Geometria. C) Geometria. Angoli (tipi di angoli, forma sessagesimale e decimale)

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1 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT ) Gemeti In quest pitl venn tttti i seguenti gmenti: Definizini (teminlgi) Simli ngli (tipi i ngli, fm sessgesimle e eimle) I tingli (lssifizine, punti e ette ptili ei tingli, teem i Pitg, tingli simili) I quiltei (lssifizine, ppietà) I ei (elementi el ei e ell infeenz, ngli inteni) Il ll elle supefii (fmule, ee i supefii inuiili ee fnmentli) Vlumi (efinizini, fmule pinipli).1

2 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT 1 Intuzine s sn ue figue nguenti? s è l simmeti ssile? Qul è l iffeenz t plign e plignle? Dmne intuttive Il pin itti isipline i mtemti pevee le seguenti nsenze i se pe l MPT: Gemeti: efinizini fnmentli; ngli, tingli, quiltei, pligni egli, ei, ngli eltivi l ei, elementi e pti el ei e ell infeenz; smpsizine e lli i peimeti e i ee elle pinipli figue pine; insee nguenze e similituini, nsee le pplizini nguenti (tsfmzini ismetie i figue semplii); teem i Pitg (semplii izini); i slii pinipli; i lli fnmentli i slii più imptnti. Pim i iveee egle e fmule i gemeti elemente, nsieim un spett imptnte. Inftti, può pite i stuie teemi ee sluzini i plemi gemetii l ui veità ppe sì vvi e gni imstzine sem el tutt inutile. Tuttvi vlutzini i quest tip sn spess fettlse, ste sull ssevzine i un figu isegnt e nn sul ginment vli in genele. L sl ssevzine e l evienz visiv pssn e elle spese E luni esempi e illustn l neessità ell imstzine evitn l ee ust un ssevzini ppssimtiv. Il segment sem più lung el segment, mente in eltà nn l stess lungezz. Il is entle i sinist int isi più gni, ppe più pil i quell entle i est. Invee le imensini ei ue isi sn uguli..

3 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT L sfe e emege l ent, in eltà nn esiste. Le linee izzntli sn lunge uguli. Le linee izzntli sn pllele. I ue segmenti nn l stess lungezz. Sluzini s sn ue figue nguenti? Sn ue figue svppniili. s è l simmeti ssile? E l ipuzine i un figu ispett un sse i simmeti (spei). Qul è l iffeenz t plignle e plign? L plignle è un line fmt più segmenti nseutivi, etti lti. Il plign è un figu gemeti il ui ntn è un plignle ius nn inteit..

4 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT 1.1 Definizini ell gemeti pin Teminlgi Desizine Rppesentzine gfi Segment Line più eve e ngiunge ue punti (estemi) e. Plignle Line fmt più segmenti nseutivi. I segmenti si in lti, i l estemi vetii. I lti nn evn mi vee punti in mune, tnne gli estemi (si ie ne: nn inteit) Plign Figu gemeti il ui ntn è un plignle ius nn inteit. I pligni penn il nme l nume i lti e pssien: tingli, quiltei, pentgni, esgni, Plign egle Plign n tutti i lti e tutti gli ngli uguli. Dignli i un plign Segmenti e ngiungn un vetie i un plign n un vetie nn nseutiv (il tingl nn pssiee ignli). Rett I te punti situti sull ett si in llineti. Semiett Un elle ue pti nelle quli un punt suivie un ett. Il punt i inizi si im igine. O Figu gemeti nguente Insieme i punti el pin. Tutti i punti i un figu min n tutti i punti i un sen figu. Segmenti, ette, semiette, ngli, linee mn lie, è nguente.

5 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Rette pllele Nel pin sn ette e nn si intesen mi. Rette pepenili Rette e si intesen fmn ngli i 90. Rette inienti Rette e nn un sl punt in mune. ngl Un elle ue pti i pin elimitte ue semiette e nn l stess igine. L igine è il vetie ell ngl. ngl ngl ngli fmti ue ette pllele e un ett tsvesle ngli ppsti l vetie: ; γ δ ngli ispnenti: ' ; '; γ γ'; δ δ' γ δ γ δ Ppzini t segmenti fmti ue pllele e ue semiette n l stess igine O OD ; O O OD D ; O O D O O O D D O sse i simmeti Simmeti ssile Tsfmzine gemeti speule (ispett un sse i simmeti). Simmeti entle Tsfmzine gemeti ispett un ent i simmeti ( si ttt i un tzine i 180 ). ent i simmeti.5

6 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT 1. Simli utilizzti Siml Signifit,,, Le lettee minusle efinisn lungezze (ette, segmenti, lti, spigli, ),,, Le lettee miusle efinisn punti (vetii, ),, γ, Le lettee minusle ell lfet ge efinisn ngli D DE Segment i estemi Tingl i vetii Quilte i vetii D Plign i vetii DE Lungezz el segment Lungezz el segment // s L ett è pllel ll ett s s { P } L ett è pepenile ll ett s s intese s in P (P è il punt i intesezine i e s) P P pptiene (P è un punt situt sull ett ) P P nn pptiene (P è un punt e nn si tv sull ett ) (,) Ĉ γ ngl γ el tingl P l V Peimet e i un supefiie e i se e ltele Vlume DEF Il tingl è nguente l tingl DEF.6

7 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT ngli Dmn intuttiv Qunt vle l ngl efinit lle isettii i ue ngli supplementi? Un pitl pevist nel pgmm i MPT è l tignmeti. Ess pevee l stui elle elzini t ngli e lti ei tingli. L gnimeti, stui in m più genele l elzine t segmenti e mpiezz egli ngli..1 Tipi i ngli Denminzine Signifit Esempi ngl ett 90 ngl pitt 180 ngl gi 60 ngl ut 0 < < 90 ngl ttus 90 < < 60 ngli mplementi L smm ei ue ngli è 90.7

8 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT ngli supplementi L smm ei ue ngli è 180 isettie i un ngl Rett e ivie un ngl in ue pti uguli Gli ngli si pssn espimee n le seguenti fme: fm sessgesimle: 0,5 ispne 0 0 fm eimle: 15 ispne,5. nlgmente qunt vviene n l i, le e e 15 minuti ispnn lle ue e un qut ssi,5 e. Vieves le inque e mezz ispnn lle e 5 e 0 minuti ssi 5,5 e. me psse un fm ll lt? Veiml n i seguenti ue esempi: 1) 56,8 56 0,8 56 (0,8. 60) 56 8, (0,8. 60) e si sive: ) , Il inte Olte ll suivisine i un ngl gi in 60, è pssiile espimee l misu i un ngl n un lt unità i misu: il inte. lln n le mpiezze egli ngli in gi, im già ntt l mplizine nell utilizz ei sttmultipli (gi, pimi, seni). Di nseguenz i lli snn filitti espimen l misu egli ngli in inti. Il inte è l misu i un ngl n il vetie nel ent i un infeenz e efinise un i lungezz ugule l ggi: R R.8

9 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Ossevzine: il inte nn si espime n un unità i misu peé isult l ppt f l lungezz R [ m] efinit sull infeenz ivis il ggi: 1 inte 1[ ]. R [ m] Inftti, sul ei i ggi R 1, l misu in inti ispne ll lungezz ell. Nn vee sussistee nfusini n le unità i misu pié gli ngli espessi in gi si sivn sì: 5, mente gli ngli espessi in inti si sivn sì: 5. Un ngl l ent i 60 ispne un ngl gi e efinise un equivlente ll inte infeenz, iè. Quini:.R R Gzie quest uguglinz si pssn tsfme gli ngli inti in gi nel m seguente: pe esempi un ngl in inti i ispne : Vieves l tsfmzine gi in inti viene svlt utilizzn un ppzine: pe esempi un ngl i 60 ispne : x x E lune ispnenze t ngli in gi e inti: ngl in gi ngl in inti 0 6 Ossevzine: nei lli n i inti lsie il e nn sstituie n,1... Pe esempi: 90 e nn 90 1, 57. Sluzine Qunt vle l ngl efinit lle isettii i ue ngli supplementi? isettie i 90 isettie i L ngl vle esttmente 90..9

10 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Tingli L pnnz elle tteistie e elle ppietà ei tingli è fnmentle pe pie il pitl ell tignmeti, un ei pitli i gemeti nn tttt nel pgmm i Sul Mei m pevist nel pgmm MPT..1 Tipi i tingli Dmne intuttive Qul è l iffeenz t un tingl genei (senz ptilità) e un tingl equilte? Un tingl può essee ettngl e issele? Rppesentzine e enminzini el tingl: Elementi el tingl Denminzini Vetii n lettee miusle (,,, D, ), in sens ntii. Lti ngli n le lettee minusle (,,,, ): i lti ssumn l lette ispnente l vetie e st i fnte l lt. n le lettee minusle ell lfet ge ispnenti lle lettee ei vetii (,, γ, δ, ). L smm egli ngli vle sempe 180 : γ 180 Esempi: γ D e δ F φ f ε E I tingli pssn essee lssifiti sen le tteistie seguenti:.10

11 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT sen gli ngli inteni Tingl utngl H te ngli uti ( < 90, < 90, γ < 90 ) γ Tingl ettngl H un ngl ett ( 90 ) γ 90 γ Tingl ttusngl H un ngl ttus ( > 90 ) γ sen i lti Tingl genei (slen) H te lti i lungezz ives: Di nseguenz: γ γ Tingl issele H lmen ue lti lungi uguli, pe esempi: Di nseguenz: γ γ Tingl equilte H tutti i lti lungi uguli: Di nseguenz: γ γ.11

12 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Sluzini Qul è l iffeenz t un tingl genei e un tingl equilte? Un tingl genei te lti i ives lungezz e i te ngli i ivese mpiezze. Il tingl equilte i te lti lungi uguli e i te lti i meesim mpiezz (60 ). Un tingl può essee ettngl e issele? Sì, i ue lti lungi uguli efinisn l ngl i 90..1

13 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT. Punti e ette ptili ei tingli Situzine intuttiv Si esie stuie un s tingle (10 m; 5 m; 8 m) (pui pve isegnl in sl). me etemine il punt estt sul qule v psizint l gu e eve ggiungee i te vetii ell s? Dve si eve pse il pilst nell ntin (e, ssieme i mui peimetli, eve sstenee il pin teen) spen e ess eve tvsi nell psizine miglie pe sstenee il pviment (ent i gvità)? Dve si tv il ent i un ei nmentle e il pistellist vule ee sul pviment el pin teen in m tle e il ei pssi ll stess istnz i te mui peimetli? Denminzine Siml L intesezine elle ette ispne l Esempi Meitii ssi ei te lti. m ient (ei isitt, evit n O) Ossevzine: il ient può tvsi intenmente, estenmente su un lt el tingl. m O m m Meine ngiungn il vetie n il punt mei el lt ppst. g ient (ent i gvità, evit n G) Ossevzine: il ient suivie le meine in un ppt :1. g G g g isettii Inent (ei isitt, evit n Ω) Semiette e suivin l ngl in ue pti uguli. i Ossevzine: l intesezine elle isettii egli ngli esteni eteminn i enti ei te ei esteni. i γ Ω i i γ ltezze Segmenti e l vetie senn pepenilmente sul lt ppst. Otent (evit n H) Ossevzine: l tent può tvsi intenmente, estenmente su un lt el tingl. H.1

14 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Sluzine L gu si tveà sul ient: ispne ll intesezine elle te meitii. Il pilst v pst in ispnenz el ient: ispne ll intesezine elle te meine. Il ent el ei ispne ll inent, ssi ll intesezine elle isettii.. Il teem i Pitg Dmne intuttive 1) n un suivis esttmente in 1 pti uguli, è pssiile efinie un tingl ettngl senz l iut i nessun stument gemeti (senz squ, gnimet, )? ) Se il lt i un tingl equilte è lung 1, qunt vle l lungezz ell su ltezz? In gni tingl ettngl l smm ei quti efiniti i teti è ugule l qut efinit ll iptenus: In ifeiment l isegn im, in fm nliti: Dll qule si estggn le seguenti fmule (sempe in ifeiment l isegn sp):.1

15 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT.15 Ntulmente se le lettee ei lti el tingl vengn smite, ne le fmule evn essee ttte i nseguenz. Sluzini 1) n un suivis esttmente in 1 pti uguli, è pssiile efinie un tingl ettngl senz l iut i nessun stument gemeti (senz squ, gnimet, )? I te lti el tingl snn stituiti un ttt i mpenente, ispettivmente,, e 5 pti uguli. In quest m, vem l seguente elzine: 5, ispnente l Teem i Pitg e elizzn sì un tingl ettngl. ) Se il lt i un tingl equilte è lung 1, qunt vle l lungezz ell su ltezz? nlizzn il seguente isegn, in ptile metà tingl equilte (tingl ) e pplin il teem i Pitg, im:

16 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT. Tingli simili Situzine intuttiv In un pmeiggi sleggit un pesn lt 1,80 m iese misue l lungezz ell m piettt sul teen e isult essee i ue meti. Qunt è lt un elis viin quest pesn e piett un m sull stess teen i 5 m? Tingli simili I tingli e sn simili pié l mpiezz ei te ngli è l stess. Vlgn quini le seguenti elzini: ' ' '' ' ' γ γ lle quli si pssn eue lte uguglinze. Sluzine In un pmeiggi sleggit un pesn lt 1,80 m iese misue l lungezz ell m piettt sul teen e isult essee i ue meti. Qunt è lt un elis viin quest pesn e piett un m sull stess teen i 5 m? 5 m m Il Sle, tvnsi un istnz mlt gne ll Te, piett i sui ggi luminsi in m tle e essi pssn essee itenuti plleli (quini il ggi ppesentt l ttt è pllel l ggi ppesentt ). Di nseguenz i tingli e sn simili. Pssim quini sivee l seguente elzine: ' ' ' ' 1,80 m 5 m,50 m '' ' ' m.16

17 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Quiltei L ppesentzine e l enminzine egli elementi i un quilte è l seguente: Elementi el quilte Denminzini Vetii Lti ngli n lettee miusle (,,, D, ). n le lettee minusle (,,,, ). n le lettee minusle ell lfet ge ispnenti lle lettee ei vetii (,, γ, δ, ). L smm egli ngli vle sempe 60 : γ δ 60. Esempi: γ δ D.1 Tipi i quiltei Dmne intuttive Quli quiltei fnn pte ell tegi ei pllelgmmi? s iffeenzi un pllelgmm genei (mie) un m? I quiltei pssn essee lssifiti nel m seguente:.17

18 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Qut (lti lungi uguli e ignli lunge uguli, qutt ngli etti). Rettngl (lti ppsti lungi uguli e ignli lunge uguli, qutt ngli etti). Pllelgmmi: lti ppsti plleli Rm (lti lungi uguli e ignli i ives lungezz, ngli ppsti uguli). D Pllelgmm genei (mie) D Quiltei: pligni n lti Tpezi genei (imt ne slen: lti, ngli e ignli i ives lungezz). D Tpezi: ue lti plleli Tpezi ettngl ( lmen un ngl ett). D Tpezi issele (lti liqui lungi uguli, ignli uguli). Sluzini Quli quiltei fnn pte ell tegi ei pllelgmmi? I quiltei e sn ne pllelgmmi sn: quti, ettngli, mi, mii. s iffeenzi un pllelgmm genei (mie) un m? Il m qutt lti uguli mente il mie ue ppie i lti lungi uguli. Le ignli el m sn pepenili, quelle el mie n..18

19 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT 5 ei 5.1 Elementi e pti el ei e ell infeenz Situzine intuttiv Disegne te punti istinti (nn llineti), e e tie l infeenz e pssi, e. Nell tell seguente sn initi enminzini e simli igunti il ei: Teminlgi Denminzini Esempi infeenz (peimet) ei (supefiie) ent O Rggi Dimet Punt mei ell M e O s t Sette ile Fei Rett sente Rett tngente (nel punt P l ett tngente fm un ngl ett n il ggi) O f s t f M P Rett esten e Punt i tngenz P Punti i intesezine, Il segment ile ispne ll supefiie mpes t l e l efinit ll stess..19

20 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Sluzine Disegne te punti istinti (nn llineti), e e tie l infeenz e pssi, e. sse i sse i O 1) Dp ve isegnt i te punti, e, si tin i segmenti e (ette e ). ) Si efinisn gli ssi ei segmenti e (ette pepenili pssnti pe il punt mei ei ispettivi segmenti). ) I ue ssi si intesen nel punt O (ent ell infeenz). ) Il ggi ell infeenz vle: R O O O. 5. ngli inteni l ei Situzine intuttiv Suppnim e un ttt i fevi mpes t ue punti e e essee ntllt n un teleme. Le nizini e evn essee ispettte sn: l teleme eve essee pst ll inten el teen init n il ettngl; l teleme un mp visiv (ngl i petu) i 60 e eve essee utilizzt mpletmente, ssi e evn essee ll estemità el mp visiv. Dve si tvn tutti i pssiili punti nei quli si ptee pse l teleme?.0

21 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT L ngl si ie ngl ll infeenz. O L ngl si ie ngl l ent ispnente ell ngl. P 1 P 1 P Gli ngli 1, e, sn insitti in un semiinfeenz. me tli, le l mpiezze sn l metà i quell ell ngl l ent, ssi l metà i 180. Peiò: O 1 90 Ogni ngl insitt in un semiinfeenz è ett. Sluzine I punti e evn tvsi su un infeenz e efinie un ngl i 60 n il punt in ui veà pst l teleme. Si ttt quini i tve il ent O ell infeenz in m tle e ess, n i punti e, efinis un ngl i 10. Si pee quini nel m seguente: 1) si ti l sse el segment (il ent el ei si tv su quest sse); ) si etemin il ent O in m tle e l ngl Ô si i 10 ; ) si isegn il ei i ent O e i ggi O ppue O; ) l ell infeenz mpes t e D etemin l ngl ll infeenz e vle l metà ell ngl l ent, ssi O D 60 E Di nseguenz tutti i punti sull infeenz mpesi t e D (pe esempi il punt E) elimitn l sul qule è pssiile pse l teleme sisfn le nizini itte: il ttt è vist n un ngl i 60 e l teleme è situt nel teen init..1

22 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT 6 ll i supefii Dmn intuttiv E pssiile lle l supefiie i un tingl genei nsen sltnt l lungezz ei sui te lti? Riim nell pgin seguente le pinipli fmule pe il ll i lungezze e supefii:.

23 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT. Qut P Rettngl ) ( P Rm D P D Rmie ) ( P D Tpezi P Tingl ) )(s )(s s(s s P semipeimet s ; P Tingl equilte P ei Sette ile

24 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Sluzine E pssiile lle l supefiie i un tingl slen nsen sltnt l lungezz ei sui te lti? Sì, utilizzn l seguente fmul: P P ; s semipeimet. L supefiie el tingl vle quini: s(s )(s )(s ). 6.1 ee i figue inuiili ll minzine i ee fnmentli Situzine intuttiv lle l supefiie ell seguente e ttteggit espimen l sluzine in funzine ell lette : Veim luni esempi i ee ppentemente iffiili lle m e sn inuiili ll minzine i ee fnmentli e, i nseguenz, islviili n le fmule el pgf peeente. Pe filite l isluzine, ppnim il met seguente: 1) iniviuzine elle ee pzili fnmentli; ) sittu ell fmul simli genele; ) ll elle ee pzili (semplifie il isultt); ) ll ell e iiest. Nei seguenti esempi, pplieem il met spinit pe lle l supefii ttteggite in funzine ell lette..

25 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Esempi 1 (sluzine ell situzine intuttiv): Sluzine: 1) L e ttteggit (ett segment ile) è l iffeenz t il sette ile lu (i ggi e i ngl 60 ) e il tingl equilte ss i lt, quini: ) t ) llim le ee pzili: ) l L e ttteggit vle quini: t 6 6 Esempi : Sluzine: 1) L e ttteggit è l iffeenz t il qut, il tingl ss e i ue setti ili, me init nell figu nt, ssi: ) t ) llim le ee pzili: l l ) L e ttteggit vle quini: t

26 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT.6 Esempi : Sluzine: 1) L e ttteggit è il ppi ell iffeenz t il sette ile lu i ngl 90 e il tingl ettngl ss, me init nell figu nt, ssi: ) ( ) t ) llim le ee pzili: L e ttteggit vle quini: ) ( ) 1 1 t

27 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT 7 Vlumi 7.1 Definizini Un plie è un figu gemeti elimitt pligni (ette fe el plie) ngiunti lung i lti. I lti ell fe si in spigli. I vetii ell fe (pe esempi: V) si in vetii. L insieme i tutte le fe si im supefiie ttle. Ogni fi è stituit un plign: se il plign nn è un tingl, le fe pesentn le ignli ell fi. Le ignli e ngiungn ue vetii (situti su ue ivese fe) sn le ignli el plie. Un plie n tutte le fe stituite pligni egli uguli si im plie egle (es.: u, tete, ) luni pliei penn il nme l nume i fe e pssien. Esempi: tete : fe ese : 6 fe (ppue pllelepipe; s ptile : u) tte: 8 fe ee: 1 fe ise: 0 fe spigl ignle ell fi ignle el plie fi V vetie Un pism è un sli ttenut tsln un plign ett se el pism. Se l tslzine vviene pepenile ll se si ttt i un pism ett ltimenti si pl i pism liqu. Se il plign tslt è egle si ttt i un pism egle. Pism egle ett Pism liqu 7. ll i vlumi fnmentli Situzine intuttiv lle il vlume el sli efinit un u i spigl, l qule vengn smussti gli tt vetii nel m init:.7

28 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT.8 Riim le pinipli fmule pe il ll i supefii e vlumi ei pinipli slii: u t V 6 Pllelepipe V ) ( t Pllelepipe genei V Pimie V t l ilin V t l l n V ptem t l l Sfe t V

29 PT, 695 ni Gemeti si i mtemti pe l MPT Sluzine lle il vlume el sli efinit un u i spigl, l qule vengn smussti gli tt vetii nel m init: Si ttt i lle il vlume i un elle 8 pimii tlte e stte l vlume el u il vlume elle 8 pimii. me lle il vlume i un pimie? Si può penee in nsiezine l figu seguente: L supefiie i se è l e el tingl init in ss, l ltezz in lu. im: l l inlte: 8 Il vlume i un pimie vle quini: 8 Vpimie 8 Il vlume iiest isult ll: V V u 8 V pimie