Matematica Capitolo 1. Funzioni. Ivan Zivko

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1 Matematica Capitolo 1 Funzioni Ivan Zivko

2 Introduzione Una unzione è un qualcosa che mette in relazione un valore in entrata ( input ) con un altro in uscita ( output ). Input FUNZIONE Output Matematica

3 Introduzione Quindi la unzione modiica l input con delle operazioni (somma, moltiplicazione,.) ricavando l output. Questi valori sono perciò legati e vanno rappresentati a coppie. Matematica 3

4 Introduzione Esempio: in un negozio un quaderno costa 3 CHF, con una unzione mettiamo in relazione il numero di quaderni che compro con il prezzo da pagare. Prezzo Quantità 3 Quindi se l input è 5 quaderni, l output sarà 15 CHF. Matematica 4

5 Introduzione Esempio: scritto in modo più matematico sarebbe: Prezzo(Qua ntità) Quantità 3 Ciò signiica che il prezzo dipende dalla quantità, è una sua unzione. In matematica si cerca di sintetizzare le parole, quindi: P(Q) Q 3 Matematica 5

6 Introduzione Per motivi storici in matematica ci sono alcune lettere che vengono usate come standard in certe situazioni, di solito per esempio l input viene identiicato con la mentre l output con la y. Ciò non è però una regola assoluta, qualsiasi altra lettera andrebbe bene ugualmente. Matematica 6

7 Deinizione Siano A e B due insiemi. Una unzione da A in B è una relazione che ad ogni elemento A a corrispondere uno ed un solo elemento y B. Si scrive: : A B, y ( ) Matematica 7

8 A=D Deinizione B y y I : argomento (o variabile indipendente) y: immagine (o variabile dipendente) A=D : insieme di deinizione (o dominio) B: insieme d arrivo I : insieme delle immagini (o codominio) Matematica 8

9 Funzioni Esempio: l area del cerchio è unzione del suo raggio. : R R, y ( ) In questo caso l insieme di deinizione sono i numeri reali positivi, perché il raggio non può essere negativo. Stessa cosa vale per l insieme d arrivo, l area non può essere negativa. Matematica 9

10 Rappresentazione cartesiana Per rappresentare graicamente una unzione abbiamo bisogno di due assi, uno per le (gli argomenti) e uno per le y (le immagini). Per esempio la unzione y seguenti coppie di coordinate: ( ) ha le y=() Matematica 10

11 Rappresentazione cartesiana Praticamente si inseriscono le nella unzione e si ottiene la y corrispondente. Matematica 11

12 Rappresentazione cartesiana Matematica 1

13 Osservazione Una rappresentazione graica è una unzione solamente se ogni ha una sola y! Al contrario una y può avere più. È una unzione! Non è una unzione! Matematica 13

14 Insieme di deinizione (Dominio) Per determinare l insieme di deinizione (o dominio) bisogna are attenzione la dove vi sono delle razioni o delle radici. Dove vi è uno zero a denominatore la unzione non può essere deinita. Dove vi è un numero negativo sotto radice quadrata la unzione non è deinita. Matematica 14

15 Insieme di deinizione Esempi: 1 ( ), D R ( ), D 1 R \{0} \{1} 1 ( ), D [1, [ Matematica 15

16 Funzioni aini Le equazioni cartesiane delle unzioni aini sono del tipo: La rappresentazione graica di queste unzioni sono delle rette, in cui a è la pendenza della retta, mentre b è il punto in cui la retta interseca l asse y. Se Se a 0 a 0 ( ) a b la retta sarà crescente. la retta sarà decrescente. Matematica 16

17 Funzioni aini: pendenza La pendenza si può determinare avendo due punti della retta ( 1, y 1 ) e (, y ): a y y y 1 1 Matematica 17

18 Funzioni aini: esempio Rappresentiamo le unzioni ( ) 5, g( ) e h( ) 1 Matematica 18

19 Funzioni aini: determinare l equazione della retta Dato un punto e la pendenza: per esempio determiniamo l equazione della retta r passante per A=(, 1) e con pendenza. Equazione generica: y a b Pendenza a=: y b A (,1) r : 1 b b 3 Quindi: y 3 Matematica 19

20 Funzioni aini: determinare l equazione della retta Dati due punti: determiniamo l equazione della retta t passante per i punti A=(, 3) e B=(-1, -3). Equazione generica: y a b At Bt : : 3 ab 3 a ( 1) b Risolvendo il sistema otteniamo: e quindi: y 1 a, b 1 Matematica 0

21 Funzioni aini: rette perpendicolari Due rette saranno perpendicolari tra di loro se incrociandosi ormeranno un angolo di 90. Le pendenze delle due rette saranno legate dalla relazione: a a 1 1 Quindi una retta perpendicolare alla retta avrà pendenza: a 1 a 1 y 3 Matematica 1

22 Funzioni aini: costo di produzione Quando un'impresa produce un bene, sostiene vari tipi di costi che possono essere classiicati in issi e variabili. Si dicono costi issi i costi che non variano al variare della quantità prodotta; per esempio il costo di un macchinario, l'aitto dei locali di produzione, ecc. Si dicono costi variabili i costi che variano al variare delle quantità prodotte e in particolare aumentano al crescere della quantità prodotta; per esempio il costo delle materie prime, i costi per i consumi di energia, ecc. Matematica

23 Funzioni aini: costo di produzione Un panettiere per ogni baguette che produce paga tra materie prime e elettricità un ranco e mezzo, quindi a 1.5CHF/Bag. Inoltre il panettiere paga ogni mese un aitto di 1000 CHF per il paniicio e 3000 CHF per il salario del suo aiutante, quindi b 4000CHF. c( ) a b Matematica 3

24 Funzioni quadratiche o di grado Le unzioni quadratiche sono unzioni del tipo: ( ) a b La rappresentazione graica di una unzione quadratica è una parabola, in cui: Se a > 0 la parabola sarà aperta verso l alto. Se a < 0 la parabola sarà aperta verso il basso. Mentre c sarà il punto in cui la parabola interseca l asse y. c Matematica 4

25 Funzioni quadratiche Sono 4 i parametri che aiutano a determinare il graico di una unzione quadratica: 1. La pendenza a.. Il vertice. 3. Le intersezioni con l asse. 4. L intersezione con l asse y. Matematica 5

26 Funzioni quadratiche 1. Pendenza a: a 0 a 0 Matematica 6

27 Funzioni quadratiche. Vertice: È possibile determinare le coordinate del vertice, che chiamiamo V ( v, y ), grazie alle seguenti v ormule: b ( b 4ac) v y v a 4a Il vertice è il punto più basso della curva se essa è aperta verso l alto, viceversa è il punto più alto se è aperta verso il basso. Matematica 7

28 Funzioni quadratiche 3. Intersezioni con l asse : 1 b a b a dove b 4ac Matematica 8

29 Funzioni quadratiche 4. Intersezione con l asse y: y c Matematica 9

30 Funzioni quadratiche: esempio Rappresentiamo le unzioni ( ), g( ) 3 5, h( ) 4 10 Matematica 30

31 Funzioni quadratiche: proitto Il proitto P dipende dal prezzo del bene tramite la seguente ormula: P( ) P Q ma Q1 P c ma C Matematica 31

32 Funzioni esponenziali Le unzioni esponenziali sono unzioni del tipo ( ) a r dove r>0, cioè la base non può essere negativa. Matematica 3

33 Funzioni esponenziali: crescita batterica = a r = 1 = Matematica 33

34 Funzioni esponenziali Per r > 1 il graico sarà crescente. Per 0 < r < 1 il graico sarà decrescente. Matematica 34

35 Funzioni esponenziali: l interesse composto dopo anni Se un investitore all inizio ha un capitale C 0 e decide di lasciarlo alla banca per anni ad un interesse i, alla ine il capitale sarà: i C C 1 0 Matematica 35

36 Funzioni logaritmiche Il logaritmo è un altro nome per indicare l esponente: Con il logaritmo praticamente trovo quale esponente devo mettere ad a (base) per ottenere c. Esempio: a b c b log a ( c) log 3(9) perchè 3 9 Matematica 36

37 Funzioni logaritmiche Le unzioni logaritmiche sono l inverso delle unzioni esponenziali: ( ) log a dove a > 0, quindi il graico passerà sicuramente per il punto (1, 0). Per l insieme di deinizione è importante sapere che nel logaritmo non si possono inserire numeri negativi. Matematica 37

38 Funzioni logaritmiche Per a > 1 il graico sarà crescente. Per 0 < a < 1 il graico sarà decrescente. Matematica 38

39 Funzioni logaritmiche: il numero di bit in base Se è un numero in base 10, e vogliamo sapere il numero di bit necessario per scriverlo in base possiamo trovarlo: b log Matematica 39

40 Composizione di unzioni Siano : A B e g : B C due unzioni. A B g C y=() y z=g(y) y ( g )( ) g( ( )) Matematica 40

41 Composizione di unzioni La unzione ( g )( ) g( ( )) unzione composta di g con. è la Esempio: 1 ( ) g( ) ( g )( ) g( ( )) () ( g)( ) ( g( )) ( 3) 6 4 Matematica 41

42 Composizione di unzioni In generale: La composizione non è commutativa: g g È invece associativa: ( g) h ( g h) Matematica 4

43 Funzioni suriettive De.: Una unzione : A quando I =B. Esempio: : Z N, ( ) I {0,1,4,9,16,5,...} N non è suriettiva B è suriettiva Matematica 43

44 Funzioni suriettive Oss.: restringendo l insieme di arrivo B è possibile ottenere una unzione suriettiva. Esempio: Matematica 44. non è suriettiva ) (, : R R. è suriettiva ) (, : R R

45 Funzioni iniettive De.: una unzione è iniettiva se ogni argomento ha un immagine diversa, cioè: ( ) ( 1 1 ) Matematica 45

46 Funzioni iniettive Esempio: Oss.: restringendo l insieme di deinizione è possibile ottenere una unzione iniettiva. Matematica 46 non è iniettiva. ) (, : R R è iniettiva. ) (, : R R

47 Funzioni biiettive e unzione inversa De.: una unzione si dice biiettiva (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva. De.: Se : A B, allora la unzione inversa di sarà deinita come 1 : B A, tale che 1 ( y) ( )! La unzione inversa di esiste solo se è biiettiva! y Matematica 47

48 La unzione inversa Esempio 1: cerchiamo la unzione inversa di. Nell ultimo passaggio invertiamo semplicemente la y con la. Matematica ) ( ) ( 1 y y y y y

49 La unzione inversa Esempio : cerchiamo l inversa di. Notiamo che I =[-4, [ e l imsieme di deinizione deve essere D =R +. Matematica 49 4 ) ( g 4, 4, : y R g 4 ) ( g y y y y 4, 4, : 1 y R g

50 La unzione inversa Risulta chiaro che in generale valgono le seguenti uguaglianze: D 1 I I 1 D Matematica 50

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