PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (9 gennaio 2015) (C.d.L. Ing. Civile [L-Z] e C.d.L. Ing. Edile/Architettura Prof. A.

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1 PRV SCRITT DI MECCNIC RZINLE (9 gennaio 2015) In un piano verticale, un disco D omogeneo (massa m, raggio r), rotola senza strisciare sull asse ; al suo centro è incernierata un asta omogenea (massa m, lunghezza l) al cui estremo è incernierata una seconda asta D anch essa omogenea (massa m, lunghezza l). Quest ultima è vincolata a ruotare intorno al proprio estremo D che giace sull asse (D (r,0) ; vedi figura). ltre alle forze peso, agisce sull asta D una coppia di momento costante M = Mk (con M > 0 e k = vers z). Supposti i vincoli ideali e introdotto il parametro lagrangiano rappresentato in figura, si chiede: 1) Determinare, in funzione del momento M, le configurazioni di equilibrio discutendone, poi, la stabilità; 2) Determinare tutte le reazioni vincolari (esterne ed interne) nelle posizioni di equilibrio individuate nella domanda precedente; 3) Rappresentare i vettori velocità angolare del disco, dell asta e dell asta D; 4) Scrivere la funzione lagrangiana L del sistema. C M z o k r D

2 PRV SCRITT DI MECCNIC RZINLE (11 febbraio 2015) In un piano verticale, rotola senza strisciare sull asse orizzontale un disco D omogeneo (massa m, raggio R) al cui centro è incernierata un asta anch essa omogenea (massa m, lunghezza R/2). ll estremo dell asta agisce la forza elastica F = k 0, generata da una molla ideale che si mantiene sempre orizzontale (vedi figura). Supposti i vincoli ideali e introdotti i parametri lagrangiani ϕ e ( è l angolo tra la verticale e la direzione C 0 solidale al disco e si supponga che C 0 quando = 0), si chiede: 1) Determinare le posizioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità; 2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le posizioni di equilibrio e calcolare le reazioni vincolari interne ed esterne; 3) Ricavare le equazioni differenziali di Lagrange del moto; 4) Scrivere le equazioni linearizzate del moto nell intorno della posizione di equilibrio stabile. C 0 R R/2 0 ϕ C

3 PRV SCRITT DI MECCNIC RZINLE (18 aprile 2015) In un piano verticale è mobile un asta, rigida, omogenea, (lunghezza 2l, massa m) al cui estremo è saldato un punto materiale (massa m). Il punto medio M dell asta è scorrevole, senza attrito, sul semiasse positivo ed è collegato all origine del sistema di riferimento mediante una molla ideale che esercita una forza elastica F = km (k > 0). Supposti i vincoli ideali ed assunte come variabili lagrangiane = M e (vedi figura), si chiede: 1) Determinare le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine, discutendo la stabilità delle prime; 2) Ritrovare,usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio del sistema e calcolare la reazione vincolare che si esercita, all equilibrio, nel cursore M; 3) ttenere le equazioni di Lagrange del moto; 4) Scrivere ed integrare le equazioni delle piccole oscillazioni nell intorno della posizione di equilibrio stabile. Domanda facoltativa. Supponendo che il piano in cui giace il sistema sia posto in rotazione, intorno all asse fisso, con velocità angolare costante ω si chiede: 5) Rappresentare, usando il teorema di Galileo, la velocità assoluta del punto. j i M

4 PRV SCRITT DI MECCNIC RZINLE (11 giugno 2015) Il sistema in figura, mobile in un piano verticale è costituito di: a) un asta omogenea (massa m, lunghezza 2l) i cui estremi sono vincolati a scorrere sugli assi e ; b) un punto P (massa m) mobile lungo l asse e vincolato a mantenersi nel semipiano 2l. ltre alle forze peso, agiscono tra l estremo dell asta e il punto P le forze elastiche dovute all azione di una molla ideale di costante elastica k (> 0) (vedi figura). Inoltre, sui punti P e agiscono forze di resistenza viscosa F P = hv P, F = hv (h > 0), rispettivamente. Introdotto il parametro adimensionale λ = mg/4kl (> 0) ed utilizzando le coordinate lagrangiane e rappresentate in figura si chiede: 1) Determinare, in funzione di λ, le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine esaminando la stabilità di quelle ordinarie; 2) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio già determinate nella domanda precedente e calcolare le reazioni vincolari agenti sul sistema; 3) Rappresentare il momento della quantità di moto dell asta rispetto al suo centro istantaneo di rotazione e, poi, scrivere le equazioni cardinali pure della dinamica del sistema; 4) Scrivere le equazioni di Lagrange del moto. P P =-2l

5 PRV SCRITT DI MECCNIC RZINLE (14 luglio 2015) Il sistema rappresentato in figura, posto in un piano verticale, è costituito di un semidisco omogeneo (massa m, raggio R) il cui bordo semicircolare è vincolato a rotolare senza strisciare lungo l asse restandovi tangente e di un asta anch essa omogenea (massa m, lunghezza 2l) il cui estremo è incernierato al centro del disco. ltre alle forze peso, è applicata all estremo dell asta la forza costante F = fi (f > 0, costante). Supposti i vincoli ideali, introdotti i parametri lagrangiani, ϕ rappresentati in figura (si supponga che per ϕ = 0 il punto C coincida con l origine ) e posto λ = f/mg (> 0), si chiede: 1) Dopo avere rappresentato graficamente lo spazio delle configurazioni del sistema determinare, discutendole in funzione del parametro λ, le configurazioni di equilibrio ordinarie esaminandone, poi, la stabilità; 2) Calcolare, all equilibrio, le reazioni vincolari che si esercitano nei punti e C; 3) Ritrovare, con le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio già individuate nella domanda (1); 4) Supposto di fissare il parametro ϕ al valore ϕ = 0, ricavare l equazione di Lagrange del moto del sistema così ottenuto. ϕ j F C i

6 PRV SCRITT DI MECCNIC RZINLE (10 settembre 2015) In un semipiano verticale, un disco omogeneo D (massa m, raggio r) rotola senza strisciare su una guida semicircolare di centro e raggio r. l suo centro G è applicata la forza elastica F = kgh che si mantiene sempre verticale. Un punto P (massa m) è mobile, senza attrito, sul bordo del disco D. ssunti come parametri lagrangiani gli angoli, ϕ rappresentati in figura, dopo avere preliminarmente individuato il loro dominio, si chiede: 1) Determinare la velocità angolare del disco e rappresentare la velocità di trascinamento del punto P; 2) Determinare, discutendole in funzione del parametro λ = mg/kr (> 0), le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine esaminando, poi, la stabilità delle prime; 3) Ritrovare, usando le equazioni cardinali della statica, le configurazioni di equilibrio (ordinarie) già individuate nella domanda precedente; 4) Calcolare l energia cinetica del sistema. j H i r r G ϕ P

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