Esercizi sulla gravitazione universale

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1 La legge di gravitazione universale Esercizi sulla gravitazione universale 1)Trovare la distanza che separa due corpi puntiformi, con masse 5:2 kg e 2:4 kg, affinché la loro attrazione gravitazionale sia 2,3 x10-12 N. R(19m) 2)Il Sole e la Terra esercitano ciascuno una forza gravitazionale sulla Luna. Trovare il rapporto F Sole /F Terra delle due forze, sapendo che la distanza media della Luna dal Sole è uguale alla distanza dal Sole della Terra. (Dati: d(t-s)=1,5x10 8 km e d(t-l)=3,8x10 5 km, m S =1,99x10 30 kg e m T =5,98x10 24 kg,) R: (rapporto=2,1) 3)Un satellite di forma sferico in alluminio gonfiato del diametro di 30m e di massa 20 kg viene sfiorato da un meteorite con massa 7,0 kg ad una distanza di 3,0m. Trovare la forza esercitata dal satellite sul meteorite quando passa alla minima distanza dalla superficie. R: (F=2,9 x N) 4)Una massa M divisa in due parti, di massa rispettivamente m e M - m, che sono in seguito allontanate fra di loro ad un certa distanza d. Trovare il rapporto m/m che rende massima la forza gravitazionale tra le due parti. R( rapporto=1/2) 5)Trovare la velocità lineare e il periodo di rivoluzione di un satellite terrestre in grado di stare su un'orbita circolare ad un'altezza di 160 km. (R: T=87,3min) 6)A che distanza dalla Terra sulla congiungente Terra-Sole deve trovarsi una sonda spaziale affinché l'attrazione gravitazionale del Sole compensi quella terrestre? R (dts = km) 7)Un'astronave viaggia su una rotta rettilinea dalla Terra alla Luna. Trovare la distanza dalla Terra alla quale si annulla la risultante delle forze gravitazionali che agiscono sull'astronave. (La distanza media tra la Terra e la Luna è di 3,8x10 5 km, il rapporto tra le masse dei due corpi celesti è uguale a 81,25) R:(dTa = km) 8)Quattro sfere, con masse m1 = 400 kg, m2 = 350 kg, m3 = 2000 kg e m4 = 500 kg, hanno coordinate (x; y) rispettivamente (0; 50 cm) ; (0;0) ; (-80 cm; 0) ; (40 cm; 0). Trovare la forza gravitazione risultante F2 esercitata su m2 dalle altre masse. R: F=3,7 x 10-5 N 1

2 9)Nella disposizione in figura (dove le masse sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato l), trovare il rapporto M/m tale da annullare la risultante delle forze gravitazionali esercitate dalle tre sfere su quella posta nel baricentro (ricordare che la massa nel baricentro si trova a due terzi dell'altezza) R: (M/m=1 cioe M=m) 10)Due sfere, con massa m1 = 800 kg e m2 = 600 kg, sono a distanza di 0,25m. Trovare intensità e direzione della forza gravitazionale risultante esercitata su una sfera di 2,0 kg posta a 0,20m da m1 e a 0,15m da m2. R: Ftot=4x10-6 N e α=37 11)Tre sfere hanno le seguenti masse e coordinate: 20 kg, x = 0,50m, y = 1,0m; 40 kg, x = -1,0m, y = -1,0m; 60 kg, x = 0, y = -0,50m. Trovare l'intensità della forza gravitazionale complessiva da esse esercitate su una sfera di 20 kg posta nell'origine del sistema di riferimento. R: F=3,2 x 10-7 N 12)Calcolare l'attrazione gravitazionale esistente tra un libro di 2,5 kg e un quaderno di 200 g appoggiati su un tavolo alla distanza di 30 cm. Quale massa dovrebbe avere il libro per smuovere il quaderno, se il coefficiente d'attrito di questi oggetti con il tavolo è 0,5? R: 3,71x10-10 N; m=6,61x10 9 kg 13) Calcola la forza di gravità tra Terra e Luna e la forza di gravità tra Luna e Sole. R:(F (T-L) =1,98x10 20 N; F (S-L) = 4,38x10 20 N) 14)Calcola con la precisione di 3 decimali il valore della accelerazione di gravità all'equatore e ai poli terrestri, dove il raggio è di 22 km inferiore a quello equatoriale. Di quanto varierebbe il peso di una persona di 70 kg tra queste due località? (All'equatore il raggio è pari a 6378 km; ai poli il raggio è pari a R = 6378 km). R: (4,76 N) 15)Calcolare l'accelerazione di gravità sulla superficie della Luna dai valori della sua massa e del suo raggio (ml = 7,36 x kg, rl = 1,74 x 10 6 m.) R:( g=1,62m/s 2 ) 16)Trovare a quale altezza sopra la superficie terrestre l'accelerazione di gravità è 4,9 m/s 2 R:(h=9,02 x 10 6 m) 2

3 17)Una persona che al piano terreno pesa 54 kg, sale in cima a una delle torri di 412m di New York. Trascurando l'effetto della rotazione terrestre, trovare la diminuzione del suo peso a causa della variazione della sua distanza dal centro della Terra. (la distanza tra la superficie e il centro della Terra è pari a 6,37 x 10 6 m) R: (la differenza di peso e P=0,071N) 18)Una tipica stella di neutroni può avere massa uguale a quella del Sole, ma un raggio di soli 10 km. Trovare l'accelerazione di gravità alla superficie di quella stella. Trovare la velocità di arrivo al suolo, con partenza da fermo, di un oggetto che cade da 1:0m sulla superficie di tale stella. (Si ammetta che la stella non ruoti). R: (ag=1,3x10 12 m/s 2 ; v=1,6x10 6 m/s) 19)Un oggetto posto sull'equatore terrestre è accelerato: a)verso il centro della Terra perché la Terra gira su se stessa, b)verso il Sole perché la Terra gira intorno al Sole c)verso il centro della nostra galassia. Il periodo di rivoluzione del Sole rispetto al centro della galassia è 2,5 x10 8 anni e la sua distanza dallo stesso centro è 2,2 x10 20 m. Calcolare i valori di quelle tre accelerazioni in unità di g. R: ( a) 3,4 x10-3 g; b) 6,1 x10-4 g; c) 1,4 x10-11 g) 20)Una sonda spaziale si trova alla distanza di 3 milioni di km dal centro di un pianeta, e qui misura una accelerazione di gravità di 1,4 cm/s². Di quale pianeta si tratta? R: (1,89x10 27 kg, si tratta di Giove) 21)Calcola le forze di attrazione gravitazionale tra i pianeti e il Sole. Calcola l'accelerazione di gravità alla superficie e la velocità orbitale dei pianeti del sistema solare. 22)Il pianeta Marte ha una accelerazione di gravità pari a circa 1/3 di quella terrestre e raggio medio di circa 1/2 rispetto a quello terrestre. Quanto varrà la densità di Marte rispetto a quella terrestre? (ρ M =2/3ρ T) 23)Calcolare l accelerazione di gravità sulla superficie della Luna (M=7,26 x10 22 Kg, R=1740 Km) R: (g =1,60 m/s 2 ) 24)Se la Terra avesse un raggio doppio di quello che ha e la stessa densità, la forza con cui attrae un corpo di quale fattore verrebbe alterata? R:[2] 25)Calcolare il valore dell accelerazione di gravità sulla Luna sapendo che il rapporto tra il suo raggio e quello della Terra vale 0, 273 e il rapporto tra le rispettive masse vale 1/81,5. R: [g L = 1,6m/s 2 ] 26)Se la Terra avesse un raggio quadruplo di quello che ha e una densità uguale alla metà di quella reale, la forza con cui attrae un corpo di quale fattore verrebbe alterata? R: [2] 27)Se la massa della Terra, quella della Luna e la distanza Terra-Luna raddoppiassero, quale sarebbe il nuovo periodo della Luna? (T Luna = 28 giorni) R: [T = 56 giorni] 3

4 28)Se la distanza Terra-Luna raddoppiasse, quale sarebbe il nuovo periodo della Luna? Quale sarebbe il rapporto tra la nuova velocità orbitale e la velocità orbitale reale della Luna? R: [T=79 giorni, r=0,707] 29)La velocità orbitale della Luna è 1, 03km/ s. Nel viaggiare con questa velocità per 3 s, di quanto è caduta la Luna verso la Terra? Si confronti questo valore con la distanza percorsa in 3 s da un oggetto che cade in prossimità della Terra. Qual è il rapporto tra le tue distanze? Perché? R:[h = 1, 22 cm, r= 3.600] 30)Di quando si dovrebbe salire al di sopra della superficie terrestre affinché l accelerazione di gravità cambi del 10%? Di quanto si dovrebbe scendere sotto la superficie terrestre per osservare da stessa variazione? Si considerino noti raggio e massa della Terra. R: [h = 336km, p = 307km] 31)Sapendo che la distanza di Marte dal Sole è il 158% di quella della Terra dal Sole, si determina la durata dell anno marziano. R: [T = 2 anni] 32)La capsula Apollo è stata messa in orbita circolare attorno alla Luna a 110km di altezza dalla sua superficie. Tenuto conto che l accelerazione di gravità a quella quota è di 1,4m/ s 2 e le raggio della Luna è 1740km, calcolare il periodo di rotazione della capsula. R: [T = 2h] 33)Sapendo che la distanza Terra-Luna è pari a 60 volte il raggio della Terra (r T = 6400km) e che la Luna compie una rotazione in 27, 32 giorni, calcolare la quota h rispetto alla superficie terrestre di un satellite artificiale avente il periodo di 12 h. R: [h = km] 34)Se la Terra, supposta sferica e omogenea, avesse il diametro pari a 1/5 di quello reale e densità doppia, di quale fattore varierebbe la sua massa e l accelerazione di gravità sulla sua superficie? R: [2/125, 2/5] 35)Si consideri l attrazione gravitazionale Terra-Luna e si determini a quale distanza dal centro della Luna deve trovarsi un corpo affinché l attrazione terrestre sia rispettivamente uguale e quattro volte quella lunare. Grandezze note: dterra-luna = km, mluna = 1, 234% m Terra. R: [d1 = km, d2 = km] 36)Un astronauta di massa 100 kg atterra su un pianeta che ha una massa e un raggio entrambi la metà di quelle terrestri. Quanto pesa su quel pianeta? R:[P = 1960N] 37)Calcolare il valore dell accelerazione di gravità alla superficie del pianeta Venere, sapendo che la sua massa vale kg ed il raggio è di 6052km. R: [8.87m/s 2 ] 38)A che altezza dal livello del mare l accelerazione di gravità si riduce dell 1% rispetto al suo valore alla superficie? R: [h=32.1km] 39)Il Sole ha massa 1.99x10 30 kg, e dista dalla Terra, mediamente, km. Il pianeta più vicino alla terra è Venere, di massa 4.87x10 24 kg, la cui distanza minima dalla Terra è di circa km. Verificare che la forza esercitata da Venere sulla Terra è piccola rispetto alla forza esercitata dal sole. 4

5 40)Deimos, satellite di Marte, percorre un orbita circolare di raggio 23460km in 30.3h. Calcolare la massa di Marte. R:(6, kg) 41)Calcola la forza di attrazione gravitazionale tra la Terra e la Luna, tenendo presente che la distanza Terra-Luna è km. R: (1,985 x10 20 N) 42)Un astronauta, la cui massa sulla Terra è 70 kg, intraprende un volo spaziale. Calcola la sua massa e il suo peso a una distanza dalla Terra ove l'accelerazione di gravita è 7 m/s 2. [R. 70 kg; 490 N] 43)A che distanza dalla superficie della Terra dovrebbe essere una persona, affinché il suo peso si dimezzi? [R km] 44)Utilizzando la massa e il raggio dei corpi del sistema solare, calcola l'accelerazione di gravità su Marte, sul Sole e sulla Luna. [R. 3,6 m/s 2 ; 270 m/s 2 ; 1,6 m/s 2 ] 45)Determina l'accelerazione di gravita g' esercitata dalla Terra sulla Luna, sapendo che la distanza della Luna dalla Terra è 60,25 raggi terrestri e che l'accelerazione di gravita g è 9,8 m/s 2. [R. 0,27 cm/s 2 ] 46)Calcola in Newton il peso di un ragazzo avente la massa di 60 kg se la Terra avesse un raggio doppio di quello che ha e: 1) la stessa massa; 2) la stessa densità; 3) massa quattro volte più grande. [R. 147 N; 1176 N; 588 N] 47)Pensa come un fisico. Se la Terra, mantenendo la stessa massa, avesse un raggio doppio di quello che ha in realtà, quale sarebbe il tuo peso? 48)In un apparecchio di Cavendish vi sono due masse m 1 = 12 kg e m 2 = 15 g a distanza di 5,0 cm l'una dall'altra. Qual è la forza di attrazione tra le due masse? [R. 4,8x10-9 N] 49)Il valore dell'accelerazione gravitazionale in prossimità della superficie terrestre è g=9,8 m/s 2. Si determini il valore di g alle seguenti distanze dalla superficie terrestre: a) 200 km; b)2000 km; c) 8000 km ; d) oltre il sistema solare. [R a) 9,22 m/s 2 ; b) 5,68 m/s 2 ; c) 1,93 m/s 2 ] 50)Un ragazzo ha massa 70 kg. Se la massa della terra raddoppiasse ed il raggio restasse inalterato quanto diventerebbe la massa del ragazzo? ed il suo peso? [R. 70 kg; il peso raddoppia] 51) Con riferimento all'esercizio precedente cosa succederebbe alla massa ed al peso del ragazzo nell'ipotesi che il diametro della terra dimezzi a parità di massa. [R: m = 70 kg; il peso diventerebbe 4 volte più grande] 52)Giove ha una massa m = 1,90x10 27 kg, ed un raggio r = 6,99x10 7 m. Se un corpo ha massa 50kg sulla superficie terrestre quali saranno la sua massa ed il suo peso sulla superficie di Giove? [R. m = 50 kg; P = 1295 N] 53)Un satellite artificiale della Terra ruota su un'orbita circolare con velocità di 7,73x10 3 m/s. Determina la quota del satellite sulla superficie terrestre, il periodo di rivoluzione e l'accelerazione centripeta. [R km; 5,42x10 3 s; 8,95 m/s 2 ] 5

6 54)Calcola il periodo di un pendolo semplice nel caso in cui esso si trovi in una navicella spaziale in orbita intorno alla Terra. R: infinito Le leggi di Keplero 55)Determinare la massa della Terra dai valori del periodo T e del raggio r dell'orbita della Luna intorno alla Terra: T = 27,3 g (giorni) e r = 3,82x10 5 km. Supporre che la Luna giri intorno al centro della Terra invece che attorno al centro di massa del sistema. (R: M= 5,93x10 24 kg) 56)Calcolare la velocità orbitale e il periodo del Telescopio Spaziale (HST), che compie orbite circolari intorno alla Terra alla quota di 600 km. R: v=7562 m/s; T=5795 s cioe 1h 36m 35s. 57)Qual è il periodo di un satellite che ruota attorno alla Terra su un orbita di raggio pari a 1/4 del raggio dell orbita della Luna? Quale sarà il rapporto tra la velocità delle satellite e quella della Luna? Si considerino T Luna = 28 giorni e d Terra-Luna = km. R: [T = 3, 5 giorni, r = 2] 58)Trovare il periodo di rivoluzione attorno al Sole di un asteroide che si muove su un orbita circolare compresa fra l orbita di Marte e quella di Giove e tale che le raggio della sua orbita sia 4 x10 11 m. R: [T = 4, 35 anni] 59)I satelliti geostazionari sono detti così perché sono fermi rispetto alla superficie terrestre; essi sono utilizzati per telecomunicazioni intercontinentali o per osservazioni meteorologiche. Per ottenere questo comportamento, i satelliti geostazionari si devono trovare in orbita equatoriale ad una distanza dalla Terra tale che il loro periodo orbitale risulti esattamente uguale al periodo di rotazione terrestre. Utilizzando la terza legge di Keplero, calcolare a quale distanza dalla Terra si devono trovare questi satelliti. (Il periodo di rotazione della Luna e 27d 7h 43m 11s e il raggio orbitale medio km) R: ( km) 60)Nel 1969 la capsula Apollo 8 fu posta in orbita circolare intorno alla Luna, a 112 km dalla superficie lunare. Sapendo che il periodo di quest'orbita era di 1h 59m, calcola la massa della Luna. (Raggio Lunare r=1738 km) R: (r=1, m; C=1, m; T=7140 s; v=1627 m/s; M=7, kg). 61)Quale velocità deve essere data a una sonda spaziale spedita dalla Terra per farla uscire dal sistema solare? R: (v= km/h) 62)Lo Shuttle ha una massa di 100 tonnellate e orbita intorno alla Terra alla quota di 500 km. Calcola la sua energia cinetica. Perché è molto pericoloso il ritorno della navetta nell'atmosfera? R: (Ec=2,9x10 12 J). 63)Al perielio, la cometa di Halley dista dal Sole 0,587 U A, mentre all'afelio dista 34,989 UA. Calcola in kilometri l'asse maggiore D 1 D 2 della sua orbita e la distanza F 1 F 2 tra i due fuochi.( 1 U A = 1, km) R: D 1 D 2 =35,576 UA=5, km; F 1 F 2 =5, km; e=0,967. 6

7 64)Sapendo che la velocità di fuga da Giove è di 59,5 Km/s e che il diametro del pianeta è di km, calcolare la sua massa. (M=1,90x10 27 kg) 65)Il pianeta Marte ha un satellite, Fobos, che si muove su un orbita circolare di raggio 9400 km e periodo T=7 ore e 39 minuti. Calcolare la massa di Marte. (M=6,48x10 23 kg) 66)I diametri di Marte e della Terra sono rispettivamente 6,9x10 3 km e 1,3 x10 4 km. La massa di Marte è 0,11 volte la massa della Terra. Trovare il rapporto tra le densità medie dei due pianeti, il valore di g su Marte e la velocità di fuga da Marte.( La velocità di fuga dalla Terra è v = 11:2 km/s) R: (ρ M /ρ T =0,74; g M /g T =0,39; v M /v T =0,45) 67)Un'astronave è in stallo ai confini della nostra galassia, a anni luce dal centro galattico. Trovare la sua velocità di fuga dalla galassia, la massa della galassia è 1,4x10 11 volte quella del Sole. (supponiamo che la massa galattica abbia una distribuzione sferica uniforme).(1 a.l.= 9,47x10 15 m). R: (v=2,2x10 2 km/s) 68)Una cometa si muove su un orbita ellittica con eccentricità e=0,88. La cometa ha una velocità di 3,72 km/s quando è alla massima distanza dal Sole. Trovare la velocità della cometa al massimo avvicinamento.(r: v=58,3 km/s) 69)Calcolare la velocità di fuga da Europa, una delle lune di Giove, sapendo che ha raggio 1569 km e che l accelerazione di gravità sulla sua superficie è g=1,3 m/s 2. (v = 2,02 km/s) 70)Nel 1997 la sonda Galileo (massa 200 kg) è stata posta in orbita attorno a Giove (M=1,90x10 27 Kg, R=71500 Km). L orbita ha eccentricità e=0,5. Al massimo avvicinamento la distanza dal centro di Giove è km. Calcolare: a. Il semiasse maggiore a b. La velocità al massimo avvicinamento; c. La massima distanza da Giove e la velocità di Galileo in tale punto; d. L energia totale della sonda; e. Il periodo di rivoluzione; f. La velocità aureolare. R: a=200000km ; Vp=43,6km/s ; ra=300000km; Va=14,5 km/s, Etot=-6,35x10 10 J; T=49900 s; V areolare =2,18x10 12 m 2 /s 71)Un satellite si muove su un orbita circolare intorno alla Terra con velocità di 6,40 km/s. Calcolare il raggio dell orbita e il periodo di rivoluzione.( R=9770 km; T=9590 s) 72)Il satellite Fobo del pianeta Marte viaggia su un'orbita di raggio 9,4 x10 6 m, con un periodo di 7h 39m. Calcolare la massa di Marte. R:( M= 6,5x10 23 kg) 73)La cometa Brewington è passata al perielio il 15 marzo La distanza del perielio era di 100 milioni di km e la velocità della cometa in tale punto era di 62 km/s. Determinare la data del prossimo passaggio al perielio. (Non torna!) 7

8 74)Un razzo viene lanciato dalla Terra verso la Luna. Quando si trova a km dalla Terra la sua accelerazione è nulla. Quale dovrà essere la minima velocità iniziale delle razzo per poter raggiungere tale punto e cadere sulla Luna per effetto dell attrazione lunare? In tal caso con quale velocità il razzo colpirà la Luna? Il razzo ha una massa di 100 kg e si considerino noti i seguenti valori: mterra = 6 x10 24 kg, mluna = 7,3x10 22 kg, rluna = 1800 km, rterra = 6400km, dterra-luna = km. R: [v1 = 1, 1 x 10 4 m/ s, v2 = 2, 27 x 10 3 m/ s] 75)Un ipotetica cometa passa al perielio a 108 km dal sole mentre l afelio dista 1010km. Il perielio e l afelio dell orbita terrestre distano dal sole di km e km rispettivamente; il periodo di rivoluzione è di 1 anno. Determinare il periodo della cometa. R: [196 anni] 76)Se la cometa del problema precedente possiede una velocità di 513m/s all afelio, quanto vale la sua velocità al perielio? R:[ m/s] 77)Un satellite viaggia su un orbita circolare a 500km dalla superficie terrestre. Determinare la velocità e il periodo dell orbita. R: [7.6 km/s, s = 1h 35m] 78)Il satellite precedente viene portato su un orbita ellittica il cui perigeo è sempre a 500km di altezza, e l apogeo a 2500km. Determinare il nuovo periodo R: [ s = 1h 56m] 79)Calcolare la velocità di fuga da Deimos, la cui massa è 1.8x10 15 kg, approssimato con una sfera di raggio pari a 6.3km (in realtà è molto irregolare). (v=6.2m/s). 80)Considera i dati relativi al periodo orbitale della Terra e alla sua distanza dal Sole. Approssima l'orbita terrestre ellittica con una circonferenza. In questo caso calcola la velocità media di rivoluzione della Terra intorno al Sole in m/s. [R. 2,99x10 4 m/s] 81)Considera i dati relativi al periodo orbitale della Terra e alla sua distanza dal Sole. Il periodo dell'orbita di Marte è di 686,98 d. Calcola la distanza media di Marte dal Sole. [R. 2,29 x10 11 m] 82)Un satellite artificiale descrive un'orbita circolare con un raggio pari a quattro volte il raggio terrestre Calcola il suo periodo di rivoluzione. [R. 4,06x10 4 s] 83)La distanza media di Marte dal Sole è 1:52 volte quella della Terra dal Sole. Dalla legge dei periodi di Keplero calcolare quanti anni impiega Marte a compiere un giro attorno al Sole. R: TM= 1,87 at (anni terrestri) 8

9 Il moto dei satelliti 84)Un satellite artificiale di massa pari a 24 kg viene portato su un'orbita di raggio pari a R=50x10 6 m intorno alla Terra. a) Qual è la velocità con cui il satellite percorre la sua orbita? b) Quale sarebbe la velocità di un satellite di massa doppia? [R. 2,8x10 3 m/s] 85)Un satellite ruota intorno a un pianeta su un'orbita di raggio 1,741x10 6 m. La sua velocità di valore costante è 1, m/s. Quanto vale la massa del pianeta? [R. 6,7x10 22 kg] 86)Un satellite ruota intorno alla Terra su un orbita circolare a 1000 km d altezza. a) Quanto vale la sua velocità? b) Quanto vale il suo periodo? [R m/s; 6310 s] 87)Sulla Terra un orologio a pendolo ha un periodo di 1,9 s. a) Quale sarebbe il suo periodo su Saturno? b) Cosa potresti fare per aumentare il periodo del pendolo? [R. 1,8 s] Problema sull energia potenziale 88)Un satellite di massa 3000 kg descrive una traiettoria circolare di raggio 8500km. Trovare la sua energia cinetica, la sua energia potenziale e la sua energia totale R: [Ec = 7,06x10 10 J, Ep= 14,12x10 10 J, Etot= 7,06x10 10 J] 89)Se la Terra avesse un raggio quadruplo di quello che ha e la stessa densità, la velocità di fuga di quale fattore verrebbe alterata? R: [4] 90)Con che velocità giungerebbe al suolo un corpo lasciato andare da un altezza di 100km, 1000km e 10000km in mancanza dell aria? Confrontare i risultati che si ottengono a)utilizzando la legge di gravitazione universale (M T =5.97x10 24 kg, R T =6373km) ; b)l approssimazione di forza peso costante (g=9.808m/s 2 ). R:[il valore corretto differisce da quello approssimato del 0,77%, 7,5% e 60% risp.] 91)Che lavoro si deve fare per ogni kg di massa che viene portato su un orbita circolare all altezza di 1000km, partendo dalla quiete sulla superficie terrestre? (Trascurare la velocità al suolo dovuta alla rotazione terrestre) R: [35.5MJ] 92)Calcolare il lavoro che la forza gravitazionale esegue su un corpo di massa 1kg quando viene allontanato dal suolo fino ad un altezza pari al raggio terrestre. R: [L = 3, 13x10 7 J] 93)Determinare l energia potenziale gravitazionale di 8 corpi ciascuno di massa m, posti nei vertici di un cubo di lato a. Si determini poi tale valore quando m è la massa della Terra e a è la distanza Terra-Sole. R: [Ep= 3, 65x10 51 J] 9

10 94)Le tre sfere sono disposte come in figura. Le loro masse sono m1 = 800 g, m2 = 100 g, m3 = 200 g. Le sfere hanno i centri allineati, con L = 12 cm e d = 4,0 cm. Se muoviamo la sfera di mezzo fino a portarla ad una distanza m2 -m3 (fra i centri) uguale a d, trovare il lavoro svolto su m2 da noi, dalla risultante delle forze di attrazione gravitazionale esercitate su m2 da m1 e m3. R: L=-5:0x10-11 J 95)Un pianeta immaginario ha massa 5,0 x10 23 kg, raggio 3,0 x10 6 m, ed è privo di atmosfera. Una sonda di 10 kg deve essere lanciata verticalmente dalla superficie del pianeta. a) Trovare la sua energia cinetica a 4,0 x10 6 m dal centro se è lanciata con un'energia cinetica di 5,0 x10 7 J; b) trovare l'energia cinetica da fornire se deve raggiungere una distanza massima di 8,0 x10 6 m dal centro del pianeta. R: a)e= 2,2 x10 7 J; b) 6,9 x10 7 J 96)Un proiettile è sparato verticalmente dalla superficie terrestre con velocità iniziale di 10 km/s. Trascurando la resistenza dell'aria, trovare la distanza alla quale potrà arrivare. R: h= 8,0 x10 6 m 97)Una massa di 20 kg è posta nell'origine degli assi, e una di 10 kg sull'asse x a x = 0:80m. Quest'ultima è lasciata libera mentre la prima è tenuta ferma nella sua posizione. Trovare a) l'energia potenziale gravitazionale del sistema delle due masse immediatamente dopo il rilascio della massa di 10 kg; b) l'energia cinetica della massa di 10 kg dopo che si è spostata di 0:20m verso l'altra. R: (a)e= 1,67x10-8 J b) E= 0,56 x10-8 J) 98)Tre masse m1=2,0kg, m2=3,0kg, m3=1,0kg sono poste nei vertici di un triangolo equilatero di lato 2m con m1 nell origine e m2 nel punto di ascissa (2;0). Calcola l energia potenziale totale del sistema. 10

11 Test 1)Vero o falso? Due biglie uguali sono poste a una certa distanza. La forza di gravita fra esse: a)raddoppia se le due masse raddoppiano; b)si riduce a un decimo se le due masse si riducono a un decimo. c)aumenta di 100 volte se la distanza diminuisce di 10 volte. d)si dimezza se la distanza si dimezza. 2)Test. La massa inerziale e la massa gravitazionale di un oggetto sono: A. uguali. B. direttamente proporzionali. C. inversamente proporzionali. D. del tutto indipendenti. 3)Test. Due satelliti su due orbite circolari attorno alla Terra si muovono con velocità l'una doppia dell'altra. Il raggio dell'orbita per il satellite che si muove con velocità maggiore è: B. il doppio dell'altro. C. il quadruplo dell'altro. D. la metà dell'altro. E. un quarto dell'altro. 4)Vero o falso? a)la prima legge di Keplero si può spiegare a partire dalle proprietà matematiche della legge di gravitazione universale; b)la seconda legge di Keplero è una conseguenza della conservazione della quantità di moto. c)la terza legge di Keplero per orbite circolari è una conseguenza della relazione che esprime la velocità nel moto circolare uniforme. 5)Vero o falso? a) Il campo gravitazionale è generato dai corpi presenti nello spazio. b) Il campo gravitazionale non dipende dalla massa di prova utilizzata per misurarlo. c) Il valore del campo gravitazionale in un punto è definito come il rapporto tra il modulo della forza gravitazionale che agisce in quel punto e la massa che genera il campo. d) La massa di prova può essere grande a piacere. 6)L'orbita descritta da un pianeta intorno al Sole è: A. un'ellisse con il Sole nel suo centro. B. un'ellisse con il Sole sull'asse maggiore ma non al centro. C. un'ellisse con il Sole sull'asse minore ma non al centro. D. un'ellisse con il pianeta nel punto di perielio. 11

12 7)La seconda legge di Keplero afferma che l'aree spazzata dal raggio vettore che unisce il Sole a un pianeta: A. è uguale per intervalli di tempo uguali. B. è indipendente dall'intervallo di tempo trascorso. C. è inversamente proporzionale all'intervallo di tempo trascorso. D. è direttamente proporzionale al quadrato dell'intervallo di tempo trascorso. 8)Da quale delle seguenti grandezze non dipende l'accelerazione di gravita sulla superficie della Terra? A. Dal raggio terrestre. B. Dalla massa della Terra. C. Dalla massa del corpo considerato. D. Dalla costante di gravitazione universale. 9)Vogliamo che la forza di attrazione gravitazionale tra due masse resti costante anche dopo aver dimezzato entrambe le masse. Come deve variare la loro distanza? A. La distanza dovrebbe ridursi a un quarto. B. La distanza dovrebbe ridursi alla metà. C. La distanza dovrebbe raddoppiare. D. La distanza dovrebbe quadruplicare. 10)Quale valore di una grandezza rende diverso l'esito del lancio di un satellite da quello di un proiettile ordinario? A. La quota iniziale. B. Il valore della massa. C. L'accelerazione di gravità. D. La velocità del lancio. 11)I1 raggio di un'orbita geostazionaria è: A. circa 8 volte il raggio terrestre. B. circa 6 volte il raggio terrestre. C. circa 4 volte il raggio terrestre. D. circa 2 volte il raggio terrestre. 12)Il periodo di un satellite su un'orbita circolare è: A. direttamente proporzionale alla radice quadrata del cubo del raggio dell'orbita. B. inversamente proporzionale alla radice quadrata del cubo del raggio dell'orbita. C. direttamente proporzionale alla radice cubica del quadrato del raggio dell'orbita. D. inversamente proporzionale alla radice cubica del quadrato del raggio dell'orbita. 13)La massa inerziale e la massa gravitazionale di un oggetto: A. si possono misurare con metodi diversi. B. si possono misurare con il carrello delle masse. C. si possono misurare con un dinamometro. D. si possono misurare solo nel vuoto. 12

13 14)Il peso di un corpo sulla Luna è minore del peso dello stesso corpo sulla Terra perché: A. la Luna è priva di atmosfera. B. il raggio della Luna è minore della massa della Terra. C. la massa della Luna è minore della massa della Terra. D. il rapporto tra la massa e il quadrato del raggio è minore per la Luna che per la Terra. E. l'accelerazione di gravita diminuisce con l'aumentare della distanza della Terra. 15)Per effetto della forza di attrazione gravitazionale, due corpi puntiformi, posti a una certa distanza e aventi ciascuno una propria massa, si attirano con una forza: A. direttamente proporzionale alla distanza. B. inversamente proporzionale al quadrato della distanza. C. inversamente proporzionale alla distanza. D. esponenziale decrescente. E. direttamente proporzionale al quadrato della distanza. 16)Discutere brevemente gli aspetti fondamentali legati al collegamento tra le leggi di Keplero e la legge di gravitazione universale di Newton. IL SISTEMA SOLARE Astro Massa (kg) Raggio (km) Raggio orbitale (km) Periodo rivoluzione Sole 1, Mercurio 3, , d 23h 16m 48s Venere 4, , d 16h 48m Terra 5, , d 6h 15m 14s Luna (*) 7, , d 7h 43m 11s Marte 6, , y 321d 17h 31m Giove 1, , y 314d 20h 8m Saturno 5, , y 166d 23h Urano 8, , y 7d 27m Nettuno 4, , y 280d Plutone 9, , y 248d g (*) I dati orbitali lunari sono riferiti alla rivoluzione attorno alla Terra 13