SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo. RETI CORRETTRICI

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1 SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo RETI CORRETTRICI Ing. Luigi Biagiotti luigi.biagiotti@unimore.it

2 Regolatori standard Alcune strutture standard di regolatori reti correttrici anticipo o ritardo 1 polo ed uno zero reali anticipo/ritardo due poli e due zeri reali distinti regolatori industriali Proporzionali (P) Integrali (I) Proporzionali-Integrali (PI) Proporzionali-Derivativi (PD) Proporzionali-Integrali-Derivativi (PID) Reti correttrici -- 2

3 Rete di anticipo (phase( lead) Funzione di trasferimento: Si assume una rete a guadagno statico unitario Gain db /τ 1/ατ Phase deg ατ τ ωm = 1 ( τ α ) ω (rad/sec) La rete anticipatrice ha due effetti sulla funzione di anello: migliora il margine di fase intorno ad ω m effetto utile aumenta il guadagno per ω > 1/τ effetto collaterale Reti correttrici -- 3

4 Rete di Anticipo (phase( lead) Formule utili ϕ m Massimo sfasamento introdotto dalla rete Spesso α.1 ϕ m = α Reti correttrici -- 4

5 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello Gain db 5-5 cresce ω c Phase deg -1-9 L(s) migliora M F -18 ω (rad/sec) Se si sceglie τ in modo che ω m ω c effetto stabilizzante Reti correttrici -- 5

6 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello 2 Gain db Phase deg Ingrandita ω (rad/sec) L'aumento di guadagno in ω c si può compensare riducendo il guadagno statico del regolatore prestazioni statiche!!! aggiunta di un polo nell'origine Reti correttrici -- 6

7 Rete di Anticipo (phase( lead) Effetti sulla f.d.t. di anello Gain db Phase deg /τ 1/ατ La specifica sul M f 9 si può soddisfare qui ω(rad/sec) se si vuole ω c come prima Con la rete di anticipo non si può ottenere M f 9 perché max anticipo è < 9 per imporre ω c si può modificare il µ R del regolatore statico Aggiunto polo nell'origine Reti correttrici -- 7

8 Reti anticipatrici formule di inversione L obiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà (α, τ) al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati NOTA: la rete sfasa in anticipo e amplifica. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata ω c * deve essere a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per ω = ω c * deve essere minore di -18 o + M f * (M f * margine di fase desiderato). Problema: Dati valori desiderati (M*, φ*,ω c *) (con M* > 1, < φ* < 9 o ) identificare le formule per trovare (α, τ) della rete che alla pulsazione ω = ω c * amplifichi di M* e sfasi di φ* Reti correttrici -- 8

9 Reti anticipatrici formule di inversione I valori di (α, τ) che garantiscono un amplificazione pari a M* e uno sfasamento φ* (con M* > 1 e < φ* < 9 ) per ω = ω c * sono: infatti ovvero che è equivalente (eguagliando parte reale e parte immaginaria) Reti correttrici -- 9

10 Reti anticipatrici formule di inversione Attenzione: non tutti gli sfasamenti < φ* < 9 o e le attenuazioni M*>1 possono essere arbitrariamente ottenuti con τ > e < α <1. Infatti mentre è facile verificare che < φ* < 9 o e M* > 1 garantiscono che τ > e α < 1, si ha che 2 Bode Diagram 15 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Reti correttrici -- 1

11 Reti anticipatrici formule di inversione Progetto mediante formule di inversione: Dati del problema: Sistema esteso G e (s) Pulsazione di attraversamento ω c * e margine di fase M f * Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode) Step2: Calcolare Verificando che (ovvero che ) (ovvero che ) Step3: Calcolare (α, τ) mediante le formule di inversione Reti correttrici -- 11

12 Reti anticipatrici: code di assestamento La presenza di una coda di assestamento è fisiologica quando si usa una rete anticipatrice La rete contiene uno zero collocato strutturalmente a frequenza inferiore a quella di attraversamento (nella funzione di trasferimento del sistema in retroazione lo zero fungerà da attrattore per un polo dell impianto) La dinamica residua complessiva risulterà quindi più lenta di quella imposta con la frequenza di attraversamento Se si sono imposti poli complessi coniugati, la coda di assestamento potrebbe essere più corta del tempo di assestamento Reti correttrici -- 12

13 Reti anticipatrici: progetto per cancellazione Per eliminare la coda di assestamento si può pensare ad un progetto per cancellazione. si colloca lo zero della rete in cancellazione di un polo dell'impianto è opportuno scegliere il polo a frequenza inferiore alla ω c * prescelta più vicino ad essa Poli dell impianto il progetto per cancellazione non è sempre possibile: occorre verificarne la fattibilità lo zero è fissato, resta da valutare l'effetto del polo Reti correttrici -- 13

14 Reti anticipatrici: progetto per cancellazione Step 1) fissato Si può valutare lo sfasamento e l amplificazione Step 2) dello zero alla pulsazione. Calcolare l attenuazione desiderata del polo a ω =ω c * e il valore di τ p = ατ che garantisce l attenuazione M p Reti correttrici -- 14

15 Reti anticipatrici: progetto per cancellazione Nel caso in cui si considerino valori in scala lineare e non in decibel le formule relative ai primi due step diventano Step 1) fissato Si può valutare lo sfasamento e l amplificazione dello zero alla pulsazione. Step 2) Calcolare l attenuazione desiderata del polo a ω =ω c * e il valore di τ p = ατ che garantisce l attenuazione M p Reti correttrici -- 15

16 Reti anticipatrici: progetto per cancellazione Step 3) Valutare se lo sfasamento del polo per ω = ω c * risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero: Step 4) Se sì, si sceglie ατ =τ p, altrimenti provare con un diverso valore di ω c * Reti correttrici -- 16

17 Rete di Ritardo (phase( lag) Funzione di trasferimento Gain db -1 1/τ 1/ατ ατ τ Phase deg ωm = 1 ( τ α ) ω (rad/sec) La rete di ritardo ha due effetti sulla funzione di anello: riduce il guadagno per ω>1/ >1/τ effetto utile peggiora il margine di fase intorno ad ω effetto collaterale Reti correttrici -- 17

18 Rete di Ritardo (phase( lag) Formule utili Massimo sfasamento negativo introdotto dalla rete -ϕ m α Reti correttrici -- 18

19 Rete di Ritardo (phase( lag) Effetti sulla f.d.t. di anello due possibilità aumento del guadagno in bassa frequenza senza alterare il comportamento in alta frequenza 5 1/ατ µ R = 1/α -5 impianto 1/ατ ω c / Reti correttrici -- 19

20 Rete di Ritardo (phase( lag) Effetti sulla f.d.t. di anello due possibilità riduzione del guadagno in alta frequenza per migliorare il margine di fase si riduce la banda passante impianto µ R = 1 τ e ατ maggiori della più grande costante di tempo dell'impianto a parte evidenti cambiamenti di segno sono valide le stesse formule della rete di anticipo Reti correttrici -- 2

21 Sintesi delle Reti di Ritardo db -2 Impianto + R s -1 Si sfrutta l attenuazione senza accentuare il ritardo di fase Lo zero si colloca una decade prima della ω c scelta, in modo da non aggiungere ritardo di fase in ω c α si calcola per ottenere l'attenuazione necessaria per imporre ω c ω c ω 1 Attenzione alla coppia polo/zero strutturalmente a frequenza più bassa di quella di taglio coda di assestamento -9 si usa se M F non soddisfacente -18 e ω c < ω 1 Reti correttrici -- 21

22 Reti ritardatrici formule di inversione L obbiettivo è di identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà (α, τ) al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati NOTA :La rete attenua e sfasa in ritardo. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata ω c * deve essere <= a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per ω = ω c * deve essere maggiore di -18 o + M f * (M f * margine di fase desiderato). Problema: Dati valori desiderati (M*, φ*,ω c *) (con < M* < 1, -9 < φ* < o ) identificare le formule per trovare (α, τ) della rete che alla pulsazione ω = ω c * attenui di M* e sfasi di φ* Reti correttrici -- 22

23 Reti ritardatrice formule di inversione I valori di (α, τ) che garantiscono un attenuazione pari a M* e uno sfasamento φ* (con < M* < 1 e -9 o < φ* < ) per ω = ω c * sono: infatti ovvero che è equivalente (eguagliando parte reale e parte immaginaria) Reti correttrici -- 23

24 Reti ritardatrici formule di inversione Attenzione: non tutti gli sfasamenti -9 o < φ* < o e le attenuazioni < M* <1 possono essere arbitrariamente ottenuti con τ > e < α <1. Infatti mentre è facile verificare che -9 o < φ* < o e < M* <1 garantiscono che τ > e α < 1, si ha che Bode Diagram -5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Reti correttrici -- 24

25 Reti ritardatrici formule di inversione Progetto mediante formule di inversione: Dati del problema: Sistema esteso G e (s) Pulsazione di attraversamento ω c * e margine di fase M f * Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice Step1: Calcolare e (lettura diagramma di Bode) Step2: Calcolare (ovvero che ) Verificando che (ovvero che ) Step3: Calcolare (α, τ) mediante le formule di inversione Reti correttrici -- 25

26 Reti ritardatrici: : progetto per cancellazione Step 1) fissato Si può valutare lo sfasamento e l amplificazione Step 2) dello zero alla pulsazione. Calcolare l attenuazione desiderata del polo a ω =ω c * e il valore di τ p = ατ che garantisce l attenuazione M p Reti correttrici -- 26

27 Reti ritardatrici: : progetto per cancellazione Nel caso in cui si considerino valori in scala lineare e non in decibel le formule relative ai primi due step diventano Step 1) fissato Si può valutare lo sfasamento e l amplificazione dello zero alla pulsazione. Step 2) Calcolare l attenuazione desiderata del polo a ω =ω c * e il valore di τ p = ατ che garantisce l attenuazione M p Reti correttrici -- 27

28 Reti ritardatrici: : progetto per cancellazione Step 3) Valutare se lo sfasamento del polo per ω = ω c * risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero: Step 4) Se sì, si sceglie τ =τ p, altrimenti provare con un diverso valore di ω c * Reti correttrici -- 28

29 Rete di Ritardo e Anticipo (lead( lead-lag) Funzione di trasferimento Diagramma di Bode asintotico ατ τ τ Im α τ Re Log G(jω) a Arg[G(jω)] α τ1 τ2 τ1 ατ1 log(w) Unione di rete di ritardo e di rete di anticipo log(w) Consente di aumentare il guadagno in bassa frequenza senza pregiudicare la banda passante ed il margine di fase Reti correttrici -- 29

30 SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo RETI CORRETTRICI FINE Ing. Luigi Biagiotti luigi.biagiotti@unimore.it