Esercizi assegnati in data 7 novembre

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1 Esercizi assegnati in data 7 novembre Rappresentare sul piano cartesiano le seguenti rette e determinare le coordinate del punto d'intersezione di ciascuna coppia di rette: a: y=0.25x+1000 b: y=0.50x+800 c: y=0.65x+500 nov

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3 Rappresentare sul piano cartesiano la parabola di equazione y = 0.032x x 125 e determinare le coordinate del vertice, l'equazione dell'asse di simmetria e le coordinate degli eventuali punti di intersezione con l'asse x. Asse di simmetria: x = b/2a = Coordinate del vertice: x V = y V = 0.032* * = Intersezioni con l'asse x: 0.032x x 125 = 0 x 1 = x 2 = nov

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5 Costi fissi non dipendono dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti (sono rappresentati graficamente da una retta orizzontale) Costi variabili dipendono (non necessariamente in modo proporzionale!!!) dalla quantità di beni prodotti e/o venduti (possono essere rappresentati da una semiretta uscente dall'origine se la dipendenza da x è proporzionale o da altra funzione più complessa) Ricavo è ciò che si ottiene dalla vendita dei prodotti. Se p è il prezzo unitario e x è la quantità di prodotto venduto, si ha evidentemente R(x)=px Utile (o profitto o guadagno) è la differenza fra il ricavo e il costo totale: U(x)=R(x) C(x) nov

6 1A. Una fabbrica di detersivi può produrre giornalmente al massimo 70 Kg di detersivo, che rivende a 1.8 al Kg. Per la produzione sostiene un costo fisso giornaliero di 45, più una spesa di 0.6 per ogni Kg di detersivo prodotto. Quanti Kg dovrà produrre giornalmente per non essere in perdita e quanti per conseguire il massimo guadagno? 1B. Una fabbrica di bottiglie può produrre giornalmente al massimo 70 bottiglie, che rivende a 1.8 l'una. Per la produzione sostiene un costo fisso giornaliero di 45, più una spesa di 0.6 per ogni bottiglia prodotta. Quante bottiglie dovrà produrre giornalmente per non essere in perdita e quante per conseguire il massimo guadagno? Riflettere graficamente: come si può fare per abbassare il "punto di equilibrio"? Ripetere i problemi 1A 1B nell'ipotesi che il prezzo unitario di vendita sia 1.2 anziché 1.8. ott

7 x = kg di detersivo prodotti e venduti giornalmente (0 x 70) C f = 45 (semiretta orizzontale passante per il punto (0;45) C v = 0.6x (semiretta uscente dall'origine) C tot = x (semiretta parallela alla precedente) R = 1.8 x (semiretta uscente dall'origine) 1.8x = x 1.8x 0.6x = x = 45 x = 45/1.2 = 37.5 U max = U(70) = 1.2 * = 39 45? R C tot C f C v Conclusioni: per x < 37.5 siamo in perdita 70 per x = 37.5 siamo in condizioni di equilibrio tra costi e ricavi per x > 37.5 si ha un utile effettivo il guadagno massimo si ha per x = 70 (vincolo di massima produzione imposto dal problema) e vale 39 x nov

8 nel caso discreto (problema 1B) la condizione per non essere in perdita si ha evidentemente per x > 38, essendo ammessi i soli valori interi di x; non cambia nulla riguardo alla condizione di massimo guadagno che si ha sempre per x = 70 Per migliorare le cose, sarebbe conveniente abbassare (ossia avvicinare allo zero) il punto di equilibrio, risultato che posso ottenere graficamente in tre modi: mantenere fissa la pendenza di C v (e quindi di C tot ) e traslare semplicemente la retta verso il basso diminuire C f mantenere fisso C f e diminuire la pendenza di C v mantenere fisse le rette dei costi e aumentare la pendenza di R Nell'ipotesi che il prezzo di vendita sia ridotto a 1.2, svolgendo i medesimi calcoli già effettuati in precedenza, il punto di equilibrio costi ricavi si trova in corrispondenza del valore x = 75. Poiché tale valore si trova all'esterno della zona ammessa dai vincoli (0 x 70), si deve concludere che in tali condizioni l'attività risulta comunque in perdita nov

9 Modello matematico (diagramma di redditività) per funzioni lineari con vincolo 0 x M. rappresentare in grafico le funzioni costo (totale) e ricavo determinare il punto di intersezione P(x P ;y P ) per 0 x < x P, cioè fino a quando il costo rimane superiore al ricavo, siamo in perdita per x = x P si ha equilibrio tra le due funzioni per x > x P il ricavo diventa superiore al costo e il guadagno aumenta fino al massimo consentito alla x il massimo della funzione obiettivo U(x)=R(x) C(x) si ha per x=m, e tale massimo è la differenza fra le due funzioni calcolate in x=m. Alternativamente, studiare direttamente la funzione U(x) e trovarne l'intersezione con l'asse x. nov

10 Una ditta produttrice di lampadine sostiene una spesa fissa settimanale di 100. Per la produzione si spendono 2 per ogni lampadina, mentre i costi legati alla vendita di ogni lampadina ammontano a 1/1000 del numero di lampadine vendute. La ditta prevede di vendere le lampadine a 3 ciascuna. Nell'ipotesi che non ci siano limiti per la produzione e che tutta la produzione sia venduta, calcolare: 1. quante lampadine la ditta deve produrre settimanalmente per non essere in perdita; 2. quante lampadine la ditta deve produrre settimanalmente per avere il massimo guadagno, e quanto vale tale massimo guadagno. Risolvere lo stesso problema, con il vincolo aggiuntivo che la produzione massima settimanale sia di: a. 700 unità b. 400 unità nov

11 x = numero di lampadine prodotte e vendute settimanalmente C f = 100 C v = 2x+0.001x 2 C tot = 100+2x+0.001x 2 R = 3x U(x) = R C tot = 3x (100+2x+0.001x 2 ) = 0.001x 2 +x 100 Con gli opportuni calcoli si trova: intersezioni con l'asse x: x 1 =112.7 ; x 2 =887.3 vertice: x V =500 ; y V =150 (grafico pagina seguente) Conclusioni: per non essere in perdita bisogna produrre settimanalmente almeno 113 lampadine e non più di 887 il guadagno massimo si ha producendo 500 lampadine e tale guadagno massimo vale 150 nov

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13 Nel caso di vincolo aggiuntivo sulla produzione massima settimanale, le conclusioni si modificano nel modo seguente: Caso a (produzione massima 700 unità) Non cambia sostanzialmente nulla: l'intervallo di valori di x per non essere in perdita risulta ora 113 x 700; il massimo guadagno si ha ancora per x = 500 e vale ancora U max = 150 Caso b (produzione massima 400 unità) L'intervallo di valori di x per non essere in perdita risulta ora 113 x 400; il massimo guadagno si ha per x = 400 e vale U max = U(400) = 140 nov

14 Modello matematico per massimizzare una funzione obiettivo di tipo parabolico y=ax 2 +bx+c (con a<0 e c<0) determinare le intersezioni P 1 (x 1 ;0) e P 2 (x 2 ;0) della funzione obiettivo con l'asse x determinare le coordinate del vertice V(x V ;y V ) c rappresenta di norma i costi fissi, e in ogni caso il valore della funzione quando non è ancora iniziata la produzione o la vendita per 0 x < x 1 siamo in perdita per x 1 < x < x 2 la funzione obiettivo prima cresce, poi decresce dopo aver raggiunto il massimo per x=x V per x > x 2 siamo nuovamente in perdita per x=x 1 e x=x 2 la funzione obiettivo è nulla (equilibrio tra costi e ricavi) in presenza di eventuale vincolo aggiuntivo x < M, bisogna tener presente che se M < x V il massimo della funzione obiettivo si ha per x=m e non più per x=x V, in quanto x V è al di fuori della zona delimitata dai vincoli. nov