Unità Didattica N 14 La meccanica dei fluidi

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1 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Unità Didattica N 4 La meccanica dei fluidi 0) Forze concentrate e forze distribuite : il concetto di ressione 0) Meccanica dei fluidi ideali 03) Forze agenti su un fluido 04) Isotroia della ressione in un fluido in equilibrio 05) uerficie libera dei liquidi in equilibrio 06) Legge di tevino 07) Legge di Pascal 08) Il rinciio dei vasi comunicanti 09) Torchio idraulico 0) Paradosso idrostatico ) Legge di Archimede ) Equilibrio dei cori nei fluidi 3) Pressione atmosferica 3) Barometri 5) Manometri 6) Concetti generali sul moto stazionario dei fluidi ideali 7) L equazione di continuità 8) Teorema di Bernoulli 9) L effetto Venturi 0) Velocità di efflusso da uno stretto orifizio : teorema di Torricelli ) Cenni sul moto dei fluidi reali ) Caduta di un coro sferico in un mezzo viscoso

2 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Forze concentrate e forze distribuite : il concetto di ressione Forze concentrate Una forza si dice concentrata quando agisce in un unto del coro e si trasmette alle altre arti del coro attraverso deformazioni microscoiche. Tuttavia è raticamente imossibile alicare una forza ( concentrata ) in un solo unto. Le forze concentrate sono in realtà il risultante di un sistema di forze distribuite in una orzione iù o meno estesa del coro. Un esemio tiico è la forza eso. Essa si considera alicata e concentrata in un solo unto, il baricentro, ma in realtà è il risultante di un sistema di forze distribuite : le forze con cui la terra attira le singole articelle del coro. Forze distribuite i dicono forze distribuite quelle che agiscono su tutta la massa del coro,come ad esemio, le forze di attrazione gravitazionale. In questo caso, ogni articella del coro subisce l azione della forza indiendentemente dall esistenza delle altre articelle vicine al coro. Quando l azione di una forza è distribuita su una suerficie, come nel caso della forza esercitata dall acqua sulla arete di una diga o di un gas sulle areti interne di un reciiente, si è condotti a considerare il raorto tra la forza remente e la suerficie remuta, e tale raorto rende il nome di ressione. Quando abbiamo una forza F distribuita uniformemente su una suerficie ed agente ortogonalmente ad definiamo ressione il raorto tra la forza F e la F suerficie : = La ressione così definita è una grandezza vettoriale, ma di solito viene considerata una grandezza scalare e quindi non si usa la notazione vettoriale e questo erché la direzione del vettore è semre ortogonale alla suerficie sui cui reme la forza F. La ressione in un fluido non ha caratteristiche direzionali ; essa è una funzione scalare del unto che si considera all'interno del fluido e non diende dall'orientazione della suerficie sulla quale è misurata. La formula F recedente diventa : = Il concetto di ressione è adatto a schematizzare il fatto che una forza non si ossa dire alicata in un determinato unto, ma iuttosto distribuita su una suerficie. tatica dei FLUIDI Pagina di 37

3 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 3 La formula recedente è valida quando la ressione è costante, cioè quando F è distribuita uniformemente su tutta la suerficie. Quando questo non si verifica, la ressione varia da unto a unto della suerficie. [ F] M L T [ ] = = { } [ ] [ ] a { F} N { } m = ascal = = = Nel.I. l unità di misura della ressione è il ascal (P a ) definita come la ressione rodotta dalla forza di un newton quando questa agisce erendicolarmente su una suerficie di un metro quadrato. i tratta di una unità di misura iccola, sicché nella ratica sono tollerate altre unità di misura non coerenti con quella introdotta nel.i. Altre unità di misura usate sono l atmosfera ( atm), il κg 5 atm =,035 0 P a P = 9, torr = mmhg = 33,337 Pa = atm 760 a 6 atm cm, il bar, il torr. 5 bar = 0 P a P = 7,5 0 a P = 0 kg 4 atmosfera tecnica 9, P a cm = = κ atm =,033 cm Osservazione iù imortante il concetto di ressione. N Per i cori solidi è iù imortante il concetto di forza, er i fluidi è Meccanica dei fluidi ideali i chiama comunemente fluido un mezzo continuo senza forma roria. I liquidi sono fluidi con volume rorio, gli aeriformi sono fluidi senza volume rorio. Queste definizioni sono valide solo in rima arossimazione. Meglio ossiamo definire fluido un coro continuo in cui, in condizioni di quiete, le forze che agiscono su di esso sono comletamente normali alle risettive suerfici. Anche la distinzione fra liquidi ed aeriformi ( gas e vaori ) uò essere effettuata in maniera iù rigorosa di quanto non sia stato fatto in recedenza. I liquidi sono caratterizzati dall avere una debole comressibilità ( che è circa ari a quella dei solidi ), sicché variazioni sensibili di volume si realizzano solo con grandissime variazioni di ressione, mentre gli aeriformi sono contraddistinti da una comressibilità molto elevata. Concludendo ossiamo affermare che i liquidi hanno volume rorio e forma del reciiente che li contiene e sono ochissimo comrimibili mentre gli aeriformi, che sono fortemente comrimibili, hanno forma e volume del reciiente che li contiene. 3 a torr 5 bar tatica dei FLUIDI Pagina 3 di 37

4 4 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi La meccanica dei fluidi si divide in statica dei fluidi o fluidostatica che studia le condizioni di equilibrio di un fluido e dinamica dei fluidi o fluidodinamica che studia le condizioni del moto del fluido in relazione alle cause che lo determinano ed agli effetti che roduce. Per distinguere i liquidi dagli aeriformi si suole dividere la fluidostatica in idrostatica ed aerostatica e la fluidodinamica in idrodinamica e aerodinamica. Le forze che agiscono su un fluido sono semre forze distribuite e ossono essere di due tii : forze di volume se V è il volume su cui esse agiscono forze di suerficie se esse si esercitano sulla suerficie che delimita il volume V. Le forze di suerficie vengono trasmesse sulla suerficie del volume V dai cori che lo circondano. Questi cori ossono essere la arte rimanente del fluido, areti, cori a contatto, etc... Le forze di volume si esercitano su ciascuna articella del fluido contenuto nel volume V. La forza eso è l esemio classico di forza di volume. Forze agenti su un fluido Le forze agenti su un fluido di solito si dividono in : forze di volume forze di suerficie ( o di ressione o di contatto ). Le forze di volume agiscono su tutti i unti del volume di fluido considerato.una forza di volume è roorzionale alla massa e quindi al volume della orzione di fluido considerato. Un forza di volume articolarmente imortante è la forza eso ( e in generale ogni forza gravitazionale ). Essa è una forza di volume in quanto agisce su ogni articella del fluido considerato. Un altro esemio di forza di volume si ha nel caso di un fluido elettrizzato in resenza di un camo elettrico esterno. Le forze di suerficie agiscono sulla suerficie contorno della orzione di fluido considerato in seguito all azione che la rimanente arte del fluido eslica su di essa. Isotroia della ressione in fluido in equilibrio La misura della ressione in un unto A di un fluido resuone l individuazione di un areola assante er esso e la misura F n della comonente normale della forza agente su, cioè : Fn = = ressione che si esercita sul unto A del fluido tatica dei FLUIDI Pagina 4 di 37

5 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 5 Questa definizione trova una lausibile giustificazione nella cosiddetta legge di isotroia n F n dei fluidi in equilibrio che uò essere enunciata nella A seguente maniera : il valore della ressione in un A unto A di un fluido in equilibrio diende dalla n osizione del unto A rescelto, ma non diende dall elemento ( infinitesimo ) di suerficie assante er A. Poiché la ressione in un unto A di un fluido in equilibrio è indiendente dalla giacitura dell elemento ( infinitesimo ) di suerficie assante er A, ci consente di considerare la ressione come grandezza scalare e non come grandezza vettoriale. Infatti il semlice valore numerico la definisce comletamente, rimanendo tacitamente inteso che tale ressione agisce in direzione normale a qualsiasi areola che contenga A. uerficie libera dei liquidi in equilibrio Per i liquidi si uò arlare di suerficie libera, cioè di suerficie di searazione ben definita tra liquido ed ambiente esterno. In condizioni di equilibrio, la suerficie libera di un liquido assume una configurazione ben definita, esattamente tale che ogni molecola che si trova sulla suerficie sia sollecitata da un risultante di tutte le forze ad essa alicate erendicolare alla suerficie stessa. ia F il risultante delle forze agenti su una molecola della suerficie libera di un liquido in equilibrio. Decomonendo tale forza F nelle due comonenti F t ed F n, risettivamente tangente e normale alla suerficie libera abbiamo : F = Ft + Fn L azione della comonente F n viene equilibrata dalla reazione del liquido incomrimibile, mentre la comonente F t, non equilibrata, imrimerebbe alla molecola una accelerazione che trascinerebbe la molecola verso il basso ed il liquido, in contrasto con l iotesi, non sarebbe in equilibrio. Per l equilibrio deve essere : F = Ft + Fn = F ( Ft = o) cioè la suerficie libera di un liquido in equilibrio è in ogni unto normale al risultante di tutte le forze agenti in quel unto. e, in articolare, sul liquido agisce soltanto la forza eso ( che è diretta verso il basso lungo la verticale ) la suerficie libera sarà in ogni unto normale alla verticale. cioè orizzontale e iana e si dire suerficie di livello. tatica dei FLUIDI Pagina 5 di 37

6 6 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Ft A F F n P F c R e la suerficie è erò molto estesa dovrà in ogni unto essere normale alla forza di gravità e oiché la terra è sferica, la suerficie libera sarà sferica. e oi, con la gravità agiscono altre forze sulla suerficie libera ( er esemio la forza di adesione nel liquidi contenuti nei tubi caillari ), la suerficie di livello avrà forma diversa, ma soddisferà semre alla condizione di essere in ogni unto normale al risultante di tutte le forze agenti in ciascun unto. Quando un liquido è in rotazione, al eso P = m g di una articella della suerficie libera si somma la forza centrifuga di modulo ω rm ed il risultante è inclinato risetto alla verticale e dovendo essere erendicolare alla suerficie libera,questa risulterà curva ;si dimostra che tale suerficie libera è un araboloide. Legge di tevino La legge di tevino ci dice come varia la ressione all interno di un fluido in equilibrio. (0) e il fluido oltre ad essere in equilibrio è anche in quiete ( la sua velocità è nulla ) allora l equilibrio è statico in caso contrario è dinamico. Consideriamo un fluido ( in articolare un liquido ) esante in equilibrio statico osto all interno di un reciiente cilindrico. uoniamo inoltre che la massa m volumica ρ = sia costante. V P = mg = γ V = ρ gv = eso di un coro ρ gh= γ h (0) Un fluido è in equilibrio quando sono nulli il risultante ed il momento risultante di tutte le forze agenti sul fluido tatica dei FLUIDI Pagina 6 di 37

7 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 7 In un fluido esante in equilibrio, la ressione è costante in tutti i unti di uno stesso iano orizzontale. e la massa volumica del fluido in equilibrio è costante la differenza di ressione tra due livelli orizzontali è uguale al termine ρ gh = γ h che raresenta la ressione idrostatica. A B h B = A + ρ g h = + ρ gh = + γ h Legge di tevino e oi consideriamo un reciiente aerto, coinciderà con la ressione atmosferica esistente alla suerficie esterna ( che di solito coincide con la ressione atmosferica atm ) e quindi la ressione in un unto osto alla rofondità h sarà data da : = atm + ρ gh = atm + γ h e non diende dalla forma del reciiente. La ressione idrostatica esistente tra due livelli orizzontali A e B, osti alla distanza h, è uguale al raorto tra il eso P di un cilindro di fluido avente base ed altezza h e la suerficie. Infatti : Ph Ph eso B A = γ h = = = = ressione idrostatica = V h suerficie = eso di una colonna di fluido avente base ed altezza h suerficie La ressione idrostatica è la ressione esercitata dalla gravità in un unto all interno di un fluido. = ρ gh = P cioè la ressione idrostatica in un unto di un fluido coincide numericamente col eso di una colonna di fluido avente sezione unitaria ed altezza h. Meglio ancora : = = ρ gh = γ V = P B cioè la differenza di ressione esistente tra due livelli orizzontali di una massa fluida coincide numericamente col eso di una colonna dello stesso fluido avente er sezione l unità di suerficie e er altezza la differenza fra due livelli. A tatica dei FLUIDI Pagina 7 di 37

8 8 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi e il livello A coincide con la suerficie libera del liquido e se questi è a contatto col vuoto, la legge di tevino in un unto del liquido osto alla rofondità h si scrive : = ρ gh= γ h La quantità ρ gh = γ V corrisonde alla ressione idrostatica esercitata sulla base di una colonna omogenea di fluido in equilibrio di altezza h, er effetto della forza di gravità terrestre. Infatti se consideriamo una colonna di area di base ed altezza h, la forza eso del liquido è distribuita sulla base e vale : P = mg = ρ hg La corrisondente ressione sulla base vale : = F = P = ρ g h = γ h Dunque una colonna di fluido in equilibrio esercita, er effetto della gravità, una ressione detta idrostatica su ogni unto sottostante. e il fluido considerato è l aria e si considera un unto in rossimità della suerficie terrestre, la colonna di aria che va da questo unto agli estremi dell atmosfera esercita una ressione idrostatica detta ressione atmosferica. Paradosso idrostatico : botte di Pascal E una conseguenza della legge di tivino. Nella botte di Pascal l aggiunta di una modesta quantità di liquido, ad esemio acqua, in un tubo sottile determina lo sfondamento delle areti laterali della botte. Basta scegliere un tubo avente sezione iccola ed altezza oortuna. tatica dei FLUIDI Pagina 8 di 37

9 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 9 Legge di Pascal Per tradizione è detta rinciio, ma si tratta di una legge, E una immediata conseguenza della legge di tevino. In assenza di forze di volume ( ad esemio trascurando la forza eso ) la legge di tevino si scrive : A = B cioè la ressione è costante in tutti i unti di un fluido in equilibrio. Pertanto la legge di Pascal afferma che, in assenza di forze di volume, la ressione è costante in tutti i unti di un fluido in equilibrio. Nel caso dei fluidi esanti, non otendo eliminare la forza eso, la ressione non è iù la stessa in ogni unto del fluido. In questo caso la legge di Pascal va formulata in maniera diversa. La ressione esercitata in un unto qualsiasi di un fluido ( in articolare di un liquido ) si trasmette con la stessa intensità in tutte le direzioni. Tale ressione si manifesta come una forza che agisce ortogonalmente ad una sezione, comunque disosta, del fluido stesso. Liquidi in vasi comunicanti Due vasi comunicanti sono due reciienti qualsiasi collegati fra loro mediante un tubo o un qualsiasi altro disositivo. Due o iù reciienti costituiscono un sistema di vasi comunicanti quando solo collegati fra loro mediante tubi o mediante disositivi di natura qualsivoglia. Un sistema di vasi comunicanti Versando un liquido nel rimo reciiente si ottiene il riemimento di tutti i vasi. i osserva che : il liquido raggiunge lo stesso livello in tutti i reciienti comunicanti. Le suerfici libere di vasi comunicanti contenenti uno stesso liquido in condizioni di equilibrio si disongono alla stessa altezza qualunque siano le forme e le dimensioni dei vasi comunicanti. h = h cioè il liquido giunge allo stesso livello nei due rami ( qualunque sia la forma dei vasi comunicanti ). La forma tiica dei vasi comunicanti è quella ad U. Ma le cose che diremo in seguito sono valide anche er vasi comunicanti aventi forma qualsivoglia.. tatica dei FLUIDI Pagina 9 di 37

10 0 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi e due vasi comunicanti sono riemiti con due liquidi non miscibili ed aventi masse volumiche diverse, il liquido avente massa volumica maggiore forma una colonna iù bassa risetto all altro. Quando si raggiunge l equilibrio si ha : h : h = ρ : ρ = γ : γ = δ : δ ρ gh = ρgh γ h = γ h Le altezze, misurate a artire da, iano orizzontale contenente la suerficie di searazione dei due liquidi non miscibili, sono inversamente roorzionali alle masse volumiche ρ e ρ, e quindi anche ai esi volumici γ e γ ed alle densità relative δ e δ. Torchio idraulico o ressa idraulica E un disositivo che ermette di esercitare forze molto intense mediante l alicazione di forze relativamente deboli.erve anche er equilibrare una forza mediante un altra di intensità minore. Il suo funzionamento si basa sulla legge di Pascal. Il torchio idraulico è costituito da due vasi comunicanti ( due cilindri collegati da un condotto ) aventi sezioni diverse e contenenti un liquido che raggiunge lo stesso livello in entrambi i vasi. Due stantuffi a tenuta stagna, uno er cilindro, escano nel liquido e servono a trasmettere le ressioni che si esercitano nel liquido stesso. Per la legge di Pascal la ressione F = esercitata dallo stantuffo inserito nel cilindro di sezione minore, si trasmette all altro di sezione > ed il raorto tra la forza esercitata ( verso il basso ) e la sinta ( verso l alto ) che ne deriva er l altro stantuffo è tanto maggiore quanto iù grande è il raorto tra le sezioni dei due cilindri. Infatti, suosto il torchio in equilibrio, alichiamo sul istone a sezione minore una forza F ad esso normale. Essa rodurrà una variazione di ressione sullo strato di liquido sottostante il F istone data da : =. La stessa variazione di ressione dovrà avvenire, er la legge di Pascal, in tutti gli altri unti del liquido, e quindi in articolare sullo strato di liquido sottostante il istone di sezione maggiore. tatica dei FLUIDI Pagina 0 di 37

11 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Detta, allora, F la forza che agisce su quest ultimo, er la legge di Pascal avremo : F = F = = F F = F F = F = F Agendo con una forza relativamente iccola F su una suerficie relativamente iccola si riesce ad esercitare una forza F iù intensa su una suerficie iù estesa. Il funzionamento del torchio idraulico è conforme al rinciio di conservazione del lavoro. Infatti, essendo il liquido incomrimibile, quando il istone di sezione minore si abbassa del tratto h, l altro s innalza del tratto h tale che risulti : h = h cioè : h = cioè il volume ( di liquido ) esulso a sinistra deve ritrovarsi a destra. LF ( ) F h F h F F F h F h L( F = = = = = ) h cioè il lavoro motore ( eseguita da F ) è uguale in valore assoluto al lavoro resistente ( comiuto dalla forza F ). Il torchio idraulico è utilizzato nelle grandi officine er la lavorazione dei metalli, er sollevare vetture, er comrimere materiali oroso, er sremere succhi vegetali,.... F F tatica dei FLUIDI Pagina di 37

12 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Paradosso idrostatico Il aradosso idrostatico di Pascal afferma che la ressione esercitata sul fondo di un vaso ieno di un liquido non diende dalla forma del vaso, né dalla quantità di liquido, ma diende soltanto dall altezza della colonna del liquido risetto al fondo. Consideriamo i tre reciienti della figura aventi tutti basi uguali e riemiti dello stesso liquido fino ad una stessa altezza h. Nei tre reciienti la quantità di liquido è differente ma la ressione sul fondo, er la legge di tevino, è la stessa e quindi anche la forza F agente sul fondo assume lo stesso valore. Il aradosso si siega facilmente osservando che il eso comlessivo del liquido è equilibrato non solo dalla reazione vincolare della base ma anche dalle reazioni vincolari delle areti laterali. F = P F < P F > P F F F Paradosso idrostatico : la ressione sul fondo del reciiente non diende dalla quantità di liquido contenuto nel reciiente. iegazione : Per la legge di tevino risulta che la forza dovuta alla ressione che si esercita sul fondo è la stessa er tutti e tre i reciienti nonostante la diversa quantità di liquido contenuta in ciascuno di essi : in ciò consiste il aradosso idrostatico. La siegazione di questo aradosso è iuttosto semlice. Il eso comlessivo del liquido non è equilibrato dalla sola forza di ressione F agente sul fondo, ma dal risultante di tutte le forze normali esercitate dalle areti del reciiente sul liquido che esso contiene. Nel caso del secondo reciiente una arte del eso del liquido è equilibrata dalla reazione vincolare della arete inclinata, mentre nel terzo caso al eso bisogna aggiungere una forza verticale verso il basso dovuta alla reazione delle areti laterali. tatica dei FLUIDI Pagina di 37

13 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 3 Legge di Archimede Essa afferma quanto segue : Un coro immerso interamente o arzialmente in un fluido riceve una sinta verticale dal basso verso l alto ari al eso del fluido sostato.tale forza è alicata nel centro di gravità ( detto centro di sinta ) del fluido sostato. Per la dimostrazione ci limiteremo al caso in cui il coro MNLI, immerso nel fluido, abbia forma di aralleleiedo trirettangolo, con le basi IL ed MN orizzontali. Il risultante delle forze rementi, alicate dal fluido su tutte le facce del coro MNLI, si riduce alle forze che agiscono su MN ( F ) e su IL ( F ). Infatti le forze agenti sulle coie laterali come ML ed NI sono uguali e contrarie, erché costituite da forze rementi elementari a due a due uguali e contrarie. Restano le facce orizzontali MN ed IL sulle quali agiscono risettivamente le forze F =, F =. Il risultante R di tutte le forze alicate esiste ed ha come direzione quella della verticale ed è orientato dal basso verso l alto. R = F + F = ρ gh R = F F = = ( ) = ρ g( h h) R = h m V g = V m V g = mg = P m = massa del fluido sostato P = eso del fluido sostato V = volume del coro immerso = volume del fluido sostato R = P f Il risultante delle forze esercitate dal fluido sul coro immerso è una forza R uguale e contraria al eso del fluido sostato. P f = eso del fluido sostato = eso di un volume di fluido uguale al volume del coro immerso La dimostrazione recedente si estende facilmente al caso di un coro avente forma qualsiasi. R ha lo stesso unto di alicazione del eso P f, cioè la sinta R è alicata al centro di gravità del fluido sostato. Un coro immerso in un fluido si trova soggetto a due forze verticali ooste : il rorio eso P e la sinta di Archimede R =, l uno alicato al centro di gravità del coro, l altra alicata al centro di gravità del fluido sostato. I due unti di alicazione coincidono certamente se il coro immerso è omogeneo ( quindi di massa volumica ρ c costante ), se esso è comletamente immerso nel fluido e se questo è un liquido incomrimibile, anch esso omogeneo e di massa volumica ρ. P f tatica dei FLUIDI Pagina 3 di 37

14 4 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi ρ M N h M F N M R N h ρ c h h L I L I L I = ρ gh F P e V è il volume del coro, la forza risultante F a cui il coro immerso trovasi soggetto, risetto ad un asse verticale h orientato verso il basso, ha il seguente valore algebrico : ( ) F = P R = V( ρ ρ ) g = γ γ V c c cioè è verticale e volta verso il basso o verso l alto, secondo che è ρ c >ρ oure ρ <ρ c. Ma in generale i due unti di alicazione di P e di R non coincidono : il coro immerso viene a trovarsi soggetto ad una forza risultante verticale P R e ad una coia. Nel caso di un coro rigido che galleggia e che abbia una arte immersa e l'altra che emerge dal liquido è evidente che la forza di sinta equivale al eso del volume del liquido sostato dalla arte immersa. Indichiamo con x la arte immersa del coro rigido e con h l'altezza comlessiva del coro. Poiché la condizione di equilibrio si realizza quando la sinta di Archimede, che è uguale al eso del volume del liquido sostato, è uguale al eso del coro immerso nel liquido, ossiamo scrivere : Pc = P γ c Vc = γ V γ c h = γ x γ γ ρ ρ c c x = h = h Per un coro qualsiasi risulta : P = m g = γ V = ρ V g γ = ρ g γ γ c = ρ c ρ tatica dei FLUIDI Pagina 4 di 37

15 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 5 γ c ρ c L'altezza x della arte immersa h di un coro che galleggia è esressa dall ' equazione x x = γ c h = γ ρ ρc h γ ρ Pressione atmosferica Abbiamo visto che una colonna di fluido in equilibrio, er effetto della gravità, esercita una ressione detta idrostatica su ogni unto sottostante. e il fluido considerato è l aria e si considera un unto in rossimità della suerficie della terra, la colonna d aria, che va da questo unto agli estremi dell atmosfera, esercita una ressione idrostatica che rende il nome di ressione atmosferica. L atmosfera terrestre è un involucro aeriforme che circonda il nostro ianeta. L altezza di tale involucro, valutata alcune centinaia di km, non uò essere definita con esattezza in quanto non esiste un limite netto fra la massa gassosa e lo sazio interlanetario. L atmosfera viene di solito suddivisa in 5 arti : ) TROPOFERA (0 km ) costituita er il 75,% 5 da azoto, er il 3, % da ossigeno, e er il rimanente, 3% da anidride carbonica e da gas nobili ( elio, neon, krito, xeno, radon ). Nella troosfera sono semre resenti quantità iù o meno elevate di vaor d acqua. ) TRATOFERA ( 30km 3) MEOFERA (30 90km ) 4) TERMOFERA ( KM ) 5) esosfera ( sora i 640km ) La suerficie terrestre uò quindi essere considerata come immersa al centro di un oceano d aria. Un certo volume di aria ha un eso er cui è chiaro che l atmosfera esercita una certa ressione idrostatica ( detta comunemente ressione atmosferica ed indicata col simbolo atm ) sulla suerficie terrestre. tatica dei FLUIDI Pagina 5 di 37

16 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 6 Consideriamo una qualunque colonna d aria M, avente er base una certa area della suerficie terrestre. e P è il eso dell aria contenuta in tale colonna,la suerficie è soggetta alla ressione : = = atm Possiamo anche dire che la ressione atmosferica è numericamente uguale al eso di una colonna d aria di sezione unitaria che, iniziando dal unto in cui si vuole misurare la ressione, si estende sino al limite dell atmosfera. Il valore della ressione atmosferica diende da diversi fattori come l altitudine, la temeratura, l umidità, la latitudine. i definiscono condizioni normali er la misura della ressione atmosferica quando consideriamo : ) aria riva di vaore d acqua ) quando ci troviamo al livello del mare, alla temeratura di 0 C, alla latitudine di 45. In ratica tali condizioni non si verificano mai contemoraneamente. L esistenza della ressione atmosferica uò essere verificata facilmente con classiche ed interessanti eserienze le iù comuni delle quali sono : ) emisferi di Magdeburgo ) creavesciche 3) ietta. Eserienza di Torricelli er la misurazione della ressione atmosferica P ( Barometro a mercurio ) Per calcolare la ressione atmosferica dovremmo conoscere il eso di una colonna di aria di area ed altezza uguale a quella dell intera atmosfera ; cosa questa imossibile er cui sembrerebbe destinato all insuccesso qualsiasi tentativo di misurare la ressione atmosferica. Ci riuscì brillantemente ed anche semlicemente Evangelista Torricelli ( ), allievo di Galileo, eseguendo una ingegnosissima eserienza ed utilizzando il barometro a mercurio. Questi consiste in un tubo di vetro lungo metro e di iccolo diametro riemito di mercurio ed immerso, con l estremità aerta, in una bacinella iena di mercurio come si vede in figura. Lo sazio al di sora della colonna di mercurio ( vuoto torricelliano ) contiene solo vaori di mercurio la cui ressione è, a temeratura ordinaria, cosi iccola che uò essere trascurata. i osserva che il livello della colonna di mercurio nella canna barometrica scende, fino a disorsi ad un altezza di 76cm = 760mm dalla suerficie libera del mercurio contenuto nella vaschetta. E imortante osservare che il dislivello h è semre uguale a 76cm, qualunque sia la sezione del tubo ( urché di diametro non inferiore a mm ), comunque esso sia inclinato e qualunque sia la sua forma. Il fenomeno si siega così :la ressione atmosferica, agendo sulla suerficie libera L, si roaga er la legge di Pascal in tutte le direzioni e quindi anche verso l altro. ia C un unto interno alla canna barometrica e giacente su un iano orizzontale contenente la suerficie libera L. tatica dei FLUIDI Pagina 6 di 37

17 7 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Nel unto C la ressione atmosferica è equilibrata dalla ressione idrostatica della colonna di mercurio resente nella canna barometrica. Quindi all equilibrio abbiamo : = = γ h = ρ gh atm kg ρ = 3595, 5 m 3 h = 0, 076m g m = s N m, atm = 3595,5 5 9, ,76 kg atm =,033 cm 9, a = atm = atm Quanto detto è vero se si verificano le seguenti condizioni : ) il mercurio è uro ) il mercurio è alla temeratura di 0 C in quanto la massa volumica del mercurio varia con la sua temeratura 3 ) che la scala sulla quale si legge h è alla temeratura alla quale è stata eseguita la graduazione che è ordinariamente di 0 C. La lunghezza della scala varia con la temeratura t secondo la relazione h = h ( + k t) con k coefficiente di dilatazione lineare del materiale su cui è incisa la o scala. 4 ) si conosce l accelerazione di gravità g nel luogo dove si trova il barometro. 5 ) Non esistono gas residui nella canna barometrica così che la suerficie del mercurio in A è effettivamente libera, Invero non mancherà mai la tensione del vaore saturo del mercurio che a N 0 C è di circa 0, m. 6 ) la scala che serve er la misurazione di h sia ben verticale 7 ) che non vi siano fenomeni di caillarità ( la canna barometrica deve avere un diametro di circa cm ) vuoto torricelliano camera barometrica D A h L= suerficie libera del mercurio nella vaschetta = ressione idrostatica h = dislivello tra la suerficie libera L e la suerficie libera A della L atm canna barometrica γ = eso volumico del mercurio ρ = massa volumica del mercurio atm N A = 0 ( 0, m ) tatica dei FLUIDI Pagina 7 di 37

18 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 8 Osservazione N Per eseguire l eserienza di Torricelli è stato scelto il mercurio, liquido ad elevata massa volumica, in modo da ottenere una colonna di altezza modesta. e, come sostanza barometrica, avessimo scelto acqua a 4 C la colonna liquida sarebbe stata alte 0, 33m. m P Terra m = massa di una colonna di aria P = eso di una colonna di aria = area della base della colonna di aria Aria Osservazione N Una unità di misura della ressione atmosferica molto usata nella ratica è il millimetro di mercurio (mm Hg ) definito come la ressione esercitata da una colonna di mercurio alta un cm millimetro, alla temeratura di 0 C ed alla latitudine di 45, dove risulta g = 980, 665 s. Essa è chiamata torr ( da Torricelli ). Come unità di ressione si usa anche l atmosfera uguale a 760torr. In meteorologia si usa anche il bar uguale a 760torr o il millibar. bar = 760torr torr =, 358millibar Osservazione N 3 Risulta : N atm = 035 Pa = 035 = 760 mm Hg torr = mm Hg = atm = 33,3 P a m 760 Il termine torr ricorda il fisico Evangelista Torricelli. tatica dei FLUIDI Pagina 8 di 37

19 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 9 Osservazione N 4 Qual è l altezza di una colonna di acqua che dà una ressione ari a quella dell atmosfera? ρ Hg kg kg = 3590 m 3 ρ = 000 HO m 3 hhg = 076, m ρ h g = ρ h g HO HO Hg Hg Hg 3590 h = ρ h = HO 0,76 = 0,386 m Hg ρ 000 HO Osservazione N 5 La ressione atmosferica diminuisce al crescere dell altitudine in gli strati d aria diventano via iù rarefatti. Una formula che ci dice con buona arossimazione come varia la ressione atmosferica 7h con l altitudine h misurata in metri è la seguente : = o ove o è la ressione er h = 0 ed e è la base dei logaritmi naturali. Barometri I barometri sono strumenti che servono er misurare la ressione atmosferica I barometri si dividono in barometri a mercurio e barometri metallici. Nel barometro a mercurio ( di Torricelli ) la ressione atmosferica viene equilibrata dalla ressione idrostatica di una colonna di mercurio contenuto in una canna di vetro ( canna barometrica ) lunga metro, chiusa all estremità sueriore ed immersa in una vaschetta che contiene anch esso mercurio e si trova in comunicazione con l aria. L altezza h è legata alla ressione atmosferica atm dalla formula : atm = ρ gh Il barometro a mercurio iù imortante é quello di Fortin. Tutti i moderni barometri a mercurio sono basati sul modello originario di Torricelli, differendo soltanto er alcuni accorgimenti che ermettono una lettura iù accurata e sicura. I barometri metallici misurano la ressione atmosferica equilibrandola con una molla elastica. Manometri I manometri sono strumenti che ci consentono di misurare la ressione di un fluido. tatica dei FLUIDI Pagina 9 di 37

20 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 0 Concetti generali sul moto dei fluidi ideali Definizione : Un fluido ideale è un fluido incomrimibile e rivo di attrito interno. Incomrimibile significa che la massa volumica del fluido è costante in ogni suo unto. Il moto di un fluido ideale è determinato da una differenza di ressione esistente tra due zone del fluido. Il fluido si muove dai unti dove la ressione è maggiore verso i unti nei quali la resione è minore. In un liquido in moto, ogni sua molecola ossiede una sua velocità vettoriale v, definita in direzione, modulo e verso. L insieme di tutte le velocità della massa liquida, in una determinata zona dello sazio, si chiama camo delle velocità. e la velocità delle singole articelle del liquido, ur cambiando da unto a unto e nel temo, rimane costante in ogni singolo unto dello sazio, il moto del liquido si dice stazionario. Questo significa che in ogni unto di un fluido in moto stazionario, la velocità di ogni articella che via via assa er quel unto è semre la stessa. Una articella di fluido che si sosta dal unto P sino a N ed R, nel caso di moto stazionario, descrive una curva detta linea di flusso o linea di corrente o filetto di fluido. Quindi le linee di flusso raresentano realmente i ercorsi descritti dalle articelle elementari del liquido. e idealmente tracciamo nel liquido una linea chiusa e oi consideriamo le linee di flusso che assano er i suoi unti, queste formano quello che si chiama un tubo di flusso. Un tubo di flusso si comorta come un vero e rorio condotto nel senso che, in assenza di vortici, il liquido che esso trasorta non si mescola con quello adiacente. In un moto stazionario le linee di flusso raresentano le traiettorie idealmente seguite da ogni minuscola orzione del liquido considerato. Le linee di flusso che assano er i unti di un contorno chiuso costituiscono un tubo di flusso, il quale coincide col condotto dove scorre il liquido. Esaminiamo ora una conseguenza molto imortante delal iotesi dell incomressibilità del fluido considerato. Consideriamo a tale scoo una suerficie chiusa che delimita un certo Volume V all interno del fluido. e tutte le articelle del liquido considerato hanno velocità angolari nulle, il moto è irrotazionale. Il caso del moto rotazionale comrende i moti vorticosi. In questo aragrafo ci occueremo di moti stazionari, irrotazionali di fluidi incomrimibili e non viscosi. Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 0 di 37

21 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Per l iotesi dell incomressibilità, se un certo volume di fluido entra in tale suerficie in un certo intervallo di temo, lo stesso volume dovrà uscirne, non otendosi avere comressioni o rarefazioni del fluido. e dunque consideriamo un fluido in moto in un condotto e indichiamo con,, 3, alcune sezioni del condotto, er quanto già detto, in un stesso intervallo di temo i volumi di fluido che transitano attraverso queste sezioni sono gli stessi, non essendovi assaggio di fluido atraverso le areti del condotto. Il volume di fluido che nell unità di temo transita attraverso un arbitraria sezione del condotto non diende dal condotto. e il moto del liquido è stazionario, la quantità di liquido che assa attraverso una qualsiasi sezione del tubo di flusso nell unità di temo è costante. e nel temo t assa un volume V di fluido attraverso una sezione normale, allora si definisce ortata attraverso la sezione normale V il seguente raorto : Q = = flusso di volume t o ortata di volume. Nel caso articolare del regime stazionario, oiché le velocità delle sezioni non diendono dal temo, la ortanta è costante nel temo. v V = La ortata di un tubo di flusso raresenta il raorto Q tra il volume di liquido che assa attraverso una sezione del tubo di flusso nel temo t ed il temo t stesso. Poiché risulta V = abbiamo : Q= = v t = suerficie della sezione normale v = velocità osseduta dalle articelle che assano er la sezione. Il termine condotto ha in fisica un significato iù generale di quello che gli viene comunemente attribuito : sono condotti le tubazioni in generale, i canali, i fiumi, i reciienti che contengono fluidi. Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina di 37

22 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi La ortata misura numericamente la quantità di fluido che assa, nell unità di temo, attraverso una qualsiasi sezione del condotto. m = ρ V = ρ = ρ v t = massa di fluido avente velocità v e che nel temo t assa Dalla relazione m attraverso la sezione del condotto = ρ V = ρ = ρ v t, dividendo ambo i membri er t, otteniamo : m Q m = = ρ t Che rende il nome di ortasta di massa e raresenta il raorto tra la massa m che nel temo t assa attraverso una qualsiasi sezione del condotto ed il temo t. Quando si arla semlicemente di ortata si intende riferirsi alla ortata di volume. v L equazione di continuità Consideriamo il moto stazionario di un liquido in un condotto e siano ed due sezioni normalidi esso. uoniamo che le velocità siano le stesse in tutti i unti di ciascuna sezione normale alle areti del condotto, in modo che si ossa arlare di velocità della sezione. e indichiamo con v e v le velocità delle sezioni ed, il volume del fluido che transita nell unità di temo attraverso uò esrimersi con v, mentre quello che transita nell unità di temo attraverso è dato da v. In base alla costanza della ortata tali volumi debbono essere uguali. V= V = v t = v t v = e, quindi, v v v = Questa relazione esrime il teorema di Leonardo da Vinci : << In condizioni stazionarie le velocità del liquido in due unti del condotto sono inversamente roorzionali alle sezioni normali di esso assanti er quei unti. >> chematizzazione di un tubo di flusso : sono tracciate alcune linee di flusso dette anche linee di corrente. Un condotto uò essere considerato come un tubo di flusso. In regime stazionario la ortata di un condotto è costante. Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina di 37

23 3 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Teorema di Bernoulli L equazione di Bernoulli è l equazione iù imortante della dinamica dei fluidi. Essa descrive il moto attraverso un condotto di un fluido ideale, cioè di un fluido incomrimibile e rivo di attrito interno, come mostrano le seguenti figure. L alicazione del rinciio di conservazione dell energia al moto dei liquidi erfetti orta alla scoerta di una legge che costituisce il fondamento dell idrodinamica : il teorema di Bernoulle. F A Δx m A' v F = V = Δx m ρ = m = ρv V m = ρ Δx = ρ Δx Δx v h V = V B h m F B' F = V = Δx Una orzione di liquido ideale ( rima orzione in giallo, seconda orzione in azzurro ) si muove in un tubo di flusso da sinistra verso destra assando dalla configurazione AB alla configurazione A ' B ' uoniamo che il fluido scorra in discesa 3 e che il condotto aumenti la sua sezione al diminuire della sua quota. uoniamo che il liquido scorra da sinistra verso destra in un lungo condotto in cui sono individuati due tratti orizzontali di diversa sezione, cioè consideriamo un tubo di flusso all interno di un fluido ideale e muoventesi in regime stazionario. All interno di questo tubo di flusso consideriamo la arte limitata dalle due sezioni ed, oste risettivamente ai livelli h e h. uoniamo che ed si trovino in due tratti orizzontali del tubo di flusso. Nel seguito considereremo il moto del volume di fluido che si trova tra le due sezioni ed. 3 Potrebbe scorrere in salita, i risultati sono gli stessi Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 3 di 37

24 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 4 Il teorema di Bernoulli esrime il rinciio di conservazione dell energia alicato ad un fluido ideale in moto stazionario. Il moto di una orzione limitata di fluido è determinato da tre fattori : ) la forza eso che agisce sulla orzione stessa ) la forza di ressione F che viene esercitata su di essa da quella arte di fluido che si trova alla sua sinistra 3) la forza di ressione F esercitata da quella arte di fluido che si trova alla sua destra. Oerando con i fluidi è conveniente non trattare direttamente con le forze ma con le ressioni che vengono rovocate da esse. F = e F = sono ressioni esercitate dal liquido risettivamente nelle sezioni ed. Ad un certo istante considero il volume di liquido comreso tra le sezioni ed. Doo Δ t secondi lo stesso volume di liquido si è sostato occuando il volume comreso tra le sezioni = ed =. A causa della iotizzata incomrimibilità del liquido, quanto detto equivale ad affermare che la massa di liquido m = ρ V = ρ Δx = ρ V = ρ Δ x è assata dalla quota h dove ha velocità v ed energia otenziale U = mgh alla quota h dove ha velocità v ed energia otenziale U = mgh. In agisce la forza di ressione F = la quale è dovuta alla ressione del liquido che si trova alla sua sinistra e rovoca il moto del liquido. In agisce la forza di ressione F = che è dovuta alla ressione del liquido che si trova alla sua destra e crea una resistenza al moto del liquido. Alicando alla massa m il teorema della variazione dell energia cinetica L F + F + P = L F + L F + L P = K K [D] ossiamo scrivere : ( ) ( ) ( ) ( ) f i Il lavoro comiuto dalla forza di ressione F = agente in è : LF = F Δx = Δ x ( ) ed è ositivo in quanto comiuto sulla massa m da una forza F che ha lo stesso verso del moto. Il lavoro comiuto dalla forza di ressione F = agente in è : L( F ) = F Δx = Δx ed è negativo in quanto tale lavoro è comiuto da una forza F che si oone al movimento della massa di liquido ideale. (0 c) (0 c) Il lavoro comiuto da tutte le forze agenti sulla massa m è uguale alla variazione della sua energia cinetica Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 4 di 37

25 5 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi Poiché la massa m assa dalla quota h, dove ha energia otenziale mgh, alla quota h, dove ha energia otenziale mgh, il suo eso comie il seguente lavoro : L( P) = U U = mgh mgh = mg( h h) L equazione [D] diventa : LF ( ) + LF ( ) + LP ( ) = K K Δx Δ x + mgh mgh = K K [G] Ricordando che er un fluido ideale in moto stazionario vale l equazione di continuità v = e tenendo resente che v Δx v =, Δt f Δx v = ossiamo scrivere : Δt i Δ x Δ x = Δ t Δ t Δx = Δx = V = V = m ρ () ostituendo nell equazione [G] otteniamo : m m + mgh mgh = m ρ ρ m v v + gh + = + gh ρ ρ + v v + ρ gh + ρv = + ρgh + ρv [M] Poiché gli indici e si riferiscono a due sezioni qualsiasi del tubo di flusso, ossiamo eliminarli e scrivere semlicemente : + ρgh+ ρv = costante [N] Questa è l equazione di Bernoulli er il moto stazionario di un fluido ideale. Tutti e tre i termini che vi figurano hanno le dimensioni di una energia er unità di volume. Possiamo erciò considerarla come la formulazione del rinciio di conservazione dell energia alicato al moto stazionario dei fluidi ideali. Essa stabilisce che nel moto lungo un tubo di flusso di un fluido ideale la ressione, la velocità e l altezza adattano i loro valori in modo da mantenere costante l energia totale del fluido. In termini iù eslicativi l equazione [N] uò essere così formulata : In un liquido ideale che scorre con moto stazionario, la somma dell energia cinetica er unità di volume ( ρ v ), dell energia otenziale er unità di volume ( ρ gh ) e della ressione ha un valore costante er tutti i unti di un sottile tubo di flusso. () Questa uguaglianza ci conferma l intuizione che la quantità di liquido che nel temo Δt entra nel condotto attraverso la sezione è uguale alla quantità di liquido che nello stesso temo esce dal condotto attraverso la sezione Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 5 di 37

26 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 6 = c ρ v, che ha le dimensioni di una ressione, è detto ressione di arresto Il termine ( o ressione cinetica ), diende dalla velocità del liquido e raresenta la densità di energia cinetica (energia cinetica er unità di volume ). Il termine g = ρ gh, che ha le dimensioni di una ressione, è detto ressione di gravità ( o ressione idrostatica ), diende dall altezza del liquido e raresenta la densità di energia otenziale ( energia otenziale er unità di volume ). L equazione di Bernoulli uò essere scritta così : + + = c g costante ossiamo ertanto affermare che in ogni unto di un fluido ideale che si muove in regime stazionario, è costante la somma della ressione esterna, della ressione idrostatica g e della ressione di arresto c. Dividendo ambo i membri della [N] er ρ g otteniamo : ρg v + + h= costante g [Z] che raresenta un altro modo di esrimere l equazione di Bernoulle. v g ρ g = altezza di arresto o altezza cinetica = altezza da cui il liquido dovrebbe cadere nel vuoto er acquistare la velocità v = altezza iezometrica = altezza che dovrebbe avere una colonna del liquido considerato er h si chiama altezza geodetica o altezza geometrica esercitare la ressione In un condotto ercorso da un liquido erfetto si mantiene costante in tutti i unti la somma dell altezza di arresto v, dell altezza iezometrica e dell altezza geometrica h. g ρ g La legge di tevino è un caso articolare dell equazione di Bernoulli. Infatti se il condotto è costituito da un reciiente contenente del liquido in equilibrio statico ( e quindi anche in quiete, e questo ci consente di scrivere v = v ), considerando la suerficie libera come sezione ed una qualsiasi altra sezione, la [M] assume la seguente forma : Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 6 di 37

27 7 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi ρ gh = + ρgh + ovvero : + ρ g( h h ) = + ρgh = atm + ρgh = in quanto la ressione coincide con la ressione atmosferica atm. Il termine ρ gh raresenta la ressione idrostatica che il liquido contenuto nel reciiente esercita sul fondo del reciiente. Effetto Venturi Come la statica delle articelle materiali è un caso articolare della dinamica delle articelle materiali, anche la statica dei fluidi è un caso articolare della dinamica dei fluidi. Non deve sorrendere che la legge di variazione della ressione con l altezza ( legge di tevino ) sia contenuta come caso articolare della dinamica dei fluidi. Consideriamo un fluido in quiete v = v = 0 + gh = + gh ρ ρ = + g( h h ) ρ = + ρ gh Legge di tevino Dimostriamo l effetto Venturi La ressione di una corrente fluida aumenta col diminuire della velocità. Tale legge è nota come effetto Venturi o aradosso idrodinamico, in quanto si otrebbe ensare che la ressione debba aumentare in corrisondenza delle strozzature dove la velocità aumenta. ρ ρ + gh + v = costante raresenta l equazione di Bernoulli orizzontale dove la quota h è semre la stessa. L equazione di Bernoulle diventa : ρ + v = costante in quanto è costante il termine g h ρ. Questo ci consente di affermare che la ressione in un tubo di flusso diminuisce in quei unti nei quali la velocità aumenta ( sezione minore ) e viceversa. Infatti se v aumenta anche aumenta e quindi la quantità Tubo di Venturi ρ I unti G e G si trovano alla stessa quota risetto ad uno stesso iano orizzontale di riferimento ( h = h ). + v rimane costante solo se diminuisce. v ρ Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 7 di 37

28 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 8 h = h e quindi + ρ gh + ρv = + ρgh + ρv ci consentono di scrivere : + ρ v = costante come affermato in recedenza. + ρ v = + ρv e Teorema di Torricelli Il teorema di Bernoulli trova una immediata alicazione nel calcolo della velocità con cui un liquido fuoriesce da un iccolo foro raticato in un reciiente. Il liquido fluisce attraverso il iccolo foro di sezione con una velocità v = v che vogliamo calcolare suonendo che il livello del liquido nel reciiente sia mantenuto ad un altezza h = h h risetto al foro. Confermando l iotesi che il liquido sia non viscoso, incomrimibile ed in regime stazionario, ossiamo alicare l equazione di Bernoulle alle sezioni v v e : + + h = + + h ρg g ρg g atm v atm v + = + + h h ρg g ρg g [$] dove v è la velocità con cui dovrebbe muoversi la suerficie, = = atm in quanto si ritiene trascurabile la ressione idrostatica ρ gh. = + ρgh = atm + ρgh = atm e la sezione del reciiente è molto maggiore della sezione del foro, la velocità v con cui il livello sueriore del liquido scende è trascurabile, come si deduce alicando l equazione di continuità dei fluidi ideali. v = v v = v= v 0 se >> L equazione [$], sotto queste iotesi, assume la forma : v g = h h = h v= gh che esrime il teorema di Torricelli,secondo il quale la velocità di efflusso di un liquido da un iccolo foro è indiendente dalla sua massa volumica ed è la stessa di quella che acquista un grave in caduta libera doo un ercorso uguale alla distanza del foro dalla suerficie libera del liquido. Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 8 di 37

29 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 9 Legge di Torricelli (39) v 0 = atm otto questo nome va la relazione che lega la velocità di efflusso di un liquido da uno stretto foro raticato in un reciiente ieno di liquido, quando il liquido è soggetto h all azione del rorio eso. h = atm v = v Tale relazione deriva, come caso articolare, dall equazione di Bernoulli. La velocità di efflusso è uguale a quella che si avrebbe se il liquido cadesse h liberamente nel vuoto dall altezza h. ρ gh Trascurabile risetto a atm = = atm ulla arte A vengono fatti tre fori sottili uguali tra loro, a vari livelli. La arete B è un oco iù bassa delle altre, in modo che, versando continuamente acqua nel vaso, il livello L della suerficie libera rimanga immutato.i osserva che la gittata del liquido è tanto iù lunga, quanto iù in basso si trova il foro.ciò è giustificato dal fatto che la ressione idrostatica aumenta con la rofondità h del foro ( legge di tevino ) e quindi, la velocità di efflusso dal foro 3 è maggiore di quella dal foro. (39) Evangelista Torricelli ( ), nato a Faenza ( Ravenna ), Matematico e Fisico, allievo di Galileo, sostenne la ossibilità del vuoto in natura. Inventò (644 ) il barometro a mercurio ; studiò la cicloide ed il moto dei roietti. Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 9 di 37

30 Unità Didattica N 4 : La MECCANICA dei fluidi 30 In un condotto a sezione variabile scorre, in regime stazionario, un liquido ideale di massa volumica ρ. La massa m = ρ V di liquido comresa tra le sezioni ed avenza verso destra e, doo un certo intervallo di temo Δ t, viene a trovarsi tra le sezioni ed. Un condotto è attraversato da un fluido ideale in moto stazionario. A e A sono due sezioni verticali con i centri osti alle altezze h, h risetto ad uno stesso iano orizzontale, v e v sono le velocità dei fluido quando assa, risettivamente, er A e A, F F = e A = sono le ressioni corrisondenti. A crisse : Trattato del moto ( 644 ), Lezioni accademiche.celebre il teorema di idrodinamica che orta il suo nome. Dinamnica dei FLUIDI ideali Pagina 30 di 37