Equation Chapter 1 Section 1 Vibrazioni torsionali di una trasmissione nautica Esercizio da portare in forma scritta all esame

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1 Equation Chaptr Sction Vibrazioni torsionali di una trasission nautica Esrcizio da portar in fora scritta all sa In Figura è ostrato lo scha di un otor arino connsso all diant un riduttor ad ingranaggi ad uno stadio. Noti i onti di inrzia dl volano, dl otor, dll ruot dntat l dinsioni dgli albri (Tablla ), dtrinar: ) frqunz odi di vibrar torsionali dl sista utilizzando un odllo a 3 g.d.l. ) il onto di inrzia dl volano pr cui è possibil schatizzar il sista a 3 g.d.l. con un sista a g.d.l ottnndo un rror prcntual sulla frqunza natural rlativa al prio odo flssibil infrior al 5%. 3) frqunz odi di vibrar torsionali dl sista a g.d.l. così ottnuto. 4) il valor dlla dll dl otor pr sista a g.d.l. quando al otor sia applicata la coppia: M( t) = M + cos(ωt.4) + 89 cos(4ωt.7) Si considri un otor di potnza kw alla vlocità di 34rp. Inoltr pr il calcolo dll FRF si utilizzi uno sorzanto odal ζ =.. Diagraar inoltr l FRF con sorzanto odal ζ =. snza sorzanto. NOTE: -si trascuri l inrzia dgli albri -si spriano l frqunz in Hz -si spriano i risultati con 5 cifr significativ Sibolo Dscrizion Valor Unità di isura Monto di inrzia 9 v kg dl volano Monto di inrzia kg dl otor Monto di inrzia 5 kg dlla ruota Monto di inrzia 5 kg dlla ruota Monto di inrzia kg dll G Modulo di lasticità 8.5E N / tangnzial z Nuro di dnti ruota 4 z Nuro di dnti ruota Tablla. Valori nurici rlativi al otor arino.

2 ruota ruota volano otor Figura. Scha di otor arino (l isur sono sprss in ). Procdinto pr doanda ) Schatizzo il sista co un odllo a 3 g.d.l. torsionali. Siano torsionali indipndnti. θ v, θ, θ l tr coordinat v ruota K ruota K volano otor Figura. Modllo a 3 g.d.l..

3 In fora atricial il sista di quazioni dl oto divnta: [ ]{ θ} + [ K]{ θ} = { } con { θ } [ ] [ K ] atrici dll inrzi dll rigidzza: θ v = θ θ v K K * [ ] = [ K] = K K+ τ K τk. () τ K K L rigidzz torsionali K K possono ssr stiat diant l sprssion sgunt, rifrita ad un gnrico albro di lunghzza l, diatro d odulo lastico tangnzial G: 4 Gπ d KT = (3) 3l Di sguito alcuni risultati. Prio odo Scondo odo.74 Trzo odo 6.86 Tablla. frqunz naturali in Hz Prio odo Scondo odo Trzo odo θ v θ θ Tablla 3. Modi di vibrar noralizzati prio odo scondo odo () volano otor - volano otor 3

4 6 trzo odo volano otor Figura 3. Rapprsntazion cartsiana di odi di vibrar Procdinto pr doanda ) Una volta liinato il volano, il sista a 3 g.d.l. si odifica in uno a g.d.l.(figura 4). L atrici [ ] [ K ] sono ottnibili dall sprssioni () liinando la riga la colonna rlativa alla coordinata dl volano: K ruota ruota K otor Figura 4. Modllo a g.d.l.. Di sguito alcuni risultati. Prio odo.57 Scondo odo 6.86 Tablla 4. frqunz naturali in Hz Prio odo Scondo odo θ θ Tablla 5. Modi di vibrar noralizzati 4

5 .4 prio odo scondo odo otor Figura 5. Rapprsntazion cartsiana di odi di vibrar -.5 otor Procdinto pr doanda 4) Pr un sista a N g.d.l. sorzato la FRF con ccitazion in l risposta in k assu la sgunt fora: N ΦkΦl H kl = = k Ω + iωc (4) dov N rapprsnta il nuro di odi considrati, K, M C sono i trini dll atrici rigidzza, assa sorzanto odal, Ω è la pulsazion natural [ Φ ] è la atrici di odi. Dividndo l sprssion (4) pr M si ottin un sprssion con i odi noralizzati: ΦkΦl N ' ' N ΦkΦl H kl = = k c = = ω Ω + iωωζ (5) Ω + iω dov ω ζ sono la pulsazion natural lo sorzanto odal d M è dfinito co sgu: T { } [ ] { } = Φ Φ (6) Pr il sista a g.d.l. si vuol calcolar la risposta forzata a sguito dlla coppia M (t): θ H H M = (7) θ H H E da notar ch tutti i trini dlla (7) sono coplssi. I trini H H sono dfiniti co sgu, in bas alla (5): ' ' ' ' Φ Φ ΦΦ H = + (8) ω Ω + iωωζ ω Ω + iωωζ ' ' ' ' Φ Φ ΦΦ H = + (9) ω Ω + iωωζ ω Ω + iωωζ La Figura 6 Figura 7 ostrano l H H in trini di apizza fas. 5

6 -4 H -4 H apizza [/N] -7 apizza [/N] Figura 6. apizza dll FRE con sorzanto odal ζ =.. H 4 H fas [rad] fas [rad] ζ =. Figura 7. Fas dll FRE con sorzanto odal Studiao ora la coppia otric M (t). Alla vlocità di 34 rp il otor roga kw, prtanto la coppia otric costant dl otor può ssr ottnuta diant la rlazion: kw M = = 337N Ω dov Ω = π 34 / 6 In Figura 8 è ostrato il diagraa nl tpo nl doinio dlla frqunza dlla coppia otric. Coppia otor spttro dlla coppia otor 5 35 apizza [N] apizza [N] Tpo [s] Figura 8. Coppia otor rapprsntata nl doinio dl tpo dll frqunz frqunza [Hz] 6

7 L sprssion (7) nl doinio dll frqunz può ssr scritta co sgu: Ω [ ( ) ( )] [ (4 ) (4 )] θ = H Ω M Ω + H Ω M Ω i t i4ωt Oppur θ = H ( Ω ) M ( Ω ) + H (4 Ω ) M (4 Ω ) θ = H( Ω ) M( Ω ) + H (4 Ω ) M(4 Ω ) dov : M ( Ω ) = i.4 M (4 Ω ) = 89 i.7 () Traccia di soluzion dlla doanda ) in Matlab. Inizializzo l variabili %%%DATI v = 9; = ;.. dfinisco l costanti lastich torsionali %%%%costanti lastich k = pi*d^4*g/(3*l); k =. 3. dfinisco l atrici 3X3 assa rigidzza 4. calcolo odi frqunz naturali [fi,ogaq] = ig(k,); frq_nat=. 5. noralizzo gli auto vttori risptto al prio valor for i =:3, finor(:,i) = fi(:,i)./fi(,i); nd; 6. grafico di odi utilizzar il coando plot 7. utilizzar dl coando forat short o long o long pr ostrar il valor dll frqunz naturali con un sufficint nuro di cifr significativ. 8. utilizzar dit/axs proprtis nlla finstra grafica dlla figura di atlab pr odificar la figura Traccia di soluzion dll doand ) 3) in Matlab. Inizializzo l variabili. dfinisco l costanti lastich torsionali 3. dfinisco l atrici X assa rigidzza 4. calcolo odi frqunz naturali 5. noralizzo gli auto vttori risptto al prio valor 6. grafico di odi 7

8 7. odifico il valor dl v nl odllo a 3 g.d.l. finch la pria frqunza torsional dl odllo a 3 g.d.l. la pria frqunza torsional dl odllo a g.d.l. non corrispondono con un rror dl 5% 8. utilizzar dit/axs proprtis nlla finstra grafica dlla figura di atlab pr odificar la figura Traccia di soluzion dlla doanda 4) in Matlab. Inizializzo l variabili (insrir i valori dllo sorzanto odal (zita zita). dfinisco l costanti lastich torsionali 3. dfinisco l atrici X assa rigidzza 4. calcolo odi frqunz naturali [fi,ogaq] = ig(k,); frq_nat=.. oga_nat=.. 5. dfinisco i trini dlla atric assa odal (ch usrò pr noralizzar i odi) M=fi(:,)'**fi(:,); M= 6. noralizzo i odi con la assa odal fi_nor(:,)=fi(:,)/sqrt(m); fi_nor(:,)= calcolo dll FRF: H, H df=.; frq=[:df:5]; oga=*pi*frq; H=(fi_nor(,)^./(.; (attnzion all uso dl puntino) H= 8. grafico dll FRF utilizzando il coando abs angl pr ottnr apizza fas 9. grafico dll FRF con sorzanto odal nullo. dfinisco i valori dlla coppia otric pr l'aronica X 4X la frqunza di M_X= M_4X=. slzion dall FRF coplss pr il valor corrispondnt alla sconda aronica( vlocità angolar di Xfrq_) df=.; frq_=34/6; for k=:lngth(frq) if frq(k) >= *frq_-df & frq(k) <= *frq_+df H_X=H(k); H_X=H(k); nd nd. slzion dall FRF coplss pr il valor corrispondnt alla quarta aronica( vlocità angolar di 4Xfrq_). Usar un indic divrso da k, ad spio. 3. calcolo azioni di otor con forul 8