Daniela Tondini

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1 Daniela Tondini Facoltà di Bioscienze e Tecnologie agro-alimentari e ambientali e Facoltà di Medicina Veterinaria C.L. in Biotecnologie Università degli Studi di Teramo 1

2 DEFINIZIONE Un sistema di numerazione è un insieme di simboli, di rappresentazioni dei numeri (cifre del sistema), caratterizzato da regole ben precise, necessarie per contare ed eseguire operazioni. Tali sistemi possono essere posizionali (il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero, come, ad esempio, il sistema binario e quello decimale) oppure non posizionali (ad esempio, il sistema dei numeri romani: XVIII=18; XIX=19; XX=20, XXI=21; ).

3 IL SISTEMA DECIMALE Il sistema decimale, oggi il più diffuso, è costituito da dieci cifre (da 0 a 9): ogni numero decimale, quindi, si può scrivere come somma di potenze in base 10. L adozione della base dieci ha da sempre rappresentato enormi vantaggi, evitando inutili sforzi di rappresentazione rispetto, sia alle basi più piccole, sia alle capacità della memoria umana.

4 IL SISTEMA BINARIO La numerazione binaria adotta la base 2 ed utilizza due sole cifre: 0 ed 1 (a volte indicate con L ed H): ogni numero binario, quindi, si può scrivere come somma di potenze in base 2. Si tratta di un sistema sviluppatosi verso la fine del XVII secolo per opera di Leibnitz e tutt oggi alla base dell elaborazione digitale dei dati, in seguito alla sua corrispondenza con i componenti elettronici che funzionano in on/off, cioè con le sole condizioni possibili di acceso/spento, ovvero di si/no.

5 COME RAPPRESENTARE UNA QUANTITÀ NUMERICA N N = N i + N f N i è la parte intera N f è la parte frazionaria N = 1936,27 N i = 1936 N f = 0,27

6 N NEL SISTEMA DECIMALE N = a a a a n 10 n + N i + a a a a -n 10 -n N f N = 809,205 N i = 809 N f = 0,205

7 N = 809,205 = ,205 N i N = N f

8 N NEL SISTEMA BINARIO N i N = a a a a n 2 n + + a a a a -n 2 -n N f N = 11010,101 N i = N f = 0,101

9 N = (11010,101) 2 = ,101 (N i ) 2 = (26) 10 N = = (26,625) 10 (N f ) 2 = (0,625) 10

10 DALLA BASE 10 ALLA BASE 2 N = 47,485 Il procedimento si arresta quando, dopo aver effettuato n divisioni per 2, si ottiene, come risultato, un numero più piccolo di due (ovvero 0 oppure 1) che, pertanto, resta indiviso.

11 DALLA BASE 10 ALLA BASE 2 N = 47,485 verso lettura! di Il procedimento si arresta quando la parte decimale si annulla. In caso contrario si può arrestare dopo n passi ottenendo, però, un numero approssimato.

12 DALLA BASE 10 ALLA BASE 2 N = 47,485 verso lettura! di Si osservi, inoltre, che se, nella moltiplicazione per 2, si ottiene un numero decimale la cui cifra prima della virgola è diversa da 0 e da 1, allora, se è pari la si sostituisce con 0, se è dispari con 1.

13 DALLA BASE 10 ALLA BASE 2 N = 47,485 N i = (47) 10 = (101111) 2 N f = (0,485) 10 = ( ) 2 N = (47,485) 10 = 47,485 = ( ) 2

14 DALLA BASE 2 ALLA BASE 10 N = ,1011

15 CORRISPONDENZA TRA BASE 10 E BASE 2 N = 350 = = = = = 350

16 SISTEMA BINARIO E MEMORIA BIT x 0, 1 (101) 2 (101)

17 ALTRI SISTEMI DI NUMERAZIONE ESADECIMALE (IN BASE 16) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 N = 1993 = 7C9 7C9 = C = = = = 1993

18 Esempio 1 Trasformare il numero 52 dalla forma decimale a quella binaria 0, 1 52 : con R = 0 2 = 26 : con R = 0 2 = 13 : con R = 1 (52) 10 2 = 6 : con R = 0 (110100) 2 2 = 3 : con R = 1 2 = 1 R = 1 verso di lettura! Verifica (110100) 2 = = = = = =(52) 10 = 52 O.K.!

19 Esempio 2 Trasformare il numero 0,324 dalla forma decimale a quella binaria 0. 0,324 2 = 0 0,648 2 = 1 1,296 2 = 0 2,592 (0,324) 10 2 = 1 5,184 ( ) 2 2 = 0 10,368 2 = 0 20,736 2 = 1 41,472 verso di lettura! Continuando la moltiplicazione per 2, si ottengono dei numeri sempre più vicini a quello di partenza, ovvero a 0,324!!! Verifica ( ) 2 = = = = 0,320 O.K.!

20 Esempio 3 Trasformare il numero 52 dalla forma decimale a quella ternaria 0,1,2 52 : con R = 1 3 = 17 : con R = 2 (52) 10 3 = Verifica 5 : con R = 2 (1221) 3 3 = 1 R = 1 verso di lettura! (1221) 3 = = = = = =(52) 10 = 52 O.K.! Si osservi che la divisione non è più per 2 ma per 3, volendo determinare la forma ternaria del numero assegnato; inoltre, tra i vari resti compare anche il numero 2, oltre ai numeri 0 ed 1.

21 Esempio 4 Trasformare il numero 52 dalla forma decimale a quella in base 13 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C con A=10, B=11, C=12 52 : con R = 0 (52) = 4 R = 4 (40) 13 Verifica (40) 13 = = = 4 13 = =(52) 10 = 52 Si osservi che la divisione è per 13 per cui, tra i vari resti, può comparire anche il 4, elemento della base considerata. O.K.!

22 Esempio 5 Trasformare il numero 132 dalla forma decimale a quella in base 13 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C con A=10, B=11, C= : con R = 2 (132) = 10 R = 10 = A (A2) 13 Verifica (A2) 13 = = A = = =(132) 10 = 132 O.K.! Si osservi che la divisione è per 13 per cui, tra i vari resti, può comparire anche il 10, identificato, nella base considerata, con la lettera A.

23 Esempio 6 Trasformare il numero 0,257 dalla forma decimale a quella in base ,257 7 = 1 1,799 7 = (0,257) , ,151 7 = 1 617,057 Si osservi che 12 è "congruo" a 5 modulo 7 (si usa scrivere 12 5 mod 7) poiché 5 non è altro che il resto della divisione di 12 per 7 (lo stesso dicasi per 88 e 617: infatti 88:7 = 12 con il resto di 4 e 617:7 = 88 con il resto di 1). Verifica ( ) 7 = = = 7 = ( ) verso di lettura! = 0,2569 O.K.!

24 PARTICOLARITÀ Un qualsiasi numero diviso una base determina un insieme di resti la cui sequenza di cifre rappresenta quel numero nel sistema di codifica scelto (cioè nella base di rappresentazione scelta) : 10 = 567 con R = : 10 = 56 con R = 7 56 : 10 = 5 con R = 6 5 : 10 = 0 con R = 5 N = (5672) 10 verso di lettura!

25 COME SI LEGGE??? Leggiamo il numero, sopra riportato, da destra verso sinistra, a tre a tre, come: centinaia, migliaia, milioni, bilioni o miliardi, tri lioni, quadri lioni, quinqui lioni, sesti lioni, septi lioni, octi lioni, deci lioni e quindi undici lioni, continuando poi con la nomenclatura cardinale. "2 dodici lioni, 100 undici lioni, 1 deci lione, 113 octi lioni, 134 septi lioni, 451 sesti lioni, 776 quinqui lioni, 889 quadri lioni, 1 tri lione, 245 miliardi, 617 milioni, 980 mila, 333"

26 NUMERO DI SISSA NADIR Supponiamo di avere una scacchiera costituita da 64 caselle. Immaginiamo di mettere 1 chicco di riso nella prima casella, 2 nella seconda, 4 = 2 2 nella terza, 8 = 2 3 nella quarta,, 2 63 nella 64 esima! Il numero totale dei chicchi è proprio il numero di Sissa Nadir che vale esattamente: = Questo numero è dell ordine di grandezza di 10 21, cioè di circa cento sestilioni quasi il raccolto di qualche anno di una nazione!

27 ARITMETICA BINARIA

28 SOMMA

29 SOTTRAZIONE

30 MOLTIPLICAZIONE I due esempi seguenti illustrano un diverso modo di effettuare la moltiplicazione classica tra due numeri. Dunque, la somma dei risultati ottenuti dalla moltiplicazione di b per 2 rappresenta proprio il numero cercato a b.

31 MOLTIPLICAZIONE

32 MOLTIPLICAZIONE Osserviamo che nel secondo esempio, per effettuare la somma finale, sono stati eliminati tutti quei numeri (26, 52, 208) che, nella corrispondente divisione di a per 2, avevano avuto come risultato un numero pari (ad esempio, il corrispondente di 26 è 20, che è pari, così come 10, corrispondente di 52 e 2, corrispondente di 208). Nel primo esempio, invece, i corrispondenti di 12, 24 e 48 erano tutti numeri dispari, precisamente 15, 7, 3, 1.

33 MOLTIPLICAZIONE

34 DIVISIONE La divisione nel sistema binario risulta più semplice perché per stabilire quante volte il divisore sia contenuto in un gruppo di cifre del dividendo non è necessario procedere per tentativi: il risultato può essere soltanto 0 oppure 1. Esempio (4 ) 11:11 = 1 con resto 0 (3 ) 1:11 = 0 con resto 1 (2 ) 0:11 = 0 con resto 0 (1 ) 11:11 = 1 con resto : 11 = 1001 con R= = 11011

35 Esempio DIVISIONE (4 ) 10011:1011 = 1 con resto 1000 (3 ) 1001:1011 = 0 con resto 1001 (2 ) 100:1011 = 0 con resto 100 (1 ) 1101:1011 = 1 con resto : 1011 = 1001 con R= =