Problemi di accuratezza relativi alla soluzione di sistemi sottodeterminati. In onore di Alfonso Laratta
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1 Problemi di accuratezza relativi alla soluzione di sistemi sottodeterminati In onore di Alfonso Laratta Mario Arioli CCLRC-Rutherford Appleton Laboratory Modena, 13 ottobre 2004 p.1/25
2 Sommario Problemi sottodeterminati e loro duali Modelli di Roundoff Analisi dell errore e accuratezza Generalizzazioni Sparsità Prospettive future Modena, 13 ottobre 2004 p.2/25
3 Problemi sottodeterminati e loro duali A T u = b A IR n m rank(a) = m n Modena, 13 ottobre 2004 p.3/25
4 Problemi sottodeterminati e loro duali A T u = b A IR n m rank(a) = m n u = A T + b + (I P)w Modena, 13 ottobre 2004 p.3/25
5 Problemi sottodeterminati e loro duali A T u = b A IR n m rank(a) = m n u = A T + b + (I P)w A T + = A(A T A) 1 Modena, 13 ottobre 2004 p.3/25
6 Problemi sottodeterminati e loro duali A T u = b A IR n m rank(a) = m n u = A T + b + (I P)w A T + = A(A T A) 1 P = A(A T A) 1 A T e w IR n Modena, 13 ottobre 2004 p.3/25
7 Problemi sottodeterminati e loro duali Primale min A T u=b 1 u q 2 2 Modena, 13 ottobre 2004 p.4/25
8 Problemi sottodeterminati e loro duali Primale Sistema Lagrangiano [ I A A T 0 min A T u=b ] [ 1 u q 2 2 u x ] = [ q b ]. Modena, 13 ottobre 2004 p.4/25
![A A T 0 min A T u=b ] [ 1 u q 2 2 u x](/docs-images/44/4658167/images/page_8.jpg "] = [ q b ].")
9 Problemi sottodeterminati e loro duali Primale Sistema Lagrangiano [ I A A T 0 min A T u=b ] [ 1 u q 2 2 u x ] = [ q b ]. Duale 1 min x 2 (Ax q)t (Ax q) + b T x. Modena, 13 ottobre 2004 p.4/25
![1 u q 2 2 u x ] = [ q b ].](/docs-images/44/4658167/images/page_9.jpg "Duale 1 min x 2 (Ax q)t (Ax q) + b T x.")
10 Modelli di Roundoff Let fl( ) denote the result of a floating point computation. We assume that fl(α β) = (α β)(1 + δ(, α, β)) ; δ(, α, β) ε, where α and β are floating point numbers, ε is the machine precision and is one of + /. Modena, 13 ottobre 2004 p.5/25
11 Modelli di Roundoff Let fl( ) denote the result of a floating point computation. We assume that fl(α β) = (α β)(1 + δ(, α, β)) ; δ(, α, β) ε, where α and β are floating point numbers, ε is the machine precision and is one of + /. To a great extent modern computers have arithmetic that satisfies assumption. Furthermore, we assume that the scalar products are accumulated using either extended precision arithmetic or the Kahan Summation Formula. As a consequence of these assumptions, given z and y real vectors of dimension n, we have: fl(z T y) = z T y + z T Dy + s, D 3εI, s O(nε 2 z T y ). Modena, 13 ottobre 2004 p.5/25
12 Householder e Givens Analisi dell errore Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
13 Analisi dell errore Householder e Givens (A., Laratta Numer. Math 85) Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
14 Analisi dell errore Householder e Givens (A., Laratta Numer. Math 85) (A + F) = Ĥ [ R 0 ], F F c 1 mε A F. Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
![Math 85) (A + F) = Ĥ [ R 0 ], F F](/docs-images/44/4658167/images/page_14.jpg "c 1 mε A F.")
15 Analisi dell errore Householder e Givens (A., Laratta Numer. Math 85) Gram-Schmidt e modified Gram-Schmidt Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
16 Analisi dell errore Householder e Givens (A., Laratta Numer. Math 85) Gram-Schmidt e modified Gram-Schmidt (A., Laratta LAA 86), (Björck, Paige SIMAX 92), (Giraud, Langou, Rozloznik, van den Eshof 04) Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
17 Analisi dell errore Householder e Givens (A., Laratta Numer. Math 85) Gram-Schmidt e modified Gram-Schmidt (A., Laratta LAA 86), (Björck, Paige SIMAX 92), (Giraud, Langou, Rozloznik, van den Eshof 04) (A + F) = Q F 2 c 1 mε A 2, I Q T Q 2 c 2 κε, κ = σ 1 /σ m. [ R 0 ], Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
18 Analisi dell errore Householder e Givens (A., Laratta Numer. Math 85) Gram-Schmidt e modified Gram-Schmidt (A., Laratta LAA 86), (Björck, Paige SIMAX 92), (Giraud, Langou, Rozloznik, van den Eshof 04) Gauss (Björck, Duff LAA 80) Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
19 Analisi dell errore Householder e Givens (A., Laratta Numer. Math 85) Gram-Schmidt e modified Gram-Schmidt (A., Laratta LAA 86), (Björck, Paige SIMAX 92), (Giraud, Langou, Rozloznik, van den Eshof 04) Gauss (Björck, Duff LAA 80) (A + δa) = L [ Ū 0 ], δa c 1 mε( A + L E 1 Ū ) + O(ε2 ) E 1 = [ I m 0 n m,m ]. Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
20 Analisi dell errore Householder e Givens (A., Laratta Numer. Math 85) Gram-Schmidt e modified Gram-Schmidt (A., Laratta LAA 86), (Björck, Paige SIMAX 92), (Giraud, Langou, Rozloznik, van den Eshof 04) Gauss (Björck, Duff LAA 80) Modena, 13 ottobre 2004 p.6/25
21 Analisi dell errore (A., Laratta 85) HA = [ R 0 ] Modena, 13 ottobre 2004 p.7/25
22 Analisi dell errore (A., Laratta 85) HA = [ R T d = b R 0 ] Modena, 13 ottobre 2004 p.7/25
23 Analisi dell errore (A., Laratta 85) HA = [ R 0 ] R T d = [ b Hq = Q T S T ] q = [ h 1 h 2 ] Modena, 13 ottobre 2004 p.7/25
24 Analisi dell errore (A., Laratta 85) HA = [ R 0 ] R T d = [ b Hq = Q T S T u = H T [ d ] h 2 q = ] [ h 1 h 2 ] Modena, 13 ottobre 2004 p.7/25
25 Analisi dell errore Sia ū la soluzione calcolata con il precedente algoritmo E IR n m, e IR n, ũ IR n ũ min (A+E) T u=b soluzione di 1 u (q + e) 2 E F c(n, m) A F ε + O(ε 2 ) e c (n, m) q ε + O(ε 2 ) ū ũ c (n, m)ε + O(ε 2 ) ū Modena, 13 ottobre 2004 p.8/25
26 Analisi dell errore: sistema Lagrangiano Null Space Algorithm: h v = H T q R T b, Solve the block lower triangular system: h 1 = E T 1 h = [I m 0 m,n m ] h, h 2 = E T 2 h = [0 n m,m I n m ] h. I m I n m 0 z 1 z 2 = v h 2, I m 0 I m z 3 h 1 and let u = H z 1 z 2. Modena, 13 ottobre 2004 p.9/25
27 Generalizzazioni Primale M IR n n SPD min A T u=b 1 2 ut Mu q T u Modena, 13 ottobre 2004 p.10/25
28 Generalizzazioni Primale M IR n n SPD Sistema Lagrangiano [ M min A T u=b A A T ut Mu q T u ] [ u x ] = [ q b ]. Modena, 13 ottobre 2004 p.10/25
29 Generalizzazioni Primale M IR n n SPD Sistema Lagrangiano [ M min A T u=b A A T ut Mu q T u ] [ u x ] = [ q b ]. Duale 1 min x 2 (Ax q)t M 1 (Ax q) + b T x. Modena, 13 ottobre 2004 p.10/25
30 Generalizzazioni Primale M IR n n SPD Sistema Lagrangiano [ M min A T u=b A A T ut Mu q T u ] [ u x ] = [ q b ]. Duale 1 min x 2 (Ax q)t M 1 (Ax q) + b T x. Ker (M) Ker (A T ) = 0!u Modena, 13 ottobre 2004 p.10/25
31 Generalizzazioni Primale C IR k n m n k min A T u=b 1 Cu d 2 2 Modena, 13 ottobre 2004 p.11/25
32 Primale C IR k n m n k Sistema Lagrangiano Generalizzazioni min A T u=b I C 0 C T 0 A 0 A T 0 1 Cu d 2 2 r u x = d 0 b. Modena, 13 ottobre 2004 p.11/25
33 Primale C IR k n m n k Sistema Lagrangiano Generalizzazioni min A T u=b I C 0 C T 0 A 0 A T 0 1 Cu d 2 2 r u x = d 0 b. Ker (C) Ker (A T ) = 0!u Modena, 13 ottobre 2004 p.11/25
34 Analisi dell errore Constrained LS Modena, 13 ottobre 2004 p.12/25
35 Analisi dell errore Constrained LS (Laratta, Zironi JOTA 90), (Galligani, Laratta Computing 94), (Galligani, Zanni Computing 00) Modena, 13 ottobre 2004 p.12/25
36 Analisi dell errore Constrained LS (Laratta, Zironi JOTA 90), (Galligani, Laratta Computing 94), (Galligani, Zanni Computing 00) QP Modena, 13 ottobre 2004 p.12/25
37 Analisi dell errore Constrained LS (Laratta, Zironi JOTA 90), (Galligani, Laratta Computing 94), (Galligani, Zanni Computing 00) QP (A. SIMAX 00), (A., Baldini SIMAX 01), (Galligani Zanni Computing 97), (Galligani Zanni BUMI 97) Modena, 13 ottobre 2004 p.12/25
38 Constrained LS (Galligani Laratta 94) HA = [ R 0 ] Modena, 13 ottobre 2004 p.13/25
39 Constrained LS (Galligani Laratta 94) HA = [ R 0 ] CH = [C 1 C 2 ] Modena, 13 ottobre 2004 p.13/25
40 Constrained LS (Galligani Laratta 94) HA = [ R 0 ] CH = [C 1 C 2 ] R T y 1 = b Modena, 13 ottobre 2004 p.13/25
41 Constrained LS (Galligani Laratta 94) HA = [ R 0 ] CH = [C 1 C 2 ] R T y 1 = b r = C 1 y 1 Modena, 13 ottobre 2004 p.13/25
42 Constrained LS (Galligani Laratta 94) HA = [ R 0 ] CH = [C 1 C 2 ] R T y 1 = b r = C 1 y 1 d = d r Modena, 13 ottobre 2004 p.13/25
43 Constrained LS (Galligani Laratta 94) HA = [ R 0 ] CH = [C 1 C 2 ] R T y 1 = b r = C 1 y 1 d = d r min z C 2 z d Modena, 13 ottobre 2004 p.13/25
44 Constrained LS (Galligani Laratta 94) HA = [ R 0 ] CH = [C 1 C 2 ] R T y 1 = b r = C 1 y 1 d = d r min C 2 z d z [ ] u y 1 = H z Modena, 13 ottobre 2004 p.13/25
45 Constrained LS (Galligani Laratta 94) Sia u la soluzione calcolata dall algoritmo in aritmetica a precisione finita. Se c(n, m) mk(a)ε < 1, esistono G IR k n, F IR n m, e IR k tali che ũ IR n é soluzione del problema perturbato min (A+F) T u=b 1 (C + G)u (d + e) 2 2 con u ũ u c (n, m)ε + O(ε 2 ) G c 1 (n, m) C ε + O(ε 2 ) F c 2 (n, m) A ε + O(ε 2 ) e c 3 (k, n m)( d + K(A) u m C )ε + O(ε 2 ) u m = A + b. Modena, 13 ottobre 2004 p.14/25
46 Constrained LS (Galligani Laratta 94) Sotto le medesime ipotesi u é soluzione del problema perturbato con min (A+F) T u=b+δb 1 (C + G)u (d + δd) 2 2 G c 1 (n, m) C ε + O(ε 2 ) F c 2 (n, m) A ε + O(ε 2 ) δb c 4 (n, m) u A ε + O(ε 2 ) δd c 5 (n, m) u C ε + c 6 (k, n m)( d + K(A) u m C )ε + O(ε 2 ) Modena, 13 ottobre 2004 p.15/25
47 Constrained LS (Laratta, Zironi 90) ε C = G C, ε A = F A, ε b = δb b, ε d = δd d. u û û K A (C) 2 (ν(c, A)ε A + ε C )ρ + K A (C)(ε A + γε d ) + K C (A)(ε A + ε b ) K A (C) = C (C(I P)) + K C (A) = A L + IC, L+ IC = (I (C(I P))+ C)A T + ν(c, A) = CL + IC A C ρ = d Cû C û, γ = d C û. Modena, 13 ottobre 2004 p.16/25
48 Constrained LS (Laratta, Zironi 90) µ 1 µ 2 µ n valori singolari di C e τ 1 τ 2 τ n m > τ n m+1 = = τ n = 0 valori singolari di C(I P) µ j τ j µ j+m µ 1 µ n m K A (C) = µ 1 τ n m µ 1 µ n = K(C) K(A) K C (A) K(C)K(A) Modena, 13 ottobre 2004 p.17/25
49 QP Null Space Algorithm: h v = H T q R T b, h 1 = E T 1 h, h 2 = E T 2 h. Solve the block lower triangular system: M = H T MH I m 0 0 M T 12 M 22 0 z 1 z 2 = v h 2, M 11 M12 I m z 3 h 1 and let u = H z 1 z 2, x = R 1 z 3. Modena, 13 ottobre 2004 p.18/25
50 QP Siano ū e x i valori calcolati delle soluzioni u and x, con il Null Space Algorithm. Se nε 1 esistono le matrici δm 1 IR n n δa 1, δa 2 IR n m, e il vettore δq IR n tali che M + δm 1 A + δa 1 (A + δa 2 ) T 0 ū x = (q + δq) b. δa 1 F c 2 mε A F + O(ε 2 ), δa 2 F c 2 mε A F + O(ε 2 ), δq 2 c 1 ε q 2 + O(ε 2 ), e δm 1 F c(n, m)ε M 2 + O(ε 2 ). Modena, 13 ottobre 2004 p.19/25
51 Sparsità M e A sparse Modena, 13 ottobre 2004 p.20/25
52 Sparsità M e A sparse Stokes e Darcy Modena, 13 ottobre 2004 p.20/25
53 M e A sparse Stokes e Darcy Sparsità Magnetostatica (Perugia, Simoncini, A. SISC 99) (Perugia, Simoncini 00) min div B=0 curl H=J 1 2 B µh 2 in Ω with B n = g 1 on Γ B H n = g 2 on Γ H. 1 B.n = 0 H.t = 0 iron air B.n = const air B.n = 0 Modena, 13 ottobre 2004 p.20/25
54 Sparsità M e A sparse Modena, 13 ottobre 2004 p.21/25
55 M e A sparse Sparsità Sistema Lagrangiano risolto con MA57 (HSL) usando LDL T Modena, 13 ottobre 2004 p.21/25
56 M e A sparse Sparsità Sistema Lagrangiano risolto con MA57 (HSL) usando LDL T [ ] [ ] [ ] M A u q =. A T 0 x b Modena, 13 ottobre 2004 p.21/25
57 Sparsità M e A sparse Sistema Lagrangiano risolto con MA57 (HSL) usando LDL T Fattorizzare A con MA49 (o MA48) ma M densa Modena, 13 ottobre 2004 p.21/25
58 M e A sparse Sparsità Sistema Lagrangiano risolto con MA57 (HSL) usando LDL T Fattorizzare A con MA49 (o MA48) ma M densa risolvere Mz 2 = h 2 M T 12z 1 con CG più stopping criterium H densa ma i vettori di Householder sparsi Modena, 13 ottobre 2004 p.21/25
59 M e A sparse Sparsità Sistema Lagrangiano risolto con MA57 (HSL) usando LDL T Fattorizzare A con MA49 (o MA48) ma M densa risolvere Mz 2 = h 2 M T 12z 1 con CG più stopping criterium H densa ma i vettori di Householder sparsi M ij z = E T i H T (M(HE j z)), with (i, j) = (1, 2). [ ] [ ] E 1 = I m 0 n m,m, and E 2 = 0 m,n m I n m. Modena, 13 ottobre 2004 p.21/25
60 Sparsità IF M 22 z 2 fl(h 2 M T 12z 1 ) 2 η M 22 2 z 2 2 THEN STOP, η < 1 fissata a-priori dall utente Modena, 13 ottobre 2004 p.22/25
61 Sparsità IF M 22 z 2 fl(h 2 M T 12z 1 ) 2 η M 22 2 z 2 2 THEN STOP, η < 1 fissata a-priori dall utente ( M 22 + E 22 ) z 2 = fl(h 2 M T 12z 1 ), E 22 2 η M Modena, 13 ottobre 2004 p.22/25
62 QP sparso Siano ū e x i valori calcolati delle soluzioni u and x, con il Null Space Algorithm e il CG. Se nε 1 esistono le matrici δm 1 IR n n δa 1, δa 2 IR n m, e il vettore δq IR n tali che M + δm 1 + δm 2 A + δa 1 (A + δa 2 ) T 0 ū x = (q + δq) b. δa 1 F c 2 mε A F + O(ε 2 ), δa 2 F c 2 mε A F + O(ε 2 ), δq 2 c 1 ε q 2 + O(ε 2 ), e δm 1 F c 3 (n, m)ε M 2 + O(ε 2 ), δm 2 F η( M O(ε)). Modena, 13 ottobre 2004 p.23/25
63 Prospettive future Metodi Iterativi Modena, 13 ottobre 2004 p.24/25
64 Prospettive future Metodi Iterativi precondizionatori basati su P Modena, 13 ottobre 2004 p.24/25
65 Prospettive future Metodi Iterativi precondizionatori basati su P (Simoncini) Modena, 13 ottobre 2004 p.24/25
66 Prospettive future Metodi Iterativi precondizionatori basati su P (Simoncini) algoritmi alla LSQR e CRAIG (Benbow SIMAX 99), (Saunders BIT 95) Modena, 13 ottobre 2004 p.24/25
67 Prospettive future Metodi Iterativi precondizionatori basati su P (Simoncini) algoritmi alla LSQR e CRAIG (Benbow SIMAX 99), (Saunders BIT 95) Accuratezza dei metodi diretti con pivot statico Modena, 13 ottobre 2004 p.24/25
68 THE END? Modena, 13 ottobre 2004 p.25/25
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