parte si conclude con richiami alla divisione con resto tra numeri naturali e ai concetti di divisibilità e di numero primo. Queste nozioni saranno riprese più avanti nella parte dedicata ai numeri interi e all algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore. Nella parte restante del corso, utilizzando il linguaggio degli insiemi, saranno introdotti alcuni concetti astratti, fondamentali in tutti i settori della matematica: funzioni, operazioni, relazioni d ordine e d equivalenza. Nella parte finale del corso vedremo come come usare questi concetti per costruire due nuovi ambienti di calcolo ; il primo è quello degli interi modulo n, esempio di aritmetica finita con interessanti applicazioni per esempio nella crittografia (algoritmo RSA), l altro è quello dei numeri complessi che ha applicazioni ad esempio nello studio dei circuiti elettrici a corrente alternata. C è una letteratura molto vasta sugli argomenti citati e moltissime risorse, con accesso libero, disponibili sulla rete; ad esempio, a livello introduttivo si possono consultare i testi: 4

5 5 Alberto Facchini, Algebra e Matematica Discreta, Zanichelli; Maria Grazia Bianchi Anna Gillo, Introduzione alla Matematica Discreta, McGraw- Hill; John D. Lipson, Elements of Algebra and Algebraic Computing, Addison-Wesley; per approfondimenti: Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Addison-Wesley; Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, McGraw-Hill; Sul web, tra i tanti, meritano di essere segnalati: Wikipedia, The Free Encyclopedia, Page; MIT OpenCourseWare, Mathematics for Computer Science, Fall 2002, -Science/6-042JMathematics-for-Computer-ScienceFall2002/ CourseHome/index.htm; MathWorld, Understanding Mathematics, alfeld/math.html (si rivolge a chi incontra difficoltà nello studio della matematica). Ci sono poi moltissimi siti dedicati ad argomenti particolari (o curiosi), ad esempio: (numeri primi); njas/sequences/ (sequenze di interi); (numeri di Fibonacci); www pa/scots Guide/info/signals/ complex/cmplx.html (numeri complessi e circuiti elettrici). (sito ricco di informazioni ma anche di curiosità e sorprese).

6 1. Linguaggio matematico e insiemi. 1.1 Aspetti logici del linguaggio. Questa sezione è dedicata a una rapida introduzione di alcune nozioni di logica che sono alla base del linguaggio matematico. In particolare si introduce la nozione di proposizione e il modo di costruire nuove proposizioni a partire da proposizione date. Termini, proposizioni, definizioni La matematica consiste di proposizioni. Una proposizione è un affermazione che può essere vera o falsa, ma non l uno e l altro. Ad ogni proposizione si associa il valore di verità T se è vera e F se è falsa. Una proposizione può contenere dei termini indefiniti. I termini indefiniti sono concetti primitivi, quali ad esempio punto e retta nella geometria euclidea e insieme nella teoria degli insiemi. Le loro proprietà sono considerate evidenti nelle teorie elementari (o naïve) mentre nelle teorie formali sono specificate da un sistema di assiomi. Ad esempio la proposizione l insieme dei numeri primi è infinito contiene il termine indefinito insieme ; il termine numero primo, come vedremo più avanti, si definisce utilizzando altri termini (primitivi o già definiti). Le definizioni sono usate per creare nuovi concetti a partire quelli già noti. Ad esempio se è già noto cosa siano i numeri interi positivi e cosa vuol dire che uno di essi è divisibile per un altro, si può definire il concetto di numero primo come un numero intero positivo che ha esattamente due divisori distinti (torneremo più avanti su questa definizione). Una proposizione assunta come vera è detta assioma. Ad esempio per due punti passa una retta è un assioma della geometria euclidea. Un teorema è una proposizione la cui verità stata provata con una dimostrazione, cioè dedotta come conseguenza logica degli assiomi e dei teoremi già stabiliti. Le dimostrazioni date in questi appunti illustrano le tecniche di dimostrazione più comuni quali la prova diretta, la prova indiretta, la prova per assurdo, la prova per induzione. Una proposizione che non è stata provata ne confutata è una congettura. La tabella (1.1) mostra alcuni esempi di proposizioni. Si noti che la quinta proposizione è una riformulazione della proposizione precedente chee non utilizza il termine insieme. 6

7 1.1 Aspetti logici del linguaggio. 7 (1) 5 è un numero primo. (2) 6 è un numero primo. (3) Esiste un intero positivo n tale che n 2 + n + 41 è primo. (4) Per ogni intero non negativo n, il numero n 2 + n + 41 è primo. (5) Esistono infiniti numeri primi. (6) Per ogni intero n > 2 non esistono interi positivi a, b, c tali che a n = b n + c n. (7) Per ogni intero n > 2 esistono due numeri primi a, b tali che n = a + b. Tabella 1.1: Esempi di proposizioni Le proposizioni (1), (3), (5) sono vere (vedremo più avanti una dimostrazione della (5)). La (2) e la (4) sono false: 2 divide 6 ma 2 1 e 2 6 ; per la (4) un controesempio si ha per n = 40 infatti = La (6) è l ultimo teorema di Fermat, da enunciato intorno al 1637 e provato nel 1995 da Andrew Wiles con una dimostrazione di varie centinaia di pagine. La (7), nota come congettura di Goldbach (1742), non è stata ancora provata né confutata. Non sono invece proposizioni le domande ( Che ore sono? ), le esclamazioni ( Uffa! ), frasi come Questa affermazione è falsa o enunciati che contengono variabili (che assumono valori in un dominio prefissato) come ad esempio x + y = 3 nel dominio dei numeri interi. In questo caso il valore di verità dipende da x e y. Sono proposizioni = 3, = 3 e ogni altra affermazione ottenuta sostituendo x e y con due numeri. Quantificatori Un modo di ottenere proposizioni da un enunciato che contiene delle variabili consiste nel quantificare opportunamente tutte le variabili che occorrono nell enunciato, ovvere specificare, per ciascuna variabile se l enunciato è vero per ogni possibile valore o se è vero per almeno un possibile valore. Per esempio, le (diverse) proposizioni della tabella 1.2 sono ottenute quantificando (in vari modi) le variabili x e y in x + y = 3. a) per ogni intero x e per ogni intero y si ha x + y = 3 ; b) esiste un intero x ed esiste un intero y tale che x + y = 3 ; c) per ogni intero x esiste un intero y tale che x + y = 3 ; d) esiste un intero x tale che per ogni intero y si ha x + y = 3. Tabella 1.2: Proposizioni con variabili quantificate I valori di verità sono: F per la (1), T per la (2), F per la (3) e F per la (4). Per ottenere una proposizione da un enunciato che contiene variabili occorre usare un quantificatore (universale o esistenziale) per ciascuna variabile.

8 8 Linguaggio matematico e insiemi. Ci sono due tipi di quantificatori: il quantificatore universale per ogni che si indica col simbolo ; il quantificatore esistenziale esiste che si indica col simbolo. Se p(x) è un enunciato in cui compare la variabile x e si vuol affermare che esso vale per ogni possibile 1 valore di x, si scrive x, p(x) ; se si vuole affermare che p(x) vale per qualche valore di x, ovvero che esiste almeno un valore di x per cui essa vale, si scrive x, p(x). Premesso che i valori che x e y possono assumere sono numeri interi positivi, le quattro proposizioni precedenti si possono riscrivere nella forma seguente 2 : a) x, y si ha x + y = 3 ; b) x, y tale che x + y = 3 ; c) x y tale che x + y = 3 ; d) x tale che y si ha x + y = 3. Tabella 1.3: Proposizioni con quantificatori In generale non si può scambiare l ordine con cui compaiono i quantificatori, in altre parole x y p(x, y) e y x p(x, y) hanno significato diverso. Connettivi logici e tabelle di verità Date delle proposizioni p, q,... si possono costruire nuove proposizioni (dette composte) usando i connettivi logici. La tabella seguente riporta i principali connettivi e il loro significato. Nome Rappresentazione Espressione Negazione p non p Congiunzione p q p e q Disgiunzione p q p oppure q (o entrambi) Implicazione p q se p allora q Equivalenza p q p se e solo se q Tabella 1.4: Connettivi logici In matematica ci sono vari modi di esprimere l implicazione p q ; oltre alla forma se 1 Anche se spesso è chiaro dal contesto quali siano i possibili valori di x, è bene sempre precisare quale sia questo dominio; in seguito lo faremo usando il concetto di insieme. 2 Si potrebbe evitare completamente l uso di termini del linguaggio comune scrivendo ad esempio la (1) nella forma x, y (x + y = 3) ma, spesso, un misto tra formalismo e linguaggio comune risulta più espressivo.

9 1.1 Aspetti logici del linguaggio. 9 p allora q sono molto usate le forme p implica q, q solo se p, p è sufficiente per q, q è necessario per p. Il valore di verità di una proposizione composta dipende solamente dai valori delle sue componenti come indicato nella seguente tabella (si noti che ha significato inclusivo). p q p p q p q p q p q T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T Tabella 1.5: Connettivi e valori di verità. Dalle due tabelle mostrano, ad esempio, che se p è una proposizione, la negazione di p è la proposizione indicata con p (si legge non p ); essa è vera quando p è falsa ed è falsa quando p è vera. Due proposizioni composte sono logicamente equivalenti se hanno la stessa tabella di verità. La tabella seguente mostra che le proposizioni p q e p p sono logicamente equivalenti (questa equivalenza è la base delle dimostrazioni indirette). In modo analogo si prova che: p q p q q p q p T T T F F T T F F T F F F T T F T T F F T T T T (p q) è equivalente a ( p) ( q) e che (p q) è equivalente a ( p) ( q). Concludiamo questa sezione osservando che: Negare che una proprietà p(x) sia vera per ogni x significa che per qualche x vale la negazione di p(x). Negare che esista un x per cui una proprietà p(x) sia vera, significa che per ogni x vale la negazione di p(x). In altre parole valgono le seguenti equivalenze logiche. ( x p(x)) x p(x) ; ( x p(x)) x p(x).

10 10 Linguaggio matematico e insiemi. Ad esempio negare che ogni numero intero è multiplo di 2 equivale ad affermare che esiste (almeno) un numero intero che non è multiplo di 2. Negare che esiste uno studente distratto durante la lezione significa che ogni studente è attento (=)non distratto durante la lezione. Un esempio che mostra che una proposizione con un quantificatore universale è falsa è detto controesempio. Così x = 2 è un controesempio all affermazione: per ogni numero primo x, x è dispari. 1.2 Esercizi Es Dire se le seguenti sono proposizioni. (1) (2) x 2 0. (3) Per ogni numero reale x si ha x 2 0. (4) Esiste un numero reale x tale che x 2 < 0. Es Per ciascuna delle seguenti proposizioni enunciare (possibilmente in più modi) la negazione e dire se essa o la sua negazione sono vere. (1) Il numero intero n è primo e dispari. (2) Il numero intero n è multiplo di 2 o di 3. (3) Se il numero intero n è primo allora è dispari. (4) Ogni intero primo è dispari. (5) Esiste un numero intero dispari. (6) Esiste un numero reale a tale che per ogni numero reale b si ha a b = 0. (7) Per ogni numero reale a esiste un numero reale b tale che a b = 2 Es Costruire la tabella di verità delle proposizioni: (p q) q ; (p q) q ; (p q) ( q p). Es Una proposizione (composta) si dice tautologia se è sempre vera qualunque sia il valore di verità dei suoi fattori. Provare che le seguenti proposizioni sono tautologie. (p (q r)) ((p q) (p r)) ; (p q) ( p q) ; (p (p q)) q.

11 1.3 Il linguaggio degli insiemi Il linguaggio degli insiemi. In questo linguaggio (o teoria elementare) il termine insieme non si definisce ma si assume intuitivamente noto; talvolta si usano come sinonimi le parole classe, famiglia o collezione; tutti questi termini intendono far pensare che un insieme è costituito da elementi; conoscere un insieme significa conoscere quali sono i suoi elementi ovvero saper decidere se un dato elemento appartiene ad esso. Le notazioni che saranno ora introdotte aiutano ad esprimersi in modo preciso e corretto. Se A è un insieme e x è un elemento di A si dice che x appartiene ad A e si scrive: x A Se l elemento x non appartiene all insieme A si scrive: x A. Insiemi particolari Per gli insiemi più importanti conviene avere dei nomi riservati. La tabella 1.6 mostra i più comuni insiemi di numeri. N insieme dei numeri naturali 0, 1, 2,... Z insieme dei numeri interi..., 2, 1 0, 1, 2,... Q R insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali Tabella 1.6: Alcuni insiemi numerici Se S è uno degli insiemi della tabella 1.6, si indica con S l insieme degli elementi non nulli di S, con S + l insieme degli elementi positivi di S e con S l insieme degli elementi negativi di S. Un insieme si dice finito se ha un numero finito di elementi, altrimenti è detto infinito; il numero di elementi dell insieme A si indica con A ed è detto cardinalità di A. L insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e si indica con. Esempi 1.1. N =, {0, 1} = 2, { x R x 2 = 1 } = = 0. Rappresentazione di un insieme Un insieme di solito si descrive in uno dei due modi seguenti: per enumerazione (rappresentazione tabellare): ciò significa elencare tutti i suoi elementi tra parentesi graffe. Per esempio: {a, e, i, o, u} è l insieme delle vocali dell alfabeto italiano. L ordine con cui gli elementi sono elencati è irrilevante, perciò {a, o, u, e, i} e {a, e, i, o, u} rappresentano lo stesso insieme.

12 12 Linguaggio matematico e insiemi. mediante proprietà caratteristica (rappresentazione caratteristica): ciò significa formulare all interno del costruttore di insiemi { } una proprietà p(x) verificata da tutti e soli gli elementi x che costituiscono l insieme. La forma più comune è: { x U p(x) } Si legge l insieme degli x appartenenti a U tale che p(x), dove U è il dominio del discorso (o universo) in cui la proprietà p(x) deve essere interpretata; talvolta, se il dominio U si può dedurre dal contesto, si scrive semplicemente { x p(x) }. Esempio 1.2. Una rappresentazione caratteristica l insieme dei numeri reali positivi R + è { x R x > 0 } ; l insieme dei numeri interi pari è dato da { x Z x = 2t, t Z } ; la scrittura { x x vocale dell alfabeto italiano } è una rappresentazione caratteristica dell insieme {a, e, i, o, u}. Uguaglianza di insiemi Per gli insiemi, il concetto di uguaglianza si può definire in modo rigoroso utilizzando i termini primitivi di insieme, elemento e appartenenza. Per due insiemi A e B poniamo: A = B x (x A x B). In altre parole vale il cosiddetto principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. Dalla definizione data sopra segue che due insiemi sono diversi se e solo se esiste almeno un elemento che appartiene ad uno di essi ma non all altro. In formule: A B x (x A, x B) oppure x (x B, x A) Osservazione. Nella definizione di uguaglianza il simbolo indica che l espressione a sinistra è definita dall espressione a destra di, mentre il simbolo usato sopra indica un equivalenza logica tra la negazione di A = B e l espressione alla sua destra. Nel seguito queste distinzioni non saranno più evidenziate e, talvolta, useremo anche per le definizioni il secondo simbolo. Dalla definizione di uguaglianza di insiemi segue che nella rappresentazione tabellare la ripetizione di un elemento é irrilevante ai fini della descrizione dell insieme stesso pertanto, ad esempio, gli insiemi {a, e, a}, {a, e} e {a, e, a, a} sono uguali. Esempi ) Se A = {1, 1}, B = {1, 2}, C = { x R x 2 1 = 0 }, allora A = C; B C

13 1.3 Il linguaggio degli insiemi. 13 Si ha: 1 R e (1) 2 1 = 0 1 C ; inoltre 1 R, ( 1) 2 1 = 0 1 C. Quindi x (x A x C ; d altra parte se x C allora x 2 = 1, quindi x = ±1 e quindi x A ; ciò completa la prova che A = C. Siccome = 3 0 si ha che 2 B ma 2 C quindi B C. 2) A = { x N x è multiplo di 2 o di 3 } N, infatti 5 N ma 5 A. Ovviamente, per come è definito A, ogni suo elemento sta in N. Sottoinsiemi Si dice che A è un sottoinsieme di B, o che A è contenuto in B, se ogni elemento di A è un elemento di B. In formule: A B x (x A x B) Se A B e A B si dice che A è un sottoinsieme proprio di B e si scrive A B. Esempio 1.4. Tra gli insiemi numerici della tabella 1.6 si hanno le ben note inclusioni: N Z Q R. Inoltre, se S è uno di questi insiemi, i seguenti sono sottoinsiemi di S S = { x S x 0 } ; S + = { x S x > 0 } ; S = { x S x < 0 }. Esempio 1.5. Se n Z, definiamo nz = { x Z x è multiplo di n } = { kn k Z }. Allora, se n 0, nz è un sottoinsieme infinito di Z, mentre se n = 0 si ha nz = { 0 }. Inoltre se a, b Z si ha: az bz b divide a. Vedremo ora vari modi di costruire insiemi a partire da insiemi dati. Se A B, si definisce complementare di A in B il seguente sottoinsieme di B : C B A = { x B x A } Esempi 1.6. C R R = { 0 }; C R { 0 } = R ; C Z N = { x Z x < 0 }; C Z 2Z = { x Z x dispari } ; C X X = ; C X = X per ogni insieme X. Un altra costruzione importante è quella dell insieme delle parti P(X) di un dato insieme X, ovvero dell insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di X :

14 14 Linguaggio matematico e insiemi. P(X) = { A A X } Esempio 1.7. Se X = {1, 2, 3}, allora: P(X) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, X }. Operazioni insiemistiche. Dati due insiemi A e B, definiamo Intersezione A B di A e B l insieme degli elementi che stanno in A e in B. Unione A B di A e B l insieme degli elementi che stanno in A oppure in B. Differenza A B di A con B l insieme degli elementi di A che non stanno in B. Prodotto cartesiano A B di A e B l insieme di tutte le coppie ordinate che hanno il primo elemento in A e il secondo in B. in simboli: A B = { x x A e x B } A B = { x x A oppure x B } A B = { x A x B } A B = { (x, y) x A, y B } Due insiemi che hanno intersezione vuota si dicono disgiunti. Ad esempio il sottoinsieme di N costituito dai numeri pari e quello costituito dai numeri dispari sono disgiunti. Esempio 1.8. Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, allora A B = {1, 2, 3, 4, 6}, A B = {2, 4}, A B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6)} Oss a) Due elementi di A B sono uguali se e solo se hanno uguali le corrispondenti componenti, vale a dire che se (x, y), (x, y ) A B, allora (x, y) = (x, y ) x = x e y = y b) Se A = r e B = s, allora A B = rs ; A B = A + B A B Ne segue che A B = A + B se e solo se A B =.

15 1.3 Il linguaggio degli insiemi. 15 Mettere in relazione gli elementi di un insieme A con gli elementi di un insieme B significa dire, per ogni elemento x A, quali sono gli eventuali elementi corrispondenti in B, ovvero assegnare l insieme delle coppie (x, y) con x A e y B in relazione con x ; quindi una tale relazione determina un sottoinsieme di A B e viceversa ogni sottoinsieme di A B stabilisce una relazione tra gli elementi di A e quelli di B. Ad esempio siano A l insieme degli studenti che devono sostenere l esame di MD e B un insieme (fissato) di nomi; dicendo che y B corrisponde a x A se y è uno dei nomi di x si stabilisce una relazione tra A e B. Si noti che potrebbero esserci elementi di A che non hanno corrispondenti in B oppure elementi di A che hanno più di un corrispondente in B ; in ogni caso la relazione è completamente determinata se si conosce l insieme R = { (x, y) A B y è uno dei nomi di x }. Si osservi inoltre che se si considera il sottoinsieme S = { (y, x) B A y è uno dei nomi di x }, si ottiene una relazione tra gli elementi dell insieme B e quelli di A detta relazione inversa di R. Il concetto di relazione sarà di fondamentale importanza nel seguito; ecco qui la sua definizione formale: Def Una relazione (o corrispondenza) da A in B è un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A B. Se (x, y) R si dice che x è in relazione con y, oppure che y corrisponde a x e si scrive x R y. Talvolta per indicare una relazione R da A in B si scrive R : A B per evidenziare il ruolo dei due insiemi e, se x R y si scrive y = R(x), tuttavia si preferisce riservare questo tipo di notazione alle funzioni che, come vedremo più avanti, costituiscono una classe speciale di relazioni tra insiemi. Esempio a) Se ad ogni numero naturale n si fanno corrispondere i numeri interi t tali che t 2 = n si ha una relazione da N a Z descritta dal sottoinsieme R = {(n, t) N Z t 2 = n}. Si ha: 0 R 0 (cioè (0, 0) R ), 4 R 2, 4 R ( 2) ; invece 2 non è in relazione con 1, anzi R non contiene alcuna coppia che ha 2 come prima componente. b) Se ad ogni numero intero n si fa corrispondere n + 2 (valore assoluto di n + 2 ), si stabilisce una relazione tra Z e N descritta da A = {(x, y) N N y = n + 2 }. Si ha: 0 A 2, 1 A 1, 1 A 3, 1 A 1. Si noti che in questo esempio ogni elemento x del primo insieme, Z, ha almeno un corrispondente, il numero x + 2, nel secondo insieme, N.

16 16 Linguaggio matematico e insiemi. c) Nell insieme S = P({a, b, c}) poniamo X in relazione con Y se e solo se X Y = {b}. Allora il sottoinsieme di S S che descrive questa relazione è: { ({b}, {b}), ({b}, {a, b}), ({b}, {b, c}), ({b}, S ), ({a, b}, {b}), ({a, b}, {b, c}), ({b, c}, {b}), ({b, c}, {a, b}), (S, {b}) } Terminiamo questa parte sugli insiemi indicando come le precedenti costruzioni di unione, intersezione e prodotto cartesiano si possano estendere a più di 2 insiemi. Def Il prodotto cartesiano di un numero finito di insiemi A 1, A 2,..., A n è l insieme A 1 A 2... A n costituito da tutte le n -uple ordinate (x 1, x 2,..., x n ) con x i A i per ogni i = 1,..., n, A 1 A 2... A n = { (x 1, x 2,..., x n ) x i A i, i = 1,..., n } Se A 1 = A 2 =... = A n = A, si scrive A n invece di A 1... A n. Le definizioni di unione e intersezione si estendono al caso di famiglie arbitrarie di insiemi nel modo seguente. Def Se I è un insieme e per ogni i I è dato un insieme A i, si dice che gli insiemi A i costituiscono una famiglia di insiemi indiciata sull insieme I e si scrive { A i } i I. Esempi a) Per ogni n Z sia A n = { x R n 1 x n + 1 }, allora { A n } n Z è una famiglia infinita di sottoinsiemi di R. b) Sia D = { n N n divide 12 } ; allora { nz } n D è una famiglia costituita da 6 sottoinsiemi di Z. Def L unione di una famiglia {A i } i I di insiemi è l insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A i mentre l intersezione è l insieme formato dagli elementi che appartengono a tutti gli insiemi A i ; formalmente: A i = {x j I, x A j } ; i I A i = {x x A i, i I} i I Esempio Per ogni n N sia A n = {x Z x < n} (n N). Consideriamo la famiglia {A n } n N di sottoinsiemi di Z e poniamo: X = n N A n e Y = n N A n. Si ha X = Z e Y = A 0. Prova. Se x X, allora esiste n N tale che xina n ma A n Z, quindi x Z ; d altra parte se x Z, allora x A x +1 quindi x X e X = Z. La seconda uguaglianza segue dal fatto che A 0 A n per ogni n N.

17 1.3 Il linguaggio degli insiemi. 17 Esempio Consideriamo l insieme I = {p N p primo } e per ogni p I sia A p = {x Z p divide x} ; allora { } A p è una famiglia di sottoinsiemi di Z indiciata p I su I. Si noti che se p, q I e p q allora A p A q perché p A p ma p A q. Ne segue che la famiglia {A p } è ha infiniti elementi. Si ha: A p = { x Z x ±1 }, A p = {0} p I Per provarlo poniamo X = p I A p e Y = { x Z x ±1 }. Per ogni x X si ha x A 2 Y, quindi X Y. Viceversa, sia x Y ; se x = 0 allora x A 2 X ; se x 0, allora x è un prodotto (finito) di numeri primi, e, se p è un numero primo che compare nella scomposizione di x in fattori primi, allora x A p, quindi x X e Y X. Ciò prova che X = Y. Per la seconda uguaglianza si osservi che {0} A p per ogni p, quindi {0} p I A p. L inclusione opposta segue dal fatto che se x p I A p, allora x = 0 oppure x ha solo un numero finito di fattori primi quindi appartiene solo a un numero finito di insiemi A p. p I Partizioni. Una partizione di un insieme è una speciale famiglia di sottoinsiemi che gode delle proprietà specificate nella definizione seguente. Come vedremo in seguito il concetto di partizione è strettamente legato a quello di relazione d equivalenza. Def Dato un insieme X, una partizione di X è una famiglia { A i } i I di sottoinsiemi di X tali che X = A i, e A i A j = se i j. i I Esempio (1) Sia X = N. La famiglia { A 1, A 2 }, dove A 1 è il sottoinsieme di X costituito dai numeri naturali dispari e A 2 è il sottoinsieme costituito dai numeri naturali pari, è una partizione di X che ha due elementi. (2) Siano X = R e, per ogni i Z, sia A i = { x R i < x i + 1 }. Allora { A i } i Z è una partizione di R con infiniti elementi. (3) Sia X = { x Z x ±1 }. La famiglia di sottoinsiemi definita nell esempio 1.17, la cui unione è X, non è una partizione di X, infatti 6 A 2 A 3.

18 18 Linguaggio matematico e insiemi. 1.4 Esercizi Es Siano A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}. Quali sono i sottoinsiemi di A che sono anche sottoinsiemi di B? Es Usando il costruttore di insiemi { } descrivere i seguenti insiemi: (1) l insieme dei numeri interi il cui valore assoluto è maggiore di 100 e minore di (2) l insieme dei numeri naturali multipli di 3 e che sono minori di 1000 ; (3) l insieme delle coppie di numeri interi per le quali è nullo il prodotto delle due componenti. (4) l insieme delle coppie di numeri naturali che hanno prima componente dispari e seconda componente pari. (5) l insieme dei sottoinsiemi di N che non contengono numeri pari. Es Sia X = {a, b, c, d}. Scrivere tutti gli elementi dell insieme A formato da tutti i sottoinsiemi di X che hanno cardinalità 2 e dell insieme B formato da tutti i sottoinsiemi di X che non contengono a. Determinare: A B, A B, A B, B A. Es Siano A = { x R x 2 3x + 2 = 0 }, B = { x R x 3 3x 2 = 2x }. Provare che A è un sottoinsieme proprio di B. Es Siano A, B e C tre insiemi tali che A B = C, B C = A e C A = B. Provare che A = B = C. Es Siano A = { x R x 0 } e B = { x R x 3 }. Determinare e verificare le uguaglianze C R (A), C R (B), C R (A B), C R (A B) C R (A B) = C R (A) C R (B); C R (A B) = C R (A) C R (B). Es Dati gli insiemi A 1 = { x R 0 x < 2 }, A 2 = { x R 0 < x 2 }, A 3 = { x R 1 x < 1 } esprimere nella forma { } i seguenti insiemi: A 1 A 2 ; A 1 A 3 ; 3 A i ; A 1 A 2 ; A 1 A 3 ; i=1 3 A i ; A 1 A 2 ; A 2 A 1 ; A 1 A 3 ; (A 1 A 2 ) A 3 ; (A 1 A 2 ) A 3 ; C R (A 2 A 3 ) ; C R (A 2 A 3 ) ; C R (A 2 ) C R (A 3 ) ; C R (A 2 ) C R (A 3 ).S i=1

19 1.4 Esercizi 19 Es Provare che A (B C) = (A B) (A C). Es Provare che A (B C) = (A B) (A C). Es Provare le seguenti formule di De Morgan (1) C( i I A i ) = i I C A i (2) C X ( i I A i ) = i I C X A i Es Siano A = {1, 2} e B = {a, b}. Trovare (elencando tutti gli elementi) gli insiemi: A B, B A, A 2, B 3. Es Per ogni n N sia A n = { x N x > n }. Provare che A n =. Es Per ogni i N sia A i = { n Z n 2 i } e siano n N A = i N A i, B = i N A i, C = { n Z n < 0 }, D = { n Z n è dispari }. Provare che A = Z e che B = C D. Es Per ogni n N siano I n = {0, 1,..., n} e A n = { x N 0 x n }. Determinare: i I 4 i I 4 i N i N A i, A i, A i, A i Es Siano A = {1, 2, 3} e B = {2, 5, 8}. Trovare il sottoinsieme di A B che definisce la relazione da A in B : x R y x + y è dispari.

20 2. Numeri naturali e induzione Contare (uno, due, tre,... ) è la prima attività matematica che impariamo a svolgere; per farlo non è necessario sapere cosa sia esattamente un numero ma basta saper quali sono i numeri che servono per contare e in che modo vanno usati (ad esempio saper dire qual è il più grande tra due di essi). Con la pratica si impara a fare calcoli (addizioni, sottrazioni, ecc. ), a confrontare e ordinare i numeri, a trovare del tutto ovvio che l ordine con cui sommiamo i numeri è irrilevante o che tra due (o più) numeri distinti ce nè uno che è più piccolo di tutti gli altri. La conoscenza dei numeri naturali e delle loro proprietà è fondamentale in tutti i campi della matematica. Uno studio sistematico di questo insieme esula dagli obiettivi di questo corso, conviene tuttavia richiamare qui alcune basilari proprietà che useremo in seguito liberamente. E ben noto che i numeri naturali 0, 1, 2,... costituiscono un insieme N infinito e sono ordinati ( 0 < 1 < 2 <... ) in modo tale che dati due numeri naturali distinti a e b si ha a < b oppure b < a. Due numeri naturali a e b possono essere sommati e moltiplicati; si ha e per ogni a N ; queste operazioni di somma e prodotto sono commutative, cioè per ogni a, b N si ha: a + b = b + a; a b = b a e associative, cioè per ogni a, b, c N si ha: a + (b + c) = (a + b) + c; (a (b c) = (a b) c inoltre per ogni a N si ha: 0 + a = a; 1 a = a. Per ogni a N e per ogni n N la potenza n -esima di a è definita come 1 se n = 0 e come il prodotto di n fattori uguali ad a se n > 0. Se a, n, m N, allora: a n a m = a n+m ; (a n ) m = a n m Vedremo più avanti altre proprietà derivanti dall operazione di divisione con resto che si può effettuare tra due numeri naturali. Prima però vogliamo soffermarci sulla questione di cosa siano i numeri naturali; in particolare si possono definire in termini di altri concetti più semplici? Come si possono dimostrare le loro proprietà? Secondo Kronecker la risposta alla prima domanda è negativa; infatti riferendosi alla matematica, sosteneva che Dio ha creato i numeri naturali, tutto il resto è opera dell uomo. 20

21 21 Secondo altri matematici anche questi numeri si possono ottenere a partire da concetti primitivi più semplici e un opportuno sistema di assiomi. Il più noto di questi sistemi è quello di Peano, riportato nella tabella (2.7); in esso si assumono come primitivi i termini zero ( 0 ) e successore (di un numero naturale). A1: Esiste un numero naturale 0. A2: Ogni numero naturale a ha un successore denotato S (a). A3: 0 non è il successore di alcun numero naturale. A4: Numeri naturali distinti hanno successori distinti. A5: Se una proprietà vale per 0 e se ogni volta che vale per un numero naturale vale anche per il suo successore, allora vale per tutti i numeri naturali. Tabella 2.7: Assiomi di Peano Abitualmente si scrive 1 al posto di S (0), 2 al posto di S (1) = S (S (0)), e così via. Tutte le usuali nozioni e proprietà dei numeri naturali (somma, prodotto, ordinamento, ecc.) si possono definire a partire da questi assiomi. Ad esempio l ordinamento naturale richiamato sopra si definisce ponendo: a b a = b oppure esiste una sequenza finita a, S (a), S (S (a)),..., S (S (... (S (a))...)) = b. (2.1) Il quinto assioma, detto principio di induzione, si può enunciare con il linguaggio degli insiemi nel modo seguente: Se S N è un sottoinsieme che soddisfa le due condizioni: 1) 0 S, 2) n S n + 1 S, allora S = N. Anche gli assiomi A2, A3, A4 possono essere riformulati con il linguaggio degli insiemi, infatti asserire l esistenza del successore di un numero con le proprietà specificate in A3 e A4, equivale ad asserire l esistenza di una funzione 1 S da N in sé, iniettiva e con immagine N. Il principio di induzione assicura la validità delle dimostrazioni per induzione e delle definizioni per ricorrenza, ovvero quelle definizioni che dovendo essere formulate per 1 Il concetto di funzione è l argomento del prossimo capitolo.

22 22 Numeri naturali e induzione ogni numero naturale n vengono formulate in modo esplicito per alcuni valori iniziali 0, 1,..., r e, per un generico n > r, in termini della stessa definizione ma relativa ai valori 0, 1,..., n 1. Un tipico caso di definizione per ricorrenza è quello della sequenza dei numeri di Fibonacci F n : F 0 = 0; F 1 = 1; F n = F n 2 + F n 1, per n > 1. (2.2) Nella teoria assiomatica dei numeri naturali le usuali operazioni di somma e prodotto sono definite ricorsivamente nel seguente modo: a se b = 0 a + b = S (a + c) se b = S (c) ; a b = 0 se b = 0 (2.3) (a c) + a se b = S (c) In particolare a + 1 = a + S (0) = S (a + 0) = S (a). 2.1 Dimostrazioni per induzione L induzione è uno dei metodi di di dimostrazione più potenti e più usati nella Matematica Discreta. Si può usare ogni volta che si ha da dimostrare che una certa proprietà P(n) è vera per ogni numero naturale n ovvero quando si deve provare che l insieme S = { n N P(n) è vera } coincide con N. Per il principio di induzione basta provare che 0 S e che se n S allora n + 1 S, ovvero che valgono i due fatti seguenti: (1) P(0) è vera; (Passo base) (2) per ogni n si ha P(n) P(n + 1). (Passo induttivo) Da ciò segue allora che P(n) è vera n N. Vediamo un esempio di questa tecnica provando la seguente Proposizione 2.1. Se X è un insieme finito che ha n elementi ( n 0 ), l insieme delle parti P(X) ha 2 n elementi. Dimostrazione. Passo base. Se n = 0, allora X = quindi P(X) = { } ha 1 elemento e l enunciato è vero. Passo induttivo. Supponiamo n > 0 e, per ipotesi induttiva, supponiamo che ogni insieme che abbia n 1 elementi abbia 2 n 1 sottoinsiemi. Se X è un insieme che ha n elementi e a X, sia Y = X\{a}. Allora Y ha n 1 elementi. Se S X e a S allora S Y e quindi è uno dei 2 n 1 sottoinsiemi di Y ; se a S, allora S = {a} T

23 2.1 Dimostrazioni per induzione 23 dove T Y, quindi anche i sottoinsiemi di X che contengono a sono tanti quanti i sottoinsiemi di Y. In totale i sottoinsiemi di X sono 2 n n 1 = 2 2 n 1 = 2 n. Spesso, data una formula che coinvolge un numero naturale n, il problema è dimostrarla per ogni n r dove r è un numero naturale fissato. In questo caso basta provare che (Passo base) la formula è vera per r ; (Passo induttivo) n r, se la formula è vera per n allora è vera per n + 1. Esempio 2.2. Provare che, per ogni intero n 1, la somma dei numeri naturali n è n(n + 1)/2 ovvero che vale la formula n(n + 1) n =, n 1 (2.4) 2 Il passo base consiste nel calcolare i due membri della (2.4) per n = 1 e verificare che sono uguali: a sinistra si ha 1, a destra 1 2 = 1 e questi due valori sono uguali. 2 Nel passo induttivo dobbiamo provare che per ogni n n = n(n + 1) 2 Ma un facile calcolo mostra che n + (n + 1) = n + (n + 1) = ( n) +(n + 1) } {{ } = n(n + 1)/2 + (n + 1) = n(n + 1)/2 + 2(n + 1)/2 = (n + 1)(n + 2)/2. (n + 1)(n + 2) 2 Si osservi che, nel passo induttivo, abbiamo evidenziato nell espressione da calcolare una parte che compare al primo membro dell ipotesi induttiva e, grazie a questa, lo abbiamo sostituito col valore n(n + 1)/2. Questo è uno schema abbastanza comune nelle prove per induzione. Altri esempi di dimostrazione per induzione sono dati negli esercizi. Oss Nella formula (2.4) la parte a sinistra del segno = è una somma in cui figurano esplicitamente solo alcuni addendi, quelli mancanti sono indicati con dei puntini (... ). Questo tipo di notazione si basa sull idea che, mostrando abbastanza termini di una sequenza, il lettore è in grado di capire, senza ambiguità, come questa continui, ma non è precisa: scrivere altri addendi oltre al primo contrasta col fatto che nella formula si potrebbe avere n = 1. L uso del simbolo di sommatoria consente di scrivere formule come le precedenti in modo più preciso. In generale l espressione n i=1 E i indica la somma degli n addendi E 1,..., E n ; la formula (2.4) conquesta notazione diventa: n i = i=1 n(n + 1), n 1. 2

24 24 Numeri naturali e induzione Una dimostrazione per induzione è molto naturale quando l enunciato riguarda oggetti definiti per ricorrenza, come mostra il seguente teorema relativo ai numeri di Fibonacci F n definiti sopra. n Teorema 2.4. Per ogni n 1 si ha: Fi 2 = F n F n+1. i=1 Dimostrazione. Per induzione. Se n = 0 la (2.4) diventa 0 = 0 1 = 0, quindi il passo base è banalmente provato. Per n 0 supponiamo sia vero che n P(n) : Fi 2 = F n F n+1 (2.5) i=1 e proviamo che n+1 i=1 F 2 i = F n+1 F n+2. Dalla definizione (2.2) si ha F n+1 = F n+2 F n ; moltiplicando ambo i membri per F n+1 si ha F 2 n+1 = F n+1f n+2 F n F n+1 (2.6) Sommando membro a membro la (2.5) e la (2.6) si ha cioè n F 2 n+1 + Fi 2 = (F n+1 F n+2 F n F n+1 ) + F n F n+1 n+1 i=1 i=1 F 2 i = F n+1 F n+2 Questo prova che per ogni n, P(n) P(n + 1) e la prova è completa. Una falsa dimostrazione Teorema 2.5 (Falso). Tutti i gatti hanno lo stesso colore. Dimostrazione. Proviamo per induzione su n la proposizione P(n) : in un insieme di n gatti, tutti i gatti hanno lo stesso colore. Questo è ovviamente vero per n = 1, perché in questo caso c è solo un gatto. Se n 1, assumiamo che in ogni insieme di n gatti, tutti i gatti abbiano lo stesso colore e proviamo che in ogni insieme di n + 1 gatti, tutti i gatti hanno lo stesso colore. Siano allora C 1, C 2,..., C n+1 n + 1 gatti. Per ipotesi induttiva C 1, C 2,..., C n hanno lo stesso colore così come C 2,..., C n+1 ; allora C 1, C 2,..., C n+1 devono avere lo stesso colore e precisamente quello di C 2. Ciò prova che P(n) P(n + 1) e la prova è completa!!! Naturalmente questa prova ha un baco che la notazione con i puntini aiuta a nascondere. Il ragionamento funziona se c è C 2 ovvero se i due sottoinsiemi {C 1, C 2,..., C n } e {C 2,..., C n+1 } hanno intersezione non vuota; ma per n = 1 il primo insieme è {C 1 }, il secondo è {C 2 } e sono disgiunti. Quindi questa dimostrazione prova P(1) e prova che P(n) P(n + 1) per ogni n 2, ma non prova P(1) P(2) che ovviamente non è vera.

25 2.2 Divisione col resto 25 Induzione forte Si tratta di una variazione del principio di induzione che si dimostra essere equivalente ad esso. Si può enunciare come segue: Principio di induzione forte: Se una proprietà vale per 0 e se ogni volta che vale per tutti i numeri naturali n vale anche per n + 1, allora vale per tutti i numeri naturali. o, equivalentemente, nella forma Se S N è un sottoinsieme tale che: 0 S, k S per ogni k n n + 1 S, allora S = N. In una dimostrazione che usi il principio di induzione forte, nel passo induttivo invece di provare che P(n + 1) segue da P(n) (solamente) possiamo provare che P(n + 1) segue da P(0), P(1),..., P(n). Questo può essere di grande aiuto come vedremo nella prossima sezione. Concludiamo questa sezione menzionando un altra notevole proprietà dei numeri naturali, detta principio del buon ordinamento: Ogni sottoinsieme non vuoto di N ha un elemento minimo (si intende rispetto all ordinamento naturale definito dalla (2.1)). Si dimostra che sostituendo l assioma di induzione con il principio del buon ordinamento si ottengono due definizioni assiomatiche equivalenti dei numeri naturali. 2.2 Divisione col resto Una operazione importante tra numeri naturali è la divisione col resto. teorema definisce e prova l esistenza di quoziente e resto. Il seguente Teorema 2.6 (Divisione). Dati due numeri naturali a e b > 0, esistono e sono univocamente determinati due numeri naturali q e r tali che a = b q + r con 0 r < b. Dimostrazione. Per induzione forte su a. Passo base: se a = 0, l enunciato è vero con q = r = 0.

26 26 Numeri naturali e induzione Passo induttivo: Supponiamo che l enunciato sia vero per ogni coppia di numeri naturali (a, b) con a < a e proviamolo per la coppia (a, b). Se a < b basta prendere q = 0 e r = a. Se a b, allora 0 a b < a quindi per ipotesi induttiva esistono q e r con r < b e a b = b q + r. Allora per la coppia (a, b) si ha q = q + 1 e r = r. Def Gli interi q e r del teorema 2.6 sono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione di a per b. Def Se a, b N e b 0, si dice che b divide a, e si scrive b a, se il resto della divisione di a per b è 0. In tal caso a = b q e si dice che b è un divisore di a o che a è un multiplo di b. 2.3 Numeri primi Def Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che è divisibile solo per 1 e per se stesso. Un numero naturale non primo è detto composto. La sequenza dei numeri primi comincia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107,... Un importante proprietà dei numeri primi è data dal seguente teorema già noto a Euclide. Teorema 2.10 (Teorema fondamentale dell aritmetica). Ogni numero intero n > 1 è il prodotto di un numero finito di fattori primi. Tale fattorizzazione è unica a meno dell ordine dei fattori. Dimostrazione. Per induzione su n. Per il passo base basta osservare che n = 2 è primo. Sia n > 2 e supponiamo (induzione forte) che ogni intero minore di n sia un prodotto di numeri primi. Ci sono due casi possibili: o n è primo, in tal caso non c è nulla da provare oppure n è composto. Nel secondo caso esistono due interi a e b tali che 1 < a, b < n e n = ab. Per ipotesi induttiva sia a che b si scompongono in prodotto di primi e quindi il prodotto di queste due fattorizzazioni fornisce la fattorizzazione di n. Proviamo che la fattorizzazione è unica a meno dell ordine dei fattori. Supponiamo che n = p 1 p 2 p r = q 1 q 2 q s (2.7) con tutti i p i e q j primi e procediamo per induzione su r. Se r = 1, allora n = p 1 è un numero primo, quindi deve essere s = 1 (altrimenti n sarebbe composto) e q 1 = p 1 = n. Supponiamo ora che l enunciato sia vero per i numeri che hanno una fattorizzazione con r 1 fattori primi e proviamolo per quelli che hanno una fattorizzazione con r

27 2.3 Numeri primi 27 fattori primi. Dalla (2.7) si ha che p r divide q 1 q 2 q s, quindi p r divide uno dei q i ; possiamo riordinare i q i in modo che p r divida q s, ma q s è primo quindi p r = q s. Allora si ha n = p 1 p 2 p r 1 p r = q 1 q 2 q s 1 p r e, dividendo per p r, anche p 1 p 2 p r 1 = q 1 q 2 q s 1. Dall ipotesi induttiva si ha allora r 1 = s 1, cioè r = s e, a meno di un riordinamento dei fattori, p i = q i per ogni i = 1,..., r 1. Solitamente si scrivono i fattori primi in ordine non decrescente e si raggruppano in una potenza tutti i fattori uguali. Esempio = ; 101 = 101; = Dal teorema fondamentale dell aritmetica si deduce: Teorema Esistono infiniti numeri primi. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che vi siano solo un numero finito di numeri primi: p 1, p 2,..., p r. Se N = p 1 p 2... p r + 1, e p è un divisore primo di N, allora p p i per ogni i perché nessun p i divide N. Numeri primi molto grandi (più grandi di ) sono usati in vari algoritmi di crittografia con chiave pubblica. I numeri primi sono anche usati per le hash table e per i generatori di numeri pseudorandom. Ecco un numero primo con 250 cifre \ \ Il crivello di Eratostene è un procedimento per trovare tutti i numeri primi minori di un intero fissato N. Si considera la lista degli interi da 2 a N ; 2 è primo e si rimuovono tutti i multipli di 2 ; il primo numero della lista ( 3 ) è primo e si rimuovono dalla lista tutti i suoi multipli; il primo numero della lista ( 5 ) è primo e si rimuovono dalla lista tutti i suoi multipli; eccetera. Il crivello è inefficiente per decidere la primalità di un intero n dato che per farlo deve costruire tutti i primi n. Esistono test di primalità (algoritmi) molto efficienti basati sull aritmetica modulare che sarà introdotta nel seguito; uno di questi, di natura probabilistica, è l algoritmo di Rabin del 1980.

28 28 Numeri naturali e induzione 2.4 Esercizi ES Provare, usando il principio di induzione, le seguenti affermazioni: (a) n = n(n + 1)/2 ( n > 0) ; (b) (2n 1) = n 2 ( n > 0) ; (c) (d) (e) n k=1 k 2 n(n + 1)(2n + 1) = ( n > 0) ; 6 n k=0 2 k = 2 n+1 1 ( n 0) ; ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) = 1 ( n 2) ; 2 3 n n (f) Ogni poligono convesso C n di n lati ( n 3 ) ha n(n 3)/2 diagonali; (g) La somma degli angoli interni di un poligono convesso C n π(n 2) ; di n lati ( n 3 ) è (h) Se x R, x 1 per ogni n > 0 si ha 1 + x x n = 1 xn+1 1 x. (i) 13 divide 4 2n n+2 per ogni n 0. (j) 8 n + 6 è divisibile per 14 per ogni n > 0. (k) n 3 n è divisibile per 3 per ogni n > 0. (l) n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 è divisibile per 9 per ogni n > 0. (m) n! > 2 n, per ogni n 4. Es Qual è il quoziente e il resto della divisione di 124 per 33 e di 124 per 31. Es Stabilire se 54 divide i numeri 0, 1, 20, 54, 100, 108. Es Scrivere tutti i divisori (in N ) di 100, di 510 e di Quali di questi divisori sono numeri primi? Es Quali sono i divisori comuni agli interi 60 e 72?

29 3. Funzioni Nelle pagine precedenti abbiamo incontrato più volte questa situazione: un insieme A, un insieme B e un modo di associare ad ogni elemento di A un elemento di B, per esempio quando: A è un insieme di proposizioni, {V, F} è l insieme dei valori di verità e ad ogni proposizione in A si fa corrispondere il valore di verità. A = P(X) è l insieme dei sottoinsiemi di un insieme finito X, B = N e ad ogni sottoinsieme Y di X si fa corrispondere la sua cardinalità Y. A = B = N e ad ogni numero naturale n si fa corrispondere il suo successore s(n). A = N N, B = N e ad ogni coppia di numeri naturali (a, b) si fa corrispondere la loro somma a + b. A = N N, B = N N e ad ogni coppia di numeri naturali (a, b) con b 0 si fa corrispondere la coppia (q, r) dove q è il quoziente e r il resto della divisione di a per b. In tutti questi casi si ha una corrispondenza da A a B che è una funzione nel senso che ora specificheremo. 3.1 Definizione di funzione Siano A e B due insiemi. Def Una funzione da A in B è una relazione da A in B in cui: ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B. I termini applicazione e mappa sono spesso usati come sinonimo di funzione. Notazione. Una funzione f da A in B si indica col simbolo f : A B ; inoltre, se x A, l unico elemento di B che corrisponde a x si indica con f (x) e si chiama immagine di x mediante f. Oss Come già osservato in precedenza in alcuni casi si scrive f : A B anche se f è semplicemente una corrispondenza da A in B, in particolare quando ci si chiede se una data corrispondenza è una funzione. Assegnare (o definire) una funzione f : A B significa specificare quale sia l elemento f (x) che corrisponde ad ogni x A. Questo di solito si fa mediante una formula che 29

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