6. Trimini per tassellare il piano

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1 6. Trimini per tassellare il piano Osservando il pavimento sotto i vostri piedi, noterete che la sua superficie è interamente ricoperta da piastrelle identiche, probabilmente di forma triangolare, quadrata o esagonale. Le piastrelle sono disposte in maniera ordinata sul piano in modo tale da ricoprirne l intera superficie senza sovrapporsi e senza lasciare spazi vuoti. In geometria piana, si dicono tassellature (talvolta tassellazioni o pavimentazioni) i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni. Tali figure geometriche, che come è facile immaginare vengono dette "tasselli", sono spesso poligoni, regolari o non, ma possono anche avere lati curvilinei, o non avere affatto vertici. L'unica condizione che solitamente si pone è che siano connessi, anzi semplicemente connessi (ovvero che siano un pezzo unico e non abbiano buchi). Riportiamo alcuni esempi di tassellature nell arte e nella natura: Ora proverai anche tu a tassellare il piano con particolari forme geometriche. 26

2 1. È assegnata una scacchiera quadrata 4x4, divisa in caselle bianche e nere quadrate. Si vuole ricoprire la scacchiera con tasselli aventi la forma indicata nella figura sotto riportata, sapendo che ognuno dei quadratini che li compongono è uguale ad una casella della scacchiera e che si alternano caselle bianche a caselle nere. scacchiera tasselli Disegna tutti i tasselli necessari, colorando i quadratini neri, e disponili nella posizione corretta per ricoprire la scacchiera. È possibile ricoprire una scacchiera avente 6 caselle per lato, usando i tasselli con la forma sopra descritta? Motiva la risposta. 2. Consideriamo ora scacchiere con 2 2 quadrati, dalle quali un quadrato angolare è stato rimosso, come nei seguenti esempi: Scacchiera 2x2 Scacchiera 4x4 (cioè ) Scacchiera 8x8 (cioè 2 2 ) Utilizziamo come tasselli i cosiddetti trimini, che hanno la seguente forma: 27

3 Un trimino serve per ricoprire esattamente una scacchiera 2x2. Con i trimini si può tassellare una qualsiasi scacchiera 2 2? Se sì, quanti trimini servono? Proviamo a scoprirlo, seguendo i passi seguenti: Quanti trimini hai utilizzato? Inizia con una scacchiera 4x4 2 2 (cioè 2 2 ) e disegna i trimini necessari per ricoprirla (puoi usare colori diversi per differenziarli): T (2) = Prova ora con una scacchiera 8x8 (cioè 2 2 ) Suggerimento: prova ad utilizzare il caso precedente T () = Senza continuare con i disegni, sapresti trovare la formula per T (4) a partire da T ()? Puoi generalizzare il ragionamento, scrivendo una formula per T ( n +1) in funzione di T (n)? Ora che ti sei convinto che si può tassellare con i trimini una qualsiasi scacchiera siffatta 2 2, cerca una formula che esprima il numero dei trimini occorrenti in funzione di n, dove n è il numero di righe e colonne della scacchiera (suggerimento: utilizza il numero totale dei quadrati presenti nella scacchiera ed il numero dei quadrati che formano un trimino): 28

4 PER IL DOCENTE Trimini per tassellare il piano Classe consigliata: 1^ Strumenti: pennarelli; eventualmente Cabri (o Geogebra) PREREQUISITI Proprietà delle potenze e calcolo in N (per l eventuale dimostrazione) OBIETTIVO DELL ATTIVITA Esplicitare una strategia risolutiva del problema della tassellazione Riconoscere un procedimento ricorsivo Ricavare una formula generale CONCETTI SOGGIACENTI (eventualmente sviluppabili) Conoscere la formulazione del principio di induzione Dimostrare una formula per induzione 1. Costruzione varie parti: Non è possibile ricoprire una scacchiera con 6 caselle per lato perché se aggiungessi altre due colonne alla scacchiera sopra (analogo discorso per le due righe), potrei coprirle solo con tasselli del 1 o tipo sopra disegnati, che mi lascerebbero un angolo vuoto. 29

5 2. Iniziamo con il caso n = 2 e poi proseguiamo. Se gli studenti sanno già usare le isometrie con Cabri, possono costruire la scacchiera (in modo veloce utilizzando gli assi e la griglia), e poi i trimini, utilizzando i vari tipi di isometrie. Scacchiera (ricoprimento con 5 trimini: ( 2) = 5 T ) 2 2 Scacchiera Strategia : Divisione in 4 parti della scacchiera 1 4 Trimino nuovo 2 Fase 1 Riportare nel quarto di scacchiera la costruzione precedente e collocare al centro un trimino nuovo Fase 2 Riportare la situazione 1 nella parte di scacchiera contrassegnata da 2 Fase Eseguire la simmetria assiale, rispetto alla retta verticale passante per il centro della scacchiera, dei trimini in 2 per ottenere la zona Fase 4 Rotazione attorno al centro di 180 della zona per ottenere la zona 4 La costruzione finita è: 0

6 Si può far notare agli studenti che il processo messo in atto è di tipo ricorsivo. Per calcolare T (4) a partire da T (), lo studente dovrebbe aver intuito che servono 4 volte il numero di trimini del caso precedente, più un trimino centrale, quindi: T ( 4) = 4 T () + 1 = = 85 In generale T ( n + 1) = 4 T ( n) + 1. Per trovare il numero di trimini in funzione di n, si può ragionare così: ogni trimino è formato da quadrati, mentre la scacchiera (senza un quadrato angolare) ha 2 n 2 n 1 quadrati in tutto. n Quindi la formula che dà il numero di trimini in funzione di n è T ( n) = =. Tale formula si può dimostrare per induzione: 1 a) se n = 1, cioè ho una scacchiera 2x2, mi serve un trimino: infatti T (1) = = 1 n b) se in una scacchiera 2 2 mi servono T ( n) = trimini, quanti trimini occorrono in una 1 1 scacchiera 2 n + 2 n+? Si ha: n n+ 1 n T ( n + 1) = 4 T ( n) + 1 = = = Allora, per il principio di induzione, la formula è vera per ogni n. 1