2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)

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1 Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego, che sigifica che ci soo delle cifre co parte itera, la virgola e, di seguito, altre (evetuali ifiite) cifre. Esempio: 87, 51. La debolezza di questa defiizioe sta el fatto che si fa appello all ituizioe el mometo i cui ci si deve immagiare che ci siao ifiite cifre dopo la virgola seza poterle materialmete scrivere. Per evitare l appello all ituizioe, troviamo altre defiizioi essezialmete meo facili da spiegare. Vediamo alcui esempi: ;1;5;,, (allieameti decimali co sego, quidi chiaramete umeri reali); 4 ( = 1,) ; π ( =, ) che è il rapporto tra la circofereza e il diametro, quidi o si esprime il suo allieameto decimale co sego per dare la defiizioe a differeza di quato o si possa fare co lo ;1;5;, e ache co il 4 ( = 1,), che ha u valore periodico dopo la virgola, quidi facedo riferimeto all ituizioe si può i qualche modo immagiare quali siao le sue cifre decimali. Per quato detto possiamo dedurre che la defiizioe di π è idiretta, quidi si defiisce come il rapporto tra la circofereza e il diametro ma o si esibisce il corrispodete allieameto: o essedoci u periodo, o si scrivoo tutte le cifre decimali. π π Esempi che o soo umeri reali:,,, (questi simboli o rappresetao umeri reali!) Trovare il più grade umero reale. Risposta:,, o esiste (RISPOSTA CORRETTA). NB:,, per quato sopra euciato, o soo umeri reali. Numeri reali positivi e umeri reali egativi. Defiizioe: u allieameto le cui cifre o siao tutte ulle, è positivo se il primo simbolo è il sego ; egativo se il primo simbolo è il sego. Spesso il simbolo si omette. NB: il umero ZERO o è e egativo e positivo. Questo si può dedurre dalla regola dei segi: il prodotto y è positivo se e solo se e y soo cocordi el sego, cioè etrambi egativi o etrambi positivi. Il prodotto y è egativo se la o la y hao uo sego positivo e l altro egativo. Si deduce quidi che il umero ZERO o sia e positivo e egativo. Ammettiamo per u mometo (erroeamete) che ZERO sia positivo e applichiamo la regola dei segi al prodotto o y avete y = y Avremo che o y =. Ci troviamo quidi davati ad ua cotraddizioe i quato ammettiamo la possibilità che u prodotto tra valori discordi el sego possa dare u risultato positivo. E i questo puto che emerge la cotraddizioe rispetto alla regola dei segi. Trovare il più picolo umero reale positivo. Risposta:, 1, o esiste (RISPOSTA CORRETTA) NB: il sego di quatità come dipede dal sego di ifatti, il valore, potrebbe essere sia positivo che egativo, quidi potremmo avere ( ) oppure ( ). La cosegueza è che: ( ) = ; ( ) =. Idicato co u umero reale, trovare il sego di. Risposta: è egativo, è positivo, dipede da (RISPOSTA CORRETTA). Numeri razioali. All itero dell isieme dei umeri reali vi è u sotto isieme otevole rappresetato dall isieme dei umeri razioali. Defiizioe: i umeri razioali soo quei umeri reali uguali al rapporto fra due umeri iteri.

2 Esempio: ;1;5;,5;1, ; soo umeri razioali. Ifatti soo uguali alla defiizioe: = ;1 = ;,5 = ;1, =. 1 1

3 No tutti i umeri soo razioali ifatti il π, e tati altri o lo soo. Si può ricooscere se u umero è razioale o meo dal suo allieameto decimale co sego, ossia se e solo 5 se le cifre decimali soo i umero fiito, esempio:,5 =, oppure se è u umero periodico, esempio: 4 1, =. I geerale u umero reale è razioale se e solo se: le cifre decimali soo i umero fiito; il umero decimale è periodico. Importaza dei umeri razioali: SEMPLICITA : i umeri razioali soo semplici perchè si possoo scrivere come il rapporto di due umeri iteri; ogi umero reale si può approssimare bee quato si vuole co u umero razioale, ifatti dato u certo umero sc1 c...c,d1dd... posso predere la successioe q = sc1c...c,d1dd... d e basta, ossia basta trocarlo dopo molte cifre decimali; Prediamo, per esempio, u umero reale NON razioale. Quidi, dato u certo umero reale che ha uo sviluppo decimale o periodico, possiamo sempre predere valori (u umero fiito di cifre) dopo la virgola. Questo permette di avere comuque u umero razioale perchè ha u umero fiito di cifre decimali e ua ottima approssimazioe se si prede u umero di cifre decimali comuque grade (1 o cifre dopo la virgola). Defiizioe di per > e Z. Estesioe a R per dispari. Defiizioe di per. = ; ( ) =. Poteze e radicali R = isieme dei umeri reali positivi = umeri iteri positivi (dal umero 1 i poi) Z = isieme dei umeri iteri positivi Defiizioe: =... dove 1 _ volte R e Z (vale ache per a, a R ), che sigifica il prodotto di per se stesso volte. Quidi: elevare u umero positivo a u umero itero qualuque, ach esso positivo, vuol dire moltiplicare il umero positivo per se stesso tate volte quato idicato dall espoete. Quato detto vale ache per la poteza a dove a è u umero reale qualuque ache egativo a R ; i questa defiizioe il sego della base o iterviee. Defiizioe: la radice eesima di u certo valore si rappreseta come segue: ; è u umero reale positivo che può ache essere ullo e si rappreseta [, ), cioè l isieme di tutti i umeri reali maggiori di ZERO compreso lo ZERO. E per questo motivo che, sulla siistra, abbiamo ua paretesi quadra che vuol sigificare che il umero ZERO, che o è u umero reale positivo, appartiee a questo isieme, quidi può essere u umero reale positivo o ache uguale a ZERO. Quidi, la radice eesima di (ovvero ) è quell uico umero reale y o egativo tale che y = ( è lo stesso che figura sotto radice). Si può facilmete dire che l estrazioe di radice eesima è l operazioe iversa dell elevameto all eesima poteza; defiito l elevameto a poteza, dato il risultato, trovare la base tale che questa poteza eesima sia effettivamete. Esempio: troviamo la radice quadrata di 4 applicado la defiizioe (el caso di radice quadrata, o si idica).

4 Il quesito ci chiede di trovare quell uico umero y = 4, cioè quell uico umero y o egativo tale che y = 4. Abbiamo ache defiito che = 4 e =. Quidi: y = 4 y = 4, ovvero y = ; è quell uico umero reale o egativo il cui quadrato è 4. Si sottoliea il fatto che ella frase precedete c è scritto o egativo i quato ( ) = 4 ( ) ( ) = 4. Quidi, umero il cui quadrato è =4, o appartiee alla defiizioe i quato la stessa defiizioe esclude i umeri egativi. Esempio: risolviamo l equazioe y = 4. Cosa si itede co risolvere ua equazioe?. Risolvere ua equazioe vuol dire trovare tutti i umeri reali (almeo per il corso di Aalisi I) che sostituiti a y soddisfao l uguagliaza. I base alla defiizioe di radice quadrata, sappiamo che e risolvoo l equazioe. Queste soo le uiche soluzioi. Possiamo quidi affermare che: y = e y = ; semplificado la scrittura avremo: y = ±. Per comodità di calcolo attraverso u qualsiasi calcolatore, si cosideri che = ( ), questa scrittura si 1 può ache trovare ella forma ^. E quidi possibile eseguire il calcolo di ua qualsiasi radice 1 eesima attraverso la seguete: ^. Esempio: risolviamo l equazioe y =. Soluzioe: y = ±, ovvero è quel umero che elevato al quadrato da come risultato, ifatti: ( ) =. Ma ache ( ) elevato al quadrato da come risultato, ifatti: ( ) =. NB: co la limitazioe che sia dispari, si può defiire Z co Z R come quell uico umero reale y R tale che y = Z. Questo vuol dire che co espoeti dispari si può calcolare la radice eesima di umeri egativi. Esempio: risolvere le segueti equazioi y = 6 y = 6 y = ± 6 ; y ha quidi due soluzioi; y 5 = y = 5 y = ± 5 ; y ha quidi due soluzioi; y 1 = y = 1 y = o ha soluzioi reali ma due soluzioi complesse: y = ± i, perchè ogi umero reale elevato al quadrato, per la regola dei segi, risulterà positivo o evetualmete ullo, ifatti se y u umero reale egativo il suo quadrato sarà positivo, se y è u umero reale positivo il suo quadrato sarà positivo, se y = il suo quadrato è uguale a ZERO. Per quato detto si afferma che y è ua quatità o egativa per ogi umero reale y. Quado a cioè il primo membro ( ) y, che è u umero reale o egativo, aggiugo 1, il risultato, y dell equazioe y = 1, è u umero reale maggiore di uo: >1 o, evetualmete uguale ad uo =1; possiamo ache scrivere: y 1. Quato detto ci dimostra che l equazioe y 1 = o ha soluzioi reali proprio perchè qualuque umero reale sostituito al valore della y elevata al quadrato fa si che il primo membro sia maggiore o evetualmete uguale a uo e o uguale a ZERO. Possiamo ache aggiugere che: risolvere l equazioe sigifica trovare quei umeri reali che sostituiti al posto dell icogita, i questo caso al posto della y, soddisfao l uguagliaza. Calcolare le segueti radici sigifica ache scrivere: y = 5 y = 5 y = 5 ; y = y = y = ; y = 7 y = y = ; 4 4 y = 64 y = o è defiita el campo dei umeri reali. Pricipali proprietà dell elevameto a poteza: =, sotto l ipotesi che sia positivo e che e siao due iteri positivi si dimostra che: =..., =..., quidi, secodo la proprietà associativa, avremo: =... ; 1 1 ( ) volte

5 ( ) = ovvero quidi scrivere: ( ) = _ volte moltiplicato per se stesso volte. Possiamo

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